拓展1-1夹角、距离的最值范围及探索性问题-2024-2025学年高二第一学期数学重难点突破及易错点分析（人教A版）

拓展1-1夹角、距离的最值范围及探索性问题 一、夹角、距离的最值范围 二、夹角、距离的探索性问题 ①线面角的最值范围问题 ①线面角的探索性问题 ②面面角的最值范围问题 ②面面角的探索性问题 ③点面距离的最值范围问题 ③点面距离的探索性问题 一、夹角、距离的最值范围 方法点拨：函数法：大多数情况下,把这类动态问题转化为目标函数最终利用代数方法求目标函数的最值 变量分析法：从而转化成求某些线段或角等一些量的求解最值问题的方法 ①线面角的最值范围问题 1．正四面体中，，点是棱上的动点，设直线与平面所成角为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知点是圆台的上底面圆上的动点，在下底面圆上，，，，，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为 . 3．如图，在圆柱中有一内接正六棱柱，圆柱的高为，底面半径为，上、下底面的中心分别为，点在上底面的圆周上运动，若直线与平面所成角的正弦值的最小值为，则 ． 4．如图所示的几何体是由等高的直三棱柱和半个圆柱组合而成，为半个圆柱上底面的直径，，，点，分别为，的中点，点为的中点． (1)证明：平面平面； (2)若是线段上一个动点，当时，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 5．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，点O为的中点.    (1)若点E为的中点，求证：； (2)设四棱锥的体积为，点M为底面四边形内一点（包括四边形边上的点），且直线与底面所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值的最小值. 6．在四棱锥中，，，，，、分别为直线，上的动点. (1)若异面直线与所成的角为，判断与是否具有垂直关系并说明理由； (2)若，，求直线与平面所成角的最大值. 7．如图所示的几何体是由圆锥与圆柱组成的组合体，其中圆柱的轴截面是边长为2的正方形，圆锥的高，M为圆柱下底面圆周上异于A，B的点． (1)求证：∥平面； (2)若，求直线与平面所成角的正切值的取值范围． ②面面角的最值范围问题 8．（多选）在长方体中，，，E，F分别为，的中点，P是线段（不含端点）上的任意一点，下述说法正确的是（    ） A．存在点P，使直线与平面所成角取得最大值 B．存在点P，使直线与平面所成角取得最大值 C．存在点P，使平面与平面的夹角取得最大值 D．存在点P，使平面与平面的夹角取得最大值 9．（多选）如图所示，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，点为侧棱上的动点，为线段中点.则下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得平面 B．周长的最小值为 C．三棱锥的外接球的体积为 D．平面与平面的夹角正弦值的最小值为 10．如图，在三棱锥中，，，，平面平面，则三棱锥的体积的最大值为 ；二面角的正弦值的最小值为 . 11．如图，在四棱锥中，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值的取值范围． 12．如图，已知直三棱柱中，且分别为的中点，为线段上一动点. (1)求与平面所成角的正切值； (2)求点到平面的距离； (3)求锐二面角的余弦值的最大值. 13．如图，直三棱柱的底面边长和侧棱长都为2，点在棱上运动（不包括端点）．    (1)若为的中点，证明：． (2)设平面与平面的夹角为，求的取值范围． 14．如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，平面平面，平面平面. (1)证明：平面； (2)若，是的中点，在线段上，求平面与平面夹角的余弦值的取值范围. 15．如图，在四棱锥中，平面，，，.，分别为棱，上的动点（与端点不重合），且.    (1)求证：平面； (2)若，设平面与平面所成的角为，求的最大值. ③点面距离的最值范围问题 16．在如图所示的直四棱柱中，底面是正方形，是的中点，点N是棱上的一个动点，则点到平面的距离的最小值为（    ）    A．1 B． C． D． 17．如图，在棱长为1 的正方体中，是棱 (不包含端点)上一动点，则三棱锥 的体积的取值范围为 .    18．直四棱柱的所有棱长都为，，点在四边形及其内部运动，且满足，则点到平面的距离的最小值为 ．    19．如图，若正方体的棱长为，点是正方体的底面上的一个动点（含边界），是棱的中点，则三棱锥体积的最大值为 .    20．如图所示，正方体的棱长为3，动点在底面正方形内，且与两个定点，的距离之比为． (1)求动点的轨迹方程，并说明轨迹的形状； (2)求动点到平面的距离的取值范围． 21．如图，在正方体中，E为的中点，F为棱上异于D点的动点．    (1)求证：平面平面BDF； (2)若正方体的棱长为2，求点A到平面BEF距离的最大值． 二、夹角、距离的探索性问题 方法点拨：建立适当的空间直角坐标系,将相关点、相关向量用坐标表示 假设所成的点或参数存在,并用相关参数表示相关点的坐标,根据线、面满足的位置关系、数量关系,构建方程(组)求解,若能求出参数的值且符合该限定的范围,则存在,否则不存在。 假设的方式有： ①若在直线上，则,使得 ②在射线上，则,使得 ③在线段上，则,使得 ④在平面上，则,使得 ①线面角的探索性问题 22．如图，在五面体中，四边形为矩形，为等腰直角三角形，且.面面. (1)求证：： (2)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由. 23．如图，在四棱锥中，平面平面，，且，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 24．在如图所示的多面体中，四边形为菱形，且为锐角．在梯形中，，，，平面平面． (1)证明：平面; (2)若，，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，则求出，若不存在，说明理由. 25．如图（1），在中，，，，分别是，的中点，将和分别沿着，翻折，形成三棱锥，是中点，如图（2）.    (1)求证：平面； (2)若直线上存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，求的值. 26．如图，已知菱形中，，直角梯形中，，，，分别为中点，平面平面. (1)求证：平面； (2)异面直线与所成角的余弦值大小； (3)线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 27．如图，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的对角线交于点，为的中点，，. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为?若存在，求出的长；若不存在，说明理由. ②面面角的探索性问题 28．如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，，，是边长为2的等边三角形，，是线段的中点. (1)求证：平面平面； (2)若，是否存在，使得平面和平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 29．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面为线段的中点，为线段（不含端点）上的动点. (1)证明：平面平面； (2)是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 30．在三棱柱中，已知，，，，是的中点． (1)求证：； (2)在棱上是否存在点，使得二面角的正弦值为？若存在，求线段的长度；若不存在，请说明理由． 31．如图1，在直角梯形中，，为的中点，将沿折起，使得点到达点的位置，且平面平面，如图2，为的中点，是上的动点（与点不重合），是上的动点（与点不重合）． (1)证明：平面； (2)若点在平面内，当最小时，求； (3)是否存在点，使得平面与平面的夹角余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由． 32．如图所示，内接于圆，为圆的直径，，，，且平面，为的中点． (1)求证：平面平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的夹角的余弦值为，若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 33．已知在三棱锥中，，为以AC为斜边的等腰直角三角形． (1)证明：平面平面； (2)设，存在该几何体外的一点D，使得为等边三角形，平面BCD与平面ABC所成的锐二面角的正切值为，求AD的长． ③点面距离的探索性问题 34．（多选）如图，在四棱锥中，平面平面，，，若 ，，为棱的中点在，则下列说法正确的有（    ） A．平面 B．二面角的余弦值为 C．二面角的正弦值为 D．若在线段上存在点，使得点到平面的距离是，则 的值为 35．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)若，. （ⅰ）求平面与平面夹角的余弦值； （ⅱ）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 36．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，，为棱的中点.    (1)求直线与平面所成线面角的大小（结果用反三角函数表示）； (2)求二面角的余弦值； (3)探究在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 37．如图，在四棱锥中，平面.为的中点，点在上，且.    (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)问：棱上是否存在一点，使点到平面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 38．如图，平面平面，为正方形，，且，、、分别是线段、、的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成的角的余弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 39．如图，三棱柱的所有棱长都是平面分别是的中点. (1)求证：平面平面； (2)在线段（含端点）上是否存在点，使点到平面的距离为？请说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 拓展1-1夹角、距离的最值范围及探索性问题 一、夹角、距离的最值范围 二、夹角、距离的探索性问题 ①线面角的最值范围问题 ①线面角的探索性问题 ②面面角的最值范围问题 ②面面角的探索性问题 ③点面距离的最值范围问题 ③点面距离的探索性问题 一、夹角、距离的最值范围 方法点拨：函数法：大多数情况下,把这类动态问题转化为目标函数最终利用代数方法求目标函数的最值 变量分析法：从而转化成求某些线段或角等一些量的求解最值问题的方法 ①线面角的最值范围问题 1．正四面体中，，点是棱上的动点，设直线与平面所成角为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取中点，连接， 设的棱长为2， 在底面内的投影为的中心，， 以为坐标原点，正方向为轴，作的平行线作为轴， 可建立如图所示空间直角坐标系，    则， ， 因为平面的一个法向量， 设， ， 即， ， ； 当时，； 当时，， 设，则， 当时，， ， ； 综上所述：的最小值为． 故选：B． 2．如图，已知点是圆台的上底面圆上的动点，在下底面圆上，，，，，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为 . 【答案】 【详解】解：连接，过点作垂直于的延长线于点，以为坐标原点，建立空间直角坐标系如下所示： 在三角形中，因为， 故， 则， 则， ， 故点，又，，， 设点，，由，可得， ，， 设平面的法向量， 则，即， 取，则， 故平面的法向量， 又， 设直线与平面所成角为，， 则， 因为，且， 故令，，， 则，，， 又，所以， ，即， 所以的最大值为. 故答案为：. 3．如图，在圆柱中有一内接正六棱柱，圆柱的高为，底面半径为，上、下底面的中心分别为，点在上底面的圆周上运动，若直线与平面所成角的正弦值的最小值为，则 ． 【答案】 【详解】 取的中点，以为坐标原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，，设， 则，. 设平面的法向量为，则 ，， 可取，因为， 所以直线与平面所成角的正弦值为 ， 当时，直线与平面所成角的正弦值取得最小值， 则，则. 故答案为： 4．如图所示的几何体是由等高的直三棱柱和半个圆柱组合而成，为半个圆柱上底面的直径，，，点，分别为，的中点，点为的中点． (1)证明：平面平面； (2)若是线段上一个动点，当时，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接，由点为的中点，为半个圆柱上底面的直径知， 由，，知，， 则，又四点共面，所以， 由为直三棱柱的侧面知，即，则， 由为的中点得， 所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，，则平面， 因为，分别为，的中点，所以， 又平面，，平面，，所以平面， 又平面，所以平面平面． （2）（法一）以为一组空间正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，， 设， 则， 由平面平面知直线与平面所成角即为直线与平面所成角， 设平面的法向量为， 由，取，得， 则平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为，则 ， 又，则时，的最大值为． 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为． （法二）在直三棱柱中，底面， 因为底面，所以， 由（1）知，，所以， 又平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面， 过作交于， 因为平面平面，所以平面， 又平面平面， 则直线与平面所成角即为直线与平面所成角， 因为∽，且正方形的边长为2， 所以，则， 又，要使值最大， 则最小，在中， 过作交于，由等面积可求出，此时． 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为． 5．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，点O为的中点.    (1)若点E为的中点，求证：； (2)设四棱锥的体积为，点M为底面四边形内一点（包括四边形边上的点），且直线与底面所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图，连接，，，，， 因为，O为的中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，所以. 因为E，O分别为，的中点，所以， 易证四边形为正方形，所以，则， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以.    （2）解：由（1）知平面，四边形为正方形，则，， 以O为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则.解得， 因为平面，所以直线与底面所成的角为，则， 所以，则. 所以点M的轨迹是以O为圆心，1为半径，在底面内的半圆弧， 则可设，. 由，，，得，，， 设平面PAC的法向量为， 则即，令，则，， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 显然地，当时，为所求最小值. 6．在四棱锥中，，，，，、分别为直线，上的动点. (1)若异面直线与所成的角为，判断与是否具有垂直关系并说明理由； (2)若，，求直线与平面所成角的最大值. 【答案】(1)答案见解析，理由见解析 (2) 【详解】（1）取的中点，连接，， 因为，，所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以（或其补角）为异面直线与所成的角， ①当时，在中，，， 由余弦定理可知， 所以，所以，所以， 又，，，平面， 所以平面，又平面，所以. ②当，假设，则由①有平面， 因为平面，所以，， 这与相矛盾，故此时与不垂直. 综上所述，当时，；当时，与不垂直. （2）由，点是中点，可得， 从而由可得， 又， 所以，即， 因为，由（1）有， 所以， 所以两两互相垂直， 故可以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 故，，，，. 因为，设平面的法向量为，则有 设，则，又，所以有 令，则，故平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为，则 ， 令，则 当时，； 当时，. （当且仅当，时取“＝”）.又，所以. 综上所述，直线与平面所成角的最大值为. 7．如图所示的几何体是由圆锥与圆柱组成的组合体，其中圆柱的轴截面是边长为2的正方形，圆锥的高，M为圆柱下底面圆周上异于A，B的点． (1)求证：∥平面； (2)若，求直线与平面所成角的正切值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连结，， 设圆锥的底面所在平面为，则，， 所以S，，O三点共线． 从而，所以点S，D，C，O共面． 又因为，， 所以四边形为平行四边形， 故， 因为M为圆柱下底面圆周上异于A，B的点， 所以平面，又平面， 所以平面． （2）如图，以为原点，分别以，的方向为轴、轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，设， 则，即，且， 则，，， 设平面的法向量， 则，即，整理得， 令，则． 因为，所以，从而， 所以． 设直线与平面所成角为， 则， 故． 因为，所以， 从而，解得， 所以直线与平面所成角的正切值的取值范围为． ②面面角的最值范围问题 8．（多选）在长方体中，，，E，F分别为，的中点，P是线段（不含端点）上的任意一点，下述说法正确的是（    ） A．存在点P，使直线与平面所成角取得最大值 B．存在点P，使直线与平面所成角取得最大值 C．存在点P，使平面与平面的夹角取得最大值 D．存在点P，使平面与平面的夹角取得最大值 【答案】ACD 【详解】以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 设，， 则，，，， ，， 取平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，，取， 设平面的法向量为， 则，取， 设平面的法向量为， 则，取， 对于A：设直线与平面所成角为， 则， 时，函数单调递增， 时，函数单调递减， ∴当时，即P是中点的时候，取最大值，故A正确. 对于B：设直线与平面所成角为， 则， ∵时，函数单调递减，没有最大值，故B错误. 对于C：设平面与平面的夹角为， 则 下面研究函数在上的单调性； 令，， ， ， ， 则 ， ∴， ， ，在递减，在递增，且， 又在时递增， 故由复合函数单调性判断原理可知， 在递减，在递增， 则在时取最小值，此时最大， 即平面与平面的夹角取到了最大值，故C正确. 对于D：设平面与平面的夹角为， 则，即， 故平面与平面的夹角的最大值即为，故D正确. 故选：ACD. 9．（多选）如图所示，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，点为侧棱上的动点，为线段中点.则下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得平面 B．周长的最小值为 C．三棱锥的外接球的体积为 D．平面与平面的夹角正弦值的最小值为 【答案】ACD 【详解】A：由题意知，，又平面， 所以平面，由平面，得； 当为的中点时，又四边形为正方形，为的中点， 所以，由平面，所以平面，故A正确； B：将平面和平面沿铺成一个平面，如图，连接，交于， 此时三点共线，取得最小值，即的周长取得最小值， 又， 所以的周长的最小值为，故B错误； C：易知中，，取的中点，过作平面，如图 ， 则三棱锥的外接球的球心必在上，且， 所以球的半径为，其体积为，故C正确； D：易知两两垂直，建立如图空间直角坐标系， 则，设， 所以， 易知为平面的一个法向量，设平面的一个法向量为， 则，令，得，所以， 所以， 当且仅当时等号成立，设平面与平面所成角为， 则，所以，故D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 10．如图，在三棱锥中，，，，平面平面，则三棱锥的体积的最大值为 ；二面角的正弦值的最小值为 . 【答案】 / 【详解】 第一空：取的中点，连接， 因为，所以； 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为，，，所以，， 所以三棱锥的体积为 因为，所以，， 当且仅当，即时，等号成立， 故三棱锥的体积的最大值为. 第二空：解法一： 由平面，又平面，所以，过作于， 连接，因为平面，，所以平面， 又平面，所以，所以为二面角的平面角， 在中，， 因为在以为圆心，为半径的圆上，所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为2， 此时取得最小值，故二面角的正弦值的最小值为. 解法二： 由（1）可知平面， 以为坐标原点，向量，分别为轴，轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设，则， 设平面的法向量为，则， 取，则，又取平面的法向量为， 设二面角的大小为，，所以， 因为，所以在以为圆心，为半径的圆上，所以， 令，则，整理可得， 所以，解得， 所以当，即，时，取得最大值， 此时取得最小值，故二面角的正弦值的最小值为. 故答案为：；. 11．如图，在四棱锥中，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1） 如图，连接，两线交于点，因则，， 在中，设，由余弦定理，，解得，则, 由题意知：共线且，取线段的三等分点（靠近点）， 连接，则点是的中点，因为的中点，故有, 又平面，平面，故得，平面① 因且，易知为菱形，故得， 又平面，平面，故得，平面② 由① ，② ，因平面，故平面平面， 因平面，则平面. （2） 如图，分别以，过点竖直向上的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系. 设与轴成角，因，则且, 又，故即二面角的平面角，则， 于是，又. 则， 设平面的一个法向量为，则，可取； 又, 设平面的一个法向量为，则，可取. 设平面与平面的夹角为，则， 设，因，则，， 设，则，， 记，因函数在上单调递增，故， 则，故， 即平面与平面的夹角的余弦值的取值范围为. 【点睛】思路点睛：当在平面内难找到与已知直线平行的直线时，常构造面面平行得线面平行；对于两平面所成的二面角的平面角难得到时，常考虑建系，有时还需设变量，将问题转化成求变量的函数的值域来解决. 12．如图，已知直三棱柱中，且分别为的中点，为线段上一动点. (1)求与平面所成角的正切值； (2)求点到平面的距离； (3)求锐二面角的余弦值的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由直三棱柱中，可知平面， 所以点在平面的投影为， 所以为与平面所成角， 所以, 所以与平面所成角的正切值为· （2）以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，如图， 则, 因为,所以平面与平面是同一个平面， ,, 设平面的一个法向量为， 则有，令，则，所以， 所以点到平面的距离. （3）设 设平面的一个法向量为， 则，令，则所以 设二面角的平面角为，结合图形可知为锐角， 故， 令，， 而函数在时单调递增， 所以当时，有最小值， 即当，时，有最大值，最大值为. 13．如图，直三棱柱的底面边长和侧棱长都为2，点在棱上运动（不包括端点）．    (1)若为的中点，证明：． (2)设平面与平面的夹角为，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：分别取，的中点，，连接 由直三棱柱的底面边长和侧棱长都为2，可知， 且平面平面，故; 以为坐标原点，以所在直线为周，建立空间直角坐标系如图所示，    因为直三棱柱的底边长和侧棱长都为2，为的中点， 所以，，，，， 故，，则， 所以，即． （2）设，则点，所以，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则，， 故， 又平面的一个法向量为， 所以， 因为，则，所以， 故的取值范围为． 14．如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，平面平面，平面平面. (1)证明：平面； (2)若，是的中点，在线段上，求平面与平面夹角的余弦值的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）四边形是正方形，， 平面平面，平面平面，平面， 平面， 又平面,， 同理， 又，平面，平面， 平面. （2）由(1)知，，， ，，两两垂直， 如图，以为原点, 、、所在直线分别、、轴，建立空间直角坐标系， 设， 则、、、、， 平面， 平面的一个法向量为， 设， 有，， 则， 设平面的法向量为， 则，取，则，， 故平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 设，则， ①当时,， ②当时， ， 当时， ，故， 综上, ， 即平面与平面夹角的余弦值的取值范围为. 15．如图，在四棱锥中，平面，，，.，分别为棱，上的动点（与端点不重合），且.    (1)求证：平面； (2)若，设平面与平面所成的角为，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）解法一：因为，，， 所以，，即 又平面，所以 因为，平面， 所以平面； 解法二：同解法一. （2）解法一：设，如图所示，建立空间直角坐标系.    令，，设， 则有， 即，解得 同理可得 设平面的法向量为， 由 令，则，. 得平面的一个法向量为 又由（1）可知是平面的一个法向量，则有 当且仅当，即时取“” 又，所以的最大值 解法二：不妨设，由，，两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，    则根据题意可得： ，， 设平面的一个法向量为， 取，， 于是， 当且仅当，即时取“=” 又，所以的最大值. ③点面距离的最值范围问题 16．在如图所示的直四棱柱中，底面是正方形，是的中点，点N是棱上的一个动点，则点到平面的距离的最小值为（    ）    A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知，该几何体为长方体，建立空间直角坐标系如下图所示， 则，设．    设平面的一个法向量为，则， 设，则，则， 所以点到平面的距离为， 又，所以当时， 点到平面的距离取得最小值为． 故选：D． 17．如图，在棱长为1 的正方体中，是棱 (不包含端点)上一动点，则三棱锥 的体积的取值范围为 .    【答案】 【详解】由题知以点为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，    则，，，，，， ，，， 设，，得，则， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 所以点到平面的距离， 又因为，所以， 由题知， 所以为等边三角形，其面积， 所以三棱锥的体积， 故答案为：. 18．直四棱柱的所有棱长都为，，点在四边形及其内部运动，且满足，则点到平面的距离的最小值为 ．    【答案】/ 【详解】   取交点于点， 因为直四棱柱的所有棱长都为， 所以， 以所在直线为轴，过点竖直向上所直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 所以，，，， ，， 设平面的法向量为， 则有，令，则，，所以， 因为点在四边形及其内部运动，所以设，， 又因为，所以， 即，则， 设点到平面的距离为，则有， 又因为，所以时，， 即点到平面的距离的最小值为 . 故答案为：. 19．如图，若正方体的棱长为，点是正方体的底面上的一个动点（含边界），是棱的中点，则三棱锥体积的最大值为 .    【答案】/ 【详解】    以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 如图所示：易知，则， 设平面的一个法向量为，可得， 令，可得，即； 可设，则， 所以到平面的距离为，易知当时，距离最大值为； 又在中，易知，， 所以边上的高， 所以，为定值； 所以到平面的距离最大时，三棱锥体积的最大为：. 故答案为： 20．如图所示，正方体的棱长为3，动点在底面正方形内，且与两个定点，的距离之比为． (1)求动点的轨迹方程，并说明轨迹的形状； (2)求动点到平面的距离的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系，如图，    设， 由，得 化简得， 即， 故曲线C是以为圆心，2为半径的圆在正方形内一段圆弧． （2）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系，如图，    则， 所以， 设平面的法向量， 则，令，则，，故， 由（1）可设，其中, 则， 设到平面的距离为， 则， 由（1）可令，其中， 则， 因为，所以， 即，所以， 故. 【点睛】关键点点睛：第二问中求圆弧上动点到平面距离范围时，首先利用向量法表示出动点到面的距离是解题的第一个关键点，再根据圆的性质进行三角代换求距离的取值范围是第二个关键点，本题难度较大，属于难题. 21．如图，在正方体中，E为的中点，F为棱上异于D点的动点．    (1)求证：平面平面BDF； (2)若正方体的棱长为2，求点A到平面BEF距离的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）正方体中，平面，平面，， 正方形中，， 平面，，平面， 平面，平面平面. （2）以为原点，分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，    则有，，，设， 有，，， 设平面的一个法向量为，则有， 不妨取，则，得， 点到平面的距离， 当时，即点与点重合时，等号成立. 所以点到平面的最大距离为. 二、夹角、距离的探索性问题 方法点拨：建立适当的空间直角坐标系,将相关点、相关向量用坐标表示 假设所成的点或参数存在,并用相关参数表示相关点的坐标,根据线、面满足的位置关系、数量关系,构建方程(组)求解,若能求出参数的值且符合该限定的范围,则存在,否则不存在。 假设的方式有： ①若在直线上，则,使得 ②在射线上，则,使得 ③在线段上，则,使得 ④在平面上，则,使得 ①线面角的探索性问题 22．如图，在五面体中，四边形为矩形，为等腰直角三角形，且.面面. (1)求证：： (2)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)或. 【详解】（1）由矩形，得，而平面平面，平面平面， 平面，则平面，又面，于是， 而，，平面， 因此平面，又平面， 所以. （2）取的中点，作，连接，由（1）知，平面， 而平面，则，又，，则，即两两垂直， 以为原点，直线分别为建立空间直角坐标系， 假定在线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，设， 则， ， 设平面的法向量，则，令，得， 于是，整理得，解得或， 所以在线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，此时或. 23．如图，在四棱锥中，平面平面，，且，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，. 【详解】（1）在四棱锥中，平面平面，平面平面， 又，平面，则平面， 取的中点，连接，由，，得， 则，而，于是， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ，，， 设平面的一个法向量为，则，令，得， 显然，则，又平面， 所以平面. （2）设平面的一个法向量为，而，， 则，令，得， 则， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值. （3）假设线段上存在一点满足条件，令，， 则，即， 由（1）知平面的一个法向量， 于是， 整理得：，即，而，解得， 所以在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，且. 【点睛】关键点点睛：用向量法求直线与平面所成的角，求出平面的法向量是关键，并注意公式求出的是线面角的正弦． 24．在如图所示的多面体中，四边形为菱形，且为锐角．在梯形中，，，，平面平面． (1)证明：平面; (2)若，，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，则求出，若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在； 【详解】（1）因为平面平面，，平面， 平面平面， 所以平面， 又因为平面,所以， 因为四边形为菱形，所以， 又，平面，所以平面， （2） 设，取中点,连接, 易得,因为平面，所以平面, 因为， 所以． 因为为锐角，所以，所以为等边三角形， 所以，． 以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，， 设平面CEF的一个法向量，则， 即， 取，可得，，故， 假设存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为， ， 设，由,得， 即，则． 设直线与平面所成的角为， 则， 解得，即或，又因为，所以， 故存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为. 25．如图（1），在中，，，，分别是，的中点，将和分别沿着，翻折，形成三棱锥，是中点，如图（2）.    (1)求证：平面； (2)若直线上存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）因为点分别是边的中点，所以， 因为，即，所以， 所以，，即， 因为，平面， 所以平面，又平面，所以， 由题意，，，则， 又是的中点，所以， 因为，平面， 所以平面； （2）   以为原点，分别为轴，作，建立如图所示的空间直角坐标系， 由，， 则，，，， ，, 设平面的法向量为， 则，令，则， 设，则， 因为与平面所成角的正弦值为， 所以，解得：， 则，故. 26．如图，已知菱形中，，直角梯形中，，，，分别为中点，平面平面. (1)求证：平面； (2)异面直线与所成角的余弦值大小； (3)线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【详解】（1）证明：连接AC，因为在菱形中，，所以为等边三角形， 因为为中点，所以 因为平面平面，平面平面，平面，所以平面. （2）设H为EF的中点，连接OH，则； 因为平面平面，平面平面， 直角梯形中，，故,平面， 故平面，又平面， 所以，以点为坐标原点，以所在直线为轴，如图建立空间直角坐标系， 因为， 所以，，，，，，， 所以，， 所以， 而异面直线所成角的范围为大于小于等于， 故异面直线与所成角的余弦值为； （3）假设线段上存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为， 设， 则， 由（1）知平面的法向量为， 设直线与平面所成角为， 则，解得， 所以线段上存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为， 此时. 27．如图，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的对角线交于点，为的中点，，. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为?若存在，求出的长；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）连接，因为四边形为矩形，所以为的中点， 在中，分别为，的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面. （2）因为平面，，平面，所以，， 又，所以， 以，，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系    则，，，，，，， 则，， 设平面的一个法向量为，则， 令，得，，所以平面的一个法向量为， 易知平面（即平面）的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为. （3）由（2）得，， 假设存在点，设， 则， 由（2）知，平面的一个法向量为， 因为与平面所成角的大小为， 所以， 所以，即，所以，则， 故存在满足题意的点，此时. ②面面角的探索性问题 28．如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，，，是边长为2的等边三角形，，是线段的中点. (1)求证：平面平面； (2)若，是否存在，使得平面和平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）证明：在中，由余弦定理知，， 所以，即， 因为，且，、平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面． （2）以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，作平面，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，0，，，0，，，，，，，，，0，，，，， 所以，0，，，，，，，， ，0，，，，， 所以，0，，，，，， 设平面的法向量为，，，则， 即， 取，则，，所以，，， 设平面的法向量为，，，则，即， 取，则，，所以，，， 因为平面和平面夹角的余弦值为， 所以， 整理得，，即， 解得或， 因为，所以， 故存在，使得平面和平面夹角的余弦值为，此时． 29．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面为线段的中点，为线段（不含端点）上的动点. (1)证明：平面平面； (2)是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）因为底面为正方形，则， 又因为平面，平面，。 且，平面， 可得平面，由平面，可得， 因为，且E为的中点，则， 由，平面，可得平面， 且平面，所以平面平面. （2）以分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系， 则，， 设， 则， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 又因为， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 由题意得：，即， 整理得即，解得或（舍去）， 所以存在，此时. 30．在三棱柱中，已知，，，，是的中点． (1)求证：； (2)在棱上是否存在点，使得二面角的正弦值为？若存在，求线段的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，长度为 【详解】（1）因为，， 所以根据余弦定理可得，代入数值解得， 所以，可得， 又因为，是的中点， 所以，， 所以在△ 中，，，解得， 所以，可得， 因为，， 所以， 又，，平面，平面， 所以平面， 而平面， 所以， 又，，平面，平面， 所以平面， 而平面， 所以，得证； （2）由（1）得平面，， 以为原点，为轴，垂直于所在的直线为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 所以，，，， 根据三棱柱的性质可知， 假设存在符合题意的点，设， 所以，， 设平面的法向量为，，， 由，得到， 取，所以， 所以平面 的法向量为， 而且平面的法向量为， 因为二面角的正弦值为， 所以二面角的余弦值为， 所以，解得， 又因为，， 所以，此时， 所以， 综上，在棱 上存在点，使得二面角的正弦值为，的长度为． 31．如图1，在直角梯形中，，为的中点，将沿折起，使得点到达点的位置，且平面平面，如图2，为的中点，是上的动点（与点不重合），是上的动点（与点不重合）． (1)证明：平面； (2)若点在平面内，当最小时，求； (3)是否存在点，使得平面与平面的夹角余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，为线段上靠近点的四等分点. 【详解】（1）证明：平面， 平面，因为平面， ， 是中点，， 平面，面． （2）延长至点，使得，由（1）可知，平面，又平面， 平面平面， ， 当，且时，最小， ， （3）假设存在点满足题意，平面平面， 平面平面，平面，平面， 如图所示建系， ，设， 设平面法向量为， ，即， ， 又平面的法向量为， ，满足． 即此时为线段上靠近点的四等分点． 32．如图所示，内接于圆，为圆的直径，，，，且平面，为的中点． (1)求证：平面平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的夹角的余弦值为，若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点且 【详解】（1）解：由题意知：是圆的直径，则， 因为平面，平面，平面， 所以，． 以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，． 设是平面的法向量， 则 令．则，故． ，， 设是平面的法向量， 则， 令，，，故． ，则平面平面． （2）存在点，且， 使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为， 理由如下： 设，， 故，． 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，， 所以． 由（1）知是平面的法向量， ． 整理得，解得或（舍去）． 33．已知在三棱锥中，，为以AC为斜边的等腰直角三角形． (1)证明：平面平面； (2)设，存在该几何体外的一点D，使得为等边三角形，平面BCD与平面ABC所成的锐二面角的正切值为，求AD的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)或. 【详解】（1）取AC的中点O，连接OB，OP， ∵为等边三角形，O为AC的中点，∴． 设，∴，， 在中，则，即． 又，平面，∴平面ABC． ∵平面PAC，∴平面平面ABC． （2）∵为等边三角形，取BC的中点E，则， ∵，∴，∴， 则，，则D的轨迹是以E为圆心，半径为的圆上，且圆所在平面与BC垂直， 建立以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，垂直于平面ABC的直线为z轴的坐标系如图： 则，设，则， 易知平面ABC的一个法向量为， 设平面BCD的法向量为，，， 则，即，得，， 设，则，即， 设平面BCD与平面ABC所成的锐二面角为，则， 因为，， 所以，解得，，即， 易知，点在线段OP上，不满足题意， 所以或， 所以，或. 【点睛】关键点点睛：第二问解题关键在于根据为等边三角形确定点D的横坐标，进而确定点D的轨迹，然后根据平面与平面的夹角的向量公式列方程求出点D坐标即可得解. ③点面距离的探索性问题 34．（多选）如图，在四棱锥中，平面平面，，，若 ，，为棱的中点在，则下列说法正确的有（    ） A．平面 B．二面角的余弦值为 C．二面角的正弦值为 D．若在线段上存在点，使得点到平面的距离是，则 的值为 【答案】ABD 【详解】对选项A，取中点，连接， 因为是中点，所以，且， 又，，所以，且，所以为平行四边形， 所以，又面，面，所以平面，故选项A正确， 因为，，得到，又， 所以，得到， 又平面平面，平面平面，平面， 所以面，又，所以可建立如图所示的空间直角坐标系， 因为 ，， 则，所以， 易知平面即为平面，所以平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 由，得到，取，得到，所以， 则， 由图易知，二面角为钝角，所以二面角的余弦值为，故选项B正确， 对于选项C，因二面角的正弦值为，所以选项C错误， 对于选项D，设，又，得到， 所以，得到， 设到平面距离为，则，解得，所以选项D正确， 故选：ABD. 35．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)若，. （ⅰ）求平面与平面夹角的余弦值； （ⅱ）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）存在， 【详解】（1）取PD的中点N，连接AN，MN，如图所示：∵M为棱PC的中点， ∴，∵，∴， ∴四边形ABMN是平行四边形，∴， 又平面PAD，平面PAD，∴平面PAD． （2）∵，∴，∴， ∵平面平面ABCD，平面平面，平面PDC， ∴平面ABCD， 又AD，平面ABCD，∴，而，， ∴以点D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图：则， ∵M为棱PC的中点， ∴ （i）， 设平面BDM的一个法向量为， 则，令，则，∴， 平面PDM的一个法向量为， ∴， 所以平面面夹角的余弦值为. （ii）假设在线段PA上存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是， 设， 则， 由（2）知平面BDM的一个法向量为，， ∴点Q到平面BDM的距离是， ∴，∴． 36．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，，为棱的中点.    (1)求直线与平面所成线面角的大小（结果用反三角函数表示）； (2)求二面角的余弦值； (3)探究在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在点，使得点到平面的距离是， 【详解】（1）由于，则，，，所以，故， 由于平面平面，且其交线为，，平面, 所以平面，故为直线与平面所成线面角， 由于故, 故直线与平面所成线面角为， （2），，， ，， 平面平面，平面平面， 平面， 平面， 又，平面，，，由， 以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图：    则,0,,,0,,,0,,,2,，为棱的中点， ,1,,, 1,， ,1,,,1,, 设平面的一个法向量为,,， 则，令，则，， ,,， 平面的一个法向量为,0,， ,， 二面角的余弦值为； （3）假设在线段上是存在点，使得点到平面的距离是， 设，，则,0,,,,， 由（2）知平面的一个法向量为,,， ， 点到平面的距离是， 或，由于，所以，． 37．如图，在四棱锥中，平面.为的中点，点在上，且.    (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)问：棱上是否存在一点，使点到平面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）如图，在平面内，过点作， 因为平面，平面， 所以， 所以， 又因为， 所以分别以，，为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，因为，所以， 所以，即， 所以，， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以， 平面的法向量为，则， 令，则，所以， 所以，所以， 所以平面平面. （2）易知平面的一个法向量， 设平面与平面所成角为，则， 所以平面与平面所成角的余弦值为. （3）棱上存在一点，使点到平面的距离为， 设， 因为 ，，所以， 所以， 又因为平面的一个法向量， 所以点到平面的距离为，得到， 所以 38．如图，平面平面，为正方形，，且，、、分别是线段、、的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成的角的余弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，. 【详解】（1）取中点，连接，， 、、分别是线段、、的中点， ， ，，，四点共面． 又为中点， ． 又平面，平面， 平面． （2）因为平面平面， ， 即，又平面平面，平面，所以平面，又平面，所以， 又为正方形，即， 如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，， 所以， 即异面直线与所成的角的余弦值为. （3）假设在线段上存在一点满足题设条件，令， 则， 点的坐标为，，， 设平面的法向量， 则，取， 又， 所以点到平面的距离， 即，解得或（舍去）， 故存在点，当时，点到平面的距离为. 39．如图，三棱柱的所有棱长都是平面分别是的中点. (1)求证：平面平面； (2)在线段（含端点）上是否存在点，使点到平面的距离为？请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，理由见解析. 【详解】（1）如图，取的中点，连接，则， 又平面，所以平面， 所以两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，. 所以， . 设分别为平面和平面的法向量， 由，得 令，则， 是平面的一个法向量. 由，得 令，则， 是平面的一个法向量， ， 平面平面. （2）假设在线段（含端点）上存在点，使点到平面的距离为， 设，则. 由，解得：（舍去）或， 故在线段上存在点（含端点）， 使点到平面的距离为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$