精品解析：福建省泉州市泉州科技中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题

泉州科技中学2023-2024学年 第二学期第一次阶段限时训练高二年数学 一、单选题：本题共8题，每小题5分，共40分. 1. 下列求导数的运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 设函数在处存在导数为2，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 6 3. 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 4. 已知x，，则“”是“”的（ ） A. 充分条件但不是必要条件 B. 必要条件但不是充分条件 C. 充要条件 D. 既不是充分条件也不是必要条件 5. 已知函数在点处的切线与直线垂直，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 6. 已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ） A. B. C. e D. 7. 展开式中项的系数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，满足对，恒成立，则实数a的取值不可以是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分.全选对得6分，选错0分，部分选对得部分分. 9. 若直线是曲线与曲线的公切线，则（ ） A. B. C. D. 10. 现分配甲、乙、丙三名临床医学检验专家到四家医院进行核酸检测指导，每名专家只能选择一家医院，且允许多人选择同一家医院，则（ ） A. 所有可能的安排方法有64种 B. 若三名专家选择两所医院，每所医院至少去一人，则不同的安排方法有6种 C. 若三名专家选择三所医院，每所医院去一人，则不同的安排方法有24种 D. 若三名专家选择三所医院，每所医院去一人，但是甲不去A医院，则不同的安排方法有18种 11. 已知函数，下列说法正确的是（　　） A. 的单调递减区间是 B. 在点处的切线方程是 C. 若方程只有一个解，则 D. 设，若对，使得成立，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为__________（用数字作答） 13. 知函数在上存在递增区间，则实数的取值范围为________． 14. 将1，2，3，…，9这9个数填入如图所示的格子中（要求每个数都要填入，每个格子中只能填一个数），记第1行中最大的数为，第2行中最大的数为，第3行中最大的数为，则的填法共有_______种. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明，证明过程或者演算步骤. 15. 已知函数，且当时，取得极值 （1）求的解析式； （2）求在上的最值. 16. 中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程． （1）若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的所有排法种数； （2）现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数； （3）计划安排A、B、C、D、E五名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，教师A不任教“围棋”课程，教师B只能任教一门课程，求所有课程安排的种数． 17. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线； （2）讨论的单调性； 18. 从①第4项的系数与第2项的系数之比是；②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36；这两个条件中任选一个，再解决补充完整的题目． 已知（），且的二项展开式中，____． （1）求的值； （2）①求二项展开式的中间项； ②求的值． 19. 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程为，其中为参数．当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数．它们与正、余弦函数有许多类似的性质． （1）类比正、余弦函数导数之间的关系，，，请写出，具有的类似的性质（不需要证明）； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州科技中学2023-2024学年 第二学期第一次阶段限时训练高二年数学 一、单选题：本题共8题，每小题5分，共40分. 1. 下列求导数的运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由基本函数的导数和复合函数的导数运算可得. 【详解】A：，故A错误； B：，故B错误； C：，故C错误； D：，故D正确； 故选：D. 2. 设函数在处存在导数为2，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由导数的概念求解. 【详解】由已知有， 则. 故选：B 3. 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 【答案】B 【解析】 【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解 【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式， 故选：B 4. 已知x，，则“”是“”的（ ） A. 充分条件但不是必要条件 B. 必要条件但不是充分条件 C. 充要条件 D. 既不是充分条件也不是必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】设，利用导数研究函数的性质可知在上单调递增， 结合函数的单调性解不等式以及充分、必要条件的定义即可求解. 【详解】设，则， 令，所以函数在上单调递增. 当时，则，即，充分性成立； 当时，有，得， 所以不一定成立，即必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5. 已知函数在点处的切线与直线垂直，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的几何意义结合基本不等式求解即可. 【详解】， 因为函数在点处的切线与直线垂直， 所以，即，则不可能同时为负数， 当或时，， 当时，， 当时，， 当且仅当时，取等号， 综上所述，的最大值为. 故选：A. 6. 已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ） A. B. C. e D. 【答案】A 【解析】 【分析】在上恒成立，即，构造函数，，求导得到其单调性，得到，得到，求出答案. 【详解】由题意得在上恒成立， ，故， 即， 令，， 则在上恒成立， 故在上单调递减， 故， 故，故a的最小值为. 故选：A 7. 展开式中项的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】写出展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项后即可得解. 【详解】的展开式通项为， 因为， 在中，令，可得项的系数为； 在中，令，得，可得项的系数为. 所以，展开式中项的系数为. 故选：A. 8. 已知函数，满足对，恒成立，则实数a的取值不可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分，，三种情形讨论，结合基本不等式及导数求解即可. 【详解】当时，恒成立，即恒成立，∵， 当且仅当，即时取等号，所以． 当时，恒成立. 当时，恒成立，即恒成立． 设，则， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴，∴，∴的取值范围是． 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分.全选对得6分，选错0分，部分选对得部分分. 9. 若直线是曲线与曲线的公切线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】借助导数的几何意义计算即可得. 【详解】令，则， 令，有，则， 即有，即，故， 令，则， 令，有，则， 即有，即， 故有，即. 故选：BD. 10. 现分配甲、乙、丙三名临床医学检验专家到四家医院进行核酸检测指导，每名专家只能选择一家医院，且允许多人选择同一家医院，则（ ） A. 所有可能的安排方法有64种 B. 若三名专家选择两所医院，每所医院至少去一人，则不同的安排方法有6种 C. 若三名专家选择三所医院，每所医院去一人，则不同的安排方法有24种 D. 若三名专家选择三所医院，每所医院去一人，但是甲不去A医院，则不同的安排方法有18种 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，根据分步计数原理计算出答案；B选项，先从4所医院选择2所，再安排三名专家，利用分步计数原理计算出答案；C选项，先从4所医院选择3所，再进行全排列得到C正确；D选项，再C选项的基础上，计算出每所医院去一人，甲去A医院的安排方法，从而计算出答案. 【详解】A选项，甲、乙、丙三人均有4种选择，故所有可能的安排方法有种，A正确； B选项，先从4所医院选择2所，有种选择， 再将三名专家分到两所医院，有种选择， 则不同的安排方法有种，B错误； C选项，先从4所医院选择3所，有种选择， 再将三名专家和三所医院进行全排列，有种选择， 则不同的安排方法有种，C正确； D选项，由C选项可知，三名专家选择三所医院，每所医院去一人，共24种选择， 若甲去A医院，从所医院中选两所，和剩余两名专家进行全排列，共有种选择， 故不同的安排方法有种，D正确. 故选：ACD 11. 已知函数，下列说法正确的是（　　） A. 的单调递减区间是 B. 在点处的切线方程是 C. 若方程只有一个解，则 D. 设，若对，使得成立，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对函数求导，分析其单调性得到其图象，可判断ABC，对应选项D，设函数的值域为，的值域为G，由求解判断. 【详解】函数，，， 令，得或；令，得； 可得函数在和上单调递减，在单调递增，其大致图象如图： 对于，由上述分析可得A错误； ，由，，得， 所以切线为，故B正确； 对于C，由方程只有一解，由图象可知，或，故C错误； 对于D，设函数的值域为，函数的值域为， 对于， ，， 对于，，， 若，，使得成立， 则，故D正确， 故选：BD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为__________（用数字作答） 【答案】80 【解析】 【分析】中有2个括号提供，还有3个括号都是，求出系数即可. 【详解】可看作5个相乘，有2个括号提供，还有3个括号都是， 则，系数为80. 故答案为：80 13. 知函数在上存在递增区间，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导数，然后导数在区间上有解即可. 【详解】由题意得的定义域为， 所以， 因为函数在区间上存在递增区间，即在区间上能成立， 即，设，开口向上，对称轴为， 所以当时，单调递增，所以， 所以，则，即. 故答案为：. 14. 将1，2，3，…，9这9个数填入如图所示的格子中（要求每个数都要填入，每个格子中只能填一个数），记第1行中最大的数为，第2行中最大的数为，第3行中最大的数为，则的填法共有_______种. 【答案】60480 【解析】 【分析】按第行、第行、第行的顺序进行填写，结合组合和排列的知识求得正确答案. 【详解】第3行，，可选的位置有3个，其余2个位置任取2个数，共有种情况. 第2行，取剩下6个数中最大的数为，可选的位置有3个， 其余2个位置任取2个数，共有种情况， 第1行，剩下3个数任意排列，则有种情况， 故共有种填法. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明，证明过程或者演算步骤. 15. 已知函数，且当时，取得极值 （1）求的解析式； （2）求在上的最值. 【答案】（1）； （2）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）根据，，列出方程组，求解即可； （2）根据（1）中所求解析式，利用导数判断函数单调性，结合极值和区间端点值，即可求得结果. 【小问1详解】 ，故可得， 由题可知：，， 即：，，解得； 经检验，当时，满足题意，故. 【小问2详解】 由（1）可知：，，又， 故当，，单调递增；当，，单调递减； 当，，单调递增； 故的极大值为，的极小值为，， 故在上的最大值为，最小值为. 16. 中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程． （1）若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的所有排法种数； （2）现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数； （3）计划安排A、B、C、D、E五名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，教师A不任教“围棋”课程，教师B只能任教一门课程，求所有课程安排的种数． 【答案】（1）480 （2）360 （3）1140 【解析】 【分析】（1）采用插空法，先拍其余四科，再插空； （2）特殊的先排，再用分步乘法； （3）按甲所教科目的数量分类，然后由分类加法计数原理求解. 【小问1详解】 第一步，先将另外四门课排好，有种情况； 第二步，将“京剧”和“剪纸”课程分别插入5个空隙中，有种情况； 所以“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的排法有种； 【小问2详解】 第一步，先将甲和乙的不同课程排好，有种情况； 第二步，将甲和乙的相同课程排好，有种情况； 第三步，因为丙和甲、乙的课程都不同，所以丙的排法种情况； 因此，所有选课种数为. 【小问3详解】 ①当A只任教1科时：先排A任教科目，有种；再从剩下5科中排B的任教科目，有种；接下来剩余4科中必有2科为同一名老师任教，分三组全排列，共有种；所以当A只任教1科时，共有种； ②当A任教2科时：先选A任教的2科有中，这样6科分为4组共有种， 所以，当A任教2科时，共有种， 综上，A不任教“围棋”的课程安排方案有1140种． 17. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线； （2）讨论的单调性； 【答案】（1） （2）当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增. 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义得到切线方程； （2）求导，对导函数因式分解，分，和三种情况，进行求解函数的单调性. 【小问1详解】 当时，函数，则，切点坐标为， ，则曲线在点处的切线斜率为， 所求切线方程为，即. 【小问2详解】 ，函数定义域为R， ， ①，解得或，解得， 所以在和上单调递增，在上单调递减， ②，解得或，解得， 所以在和上单调递增，在上单调递减， ③，恒成立，在上单调递增. 综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增. 18. 从①第4项的系数与第2项的系数之比是；②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36；这两个条件中任选一个，再解决补充完整的题目． 已知（），且的二项展开式中，____． （1）求的值； （2）①求二项展开式的中间项； ②求的值． 【答案】（1）条件选择①或选择②， （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）由题意，根据系数、二项式系数等知识，列出等式，解出的值． （2）由题意，利用通项公式求出二项展开式的中间项，再判断、、、、为正数，、、、为负数，再给赋值，从而求出的值． 【小问1详解】 若选择①第4项的系数与第2项的系数之比是， 则有， 化简可得，求得或（舍去）． 若选择②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36， 则有， 化简可得，求得或（舍去）． 【小问2详解】 由（1）可得， ①的二项展开式的中间项为． ②二项式展开式的通项公式为， 所以、、、、为正数，、、、为负数． 在中，令． 再令，可得， ∴． 19. 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程为，其中为参数．当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数．它们与正、余弦函数有许多类似的性质． （1）类比正、余弦函数导数之间的关系，，，请写出，具有的类似的性质（不需要证明）； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）求的最小值． 【答案】（1）, （2） （3）0 【解析】 【分析】（1）求导即可得结论; （2）构造函数,求导,并结合分类讨论确定函数的最小值即可求解; （3）多次求导最终判断函数单调在内单调递增,且函数为偶函数从而确定最小值. 【小问1详解】 求导易知,. 【小问2详解】 构造函数，，由（1）可知， ①当时，由, 可知，，故单调递增， 此时，故对任意，恒成立，满足题意； ②当时，令，， 则，可知单调递增， 由与可知， 存在唯一，使得， 故当时，， 则在内单调递减， 故对任意，，即，矛盾； 综上所述，实数的取值范围为． 【小问3详解】 ，， 令，则； 令，则， 当时，由（2）可知，， 则， 令，则，故在内单调递增， 则，故在内单调递增， 则，故在内单调递增， 则，故在内单调递增， 因为， 即为偶函数，故在内单调递减， 则，故当且仅当时，取得最小值0． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $