1.4 空间向量的应用（十一个重难点突破）-2024-2025学年高二第一学期数学重难点突破及易错点分析（人教A版）

1.4空间向量的应用 一、求平面的法向量 七、求点面距离和异面直线的距离 二、证明线线、线面、面面平行 八、求异面直线的夹角 三、已知线线、线面、面面平行求其他 九、求线面角 四、证明线线、线面、面面垂直 十、求面面角(二面角) 五、已知线线、线面、面面垂直求其他 十一、已知空间角求其他 六、求点到直线的距离 知识点1 空间中点、直线和平面的向量表示 1．空间直线的向量表示 设A是直线上一点,是直线l的方向向量,在直线l上取,设P是直线l上任意一点, （1）取定空间中的任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使. （2）取定空间中的任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使 2．空间平面的向量表示 （1）如图,设两条直线相交于点O,它们的方向向量分别为和,P为平面α内任意一点,由平面向量基本定理可知,存在唯一的有序实数对(x,y),使得 （2）如图,取定空间任意一点O,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式． 3.平面的法向量 （1）平面法向量的定义 如图,直线,取直线l的方向向量,我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量为法向量的平面完全确定,可以表示为集合 （2）平面法向量的求法 平面法向量的确定通常有两种方法: ①直接寻法:几何体中已经给出有向线段,只需证明线面垂直即可. ②待定系数法:当几何体中没有具体的直线可作为法向量时,根据已知平面内两条相交直线的方向向量,可以运用待定系数法求解平面的法向量(此时一般需要建立空间直角坐标系). 重难点一 求平面的法向量 【例1】（多选）请选出说法正确的选项（    ） A．平面的法向量，常取 B．平面的法向量，常取 C．平面的法向量，常取 D．如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直 【例2】已知向量、是平面内的两个不共线的向量，，，求平面的一个法向量的坐标． 【变式1-1】（多选）已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列点中不在平面内的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知是平面α的一个法向量，点，在平面α内，则 ． 【变式1-3】如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为，BD的中点，G在棱CD上，且，H为的中点．    (1)求. (2)求平面的一个法向量 知识点2 空间平行关系的向量表示 设分别是直线l1,l2的方向向量,分别是平面的法向量． 线线平行 使得 注：用向量方法证明线线平行时,必须说明两直线不重合 证明线线平行的两种思路： ①用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量,通过向量的线性运算,利用向量共线的充要条件证明; ②建立空间直角坐标系,通过坐标运算,利用向量平行的坐标表示． 线面平行 注：证明线面平行时,必须说明直线不在平面内； （1）证明线面平行的关键看直线的方向向量与平面的法向量垂直． （2）特别强调直线在平面外． 面面平行 使得 注:证明面面平行时,必须说明两个平面不重合 （1）利用空间向量证明面面平行,通常是证明两平面的法向量平行． （2）将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 重难点二 证明线线、线面、面面平行 【例3】如图所示，在正方体中，棱长为a，M，N分别为和AC上的点，，则MN与平面的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．垂直 D．MN在平面内 【例4】如图所示，在直角梯形中，，，，是的中点，分别为的中点，将沿折起，使得平面，试用向量方法证明平面. 【变式2-1】已知直线l和平面ABC，若直线l的方向向量为，向量，，则下列结论一定正确的为（    ） A．平面ABC B．l与平面ABC相交，但不垂直 C．直线BC D．平面ABC或平面ABC 【变式2-2】如图，在正方体中，M，N，E，F分别为棱的中点，连接． (1)证明：平面； (2)证明：E，F，N，M四点共面． 【变式2-3】如图，在四面体中，平面，，，．是的中点，是的中点，点在线段上，且．证明：平面；    重难点三 已知线线、线面、面面平行求其他 【例5】如图， 平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面，则（    ） A． B． C． D．1 【例6】已知长方体中，，，，点M，N分别在棱CD，上，且，． (1)若，求； (2)若平面，求． 【变式3-1】如图，在棱长为1的正方体中，，，若平面，则线段的长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图所示，正方体的棱长为2，E、F分别是棱BC、的中点，动点P在正方形（包括边界）内运动，若平面AEF，则线段长度的最小值是 ． 【变式3-3】如图，在多面体中，四边形是菱形，平面，，，． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得∥平面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由． 知识点3空间垂直关系的向量表示 设分别是直线l1,l2的方向向量,分别是平面的法向量． 线线垂直 (1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直,都可转化为两直线的方向向量相互垂直． (2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量相互垂直,坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0. 线面垂直 使得 （1）基向量法：选取基向量,用基向量表示直线所在的向量,证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论． （2）坐标法：建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标,证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论． （3）法向量法：建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标,然后说明直线方向向量与平面法向量共线,从而证得结论． 面面垂直 (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直 重难点四 证明线线、线面、面面垂直 【例7】如图，在正方体中，，则下列结论中正确的是（    ） A．平面 B．平面平面 C．平面 D．平面内存在与平行的直线 【例8】如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，底面，，，是的中点，作交于点，且．求证：平面；    【变式4-1】如图，下列正方体中，为底面的中点，为所在棱的中点，、为正方体的顶点，则满足的是（    ） A．③④ B．①② C．②④ D．②③ 【变式4-2】如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为的中点，为中点．求证：平面． 【变式4-3】如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，在平面内的射影为. 求证：平面. 重难点五 已知线线、线面、面面垂直求其他 【例9】正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面，线段长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例10】如图，在直三棱柱中，，垂足为，为线段上的一点. (1)若为线段的中点，证明：平面； (2)若平面平面，求的值. 【变式5-1】（多选）如图，在正方体中，，点，分别在棱和上运动（不含端点），若，则下列命题正确的是（     ）    A． B．平面 C．线段长度的最大值为1 D．三棱锥体积不变 【变式5-2】已知点，，，，过点P作平面OAB，H为垂足，则点H的坐标是 . 【变式5-3】如图，在棱长为的正方体中，点是正方体的中心，将四棱锥绕直线逆时针旋转后，得到四棱锥. (1)若，求证：平面平面； (2)是否存在，使得直线平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 知识点4空间距离及向量求法 1. 点到直线的距离 设为直线l的单位方向向量，是直线外一点， 设，向量在直线l上的投影向量为， 则 2. 点到平面的距离 设已知平面的法向量为，是直线外一点， 向量是向量在平面上的投影向量，则 重难点六 求点到直线的距离 【例11】已知，，则点B到直线AC的距离为（    ） A． B． C．2 D．3 【例12】如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，平面，为中点. (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)设点N在直线上，若的面积是，求的值. 【变式6-1】如图，正方体的棱长为是的中点，则点到直线的距离为 . 【变式6-2】如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，，，点是的中点，点为线段上靠近的三等分点，则点到直线的距离为 ．    【变式6-3】如图，在四棱锥中，，底面ABCD为菱形，边长为2，，，且，异面直线PB与CD所成的角为.    (1)求证:平面ABCD; (2)若E是线段OC的中点，求点E到直线BP的距离. 重难点七 求点面距离和异面直线的距离 【例13】四棱锥中，，，，则顶点到底面的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例14】正四棱锥中，底面边长和高都为的中点为，求与间的距离． 【变式7-1】四棱锥的顶点均在球的球面上，底面为矩形，平面平面，，，，则到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，正四棱锥的棱长均为2，点E为侧棱PD的中点．若点M，N分别为直线AB，CE上的动点，则MN的最小值为 ． 【变式7-3】如图1，在等腰直角三角形ABC中，，，D，E分别是AC，AB上的点，，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥，其中． (1)求证：； (2)求点B到平面的距离． 知识点5空间角及向量求法 1. 用向量运算求两条直线所成的角 设两异面直线所成的角为θ，两直线的方向向量分别为，则 注意：①范围为；②两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系． 2. 用向量运算求直线与平面所成的角 设直线l与平面所成的角为θ，l的方向向量为，平面α的法向量为，则 注意：①范围为；②直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角． 3. 用向量运算求平面与平面所成的角 平面与平面相交，形成四个二面角，把不大于的二面角称为这两个平面的夹角．设平面α与平面β的夹角为θ，两平面的法向量分别为，则 注意：①范围为；②两平面的夹角是两法向量的夹角或其补角． 重难点八 求异面直线的夹角 【例15】如图，平面平面，四边形为正方形，四边形为菱形，，则直线所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【例16】如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，P为上一点，，且． (1)求λ的值； (2)求异面直线PC与所成角的余弦值． 【变式8-1】《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．阳马中，若平面，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】如图所示，在正方体中，、分别为，的中点，为上一动点，记为异面直线与所成的角，则的值为 .    【变式8-3】四棱锥的底面是边长为2的菱形，，对角线与相交于点，底面，与底面所成的角为，是的中点. (1)证明：平面； (2)求与所成角的正弦值. 重难点九 求线面角 【例17】如图，在棱长均为2的正四棱锥中，为棱的中点，则下列判断正确的是（    ） A．平面，且到平面的距离为 B．与平面不平行，且与平面所成角大于30° C．与平面不平行，且与平面所成角小于30° D．与平面不平行，且与平面所成角等于30° 【例18】如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，，，，，E，F，G分别为线段AD，DC，PB的中点. (1)证明：平面平面； (2)求直线GC与平面PCD所成角的正弦值. 【变式9-1】如图所示的几何体是圆锥的一部分，其中是圆锥的高，是圆锥底面的一条直径，，，是的中点． (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【变式9-2】在正方体中，点在线段上运动，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为 . 【变式9-3】如图，在中，，，，可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角.动点在线段上. (1)当为的中点时，求异面直线与所成角的余弦值； (2)求与平面所成角的正弦值的最大值. 重难点十 求面面角（二面角） 【例19】一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC的中点为M，则二面角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【例20】如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，. (1)证明：平面平面； (2)若为的中点，求平面与平面的夹角的余弦值. 【变式10-1】如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形．平面，且，则平面与平面所成的角的大小为 ． 【变式10-2】如图，三棱柱中，侧面是边长为2的菱形，其对角线的交点为，且，． (1)求证：平面； (2)设，若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成角的正弦值． 【变式10-3】如图，在直三棱柱中，，，、分别为、的中点，设平面交棱于点． (1)求； (2)求二面角的平面角的正弦值． 重难点十一 已知空间角求其他 【例21】如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为等腰梯形，且，为等边三角形，平面平面直线． (1)证明：平面； (2)若与平面的夹角为，求四棱锥的体积． 【例22】如图，在四棱锥中，，，. (1)证明：为等腰三角形； (2)若平面平面，直线与平面所成角的正弦值为，求. 【变式11-1】如图，在三棱锥中，为上的动点. (1)若，求证：平面； (2)若平面与平面的夹角为，求的长. 【变式11-2】如图，在直三棱柱中，为的中点． (1)证明：平面； (2)若二面角的余弦值为，求线段的长度． 【变式11-3】如图，多面体是三棱台和四棱锥的组合体，底面四边形为菱形，为的中点，平面平面. (1)证明：平面； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求. 一、单选题 1．正方体中，为中点，则直线，所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．在平行六面体中，已知，，则下列选项中错误的一项是（    ） A．直线与BD所成的角为90° B．线段的长度为 C．直线与所成的角为90° D．直线与平面ABCD所成角的正弦值为 3．正方体的棱长为是棱的中点，是四边形内一点（包含边界），且，当三棱锥的体积最大时，与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是，的中点，则下列说法正确的是（    ）    A．MN与AD所成夹角为 B． C． D．点C到平面ABM的距离为 5．棱长为1的正方体，是的中点，是平面上的动点，平面与平面的交线为，则（    ） A．的最小值为1 B．的最小值为 C．存在一点，使得 D．二面角最小时，平面角的正切值为 三、填空题 6．如图所示，正方体的棱长为1，O是底面的中心，则O到平面的距离为 ，直线到平面的距离为 ． 7．在直三棱柱中，，M，N分别是，的中点，，则与所成角的余弦值为 ． 8．如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，．是底面的内接正三角形，P为DO上一点，，则二面角的余弦值是 ．    四、解答题 9．如图，在正方体，中，E，F，G分别是棱AB，BC，CD的中点． (1)证明：∥平面； (2)证明： 10．在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，，，O为CD的中点，二面角A-CD-P为直二面角. (1)求证：； (2)求直线PC与平面PAB所成角的正弦值； (3)求平面POB与平面PAB夹角的余弦值. 11．在三棱锥P—ABC中，，，E为AC的中点，．    (1)求证：平面平面ABC； (2)求点C到平面PAB的距离． 12．如图，在长方体中，，，. (1)求证：平面平面. (2)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 13．如图所示，半圆柱与四棱锥拼接而成的组合体中，是半圆弧上（不含）的动点，为圆柱的一条母线，点在半圆柱下底面所在平面内，. (1)求证：； (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到直线距离的最大值. 14．如图1，在五边形中，，，且，将沿折成图2，使得，为的中点． (1)证明：平面； (2)若与平面所成的角为，求二面角的正弦值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4空间向量的应用 一、求平面的法向量 七、求点面距离和异面直线的距离 二、证明线线、线面、面面平行 八、求异面直线的夹角 三、已知线线、线面、面面平行求其他 九、求线面角 四、证明线线、线面、面面垂直 十、求面面角(二面角) 五、已知线线、线面、面面垂直求其他 十一、已知空间角求其他 六、求点到直线的距离 知识点1 空间中点、直线和平面的向量表示 1．空间直线的向量表示 设A是直线上一点,是直线l的方向向量,在直线l上取,设P是直线l上任意一点, （1）取定空间中的任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使. （2）取定空间中的任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使 2．空间平面的向量表示 （1）如图,设两条直线相交于点O,它们的方向向量分别为和,P为平面α内任意一点,由平面向量基本定理可知,存在唯一的有序实数对(x,y),使得 （2）如图,取定空间任意一点O,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式． 3.平面的法向量 （1）平面法向量的定义 如图,直线,取直线l的方向向量,我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量为法向量的平面完全确定,可以表示为集合 （2）平面法向量的求法 平面法向量的确定通常有两种方法: ①直接寻法:几何体中已经给出有向线段,只需证明线面垂直即可. ②待定系数法:当几何体中没有具体的直线可作为法向量时,根据已知平面内两条相交直线的方向向量,可以运用待定系数法求解平面的法向量(此时一般需要建立空间直角坐标系). 重难点一 求平面的法向量 【例1】（多选）请选出说法正确的选项（    ） A．平面的法向量，常取 B．平面的法向量，常取 C．平面的法向量，常取 D．如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直 【答案】ABCD 【详解】对A，平面的法向量，常取，故A正确； 对B，平面的法向量，常取，故B正确； 对C，平面的法向量，常取，故D正确； 对D，根据线面垂直的判定即可判定其正确. 故选：ABCD. 【例2】已知向量、是平面内的两个不共线的向量，，，求平面的一个法向量的坐标． 【答案】（答案不唯一） 【详解】设平面的一个法向量，则， 令，则，故， 所以平面的一个法向量（答案不唯一）. 【变式1-1】（多选）已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列点中不在平面内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，，，所以，又因为平面，所以平面. 对于B，，，所以与不垂直，又因为平面，所以平面. 对于C，，，所以与不垂直，又因为平面，所以平面. 对于D，，，所以与不垂直，又因为平面，所以平面. 故选：BCD 【变式1-2】已知是平面α的一个法向量，点，在平面α内，则 ． 【答案】9 【详解】 由，，得， 因为是平面的一个法向量，点A，在平面内，所以， 所以，解得． 故答案为：9 【变式1-3】如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为，BD的中点，G在棱CD上，且，H为的中点．    (1)求. (2)求平面的一个法向量 【答案】(1) (2) 【详解】（1）如图，建立空间直角坐标系D－xyz，D为坐标原点，    则有，，，，，，，，， . （2）设平面的法向量， ，，， 则有，即，令，则， 所以. 知识点2 空间平行关系的向量表示 设分别是直线l1,l2的方向向量,分别是平面的法向量． 线线平行 使得 注：用向量方法证明线线平行时,必须说明两直线不重合 证明线线平行的两种思路： ①用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量,通过向量的线性运算,利用向量共线的充要条件证明; ②建立空间直角坐标系,通过坐标运算,利用向量平行的坐标表示． 线面平行 注：证明线面平行时,必须说明直线不在平面内； （1）证明线面平行的关键看直线的方向向量与平面的法向量垂直． （2）特别强调直线在平面外． 面面平行 使得 注:证明面面平行时,必须说明两个平面不重合 （1）利用空间向量证明面面平行,通常是证明两平面的法向量平行． （2）将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 重难点二 证明线线、线面、面面平行 【例3】如图所示，在正方体中，棱长为a，M，N分别为和AC上的点，，则MN与平面的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．垂直 D．MN在平面内 【答案】B 【详解】以点为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，则， 又因为平面，则为平面的一个法向量， 可得，可知， 且平面，所以MN与平面的位置关系是平行. 故选：B. 【例4】如图所示，在直角梯形中，，，，是的中点，分别为的中点，将沿折起，使得平面，试用向量方法证明平面. 【答案】证明见解析 【详解】由题意可知底面为正方形， 因为平面，平面，所以两两垂直， 如图以为原点，以为方向向量建立空间直角坐标系， 则有关点及向量的坐标为： ，，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，取可得平面的一个法向量为， 因为，又在平面外， 所以平面. 【变式2-1】已知直线l和平面ABC，若直线l的方向向量为，向量，，则下列结论一定正确的为（    ） A．平面ABC B．l与平面ABC相交，但不垂直 C．直线BC D．平面ABC或平面ABC 【答案】D 【详解】，与不垂直，也即与不垂直，所以直线与平面不垂直，A错； ，因此不存在实数，使得，所以与不平行，即直线与直线不平行，C错； 设是平面的一个法向量， 则，取，则，， 所以，所以直线与平面平行或在平面内，B错D正确． 故选：D． 【变式2-2】如图，在正方体中，M，N，E，F分别为棱的中点，连接． (1)证明：平面； (2)证明：E，F，N，M四点共面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）设正方体的棱长为2，如图建立空间直角坐标系： 则，，，，，，，， 则， ，， 则有，故， 因为平面，平面， 则有平面； （2），，， 则有，则向量、、共面， 必有E，F，N，M四点共面 【变式2-3】如图，在四面体中，平面，，，．是的中点，是的中点，点在线段上，且．证明：平面；    【答案】证明见解析 【详解】因为，平面BCD，故以C为原点，CB为x轴，CD为y轴， 过点C作DA的平行线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    设，则， 可得，，，， 因为是的中点，则， 则，因为，， 可得， 因为平面BCD的法向量可取为， 则，且平面BCD， 所以PQ平面BCD． 重难点三 已知线线、线面、面面平行求其他 【例5】如图， 平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】 如图所示，以为坐标原点， 的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 由题意可得 ,， 则, 所以， 设平面EFC的法向量为， 则，解得， 令，则， 所以平面EFC的一个法向量为. 因为平面EFC，则， 设，则，所以， 解得，所以，即. 故选：C 【例6】已知长方体中，，，，点M，N分别在棱CD，上，且，． (1)若，求； (2)若平面，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）以A为原点，以，，为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 所以，， ， ，即，解得； （2）由（1）得， ，，， 设平面的法向量为， 则，取 由平面，得，解得. 【变式3-1】如图，在棱长为1的正方体中，，，若平面，则线段的长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 如图，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则有, 依题意，， , 于是，. 又因平面，平面,则, 又,平面，故平面, 故平面的法向量可取为， 因平面，故，即. 则 ， 因，故当时，. 故选：D. 【变式3-2】如图所示，正方体的棱长为2，E、F分别是棱BC、的中点，动点P在正方形（包括边界）内运动，若平面AEF，则线段长度的最小值是 ． 【答案】/ 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，，设点，其中、， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， ，因为平面，则， 所以，，即， 所以， ， 当且仅当时，的长度取最小值. 故答案为：. 【变式3-3】如图，在多面体中，四边形是菱形，平面，，，． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得∥平面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，当与重合时，使得∥平面. 【详解】（1）证明：连接交于点， 因为四边形为菱形，所以， 因为平面，平面， 所以， 因为，平面， 所以平面； （2）解：取的中点，连接， 因为四边形为菱形，，所以为等边三角形， 所以， 因为平面，平面，所以， 所以两两垂直， 所以以为原点，所在的直线分别为建立空间直角坐标系， 设，则， 所以， 假设存在点，使得∥平面， 设，则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则， 由，得， 此时与重合，平面， 所以存在点，当与重合时，使得∥平面. 知识点3空间垂直关系的向量表示 设分别是直线l1,l2的方向向量,分别是平面的法向量． 线线垂直 (1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直,都可转化为两直线的方向向量相互垂直． (2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量相互垂直,坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0. 线面垂直 使得 （1）基向量法：选取基向量,用基向量表示直线所在的向量,证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论． （2）坐标法：建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标,证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论． （3）法向量法：建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标,然后说明直线方向向量与平面法向量共线,从而证得结论． 面面垂直 (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直 重难点四 证明线线、线面、面面垂直 【例7】如图，在正方体中，，则下列结论中正确的是（    ） A．平面 B．平面平面 C．平面 D．平面内存在与平行的直线 【答案】C 【详解】因为为正方体，设正方体边长为2， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 同理解得平面的法向量， ，故A不正确； ，故B不正确； ， ，所以， 又，所以平面，C正确； 平面的一个法向量为， ，故D不正确； 故选：C 【例8】如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，底面，，，是的中点，作交于点，且．求证：平面；    【答案】证明见解析． 【详解】以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，    可得，，，则． 设点的坐标为，因为，所以， 即，，， 所以点的坐标为，即． 因为，所以，则． 由已知，且，平面，平面， 所以平面． 【变式4-1】如图，下列正方体中，为底面的中点，为所在棱的中点，、为正方体的顶点，则满足的是（    ） A．③④ B．①② C．②④ D．②③ 【答案】D 【详解】设正方体的棱长为， 对于①：如图建立空间直角坐标系，则， 可得，则， 所以与不垂直，即与不垂直，所以①错误； 对于②：如图建立空间直角坐标系，则， 可得，则， 所以，即，所以②正确；    对于③：如图建立空间直角坐标系，则， 可得，则， 所以，即，所以③正确； 对于④：如图建立空间直角坐标系，则， 可得，则， 所以与不垂直，即与不垂直，所以④错误； 故选：D. 【变式4-2】如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为的中点，为中点．求证：平面． 【答案】证明见解析 【详解】如图以为原点，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 所以，则，即， ，则，即， 又，平面， 所以平面． 【变式4-3】如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，在平面内的射影为. 求证：平面. 【答案】证明见解析 【详解】法一：连接，因为为等边三角形，为中点，， 因为在平面内的射影为，所以平面， 又因为平面，， 平面， 平面，又因为平面， 由题设知四边形为菱形，， 分别为中点，， 又平面， 平面. 法二：连接，因为在平面内的射影为，所以平面， 又平面，， 又为等边三角形，为中点，， 则以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则 ， ， ， ，即， 又平面， 平面. 法三：连接，因为在平面内的射影为，所以平面， 又平面，， 又为等边三角形，为中点，， 则以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则 ， ， 设平面的法向量为， ，即， 不妨取，则，则， 所以平面的一个法向量为， ，，， 平面. 重难点五 已知线线、线面、面面垂直求其他 【例9】正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面，线段长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】结合题意：以分别为建立空间直角坐标系，如图所示： 由正方体的棱长为1，可得. 设， 则， 因为平面，所以, 即，解得， 所以，所以， 所以， 因为，结合复合函数单调性可得在单调递增. 故. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于利用平面，找到，从而得到. 【例10】如图，在直三棱柱中，，垂足为，为线段上的一点. (1)若为线段的中点，证明：平面； (2)若平面平面，求的值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【详解】（1）连接，在直三棱柱中，有， . 为中点， 又为中点，， ，， 又平面平面， 平面. （2）建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， 设， 则， 设平面的法向量， 则，取，得， 设平面的法向量， 则，取，得， 平面平面， ，解得， 当平面平面时，. 【变式5-1】（多选）如图，在正方体中，，点，分别在棱和上运动（不含端点），若，则下列命题正确的是（     ）    A． B．平面 C．线段长度的最大值为1 D．三棱锥体积不变 【答案】AD 【详解】如图，建立空间直角坐标系，，，设，，且， ，，，得， ，所以，故，故A正确； ，，， 所以与不垂直，则不垂直与平面，故B错误； ，，， 所以时，的最大值为，故C错误； ，故D正确.    故选：AD 【变式5-2】已知点，，，，过点P作平面OAB，H为垂足，则点H的坐标是 . 【答案】 【详解】设，则， ， 因为平面OAB，平面OAB， 所以， 则，解得， 所以， 因为平面OAB，H为垂足， 所以四点共面， 则存在唯一实数对使得， 即， 所以，解得， 所以. 故答案为： 【变式5-3】如图，在棱长为的正方体中，点是正方体的中心，将四棱锥绕直线逆时针旋转后，得到四棱锥. (1)若，求证：平面平面； (2)是否存在，使得直线平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)不存在，理由见解析 【详解】（1）证明：若，则平面､平面为同一个平面. 连接、，则是中点，是中点， 所以平面与平面重合，平面与平面重合， 由正方体性质可知平面， 因为、平面，所以，，， 为二面角的平面角， 因为，，则，同理可得， 所以，所以，平面平面 （2）解：假设存在，使得直线平面， 以为原点，分别以、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，故、， 设平面的法向量为，则， 取，得是平面的一个法向量， 取的中点，的中点，连接、，则， 因为，则，同理可知，， 因为，，，则四边形为矩形，所以，， 于是是二面角的平面角， 是二面角的平面角， 是二面角的平面角.于是， 因为，，， 因为，则，所以， 因为，，，、平面， 所以，平面，且， 故，同理， 所以， 因为， ， 所以， 若直线平面，是平面的一个法向量，则， 即存在，使得，则， 因为，可得， 故方程组无解， 所以不存在，使得直线平面. 【点睛】方法点睛：证明面面垂直常用的方法： （1）面面垂直的定义； （2）面面垂直的判定定理. 在证明面面垂直时，一般假设面面垂直成立，然后利用面面垂直转化为线面垂直，即为所证的线面垂直，组织论据证明即可. 知识点4空间距离及向量求法 1. 点到直线的距离 设为直线l的单位方向向量，是直线外一点， 设，向量在直线l上的投影向量为， 则 2. 点到平面的距离 设已知平面的法向量为，是直线外一点， 向量是向量在平面上的投影向量，则 重难点六 求点到直线的距离 【例11】已知，，则点B到直线AC的距离为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【详解】因为，， 所以，， ， ， 所以在方向上的投影为，， 所以点B到直线AC的距离为. 故选：C. 【例12】如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，平面，为中点. (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)设点N在直线上，若的面积是，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由已知在中， ， ， 又四边形是平行四边形，， 取中点H，则， ，，两两垂直， 以为轴建立直角坐标系， 则为边上的高， ， ， M为中点，， ， 设平面的法向量为， ， ，取， 设平面的法向量为， ，取， 平面与平面夹角余弦值为； （2）设，则； ， ，设N点到的距离为d， 则， ， ，即， . 另解：，设N点到的距离为d， 则， ， 延长至E，使得，则且， 又平面，所以平面， 而平面，，所以E点即为N点，. 【变式6-1】如图，正方体的棱长为是的中点，则点到直线的距离为 . 【答案】 【详解】如图所示，建立如图所示的空间直角坐标系，连接， 则,， ∴点到直线的距离为. 故答案为： 【变式6-2】如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，，，点是的中点，点为线段上靠近的三等分点，则点到直线的距离为 ．    【答案】3 【详解】取的中点为，连接，因为为的中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，所以， 又底面是矩形，点是的中点，的中点为，所以， 以点为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示，    由，得， 所以， 点为线段上靠近的三等分点，则， 则，所以，， 则，， 因此点到直线的距离， 故答案为：3 【变式6-3】如图，在四棱锥中，，底面ABCD为菱形，边长为2，，，且，异面直线PB与CD所成的角为.    (1)求证:平面ABCD; (2)若E是线段OC的中点，求点E到直线BP的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【详解】（1）因为四边形为菱形，所以, 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以, 因为，为中点， 所以， 又因为平面， 所以平面. （2）以为原点，方向为轴方向，建系如图，    因为,所以为异面直线所成的角， 所以，在菱形中，， 因为，所以, 设，则， 在中，由余弦定理得，， 所以，解得， 所以, , 所以, 所以点E到直线BP的距离为. 重难点七 求点面距离和异面直线的距离 【例13】四棱锥中，，，，则顶点到底面的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】设平面的法向量为， 则有，令，则， 所以， 所以顶点到底面的距离为. 故选：A. 【例14】正四棱锥中，底面边长和高都为的中点为，求与间的距离． 【答案】 【详解】 如图所示，取的中点，分别连接， 以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设向量且，则， 取，可得，所以， 所以与间的距离. 【变式7-1】四棱锥的顶点均在球的球面上，底面为矩形，平面平面，，，，则到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为平面平面，交线为，又底面为矩形，则， 因为平面，所以平面， 则，又，，，所以，则, 如图，将四棱锥补成长方体， 若四棱锥的顶点均在球的球面上，则长方体的顶点均在球的球面上，为体对角线中点， 如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，故， 设平面的法向量为，又， ，令，所以， 又，则到平面的距离为. 故选：A. 【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 或者采用补形法，利用规则图形的外接球位置确定所求外接球球心的位置. 【变式7-2】如图，正四棱锥的棱长均为2，点E为侧棱PD的中点．若点M，N分别为直线AB，CE上的动点，则MN的最小值为 ． 【答案】 【详解】 建立如图所示的空间直角坐标系，则有： ，，，，， 可得： 设，且 则有：， 可得： 则有： 故 则当且仅当时， 故答案为： 【变式7-3】如图1，在等腰直角三角形ABC中，，，D，E分别是AC，AB上的点，，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥，其中． (1)求证：； (2)求点B到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接， 因为在等腰直角三角形中，， 在中，，同理得， 因为， 所以，所以 所以平面， 所以平面． （2）取中点，则， 以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为，， 所以，令，则，则， 又，， 所以点到平面的距离为． 知识点5空间角及向量求法 1. 用向量运算求两条直线所成的角 设两异面直线所成的角为θ，两直线的方向向量分别为，则 注意：①范围为；②两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系． 2. 用向量运算求直线与平面所成的角 设直线l与平面所成的角为θ，l的方向向量为，平面α的法向量为，则 注意：①范围为；②直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角． 3. 用向量运算求平面与平面所成的角 平面与平面相交，形成四个二面角，把不大于的二面角称为这两个平面的夹角．设平面α与平面β的夹角为θ，两平面的法向量分别为，则 注意：①范围为；②两平面的夹角是两法向量的夹角或其补角． 重难点八 求异面直线的夹角 【例15】如图，平面平面，四边形为正方形，四边形为菱形，，则直线所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】取的中点，连接, 四边形为的菱形，所以， 由于平面平面，且两平面交线为，,平面， 故平面,又四边形为正方形，故建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设正方形的边长为2，则, 故, 则，又 故， 故直线所成角的正弦值， 故选：C 【例16】如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，P为上一点，，且． (1)求λ的值； (2)求异面直线PC与所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 设正三棱柱的棱长为2，分别取AC、中点为O、点，连接OB，． 因为为等边三角形，所以，，． 又O、点分别为AC、的中点，所以． 又由正三棱柱的性质可知，平面ABC，所以平面ABC． 以点O为坐标原点，分别以OB、OC、所在的直线为x、y、z轴，如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，，，， 所以． 因为，所以， 所以有，解得． （2）由（1）可知：， 所以， 所以异面直线PC与所成角的余弦值为． 【变式8-1】《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．阳马中，若平面，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建系如图， 不妨设，则，， , 设异面直线与所成角为，. 故选：C    【变式8-2】如图所示，在正方体中，、分别为，的中点，为上一动点，记为异面直线与所成的角，则的值为 .    【答案】1 【详解】如图，分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系， 设正方体边长为1，则,, 所以, 因为， 所以,即，所以. 故答案为：1.    【变式8-3】四棱锥的底面是边长为2的菱形，，对角线与相交于点，底面，与底面所成的角为，是的中点. (1)证明：平面； (2)求与所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接，因为为菱形，对角线与相交于点，所以为的中点， 又是的中点， 则，且平面，平面， 所以平面. （2）因为为菱形，所以，又底面， 则两两互相垂直，以为坐标原点，射线分别为轴、轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图， 菱形中，，所以， 在中， 因为底面，所以与底面，所成的角为， 所以， 则 又是的中点，则， 于是，， 设与的夹角为，则有， 所以， 所以异面直线与所成角的正弦值为. 重难点九 求线面角 【例17】如图，在棱长均为2的正四棱锥中，为棱的中点，则下列判断正确的是（    ） A．平面，且到平面的距离为 B．与平面不平行，且与平面所成角大于30° C．与平面不平行，且与平面所成角小于30° D．与平面不平行，且与平面所成角等于30° 【答案】C 【详解】连接交点为，以为坐标原点，方向分别轴正方向建立空间直角坐标系， 由正四棱锥的棱长均为，点为的中点， 则,,,,,,， 则，，， 设是平面的一个法向量， 则，取，得， 设与平面所成的角为，线面角范围为大于等于下雨等于， 则，则， 故与平面不平行，且与平面所成的角小于． 故选：C． 【例18】如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，，，，，E，F，G分别为线段AD，DC，PB的中点. (1)证明：平面平面； (2)求直线GC与平面PCD所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接EC，设与AC相交于点O，如图， 因为，且，， 所以四边形为矩形， 所以O为的中点，又因为G为PB的中点， 所以OG为的中位线，即， 因为平面PEF，平面PEF， 所以平面PEF， 因为E，F分别为线段AD，DC的中点，所以， 因为平面PEF，平面PEF， 所以平面PEF， 因为平面GAC，平面GAC，， 所以平面平面GAC. （2）因为底面ABCD，平面ABCD，平面ABCD， 所以，，因为， 所以两两互相垂直， 以A为原点，所在的直线为x轴，y轴，z轴， 建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，所以， 令，可得，，所以， 设直线与平面所成角为θ，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【变式9-1】如图所示的几何体是圆锥的一部分，其中是圆锥的高，是圆锥底面的一条直径，，，是的中点． (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）以为原点，的方向分别作为轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，． 设直线与所成的角为， 则， 即直线与所成角的余弦值是． （2）由（1）知，，， 设平面的法向量为，则 取，得，所以平面的一个法向量． 设直线与平面所成的角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 【变式9-2】在正方体中，点在线段上运动，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为 . 【答案】/ 【详解】若正方体的棱长为1，构建如下图示的空间直角坐标系，则， 所以，令且，故， 由，故， 令面的法向量为，则，令，， 所以直线与平面所成角的正弦值为， 当时，正弦值的最大值为. 故答案为： 【变式9-3】如图，在中，，，，可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角.动点在线段上. (1)当为的中点时，求异面直线与所成角的余弦值； (2)求与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可得：，平面平面， 平面平面，平面，所以平面， 如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系， 则， 若为的中点，则，可得， 设异面直线与所成角，， 则. 故异面直线与所成角的余弦值为. （2）若动点在线段上，设， 则，可得，解得， 即，则， 由题意可知：平面的法向量为，    设与平面所成角为，， 则， 对于函数，开口向上，对称轴为， 可得当时，取到最小值， 所以的最大值为，因为， 故与平面所成角的正弦最大值为. 重难点十 求面面角（二面角） 【例19】一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC的中点为M，则二面角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】以为坐标原点，分别为，，方向为，，轴建立空间坐标系如图：    设，则，，，， 则，， 设平面的法向量为， 则，即，令，得. ，，设是平面的一个法向量，则，即，令则. 则． 二面角的余弦值为． 故选：B 【例20】如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，. (1)证明：平面平面； (2)若为的中点，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【详解】（1） 如图，取的中点，连接，取的中点，连接， 因为，， 所以，，， ， 则，，则， 则， 又因为，所以， 所以，又， 则，所以， 又平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）由已知和（1）可知，， 以为原点，以、方向为、轴正方向，垂直平面向上方向为轴建立空间直角坐标系， 则、、、， 因为为的中点，则， 所以，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，即， 设平面的一个法向量为， 所以， 即平面与平面的夹角的余弦值为. 【变式10-1】如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形．平面，且，则平面与平面所成的角的大小为 ． 【答案】 【详解】 因为平面，底面为正方形，， 所以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 则，， 由题知，平面PAD的法向量为， 设平面PBC的法向量为， 则，令，则， 所以， 设平面与平面所成的角为，则， 又，所以， 所以平面与平面所成的角的大小为， 故答案为：. 【变式10-2】如图，三棱柱中，侧面是边长为2的菱形，其对角线的交点为，且，． (1)求证：平面； (2)设，若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为四边形是菱形，所以，因为，，平面，所以平面， 因为平面， 所以，又，是的中点， 所以，又因为，平面； 所以平面； （2）因为， 所以直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角， 因为平面， 所以直线与平面所成的角即为，即， 因为菱形的边长为2，，则在等边三角形中，，， 在中，， 以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 由平面的一个法向量为， ， 设平面与平面所成角为，， 所以，即平面与平面所成角的正弦值为． 【变式10-3】如图，在直三棱柱中，，，、分别为、的中点，设平面交棱于点． (1)求； (2)求二面角的平面角的正弦值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）如图，延长交于点，连结交于点， 因为点是的中点，所以，且， 所以， 如下图，分离出底面，取的中点，连结，且点是的中点， 所以，且 所以，且， 所以，即， 所以； （2）如图，以点为原点，以的正方向，建立空间直角坐标系， ，，， ，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，则， 平面的法向量为， 设二面角的平面角为，， 所以，则. 所以二面角的平面角的正弦值为. 重难点十一 已知空间角求其他 【例21】如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为等腰梯形，且，为等边三角形，平面平面直线． (1)证明：平面； (2)若与平面的夹角为，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：由题可知，平面，平面， 平面． 又平面，平面平面，． 又平面，平面， 平面． （2）以为原点，平面内垂直于的直线为轴，所在直线为轴，垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设等腰梯形的高为，则，，，，， 则，， 设为平面的法向量，则，即， 令得为平面的一个法向量． 又，则可得直线的一个平行向量， 设为与平面的夹角， 由，解得． ． 【例22】如图，在四棱锥中，，，. (1)证明：为等腰三角形； (2)若平面平面，直线与平面所成角的正弦值为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）   取的中点，连接. 因为，，所以四边形是平行四边形， 所以. 因为，所以. 又因为，平面， 所以平面， 因为， 所以平面， 又因为平面， 所以， 因为是中点， 是的垂直平分线， 所以，即是等腰三角形. （2）由（1）知， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以， 又因为， 从而可知两两垂直.    以为坐标原点，所在直线为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，如图所示. 设，由已知得， 所以. 设为平面的法向量， 则得，取，得. 设直线与平面所成的角为， 则，又， 解得，故. 【变式11-1】如图，在三棱锥中，为上的动点. (1)若，求证：平面； (2)若平面与平面的夹角为，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1） 在中，，则， 又，所以 由勾股定理可得为直角三角形，, 所以，所以 在中，因为，由余弦定理可得： 则，所以， 又，在中由余弦定理可得： ， 则，所以， 又平面平面， 所以平面 （2）在上取一点，使由（1）可得平面，作， 如图以为坐标原点，所在的直线分别作为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 则点， 因为平面，所以为平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为， 由可得，取，则，所以， 因为，所以，解得， 即，又，所以, 所以当时，则二面角的大小为. 【变式11-2】如图，在直三棱柱中，为的中点． (1)证明：平面； (2)若二面角的余弦值为，求线段的长度． 【答案】(1)证明见解析； (2)6. 【详解】（1）由题意知平面，又平面， 所以， 因为四边形是平行四边形，且， 所以四边形为正方形，所以， 因为平面， 所以平面． 又平面，所以， 因为，所以， 又因为平面， 所以平面． （2）以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 设，则， 所以， 所以平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，即，取，则，所以， 设二面角的大小为， 则，解得， 所以线段的长为6． 【变式11-3】如图，多面体是三棱台和四棱锥的组合体，底面四边形为菱形，为的中点，平面平面. (1)证明：平面； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【详解】（1）连接， 因为平面平而， 所以平面， 因为， 所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面平面， 所以平面， 因为平面. 所以平面平面，又平面， 所以平面. （2）因为平面平面， 平面平面平面， 所以平面， 取的中点，连接， 因为四边形为菱形，， 所以为等边三角形，所以， 又，所以， 所以两两垂直， 则以为原点，所在直线分别为，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设， 则， 所以. 设平面的法向量为， 则，即， 取，得， 设平面的法向量为， 则，即， 取，得， 设平面与平面的夹角为， 则 解得或-2（舍），即. 一、单选题 1．正方体中，为中点，则直线，所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，以D为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2，则， 可得， 则， 所以直线，所成角的余弦值为. 故选：B. 2．在平行六面体中，已知，，则下列选项中错误的一项是（    ） A．直线与BD所成的角为90° B．线段的长度为 C．直线与所成的角为90° D．直线与平面ABCD所成角的正弦值为 【答案】D 【详解】在平行六面体中，令，，， 由，， 得，， 对于，显然，， 则，即， 因此直线与所成的角为，A正确； 对于B，，即，B正确； 对于C，，即， 因此直线与所成的角为，C正确； 对于D，在平行六面体中，四边形是菱形，即， 又，，平面，于是平面， 又平面，则平面平面， 连接交于点，在平面内过点作于点，如图， 由平面平面，因此平面，即直线与平面所成角为， ，则，即， 由及选项C知，，则，D错误. 故选：D 3．正方体的棱长为是棱的中点，是四边形内一点（包含边界），且，当三棱锥的体积最大时，与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则，，，设，，， 则，，所以， 因为为定值，要想三棱锥的体积最大，则点到底面的距离最大，其中， 所以当时，取最大值为，因为，所以的最大值为，则三棱锥的体积最大时，，， 设平面的法向量，当三棱锥的体积最大时，与平面所成角的正弦值为， 故选：A 二、多选题 4．如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是，的中点，则下列说法正确的是（    ）    A．MN与AD所成夹角为 B． C． D．点C到平面ABM的距离为 【答案】ABC 【详解】    对于A，如图，由于N是的中点，所以，N，D三点共线，则N是的中点， 由于M是的中点，所以，故异面直线MN与AD所成夹角为， ∵，，∴，即异面直线MN与AD所成夹角为，A选项正确； 对于B，由于平面ABCD，所以，又由A选项知，，所以，B选项正确； 对于C，由于，又由A选项知，，所以，C选项正确； 对于D，∵，M是的中点，， 根据正方体性质有：∵平面，平面，∴. 设点C到平面ABM的距离为h， ∴， 解得，故D错误， 故选：ABC. 5．棱长为1的正方体，是的中点，是平面上的动点，平面与平面的交线为，则（    ） A．的最小值为1 B．的最小值为 C．存在一点，使得 D．二面角最小时，平面角的正切值为 【答案】ABD 【详解】在正方体中建立如图所示的空间直角坐标系， 则，. 对于A，设，故，,当时，的最小值为1，故A正确. 对于B，作点关于平面的对称点，则的最小值为,利用勾股定理计算可得，故B正确. 对于C，因为，,所以不存在一点，使得，故C错误. 对于D，设平面的法向量为，， 故，取，则，故， 又平面的法向量为， ，当时，， 此时二面角最小，此时，，即平面角的正切值为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 6．如图所示，正方体的棱长为1，O是底面的中心，则O到平面的距离为 ，直线到平面的距离为 ． 【答案】 【详解】以D为原点，DA，DC，为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 易得，，，，， 设平面的法向量为，， 令，则，， ∴O到平面的距离， 又因为平面，所以直线到平面的距离就是点到平面的距离， 易知平面，所以点到平面的距离，就是点到直线的距离，在正方形中，点到直线的距离为， 所以直线到平面的距离为， 故答案为：，． 7．在直三棱柱中，，M，N分别是，的中点，，则与所成角的余弦值为 ． 【答案】 【详解】由题意知，， 如图，以为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 不妨设， 则，，，． 所以，， 所以， 即BM与AN所成角的余弦值为. 故答案为： 8．如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，．是底面的内接正三角形，P为DO上一点，，则二面角的余弦值是 ．    【答案】 【详解】由题意知O是圆锥底面的圆心，，则平面，为正三角形，则, 设，由题设可得, 是底面的内接正三角形,故， , 如图，以O为原点，在平面内过O点作的垂线作为x轴， 以为轴建立空间直角坐标系，    由前面证明的结论，不妨取，则，可得， , 则 ，， 设是平面的法向量，则,即， 令，则可取， ，， 设是平面的法向量，则,即， 令，则可取， 则， 由图知二面角的平面角为锐角, 故二面角的余弦值为. 故答案为：. 四、解答题 9．如图，在正方体，中，E，F，G分别是棱AB，BC，CD的中点． (1)证明：∥平面； (2)证明： 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 不妨设，则， 可得 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 因为，且平面，所以∥平面. （2）由（1）可得：， 则，所以. 10．在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，，，O为CD的中点，二面角A-CD-P为直二面角. (1)求证：； (2)求直线PC与平面PAB所成角的正弦值； (3)求平面POB与平面PAB夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）因为，O为CD的中点， 所以． 又因为平面平面ABCD，平面平面，平面PCD， 所以平面ABCD． 因为，，，所以． 取的中点，连接，则⊥， 以点O为坐标原点，OD，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，． ，， 因为， 所以． （2）设平面PAB的一个法向量为， 则，即， 解得，令，则，则． 设直线PC与平面PAB所成的角为， 又， 则， 所以直线PC与平面PAB所成的角的正弦值为． （3）设平面POB的一个法向量为， 则，即， 解得，令，则，故． 设平面POB与平面PAB的夹角为， 则． 故平面POB与平面PAB的夹角的余弦值为． 11．在三棱锥P—ABC中，，，E为AC的中点，．    (1)求证：平面平面ABC； (2)求点C到平面PAB的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【详解】（1），E为AC的中点， 又，且平面 ，故平面． 又平面ABC，所以平面平面ABC （2）在三角形ABC中：，    由（1）知平面．因平面． 又E为AC的中点，则垂直平分AC，， ，又 ，即，又平面，故得，平面. 故可以E为坐标原点，分别以、、所在方向为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图.    则，，，， ，，， 设平面PAB的一个法向量为，则 令，得． 设点C到平面PAB的距离，则． 12．如图，在长方体中，，，. (1)求证：平面平面. (2)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，P为线段的中点 【详解】（1）证明：以D为原点，DA，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 则，，，. 设平面的法向量为， 则. 取，则，，所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则. 取，则，，所以平面的一个法向量为. 因为，即，所以平面平面. （2）设线段上存在点P使得平面，. 由（1）得，，平面的一个法向量为， 所以. 所以，解得. 所以当P为线段的中点时，平面. 13．如图所示，半圆柱与四棱锥拼接而成的组合体中，是半圆弧上（不含）的动点，为圆柱的一条母线，点在半圆柱下底面所在平面内，. (1)求证：； (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到直线距离的最大值. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3) 【详解】（1）取弧中点，则，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 连接，在中，，，则， 于是， 设，则，其中，， 因此，即， 所以. （2）由平面平面，得， 又，则，而平面， 则平面，即为平面的一个法向量， ，由平面，得， 又，解得，此时， 设是平面的法向量，则，取，得， 设是平面的法向量，则，取，得， 则平面FOD与平面夹角的余弦值为. （3）， 则点到直线的距离， 当时，即的坐标为时，点到直线的距离取最大值为 【点睛】方法点睛：利用向量法求二面角的常用方法：①找法向量，分别求出两个半平面所在平面的法向量，然后求得法向量的夹角，结合图形得到二面角的大小；②找与交线垂直的直线的方向向量，分别在二面角的两个半平面内找到与交线垂直且以垂足为起点的直线的方向向量，则这两个向量的夹角就是二面角的平面角． 14．如图1，在五边形中，，，且，将沿折成图2，使得，为的中点． (1)证明：平面； (2)若与平面所成的角为，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取的中点，连接，， ，为的中点，， 又，． 又平面，平面，平面． 为的中点，． 又平面，平面，平面， 又，平面，平面平面， 又平面，平面． （2），由（1）知，， 又，为的中点，， 又，平面，平面， 又平面，， 又，，平面，平面， 又平面，平面平面， 连接，，为的中点，， 又平面平面，平面， 平面，平面，， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 是与平面所成的角，即， ，设，则，，，， ，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，令，得， 设平面的法向量为， 则，令，得， 设二面角的平面角为， ， 所以，即二面角的正弦值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$