精品解析：2024年广东省广州市黄埔区中考二模数学试题

2024年广东省广州市黄埔区中考数学二模试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列图形是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 中国人民银行发行的菱形银质纪念币为晋制币，最大发行量枚，数字用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 四个实数π，1，，中，最大的实数是（　　） A. π B. 1 C. D. 4. 如图，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，已知的周长等于，则圆内接正六边形的边长（ ）． A. B. 2 C. D. 4 7. 关于y的一元二次方程的解为（　　） A. B. C. D. 8. 在同一直角坐标系中，函数与图象可能是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，是弦，点P在弦上，，，则⊙O的半径为（　　） A. 5 B. C. 4 D. 10. 如图，，，都是的顶点，若将沿轴向右平移，使边的中点的对应点恰好落在轴上，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 的平方根是__________． 12. 在一次大学新生射击训练中，甲，乙两位同学射击成绩的方差分别是，，则 _____（填甲或乙）的射击成绩更稳定． 13. 若分式的值为，则__________． 14. 若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是_________°． 15. 二次函数图象过点对称轴为直线，则_______． 16. 如图，在边长为6正方形中．点E在边上，，点P、Q分别是直线、上的两个动点，将沿翻折，使点A落在点F处，连接，，则的最小值是__________． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解不等式: ，并把它的解集在数轴上表示出来. 19. 如图，，点、、、在同一条直线上，，求证：四边形为菱形． 20. 某班主任对班里学生错题整理情况进行调查，反馈结果分为A、B、C、D 四类，其中 A类表示“经常整理”；B类表示“有时整理”；C类表示“很少整理”；D类表示“从不整理”，并把调查结果制成如下所示不完整的扇形统计图和条形统计图： 请你根据上图提供的信息解答下列问题： （1）扇形统计图中类别C所对应扇形的圆心角度数为_______°； （2）请补全条形统计图； （3）类别D4名学生中有3名男生和1名女生，班主任想从这4名学生中随机选取2名学生进行访谈，请用列举法（画树状图或列表）求所选取的2名学生恰好都是男生的概率． 21. 如图，为圆的直径，点为圆上一点，点为圆外一点． （1）尺规作图：作出圆心（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作图中，连接，若为切线．，求证：为的切线． 22. 为满足市场需求，某超市购进一种水果，每箱进价是元．超市规定每箱售价不得少于元且不得多于元，根据以往经验发现：当售价定为每箱元时，每天可以卖出箱．每箱售价每提高1元，每天要少卖出箱． （1）如果超市想要每天获得的利润为元，则售价定为多少元？ （2）当每箱售价定为多少元时，每天的销售利润y（元）最大？最大利润是多少？ 23. 如图，已知中，，，，，为边上的中线． （1）求的长； （2）求的面积． 24. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），C，D两点的坐标分别为，． （1）求A，B两点的坐标； （2）若二次函数的图象经过点C，且与平行于x轴的直线l始终有两个交点M，N（点M在点N的左侧），P为该抛物线上异于M，N的一点，点N，P的横坐标分别为n，．当n的值发生变化时，的度数是否也发生变化？若变化，请求出度数的范围；若不变，请说明理由； （3）若二次函数的图象与线段只有一个交点，求a的取值范围． 25. 如图，正方形中，，O是边的中点，点E是正方形内一动点，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得DF，连接，． （1）求证：； （2）若，，三点共线，连接，求线段的长． （3）当线段取最小值时，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年广东省广州市黄埔区中考数学二模试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列图形是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义是把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，对每项判断即可解答．本题考查了中心对称图形的定义，轴对称图形的定义，理解中心对称图形的概念是解题的关键． 【详解】解：∵项既不是轴对称图形，也不是中心对称图形， ∴项不符合题意； ∵项是轴对称图形，不是中心对称图形， ∴项不符合题意； ∵项能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合， ∴项是中心对称图形， ∴项符合题意； ∵项是轴对称图形，不是中心对称图形， ∴项不符合题意； 故选． 2. 中国人民银行发行的菱形银质纪念币为晋制币，最大发行量枚，数字用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是熟记科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数． 【详解】解：数字用科学记数法表示为． 故选：A． 3. 四个实数π，1，，中，最大的实数是（　　） A. π B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了实数大小的比较，无理数的估算，首先判断出的取值范围，然后根据实数大小比较的方法判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴四个实数π，1，，中，最大的实数是． 故选：C． 4. 如图，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质和三角形外角的性质，由平行线的性质推出，由三角形外角的性质得到． 【详解】解：如图主， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘除法法则、幂的乘方与积的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：A、，故该项不正确，不符合题意； B、，故该项不正确，不符合题意； C、，故该项不正确，不符合题意； D、，故该项正确，符合题意； 故选：D． 6. 如图，已知的周长等于，则圆内接正六边形的边长（ ）． A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了正多边形与圆的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．连接，，由的周长等于，可得的半径，又由圆的内接多边形的性质，即可求得答案． 【详解】解：连接，， 设的半径为r， 的周长等于， ， ， 的半径为， ，， 是等边三角形， ， 故选：B 7. 关于y的一元二次方程的解为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，解一元二次方程．掌握用因式分解法求解一元二次方程是解题的关键． 先把方程转化成一般形式，然后提取公因式y分解因式，把一元二次方程化成一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】解：， ， ， ，， 故选：D． 8. 在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象等知识，分和两种情况讨论即可．灵活应用反比例函数及一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：当时，函数的图象经过一、二、三象限，反比例函数的图象分布在一、三象限，选项A符合题意； 当时，函数的图象经过一、二、四象限，反比例函数的图象分布在二、四象限，没有正确选项． 故选：A． 9. 如图，是的弦，点P在弦上，，，则⊙O的半径为（　　） A. 5 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，过O作于H，连接，由垂径定理得到，由勾股定理求出，，得到圆的半径长． 【详解】解：过O作于H，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴的半径长是5． 故选：A． 10. 如图，，，都是的顶点，若将沿轴向右平移，使边的中点的对应点恰好落在轴上，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，平移的性质，首先根据平移及平行四边形的性质确定，利用中点坐标公式得出，根据三角形中位线的判定确定点是线段边的中点，继而得到，从而确定向右平移个单位，据此得解． 【详解】解：，，都是的顶点， ∴，，， 即线段沿轴向右平移个单位得到线段，点是点的对应点，点是点的对应点， ∴， ∵点是线段边的中点， ∴点的坐标为，即， 过点作轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点是线段边的中点， ∴， ∵将沿轴向右平移，使边的中点的对应点恰好落在轴上， 又∵，， ∴沿轴向右平移个单位， ∴． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 的平方根是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方根的定义，如果，那么叫做的平方根．利用平方根的定义即可求得答案． 【详解】解： ， 的平方根是． 故答案为：． 12. 在一次大学新生射击训练中，甲，乙两位同学射击成绩的方差分别是，，则 _____（填甲或乙）的射击成绩更稳定． 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可求解． 【详解】解：因为，，方差小的是乙， 所以乙的射击成绩更稳定． 故答案为：乙． 13. 若分式的值为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的值为零的条件以及分式有意义的条件，正确把握相关知识是解题关键．直接利用分式有意义的条件以及分式的值为零的条件分别分析得出答案即可． 【详解】解：若分式的值为， 则有且， 解得． 故答案为：． 14. 若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是_________°． 【答案】120 【解析】 【详解】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×2=4π（cm）， 设圆心角的度数是n度． 则=4π， 解得：n=120． 故答案为120． 15. 二次函数图象过点对称轴为直线，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，灵活运用二次函数的性质是解题的关键． 依据题意可得：由抛物线过，从而可得对称轴是直线计算即可． 【详解】解：由题意可得： ∵抛物线过， ∴对称轴是直线， 解得：． 故答案为：． 16. 如图，在边长为6的正方形中．点E在边上，，点P、Q分别是直线、上的两个动点，将沿翻折，使点A落在点F处，连接，，则的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了翻折变换、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用轴对称，根据两点之间线段最短解决最短问题． 作点D关于的对称点，连接，，由轴对称可知，，，又因，即可推出当、、、共线时，定值最小，最小值为． 【详解】解：如图，作点D关于的对称点，连接，， 在中， ， ， 由轴对称可知，， ， ， 当、、、共线时， 定值最小，最小值为， 的最小值是． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 首先计算乘方、零指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【详解】解： ． 18. 解不等式: ，并把它解集在数轴上表示出来. 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，先去分母，再去括号，移项，合并同类项，把的系数化为1，再把不等式的解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 19. 如图，，点、、、在同一条直线上，，求证：四边形为菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的判定，菱形的判定定理，掌握“有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形”，综合运用相关知识是解决问题的关键． 由全等三角形的性质得到，，进而证得，得到四边形为平行四边形，证明，根据菱形的判定定理即可证得结论． 【详解】证明：， ，， ， ∴四边形为平行四边形， ， ， ， ∴四边形为菱形． 20. 某班主任对班里学生错题整理情况进行调查，反馈结果分为A、B、C、D 四类，其中 A类表示“经常整理”；B类表示“有时整理”；C类表示“很少整理”；D类表示“从不整理”，并把调查结果制成如下所示不完整的扇形统计图和条形统计图： 请你根据上图提供的信息解答下列问题： （1）扇形统计图中类别C所对应扇形的圆心角度数为_______°； （2）请补全条形统计图； （3）类别D的4名学生中有3名男生和1名女生，班主任想从这4名学生中随机选取2名学生进行访谈，请用列举法（画树状图或列表）求所选取的2名学生恰好都是男生的概率． 【答案】（1）54 （2）见解析 （3）所选取的2名学生恰好都是男生的概率为． 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法． （1）由类别人数及其所占百分比可得被调查的总人数，用总人数减去其它类别的人数，求出类别的学生人数，用乘以类别人数所占比例即可得； （2）根据（1）的结论补全图形即可； （3）根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出所选取2名学生恰好都是男生的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【小问1详解】 解：参加这次调查的学生总人数为（人， 类别的学生人数为（人， 类别所对应扇形的圆心角度数为：． 故答案为：54； 【小问2详解】 解：补全统计图如下： ； 【小问3详解】 解：根据题意列表得： 男1 男2 男3 女 男1 男2男1 男3男1 女男1 男2 男1男2 男3男2 女男2 男3 男1男3 男2男3 女男3 女 男1女 男2女 男3女 由表格可知，共有12种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中都是男生的有6种可能． 所以所选取的2名学生恰好都是男生的概率为． 21. 如图，为圆的直径，点为圆上一点，点为圆外一点． （1）尺规作图：作出圆心（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作图中，连接，若为的切线．，求证：为的切线． 【答案】（1）作图见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）作直径的垂直平分线，垂足为，点即为所求． （2）结合题意，通过等腰三角形的性质和外角的应用，可得，在通过，得出，即为的切线． 【小问1详解】 解：如图，点即为所求： 小问2详解】 证明：连接． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是切线， ∴， ∴， ∴． ∵是半径， ∴是的切线． 【点睛】本题考查了作图-找圆心，等腰三角形的性质，外角的应用，圆的切线性质定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 22. 为满足市场需求，某超市购进一种水果，每箱进价是元．超市规定每箱售价不得少于元且不得多于元，根据以往经验发现：当售价定为每箱元时，每天可以卖出箱．每箱售价每提高1元，每天要少卖出箱． （1）如果超市想要每天获得的利润为元，则售价定为多少元？ （2）当每箱售价定为多少元时，每天的销售利润y（元）最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）如果超市想要每天获得的利润为元，则售价定为元 （2）当每箱售价定为元时，每天的销售利润y最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的最值等知识．熟练掌握一元二次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的最值是解题的关键． （1）设售价定为元，且，依题意得，，整理得，，计算求出满足要求的解即可； （2）依题意得，，由，可知当时，y随x的增大而增大，即当时，y有最大值，然后计算求解即可． 【小问1详解】 解：设售价定为元，且， 依题意得，，整理得，， 解得，或（舍去）， 答：如果超市想要每天获得的利润为元，则售价定为元． 【小问2详解】 解：依题意得，， ∵， ∴当时，y随x的增大而增大． ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为， ∴当每箱售价定为元时，每天的销售利润y最大，最大利润是元． 23. 如图，已知中，，，，，为边上的中线． （1）求的长； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形及勾股定理，熟知余弦的定义及三角形中线的性质是解题的关键． （1）先根据的余弦求出的长，再利用勾股定理即可解决问题． （2）根据为边上的中线可知，的面积是面积的一半，据此可解决问题． 【小问1详解】 ， ． 在中， ， ， ． 【小问2详解】 为边上的中线， ． 又， ． 24. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），C，D两点的坐标分别为，． （1）求A，B两点的坐标； （2）若二次函数的图象经过点C，且与平行于x轴的直线l始终有两个交点M，N（点M在点N的左侧），P为该抛物线上异于M，N的一点，点N，P的横坐标分别为n，．当n的值发生变化时，的度数是否也发生变化？若变化，请求出度数的范围；若不变，请说明理由； （3）若二次函数的图象与线段只有一个交点，求a的取值范围． 【答案】（1） （2）的度数不发生变化，理由见解析 （3）或或 【解析】 【分析】（1）将二次函数转化为，令，即可求出A，B两点的坐标； （2）将代入，求出a的值，得到，利用二次函函数的对称性求出利用坐标轴中的距离求出即可得出结论； （3）分和两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：， 令，则， 解得：， 点A在点B的左侧， ； 【小问2详解】 解：将代入，得：， 解得：， 二次函数的解析式为：， 点N，P的横坐标分别为n，， ， ， 的度数不发生变化； 【小问3详解】 解：， 二次函数的图象关于对称， 当时，函数图象开口向上， 则， 解得：； 当时，函数图象开口向下， ①二次函数顶点在线段上时：， 解得：； ②二次函数顶点不在线段上时： ， 解得：， 综上，a的取值范围为：或或． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，函数与方程的关系，解题的关键是学会利用分类讨论解决问题． 25. 如图，正方形中，，O是边的中点，点E是正方形内一动点，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得DF，连接，． （1）求证：； （2）若，，三点共线，连接，求线段的长． （3）当线段取最小值时，求． 【答案】（1）见解析 （2）线段的长为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质，对应线段和对应角相等，可证明； （2）先利用，求得长，再利用，求得、的长，最后利用勾股定理即可求得的长； （3）当，，三点共线时，最小，即最小，进而推出，在中，，，即可求出． 小问1详解】 证明：如图1，由旋转得：， 四边形是正方形， ， ， 即， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 解：如图2，过F作的垂线，交的延长线于P， 是的中点，且， ，，三点共线， ， 由勾股定理得： ， ， ， 由（1）知：， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 由勾股定理得：， 或（舍去）， ， 由勾股定理得：， 线段的长为； 【小问3详解】 解：如图3，由于，所以E点可以看是以O为圆心，为半径的半圆上运动，延长到P点，使得，连接， ， ， ，, ∴当三点共线时，最小，则最小，则最小， 在中， ， ， ． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质、三角形全等及相似的性质和判定、勾股定理，三角函数等知识点，解题的关键是综合运用这些知识，利用数形结合的思想解答． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$