7.2 离散型随机变量及其分布列 课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.2　离散型随机变量及其分布列 第七章　随机变量及其分布 人教A版 数学 选择性必修第三册 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 目录索引 现实世界中有各种各样的随机现象,它们的复杂性差异很大.从随机试验的样本空间看,有的包含有限个样本点,有的包含可列无限个样本点,有的包含不可列无限个样本点.定义于不同样本空间上的随机变量,最基本的有离散型和连续型两类. 本学习单元我们只研究有限个或可以一一列举的离散型随机变量及其分布列.通过创设具体的随机试验情境,引导学生归纳试验中的数值指标(变量)的共同特征,领悟随机变量是样本空间到实数集的映射,用分布列描述随机变量取值的概率规律,理解利用随机变量可以更好地刻画随机现象.具体内容结构如下图所示: 学习单元2　离散型随机变量及其分布列 在此知识明线的学习过程中,进一步感悟概率论研究随机现象的基本方法.首先建立随机试验的样本空间,构建概率模型,计算或估计随机事件的概率,利用事件的关系和概率的性质,解决更复杂概率计算问题;然后在此基础上,进一步抽象,引入随机变量的概念,借助数学工具和方法系统、全面地研究随机变量取值的概率分布及数字特征,为决策提供依据. 学习目标 1.借助教材实例,了解离散型随机变量及其分布列.(数学抽象) 2.了解离散型随机变量的性质、两点分布的概念.(数学运算) 3.会求简单的离散型随机变量的分布列.(数学运算) 基础落实·必备知识一遍过 知识点1　离散型随机变量 1.定义:一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有唯一的实数X(ω)与之对应,我们称X为　　　　　　.可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量,我们称之为离散型随机变量.  取值个数可能是无限的,但是能一一列举 2.表示:通常用大写英文字母表示随机变量,例如X,Y,Z;用小写英文字母表示随机变量的取值,例如x,y,z. 随机变量 名师点睛 1.所谓随机变量,就是随机试验的试验结果与实数之间的一种对应关系,这种对应关系是人为建立起来,但又是客观存在的. 2.随机试验的结果可用数量来表示,有些随机试验的结果虽然不是数量,但可以将它数 量化,如抛一枚硬币,所有可能的结果是“正面向上”“反面向上”,在数学中可以用“1”代表正面向上,用“0”代表反面向上. 微思考 1.离散型随机变量的取值可以是什么? 2.随机变量和函数有类似的地方吗? 提示 离散型随机变量的取值可以是有限个,也可以是无限可列个. 提示 随机变量和函数都是一种对应关系,随机变量把样本点与实数对应,函数把实数与实数对应,由随机变量的定义知,样本点ω相当于函数定义中的自变量,样本空间Ω相当于函数的定义域. 知识点2　概率分布列 1.分布列 一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,我们称X取每一个值xi的概率　　　　　,i=1,2,…,n为X的概率分布列,简称　　　　　,分布列的表格表示如下:  X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn P(X=xi)=pi 分布列 名师点睛 对分布列的理解应注意的问题 (1)离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象,与函数的表示法一样,离散型随机变量的分布列也可以用表格、等式P(X=xi)=pi和图象表示. (2)离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值,而且也能清楚地看到取每一个值的概率的大小,从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布状况,是进一步研究随机变量数字特征的基础. 2.离散型随机变量分布列的性质 (1)pi　　0,i=1,2,…,n;  (2)p1+p2+…+pn=1. 可通过此条性质检验求出的分布列是否正确 ≥ 名师点睛 对分布列性质的理解 (1)离散型随机变量的两条性质是检验一个分布列是否正确的重要依据,尤其是要看它们的概率之和是否等于1.可利用这两条性质求出分布列中的未知数. (2)离散型随机变量各个可能的取值表示的事件是互斥的,故离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和. 微思考 1.离散型随机变量分布列中随机变量的取值是否可以取一部分? 2.离散型随机变量的各个可能值表示的事件有何特点? 提示 离散型随机变量的取值不可以取一部分,要把所有可能的结果都要列举完,以保证概率之和为1. 提示 离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的. 知识点3　两点分布 对于只有两个可能结果的随机试验,用A表示“成功”, 表示“失败”,定义 如果P(A)=p,则P( )=　　　　,那么X的分布列如下表所示.  X 0 1 P 1-p p 我们称X服从　　　　　或　　　　　.  1-p 两点分布 0—1分布 微思考 举例说明发生在大家身边的符合“两点分布”的随机事件. 提示 如每次考试及格与不及格;抛一次硬币出现正面、反面等. 重难探究·能力素养速提升 问题1求随机事件的概率时,为何需要为随机试验建立样本空间,有什么作用?其中蕴含了怎样的思想? 问题2类比函数在数集与数集之间建立对应关系,如果我们在随机试验的样本空间与实数集之间建立某种对应,将会有什么效果? 问题3若随机试验的样本点与数值有关系,容易直接与实数建立对应关系,若随机试验的样本点与数值无关系,可否转化成建立对应关系? 问题4随机试验中,随机变量有什么特征? 探究点一 离散型随机变量的概念 问题5什么是离散型随机变量?如何表示? 【例1】 下列变量是离散型随机变量的是　　　　　　.(填序号)  ①下期某闯关节目中过关的人数; ②某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差; ③在郑州至武汉的电气化铁道线上,每隔50 m有一电线铁塔,从郑州至武汉的电气化铁道线上将电线铁塔进行编号,其中某一电线铁塔的编号; ④水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化,该水位站所测水位. ①③ 解析 ①是离散型随机变量.因为过关人数可以一一列出. ②不是离散型随机变量.因为实际测量值与规定值之间的差值无法一一 列出. ③是离散型随机变量.因为电线铁塔为有限个,其编号可以一一列出. ④不是离散型随机变量.因为水位在(0,29]这一范围内变化,水位值不能按一定次序一一列出. 规律方法　判定离散型随机变量 判断变量的取值是不是有限个或能否一一列举出来.若能,则是离散型随机变量;否则,不是离散型随机变量. 问题6离散型随机变量的不同取值表示什么含义?这种取值对于样本点的研究有何好处? 【例2】 写出下列随机变量可能的取值,并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果. (1)某学生从学校回家要经过3个红绿灯路口,他可能遇到红灯的次数Y; (2)从含有10件次品的100件产品中任取4件,取到次品的件数X. 解 (1)Y可能的取值为0,1,2,3, Y=0表示遇到红灯的次数为0; Y=1表示遇到红灯的次数为1; Y=2表示遇到红灯的次数为2; Y=3表示遇到红灯的次数为3. (2)X可能的取值为0,1,2,3,4. X=0表示取出0件次品; X=1表示取出1件次品; X=2表示取出2件次品; X=3表示取出3件次品; X=4表示取出4件次品. 规律方法　离散型随机变量的取值 离散型随机变量的取值代表了随机试验所有可能的结果,不能遗漏. 探究点二 离散型随机变量的分布列与性质 问题7什么是离散型随机变量的分布列?有何规范? 【例3】 某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层停靠.若该电梯在底层载有5位乘客,且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为 ,用X表示这5位乘客在第20层下电梯的人数,求随机变量X的分布列. 解 由题意知,X表示这5位乘客在第20层下电梯的人数, 则X的可能取值为0,1,2,3,4,5. 由古典概型的概率公式得 ∴X的分布列为 规律方法　求离散型随机变量的分布列的步骤 (1)找出随机变量X的所有可能的取值xi(i=1,2,…,n),并确定X=xi的意义; (2)借助概率知识求出随机变量X取每一个值时的概率P(X=xi)=pi(i=1,2,…,n); (3)列成表格的形式. 问题8离散型随机变量的分布列具有什么性质?这种性质对于运算有何 作用? 【例4】 设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求2X+1的分布列. 解 由分布列的性质知, 0.2+0.1+0.1+0.3+m=1, 解得m=0.3. 当X=0,1,2,3,4时,2X+1=1,3,5,7,9, 故2X+1的分布列为 2X+1 1 3 5 7 9 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 规律方法　1.利用分布列中各概率之和为1可求参数的值,此时要注意检验,以保证每个概率值均为非负数. 2.求随机变量在某个范围内的概率时,根据分布列,将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可,其依据是互斥事件的概率加法公式. 探究点三 两点分布 问题9两点分布是最特殊的离散型随机变量分布列,特殊之处有哪些?有何性质? 【例5】 一个袋中装有除颜色外其他都相同的3个白球和4个红球. (1)从中任意摸出1个球,用0表示摸出白球,用1表示摸出红球,即 (2)从中任意摸出两个球,用Y=0表示“两个球全是白球”,用Y=1表示“两个球不全是白球”,求Y的分布列. 规律方法　1.两点分布的特点 (1)两点分布中只有两个对应结果,且两个结果是对立的. (2)由对立事件的概率求法可知P(X=0)+P(X=1)=1. 2.解答此类问题时要充分利用两点分布的特点,并对应其性质特点对问题的结果进行检验. 本节要点归纳 1.知识清单:(1)随机变量的概念、分类;(2)离散型随机变量的概念;(3)离散型随机变量的分布列的概念及其性质;(4)两点分布. 2.方法归纳:转化与化归. 3.常见误区:(1)随机变量的取值不明确导致分布列求解错误;(2)易忘记结合分布列的性质进行检验. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 级 必备知识基础练 1.一串钥匙有6把,只有一把能打开锁,依次试验,打不开的扔掉,直到找到能开锁的钥匙为止,则试验次数X的最大可能取值为(　　) A.6 B.5 C.4 D.2 B 解析 由于是逐次试验,可能前5次都打不开锁,那么剩余钥匙一定能打开锁,则试验次数X的最大可能取值为5.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.袋中有大小相同的5个球,分别标有1,2,3,4,5五个号码,现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球,设两个球的号码之和为随机变量X,则X所有可能取值的个数是(　　) A.5 B.9 C.10 D.25 B 解析 X的可能取值是2,3,4,5,6,7,8,9,10,共9个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.某射手射击所得环数X的分布列为 X 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为(　　) A.0.28 B.0.88 C.0.79 D.0.51 C 解析 P(X>7)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)=0.28+0.29+0.22=0.79. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.已知离散型随机变量X的分布列如表.若离散型随机变量Y=2X+1,则P(Y≥5)=(　　) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.已知离散型随机变量X的分布列如下表,则实数c为(　　) X 0 1 P 9c2-c 3-8c A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.袋中有4个红球、3个黑球,从袋中任取4个球,取到1个红球得1分,取到1个黑球得3分,记得分为随机变量ξ,则P(ξ≤6)=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8.袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为 ,现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球,甲先取,乙后取,然后甲再取……取后不放回,直到两人中有一人取到白球时终止,每个球在每一次被取出的机会是等可能的,用Y表示取球终止所需要的取球次数. (1)求袋中所有的白球的个数; (2)求Y的分布列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解 (1)设袋中有n个白球, 解得n=3或n=-2(舍去). 故袋中所有的白球的个数为3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 级 关键能力提升练 9.袋中装有大小和颜色均相同的5个乒乓球,分别标有数字1,2,3,4,5,现从中任意抽取2个,设两个球上的数字之积为X,则X所有可能取值的个数是(　　) A.6 B.7 C.10 D.25 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.(多选题)已知随机变量X的分布列如表所示,其中a,b,c成等差数列, 则(　　) X -1 0 1 P a b c BD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.若随机变量X的分布列如表所示: 则a2+b2的最小值为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.盒中有大小颜色相同的6个乒乓球,其中4个球未使用过(称之为新球),2个球使用过(称之为旧球).每局比赛从盒中随机取2个球作为比赛用球,该局比赛结束后放回盒中.使用过的球即成为旧球. (1)求一局比赛后盒中恰有3个新球的概率; (2)设两局比赛后盒中新球的个数为X,求X的分布列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解 (1)因为一局比赛后盒中恰有3个新球,则本局比赛取到了一个旧球,一个新球,则一局比赛后盒中恰有3个新球的概率为 (2)设第一局取到两个旧球为事件B1,取到一个旧球,一个新球为事件C1,取到两个新球为事件A1, 第二局取到两个旧球为事件B2,取到一个旧球,一个新球为事件C2,取到两个新球为事件A2, 则两局比赛后新球的个数可能为0,1,2,3,4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 P(X=2)=P(B1A2)+P(C1C2)+P(A1B2)=P(B1)P(A2|B1)+P(C1)P(C2|C1)+P(A1)P(B2|A1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13.某市举行“中学生诗词大赛”,分初赛和复赛两个阶段进行,规定:初赛成绩大于90分的具有复赛资格.某校有800名学生参加了初赛,所有学生的成绩均在区间(30,150]内,其频率分布直方图如图. (1)求获得复赛资格的人数. (2)从初赛得分在区间(110,150]的参赛者中,利用分层随机抽样的方法随机抽取7人参加学校座谈交流,那么从得分在区间(110,130]与(130,150]中各抽取多少人? (3)从(2)抽取的7人中,选出3人参加全市座谈交流,设X表示得分在区间(130,150]中参加全市座谈交流的人数,求X的分布列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解 (1)由题意知在区间(90,110]的频率为1-20×(0.002 5+0.005+0.007 5×2 +0.012 5)=0.3,0.3+(0.012 5+0.005)×20=0.65,故获得复赛资格的人数为800×0.65=520. (2)0.012 5∶0.005=5∶2,在区间(110,150]的参赛者中,利用分层随机抽样的方法随机抽取7人,则在区间(110,130]与(130,150]中各抽取5人,2人. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 X= X 0 1 2 3 4 5 P P(X=0)=,P(X=1)=, P(X=2)=,P(X=3)=, P(X=4)=,P(X=5)= X=求X的分布列. 解 (1)由题意知P(X=0)=,P(X=1)= 故X的分布列为 X 0 1 P (2)由题意知P(Y=0)=,P(Y=1)=1-P(Y=0)= 故Y的分布列为 Y 0 1 P X 0 1 2 3 P a 5a A. B. C. D. 解析 由题意a++5a+=1,解得a=P(Y≥5)=P(2X+1≥5) =P(X≥2) =P(X=2)+P(X=3)=故选A. A. B. C. D. 解析 由离散型随机变量分布列的性质知,9c2-c≥0,3-8c≥0,9c2-c+3-8c=1, 解得c=或c=(舍去).故选A. 6.(多选题)已知随机变量X的分布列为P(X=n)=(n=0,1,2),其中a是常数,则(　　) A.P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1 B.a= C.P(0≤X<2)= D.以上均不正确 解析 根据题意,随机变量X的分布列为 P(X=n)=(n=0,1,2), 则P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)==1,解得a=, 则P(0≤X<2)=P(X=0)+P(X=1)= 解析 取出的4个球中红球的个数可能为4,3,2,1,相应的黑球的个数为0,1,2,3,其得分ξ=4,6,8,10,则P(ξ≤6)=P(ξ=4)+P(ξ=6)= 由题意知, (2)依题意,Y的可能取值为1,2,3,4,5, 则P(Y=1)=,P(Y=2)=,P(Y=3)=, P(Y=4)=,P(Y=5)= 故Y的分布列为 Y 1 2 3 4 5 P A.a= B.b= C.c= D.P(|X|=1)= 解析 ∵a,b,c成等差数列,∴2b=a+c. 由分布列的性质得a+b+c=3b=1,∴b= ∴P(|X|=1)=P(X=1)+P(X=-1)=1-P(X=0)=1- X 0 1 2 3 P a b 解析 由分布列的性质,知a+b= 又a2+b2(当且仅当a=b=时,等号成立),则a2+b2的最小值为 P(X=0)=P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=; P(X=1)=P(C1A2)+P(A1C2)=P(C1)P(A2|C1)+P(A1)P(C2|A1) =; =; P(X=3)=P(B1C2)+P(C1B2)=P(B1)P(C2|B1)+P(C1)P(B2|C1) =; P(X=4)=P(B1B2)=P(B1)P(B2|B1)= 则X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P (3)X的可能取值为0,1,2,则 P(X=0)=, P(X=1)=, P(X=2)= 故X的分布列为 X 0 1 2 P $$