7.3.2 离散型随机变量的方差 课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.3.2　离散型随机变量的方差 第七章　随机变量及其分布 人教A版 数学 选择性必修第三册 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 目录索引 学习目标 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.(逻辑推理) 2.能计算简单离散型随机变量的方差,并能解决一些实际问题. (数学运算) 3.掌握方差的性质.(逻辑推理) 基础落实·必备知识一遍过 知识点1　离散型随机变量的方差、标准差 设离散型随机变量X的分布列如下表所示. X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 虑X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1-E(X))2,(x2-E(X))2,…,(xn-E(X))2.因为X取每个值的概率不尽相同,所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均,来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度,我们称 D(X)=　　　　　　　 　　　　　　=　　　　　　为随机变 量X的方差,有时也记为Var(X),并称 为随机变量X的标准差,记为σ(X).  该值一定为非负　 (x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn 名师点睛 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度,反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小,随机变量的取值越集中;方差或标准差越大,随机变量的取值越分散. 微思考 随机变量的方差与样本的方差有何不同? 提示 样本的方差是随着样本的不同而变化的,因此它是一个随机变量,而随机变量的方差是通过大量试验得出的,刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度,因此它是一个常量而非变量. 知识点2　离散型随机变量的方差的性质 1.一般地,可以证明下面的结论成立:D(aX+b)=a2D(X).   b值不影响方差值 2.一般地,随机变量X服从两点分布,那么D(X)=(1-p)2·p+p2(1-p)=p(1-p). 微思考 若甲、乙两名运动员的平时训练成绩显示,两人平均成绩相同,但甲运动员方差比乙运动员方差小.若选1人去参加比赛,你会如何选择?试说明理由. 提示 无标准答案,只要言之有理即可. 选甲去,因为甲运动员成绩更稳定; 选乙去,因为乙运动员的方差大,即数据差异更大,相对更有机会拿高分,赢得比赛. 重难探究·能力素养速提升 问题1随机变量的均值是一个重要的数字特征,反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势”,如何反映随机变量取值波动幅度的大小? 探究点一 求离散型随机变量的方差 问题2类比一组数据的方差,如何计算离散型随机变量的方差?类比均值的性质,方差有何性质? 【例1】 袋中有除颜色外其他都相同的6个小球,其中2个红球、4个黄球,规定取1个红球得2分,1个黄球得1分.从袋中任取3个小球,记所取3个小球的分数之和为X,求随机变量X的分布列、均值和方差. 规律方法　1.求离散型随机变量X的方差的基本步骤: 理解X的意义,写出X可能取的全部值 ↓ 求出X取每个值时的概率 ↓ 列出X的分布列 ↓ 由均值的定义求出E(X) ↓ 利用公式D(X)= (xi-E(X))2pi求出D(X) 2.已知随机变量Y=aX+b,求D(Y)时,注意D(Y)=D(aX+b)=a2D(X)的应用,这样既可以避免求随机变量Y的分布列,又能避免复杂的计算,简化计算过程. 探究点二 离散型随机变量的方差的应用 问题3如何利用离散型随机变量的方差来解决实际问题? 【例2】 甲、乙两个建材厂都想投标参加某重点项目建设,为了对重点项目建设负责,政府到两建材厂抽样检查,从两厂中各取等量的样品检查得到它们的抗拉强度指数,数据如下. X 110 120 125 130 135 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 Y 100 115 125 130 145 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 其中X和Y分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度,比较甲、乙两厂材料哪一种稳定性较好. 解 E(X)=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125, E(Y)=100×0.1+115×0.2+125×0.4+130×0.1+145×0.2=125, D(X)=0.1×(110-125)2+0.2×(120-125)2+0.4×(125-125)2+0.1×(130-125)2 +0.2×(135-125)2=50, D(Y)=0.1×(100-125)2+0.2×(115-125)2+0.4×(125-125)2+0.1×(130-125)2 +0.2×(145-125)2=165. 由于E(X)=E(Y),而D(X)<D(Y), 故甲厂的材料稳定性较好. 规律方法　离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平,而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.因此在实际决策问题中,需先计算均值,看谁的平均水平高,再计算方差,分析谁的水平发挥相对稳定.当然不同的情形要求不同,应视具体情况而定. 本节要点归纳 1.知识清单:(1)离散型随机变量的方差、标准差;(2)方差的性质;(3)方差的实际应用. 2.方法归纳:公式法、转化与化归. 3.常见误区:易对方差公式套用错误. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 级 必备知识基础练 1.(多选题)对于离散型随机变量X,有关它的均值E(X)和方差D(X),下列说法正确的是(　　) A.E(X)是反映随机变量的平均取值 B.D(X)越小,说明X越集中于E(X) C.E(aX+b)=aE(X)+b D.D(aX+b)=a2D(X)+b ABC 解析 离散型随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度,方差越小,说明随机变量的取值越集中于均值,即A,B正确;由均值和方差的性质可得,E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X),即C正确,D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.设随机试验的结果只有A发生和A不发生,且P(A)=m,令随机变量 则X的方差D(X)等于(　　) A.m B.2m(1-m) C.m(m-1) D.m(1-m) D 解析 显然X服从两点分布, ∴D(X)=m(1-m). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.(多选题)若随机变量X服从两点分布,其中P(X=0)= ,E(X),D(X)分别为随机变量X的均值与方差,则下列结论正确的是(　　) A.P(X=1)=E(X) B.E(3X+2)=4 C.D(3X+2)=4 D.D(X)= AB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.由以往的统计资料表明,甲、乙两名运动员在比赛中的得分情况为 X1(甲得分) 0 1 2 P 0.2 0.5 0.3 X2(乙得分) 0 1 2 P 0.3 0.3 0.4 现有一场比赛,应派哪位运动员参加较好(　　) A.甲 B.乙 C.甲、乙均可 D.无法确定 A 解析 ∵E(X1)=E(X2)=1.1,D(X1)=1.12×0.2+0.12×0.5+0.92×0.3=0.49, D(X2)=1.12×0.3+0.12×0.3+0.92×0.4=0.69,∴D(X1)<D(X2). 则甲比乙得分稳定,故派甲运动员参加较好. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.(多选题)已知A1,A2为两所高校举行的自主招生考试,某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为 ,该同学一旦通过某所高校的考试,就不再参加其他高校的考试,设该同学通过考试的高校个数为随机变量X,则(　　) A.X的可能取值为0,1 B.X服从两点分布 C.E(X)=1 D.D(X)= ABD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.已知随机变量ξ的分布列如表,D(ξ)表示ξ的方差,则D(2ξ+1)=　　　　.  ξ 0 1 2 P a 1-2a 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.编号为1,2,3的三名学生随意入座编号为1,2,3的三个座位,每名学生坐一个座位,设与座位编号相同的学生的人数是ξ,求E(ξ)和D(ξ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 级 关键能力提升练 8.设10≤x1<x2<x3<x4≤104,x5=105,随机变量X1取值x1,x2,x3,x4,x5的概率均为0.2,随机变量X2取值 的概率也均为0.2,若记D(X1),D(X2)分别为X1,X2的方差,则(　　) A.D(X1)>D(X2) B.D(X1)=D(X2) C.D(X1)<D(X2) D.D(X1)与D(X2)的大小关系与x1,x2,x3,x4的取值有关 A 解析 由题意可知E(X1)=E(X2),又由题意可知,X1的波动性较大,从而有D(X1)>D(X2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9.(多选题)袋内有大小完全相同的2个黑球和3个白球,从中不放回地每次任取1个小球,直至取到白球后停止取球,则(　　) BD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.已知随机变量X的分布列为 设Y=2X+3,则D(Y)=(　　) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.某旅游公司为三个旅游团提供了a,b,c,d四条旅游线路,每个旅游团可任选其中一条线路,则选择a线路的旅游团数X的方差D(X)=　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.已知随机变量X的分布列为 若E(X)= . (1)求D(X)的值; (2)若Y=3X-2,求D(Y)的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)因为Y=3X-2,所以D(Y)=D(3X-2)=9D(X)=5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13.为选拔射击选手,对甲、乙两名射手进行选拔测试.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X,Y,甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环,且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2. (1)求X,Y的分布列; (2)求X,Y的均值与方差,并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解 (1)依据题意知,0.5+3a+a+0.1=1,解得a=0.1. ∵乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2, ∴乙射中7环的概率为1-(0.3+0.3+0.2)=0.2. ∴X,Y的分布列分别为 X 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 Y 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 (2)结合(1)中X,Y的分布列,可得 E(X)=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2, E(Y)=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7, D(X)=(10-9.2)2×0.5+(9-9.2)2×0.3+(8-9.2)2×0.1+(7-9.2)2×0.1=0.96, D(Y)=(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2×0.3+(8-8.7)2×0.2+(7-8.7)2×0.2=1.21. ∵E(X)>E(Y),说明甲平均射中的环数比乙高. 又D(X)<D(Y),说明甲射中的环数比乙集中,射击技术比较稳定. ∴甲的射击技术好.故应选甲. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 　(xi-E(X))2pi 解 由题意可知,X的所有可能取值为5,4,3, 则P(X=5)=,P(X=4)=,P(X=3)= 故X的分布列为 X 5 4 3 P E(X)=5+4+3=4. D(X)=(5-4)2+(4-4)2+(3-4)2 X= 解析 随机变量X服从两点分布,其中P(X=0)=,∴P(X=1)=, E(X)=0+1,D(X)=0-2+1-2, 在A中,P(X=1)=E(X),故A正确; 在B中,E(3X+2)=3E(X)+2=3+2=4,故B正确; 在C中,D(3X+2)=9D(X)=9=2,故C错误; 在D中,D(X)=,故D错误. 故选AB. 解析 由已知X的可能取值为0,1,且服从两点分布. P(X=0)=, P(X=1)=, ∴E(X)=0+1, D(X)= 解析 由题意可得a+1-2a+=1,解得a=,则随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P 所以E(ξ)=0+1+2=1, D(ξ)=(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2=,D(2ξ+1)=22D(ξ)=2. 解 ξ的所有可能取值为0,1,3, 则P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=3)= 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 3 P E(ξ)=0+1+3=1, D(ξ)=(0-1)2+(1-1)2+(3-1)2=1. A.抽取2次后停止取球的概率为 B.停止取球时,取出的白球个数不少于黑球的概率为 C.取球次数ξ的均值为2 D.取球次数ξ的方差为 解析 设取球次数为ξ,则ξ的可能取值为1,2,3,则P(ξ=1)=, P(ξ=2)=,P(ξ=3)= 对于A选项,抽取2次后停止取球的概率为P(ξ=2)=,A选项错误; 对于B选项,停止取球时,取出的白球个数不少于黑球的概率为P(ξ=1)+P(ξ=2)=,B选项正确; 对于C选项,取球次数ξ的均值为E(ξ)=1+2+3,C选项错误; 对于D选项,取球次数ξ的方差为D(ξ)=(1-)2+(2-)2+(3-)2, D选项正确. X 0 1 2 P A. B. C. D. 解析 由X的分布列,得E(X)=0+1+2=1,则D(X)=(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2因为Y=2X+3,则D(Y)=4D(X)=故选A. 解析 由题意知X的可能取值有0,1,2,3, 则P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=, P(X=3)= 故E(X)=0+1+2+3, D(X)= = X 0 1 x P p 解 (1)由+p=1,得p= 又E(X)=0+1x=,所以x=2. D(X)=(0-)2 $$