7.4.1 二项分布 课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.4.1　二项分布 第七章　随机变量及其分布 人教A版 数学 选择性必修第三册 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 目录索引 学习单元4　二项分布与超几何分布 在函数的学习中,通过学习幂函数、指数函数、对数函数等基本函数,不仅加深了对一般函数概念的理解,而且奠定了建立适当的函数模型解决不同类型实际问题的数学基础.类似地,二项分布和超几何分布是两类重要的概率模型,通过对它们的研究,可以帮助进一步了解随机变量在描述随机现象中的作用,对随机思想在解决实际问题中的作用也有更深入的理解. 本学习单元的主要内容有n重伯努利试验、二项分布及其数字特征、超几何分布及其均值以及两种分布的简单应用.具体内容结构如下图所示: 本学习单元的难点在于能从实际问题中抽象出模型的特征,识别二项分布和超几何分布,明确二项分布与超几何分布的联系与区别,并进行简单应用.学习过程中要充分体验从特殊到一般的探究过程,提升数学抽象、逻辑推理和数学运算等核心素养. 学习目标 1.通过实例了解伯努利试验,掌握二项分布及其数字特征.(数学抽象、数学运算) 2.能用二项分布解决简单的实际问题.(数学建模) 基础落实·必备知识一遍过 知识点　二项分布 1.伯努利试验:我们把只包含　　　　可能结果的试验叫做伯努利试验.  2.n重伯努利试验:我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.n重伯努利试验具有如下共同特征: (1)同一个伯努利试验重复做n次; 　 各次试验成功的概率相同 (2)各次试验的结果相互独立. 两个 3.二项分布 一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为P(X=k)=　 ,k=0,1,2,…,n.  如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p). 4.二项分布的均值与方差 (1)两点分布:如果随机变量X服从两点分布,那么E(X)=p,D(X)=p(1-p). (2)二项分布:如果X~B(n,p),那么E(X)=np,D(X)=np(1-p). 　 当n=1时,即为两点分布 微思考 1.在n次独立重复试验中,各次试验的结果相互有影响吗?   2.二项分布与两点分布有何联系? 提示 在n次独立重复试验中,各次试验的结果相互之间无影响.因为每次试验是在相同条件下独立进行的,所以第i+1次试验的结果不受前i次结果的影响(其中i=1,2,…,n-1). 提示 在二项分布中,当n=1时,随机变量服从两点分布. 重难探究·能力素养速提升 问题1什么是伯努利试验? 问题2什么是n重伯努利试验?有何特征?如何判断? 问题3在伯努利试验中,我们关注某个事件A是否发生,而在n重伯努利试验中,我们会关注什么?更深入分析,事件A发生的次数是一个随机变量,那我们会关注什么? 探究点一 n重伯努利试验概率的求法 问题4如何求n重伯努利试验的概率? 【例1】 甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是 ,假设每次射击是否击中目标相互独立,甲、乙相互之间没有影响.(结果需用分数作答) (1)求甲射击3次,至少有1次未击中目标的概率; (2)若两人各射击2次,求甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率. 规律方法　n重伯努利试验概率求法的三个步骤 (1)判断:依据n重伯努利试验的特征,判断所给试验是不是n重伯努利试验. (2)分拆:将复杂事件表示成若干个互斥事件的并. (3)计算:就每个事件依据n重伯努利试验的概率公式求解,最后利用互斥事件概率加法公式计算. 探究点二 求两点分布与二项分布的均值 问题5伯努利试验的概率分布有何特征?n重伯努利试验的概率分布有何特征?这些概率分布有何性质? 【例2】 某运动员投篮命中率为p=0.6. (1)求投篮1次时命中次数X的均值; (2)求重复5次投篮时,命中次数Y的均值. 解 (1)投篮1次,命中次数X的分布列如下表. X 0 1 P 0.4 0.6 则E(X)=0.6. (2)由题意,重复5次投篮,命中的次数Y服从二项分布,即Y~B(5,0.6),则E(Y)=5×0.6=3. 规律方法　常见的两种分布的均值 设p为一次试验中成功的概率,则 (1)两点分布E(X)=p; (2)二项分布E(X)=np. 熟练应用上述公式可大大减少运算量,提高解题速度. 探究点三 二项分布的应用 问题6n重伯努利试验的概率分布有何性质?如何利用其来解决问题? 【例3】 高二(1)班的一个研究性学习小组在网上查知,某珍稀植物种子在一定条件下发芽成功的概率为 ,该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性试验. (1)第一小组做了5次这种植物种子的发芽试验(每次均种下一粒种子),求他们的试验中至少有3次发芽成功的概率. (2)第二小组做了若干次发芽试验(每次均种下一粒种子),如果在一次试验中种子发芽成功就停止试验,否则将继续进行下次试验,直到种子发芽成功为止,但试验的次数最多不超过5次.求第二小组所做种子发芽试验的次数ξ的分布列. 解 (1)至少有3次发芽成功,即有3次、4次、5次发芽成功. 设5次试验中种子发芽成功的次数为随机变量X, 规律方法　1.二项分布的简单应用是求n重伯努利试验中事件A恰好发生k次的概率.解题的一般思路是:根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→找到参数n,p→写出二项分布的分布列→将k值代入求解概率. 2.利用二项分布求解“至少”“至多”问题的概率,其实质是求随机变量在某一取值范围内的概率,一般转化为几个互斥事件发生的概率的和,或者利用对立事件求概率. 本节要点归纳 1.知识清单:(1)n重伯努利试验的概念及特征;(2)二项分布的概念及表示;(3)二项分布的均值、方差;(4)二项分布的性质. 2.方法归纳:公式法,数学建模. 3.常见误区:对于随机变量是否服从二项分布容易判断错误. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 级 必备知识基础练 1.(多选题)若随机变量X服从二项分布B(4, ),则下列结论正确的有(　　) A.P(X=1)=P(X=3) B.P(X=2)=3P(X=1) C.P(X=4)=2P(X=0) D.P(X=3)=4P(X=1) BD 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.已知X~B(n,p),E(X)=8,D(X)=1.6,则n与p的值分别为(　　) A.100和0.08 B.20和0.4 C.10和0.2 D.10和0.8 D 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.某同学上学路上要经过3个路口,在每个路口遇到红灯的概率都是 ,且在各路口是否遇到红灯是相互独立的,记X为遇到红灯的次数,若Y=3X+5,则Y的标准差为(　　) A 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中曾写道:“春江潮水连海平,海上明月共潮生.”潮水的涨落和月亮的公转运行有直接的关系,这是一种自然现象.根据历史数据,已知沿海某地在某个季节中每天出现大潮的概率均为 ,则该地在该季节连续三天内,至少有两天出现大潮的概率为(　　) A 13 解析 该地在该季节连续三天内,至少有两天出现大潮包括两天或三天出现大潮, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.甲、乙两人进行羽毛球比赛,比赛采取五局三胜制,无论哪一方先胜三局比赛都结束,假定甲每局比赛获胜的概率均为 ,则甲以3∶1的比分获胜的概率为(　　) A 解析 当甲以3∶1的比分获胜时,说明甲、乙两人在前三场比赛中,甲只赢了两局,乙赢了一局,第四局甲赢,所以甲以3∶1的比分获胜的概率为 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BCD 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.在4次独立重复试验中,事件A发生的概率相同,若事件A至少发生1次的概率为 ,则在1次试验中事件A发生的概率为　　　　　.  13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.小明参加社区组织的射击比赛活动,已知小明射击一次,击中区域甲的概率是 ,击中区域乙的概率是 ,击中区域丙的概率是 ,区域甲、乙、丙均没有重复的部分.这次射击比赛获奖规则是:若击中区域甲则获一等奖;若击中区域乙则有一半的机会获得二等奖,有一半的机会获得三等奖;若击中区域丙则获得三等奖;若击中上述三个区域以外的区域则不获奖.获得一等奖和二等奖的选手被评为“优秀射击手”称号. (1)求小明射击1次获得“优秀射击手”称号的概率; (2)小明在比赛中射击4次,每次射击的结果相互独立,设获三等奖的次数为X,求X的分布列和数学期望. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 级 关键能力提升练 9.在4次独立重复试验中,随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率,则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是(　　) A.[0.4,1) B.(0,0.4] C.(0,0.6] D.[0.6,1) A ∴4(1-p)≤6p. ∵0<p<1, ∴0.4≤p<1. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.(多选题)若随机变量X~B(5, ),则P(X=k)最大时,k的值可以为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 AB 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.某同学共投篮12次,每次投篮命中的概率为0.8,假设每次投篮相互独立,记他投篮命中的次数为随机变量X,则D(2X)=　　　　,该同学投篮最有可能命中　　　　次.  7.68 10 解析 由二项分布的定义可知,X~B(12,0.8), 故D(2X)=22D(X)=4×12×0.8×(1-0.8)=7.68. 设该同学投篮最有可能命中m次, 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12.用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布,两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏,“石头”胜“剪刀”,“剪刀”胜“布”,“布”胜“石头”.双方出示的手势相同时,不分胜负.现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的. (1)求在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率;   (2)若玩家甲、乙双方共进行了3次游戏,其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量X,求X的分布列. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解 (1)用x1,x2分别表示玩家甲、乙双方在1次游戏中出示的手势,则可用(x1,x2)表示玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的可能结果,则样本空间Ω={(石头,石头),(石头,剪刀),(石头,布),(剪刀,石头),(剪刀,剪刀),(剪刀,布),(布,石头),(布,剪刀),(布,布)},共有9个样本点.玩家甲胜玩家乙的样本点分别是(石头,剪刀),(剪刀,布),(布,石头),共有3个. 所以在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率P= . 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13.为了调查某地市民对中医药文化的了解程度,某学习小组随机向该地100位不同年龄段的市民发放了有关中医药文化的调查问卷,得到的数据如下表所示: 年龄段 成绩 [0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100] 31岁~40岁 4 8 13 9 6 41岁~50岁 2 8 10 22 18 规定成绩在区间[0,60)内代表对中医药文化了解程度低,成绩在区间[60,100]内代表对中医药文化了解程度高. (1)从这100位市民中随机抽取1人,求抽到对中医药文化了解程度高的市民的频率; (2)将频率视为概率,现从该地41岁~50岁年龄段的市民中随机抽取3人,记X为对中医药文化了解程度高的人数,求X的分布列和期望. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)根据表格可知,在41岁~50岁年龄段中, 成绩在区间[0,60)内的人数为2+8+10=20,成绩在区间[60,100]内的人数为22+18=40, 则随机抽取1人,这个人是对中医药文化了解程度高的市民的概率 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 pk(1-p)n-k 解 (1)记“甲射击3次,至少有1次未击中目标”为事件A,由题意知,射击3次,相当于3次独立重复试验,故P(A)=1-P()=1-()3= (2)记“甲恰有2次击中目标”为事件B,“乙恰有1次击中目标”为事件C,则P(B)=()2=,P(C)=(1-)=,由于甲、乙射击相互独立, 故P(BC)= 则P(X=3)=, P(X=4)=, P(X=5)= 所以至少有3次发芽成功的概率 P=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)= (2)随机变量ξ的可能取值为1,2,3,4,5. P(ξ=1)=, P(ξ=2)=, P(ξ=3)=, P(ξ=4)=, P(ξ=5)=1= 所以ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 5 P 解析 由题意,X的分布列为P(X=k)=)k·(1-)4-k,k=0,1,2,3,4, 则P(X=0)=0×1-4=,P(X=1)=1×1-3=, P(X=2)=2×1-2=,P(X=3)=3×1-1=, P(X=4)=4×1-0=, 因此P(X=2)=3P(X=1),P(X=3)=4P(X=1),P(X=4)=16P(X=0).故选BD. 解析 因为X~B(n,p),所以 解得 A. B.3 C. D.2 解析 因为该同学经过每个路口时,是否遇到红灯互不影响,所以可看成3重伯努利试验,即X~B3,,则X的方差D(X)=31-=, 所以Y的方差D(Y)=32·D(X)=9=6, 所以Y的标准差为 A. B. C. D. 有两天出现大潮的概率为2, 有三天出现大潮的概率为3=, 所以至少有两天出现大潮的概率为 A. B. C. D. P=()2×(1-)=3故选A. 6.(多选题)已知随机变量X~B(10,p),随机变量Y~B(10,1-p),p∈(0,],则下列说法正确的有(　　) A.当p=时,P(X≤1)= B.D(X)+D(Y)的最大值为5 C.当p=时,P(X=k)取最大值时k=5 D.[P(X=k-1)-P(Y=k-1)](k-6)≤0 解析 对于A,当p=时,P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=(1-p)10+p(1-p)9=,故A错误.对于B,D(X)+D(Y)=20p(1-p)≤20×[]2=5,当且仅当p=时,等号成立,故B正确.对于C,当p=时,P(X=k)=)k()10-k=,由二项式系数的性质可知当k=5时,P(X=k)取得最大值,故C正确. 对于D,P(X=k-1)-P(Y=k-1)=pk-1(1-p)11-k-(1-p)k-1p11-k,当k<6时,P(X=k-1)-P(Y=k-1)=pk-1(1-p)k-1[(1-p)12-2k-p12-2k],因为p∈(0,],所以(1-p)12-2k-p12-2k>0,则[P(X=k-1)-P(Y=k-1)](k-6)<0;当k>6时,P(X=k-1)-P(Y=k-1)=p11-k(1-p)11-k[p2k-12-(1-p)2k-12],因为p∈(0,),所以p2k-12-(1-p)2k-12<0,所以[P(X=k-1)-P(Y=k-1)](k-6)<0;当k=6时,[P(X=k-1)-P(Y=k-1)](k-6)=0.综上所述,D正确.故选BCD. 解析 设在一次试验中,事件A发生的概率为p, 由题意知,1-(1-p)4=,所以(1-p)4=,故p= 解 (1)记射击一次获得“优秀射击手”称号为事件A,射击一次获得一等奖为事件B,射击一次获得二等奖为事件C,则有A=B∪C,P(B)=,P(C)=, 所以P(A)=P(B∪C)=P(B)+P(C)= (2)记“获得三等奖”为事件D, 所以P(D)= 获得三等奖的次数为X,显然X~B(4,),则X的分布列为P(X=k)=)k()4-k, k=0,1,2,3,4. 所以P(X=0)=0×4=,P(X=1)=1×3=, P(X=2)=2×2=,P(X=3)=3×1=, P(X=4)=4×0= 计算的具体结果为 X 0 1 2 3 4 P E(X)=4=1. 解析 由题意得,p(1-p)3p2(1-p)2, 解析 依题意得P(X=k)=)k()5-k,k=0,1,2,3,4,5. 则P(X=0)=,P(X=1)=, P(X=2)=,P(X=3)=, P(X=4)=,P(X=5)= 故当k=1或k=2时,P(X=k)最大. 则 即解得m, 因为m为正整数,所以m=10, 当m=10时,0.810×0.22=4.125×0.812. 又当m=0时,0.80×0.212=0.212, 当m=12时,0.812×0.20=0.812, 所以该同学投篮最有可能命中10次. (2)X的可能取值分别为0,1,2,3,X~B, 则P(X=0)=,P(X=1)=, P(X=2)=,P(X=3)= 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 解 (1)由表格可知,成绩在区间[60,100]内的人数为9+6+22+18=55, 所以,抽到对中医药文化了解程度高的市民的频率为 P=, 了解程度低的概率为1-P=, 由题意可知X~B(3,),则X的分布列为P(X=k)=)k()3-k,k=0,1,2,3. 则P(X=0)=()0×()3=,P(X=1)=()2=, P(X=2)=()2,P(X=3)=()3×()0=, 故具体的计算结果为 X 0 1 2 3 P 所以X的数学期望E(X)=0+1+2+3=2. $$