第七章 随机变量及其分布 全章总结提升课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

全章总结提升 第七章　随机变量及其分布 人教A版 数学 选择性必修第三册 网络构建归纳整合 专题突破素养提升 目录索引 网络构建归纳整合 专题突破素养提升 专题一　条件概率与全概率公式 1.求条件概率有两种方法:一种是基于样本空间Ω,先计算P(A)和P(AB),再利用P(B|A)= 求解;另一种是缩小样本空间,即以A为样本空间计算AB的概率. 2.掌握条件概率与全概率运算,有助于提升逻辑推理和数学运算的核心素养. 【例1】 采购员要购买10个一包的电器元件.他的采购方法是:从一包中随机抽查3个,如果这3个元件都是好的,他才买下这一包.假定含有4个次品的包数占30%,而其余包中各含1个次品.求: (1)采购员拒绝购买的概率; (2)在采购员拒绝购买的条件下,抽中的一包中含有4个次品的概率. 解 设B1=“取到的是含4个次品的包”, B2=“取到的是含1个次品的包”, 规律方法　条件概率的计算的注意点 (1)明确P(A),P(B|A)以及P(AB)三者之间的关系,实现三者之间的互化. (2)理解全概率公式P(B)= P(Ai)·P(B|Ai)中化整为零的计算思想. 变式训练1(1)已知5道试题中有3道代数题和2道几何题,每次从中抽取一道题,抽出的题不再放回.在第1次抽到代数题的条件下,第2次抽到几何题的概率为(　　) C (2)某同学买了7个盲盒,每个盲盒中都有一个玩具,有4个装小兔玩具和3个装小狗玩具. ①依次不放回地从中取出2个盲盒,在第1次取到小兔盲盒的条件下,第2次取到小兔盲盒的概率; ②依次不放回地从中取出2个盲盒,求第2次取到的是小狗盲盒的概率. 专题二　离散型随机变量的分布列、均值和方差 1.均值和方差都是随机变量重要的数字特征,方差是建立在均值的基础之上,它表明了随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散程度,二者的联系密切,在实际问题应用比较广泛. 2.掌握离散型随机变量的分布列、均值和方差,有助于提升逻辑推理与数学运算的核心素养. 角度1.二项分布的均值、方差 【例2】 某厂有4台大型机器,在一个月中,一台机器至多出现1次故障,且每台机器是否出现故障是相互独立的,出现故障时需1名工人进行维修,每台机器出现故障需要维修的概率为 . (1)问该厂至少有多少名维修工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不小于90%? (2)已知1名工人每月只有维修1台机器的能力,每月需支付给每名工人1万元的工资,每台机器不出现故障或出现故障能及时维修,能使该厂产生5万元的利润,否则将不产生利润.若该厂现有2名工人,求该厂每月获利的均值. 故X的分布列为 设该厂有n名工人,则“每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修”为X≤n,X=0,X=1,X=2,…,X=n,则 角度2.超几何分布的均值 【例3】 为了解某地区人民对体育运动的热情和对运动相关知识的掌握情况,该地区在各社区开展了有奖知识竞赛,参赛人员所得分数的分组区间为[50,60],(60,70],(70,80],(80,90],(90,100],由此得到总体的频率统计表,再利用分层随机抽样的方式随机抽取20名居民进行进一步调研. 分数区间 [50,60] (60,70] (70,80] (80,90] (90,100] 频率 0.1 2a 0.4 0.2 a (1)若打算从这20名参赛居民中依次抽取3名进行调查分析,求在第一次抽出1名居民分数在区间(70,80]上的条件下,后两次抽出的2名居民分数位于区间(80,90]上的概率; (2)若从得分在80分以上的样本中随机选取2人,用X表示得分高于90分的人数,求X的分布列及数学期望. 解 (1)由题意得0.1+2a+0.4+0.2+a=1,所以a=0.1.则得分位于(70,80]上的共有8人,得分位于(80,90]上的共有4人,记事件A:第一次抽出1名居民分数在区间(70,80]上,记事件B:后两次抽出的2名居民分数在区间(80,90]上,则 (2)得分位于80分以上的共有6人,其中得分位于区间(90,100]上的共有2人,所以X的可能取值有0,1,2, 规律方法　求离散型随机变量X的均值与方差的步骤 (1)理解X的意义,写出X可能的全部取值. (2)求X取每个值的概率. (3)写出X的分布列. (4)由分布列和均值的定义求出E(X). (5)由方差的定义,求D(X),若X~B(n,p),则可直接利用公式求E(X)=np,D(X)=np(1-p). 变式训练2福州纸伞是历史悠久的中国传统手工艺品,属于福州三宝之一.纸伞的制作工序大致分为三步:第一步削伞架;第二步裱伞面;第三步绘花刷油.一个优秀的作品除了需要有很好的素材外,更要有制作上的技术要求.已知某工艺师在每个环节制作合格的概率分别为 ,只有每个环节制作都合格,才能成功制作出优秀作品. (1)求该工艺师进行3次制作,恰有一件优秀作品的概率; (2)若该工艺师制作4次,其中优秀作品数为X,求X的分布列及数学期望. 专题三　正态分布的综合问题 解决正态分布的应用题,关键是如何转化,同时注意以下两点: (1)注意3σ原则,记住正态总体在三个区间内取值的概率. (2)注意数形结合.由于正态密度曲线具有完美的对称性,因此运用对称性和结合图象解决某一区间内的概率问题成为常考点. 【例4】 某市为了解本市1万名小学生的普通话水平,在全市范围内进行了普通话测试,测试后对每个小学生的普通话测试成绩进行统计,发现这1万名小学生的普通话测试成绩Z服从正态分布N(69,49). (1)从这1万名小学生中任意抽取1名小学生,求这名小学生的普通话测试成绩在区间(62,90)内的概率; (2)现在从总体中随机抽取12名小学生的普通话测试成绩,对应的数据如下: 50,52,56,62,63,68,65,64,72,80,67,90.从这12个数据中随机选取4个,记X表示大于总体平均分的个数,求X的方差. 参考数据:若Y~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤Y≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤Y≤μ+2σ)≈0.954 5, P(μ-3σ≤Y≤μ+3σ)≈0.997 3. 规律方法　利用正态曲线解决实际性问题时常利用其对称性解题,并注意借助[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]三个区间内的概率值求解,并注意正态曲线与频率分布直方图的结合. 变式训练3从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得到如下频率分布直方图: (1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2.(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) (2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数x,σ2近似为样本方差s2. ①利用该正态分布,求P(187.8≤Z≤212.2); ②某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间[187.8,212.2]上的产品件数,利用①的结果,求E(X). 若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.954 5. 解 (1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为 x=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08 +230×0.02=200, s2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+ 202×0.08+302×0.02=150. (2)①由(1)知,Z~N(200,150),从而P(187.8≤Z≤212.2) =P(200-12.2≤Z≤200+12.2)≈0.682 7. ②由①知,一件产品的质量指标值位于区间[187.8,212.2]上的概率约为0.682 7,依题意知X~B(100,0.682 7),所以E(X)=100×0.682 7=68.27. 专题四　方程思想的应用 方程思想就是从分析问题的数量关系入手,把变量之间的关系用方程的关系反映出来,然后通过解方程或对方程进行讨论,使问题得以解决.利用方程思想解题的关键是列出方程. 【例5】 一个袋子内装有若干个黑球、3个白球、2个红球(所有的球除颜色外其他均相同),从中一次性任取2个球,每取得一个黑球得0分,每取得一个白球得1分,每取得一个红球得2分,用随机变量X表示取2个球的总得分,已知得0分的概率为 . (1)求袋子中黑球的个数; (2)求X的分布列与均值. 解 (1)设袋中黑球的个数为n(易知n≥2), 由条件知,当取得2个黑球时得0分,概率为P(X=0)= 化简得n2-3n-4=0, 解得n=4或n=-1(舍去),即袋子中有4个黑球. 规律方法　利用方程思想求解时,要注意及时验根看是否都符合实际情况,有关排列组合数的方程还要注意n为自然数这一隐含条件. 变式训练4甲、乙两人为了响应政府“节能减排”的号召,决定各购置一辆纯电动汽车.经了解目前市场上销售的主流纯电动汽车,按续航里程数R(单位:千米)可分为三类车型,A:80≤R<150,B:150≤R<250,C:R≥250.甲从A,B,C三类车型中挑选一款,乙从B,C两类车型中挑选一款,甲、乙二人选择各类车型的概率如下表: 已知甲、乙都选C类车型的概率为 . (1)求p,q的值; (2)求甲、乙选择不同车型的概率; (3)某市对购买纯电动汽车进行补贴,补贴标准如下表: 车型 A B C 补贴金额/(万元/辆) 3 4 5 记甲、乙两人购车所获得的财政补贴之和为X万元,求X的分布列. A=“采购员拒绝购买”,P(B1)=,P(B2)= P(A|B1)=1-,P(A|B2)=1- (1)由全概率公式得到P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2) = (2)P(B1|A)= A. B. C. D. 解析 设事件A=“第1次抽到代数题”,事件B=“第2次抽到几何题”,所以P(A)=,P(AB)=,则P(B|A)=故选C. 解 ①设事件Ai=“第i次取到的是小兔盲盒”,i=1,2. ∵n(A1)==24,n(A1A2)==12, ∴在第1次取到小兔盲盒的条件下,第2次取到小兔盲盒的概率P(A2|A1)= ②设事件Bi=“第i次取到的是小狗盲盒”,i=1,2. ∵P(B1)=,P(B2|B1)=,P(A1)=,P(B2|A1)=,∴由全概率公式,可知第2次取到的是小狗盲盒的概率为P(B2)=P(B1)P(B2|B1)+P(A1)P(B2|A1)= 解 (1)设“机器出现故障”为事件A,则P(A)= 设出现故障的机器台数为X,则X~B(4,), P(X=0)=()4=, P(X=1)=3=, P(X=2)=2×2=, P(X=3)=3, P(X=4)=4= 因为<90%<,所以至少要3名工人,才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不小于90%. n 0 1 2 3 4 P(X≤n) 1 X 0 1 2 3 4 P (2)设该厂获利为Y万元,则Y的所有可能取值为18,13,8, P(Y=18)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=, P(Y=13)=P(X=3)=, P(Y=8)=P(X=4)= 故Y的分布列为 Y 18 13 8 P 所以E(Y)=18+13+8, 故该厂每月获利的均值为万元. P(A)=,P(AB)=,由条件概率公式可得P(B|A)= P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,所以X的分布列为 X 0 1 2 P 所以E(X)=0+1+2 解 (1)由题意可知,制作一件优秀作品的概率为, ∴该工艺师进行3次制作,恰有一件优秀作品的概率P=()2= (2)该工艺师制作4次,其中优秀作品数为X,X的所有可能取值为0,1,2,3,4, 由题意可知,X~B4,, P(X=0)=4=,P(X=1)=3=, P(X=2)=2×2=,P(X=3)=3, P(X=4)=4=, 故X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P E(X)=4 解 (1)因为学生的普通话测试成绩Z服从正态分布N(69,49),所以μ=69,σ=7, 所以P(62<Z<90)=P(μ-σ<Z<μ+3σ)=0.84. (2)因为总体平均分为μ=69,所以这12个数据中大于总体平均分的有3个,所以X的可能取值为0,1,2,3,则P(X=0)=, P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=, 所以E(X)=0+1+2+3=1, D(X)=(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2+(3-1)2 附:≈12.2. , (2)X的所有可能取值为0,1,2,3,4, ∴P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=, P(X=3)=,P(X=4)=, ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P ∴E(X)=0+1+2+3+4 车型 A B C 甲 p q 乙 — 解 (1)由题意可得解得 (2)设M=“甲、乙选择不同车型”,分甲选车型A,甲选车型B、乙选车型C,甲选车型C、乙选车型B三种情况,故P(M)=所以甲、乙选择不同车型的概率是 (3)X的所有可能取值为7,8,9,10. P(X=7)=,P(X=8)=, P(X=9)=,P(X=10)= 所以X的分布列为 X 7 8 9 10 P $$