7.2离散型随机变量及其分布列 课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.2 离散型随机变量及其分布列 1 样本点： 随机试验的每个可能的基本结果，用ω表示. 样本空间： 随机试验的全体样本点的集合，用Ω表示. 复习回顾 随机事件(简称事件)： 样本空间Ω的子集，用大写字母A，B，C，…表示. 基本事件：只包含一个样本点的事件. 例：抛掷一枚骰子，观察它落地时朝上的面的点数. 复习回顾 基本事件为 {1}，{2}，{3}，{4}，{5}，{6}. 记 A=“朝上的为偶数点”，则基本事件A={2,4,6}. 用实数m表示“掷出的点数为m” (m=1,2,3,4,5,6） 样本空间为 Ω={1,2,3,4,5,6}. 例：抛掷一枚硬币,观察它落地时朝上的面. 样本空间的表达形式不唯一 情景导入 若用1表示“正面朝上”，用0表示“反面朝上” 则样本空间为 Ω={0,1}. 样本空间为 Ω={正面朝上，反面朝上}. 例：抛掷一枚骰子，观察它落地时朝上的面的点数. 复习回顾 用实数m表示“掷出的点数为m” (m=1,2,3,4,5,6） 样本空间为 Ω={1,2,3,4,5,6}. 有些随机试验的样本空间与数值有关系，我们可以直接与实数建立关系. 例：抛掷一枚硬币,观察它落地时朝上的面. 情景导入 若用1表示“正面朝上”，用0表示“反面朝上” 则样本空间为 Ω={0,1}. 样本空间为 Ω={正面朝上，反面朝上}. 有些随机试验的样本空间与数值没有直接关系，可以根据问题的需要为每个样本点指定一个数值. 这个试验的样本点与实数就建立了对应关系. 类似地， 说明：任何一个随机试验,总可以把它的每个样本点与一个实数对应.即通过引入一个取值依赖于样本点的变量X,来刻画样本点和实数的对应关系,实现样本点的数量化. 因为在随机试验中样本点的出现具有随机性,所以变量X的取值也具有随机性. 在“优,良,中,及格,不及格”5个等级的测试中,某同学可能取得的成绩. 优 良 中 及格 不及格 5 4 3 2 1 情景导入 7 考察下列随机试验及其引入的变量： 探究新知 试验1: 抛掷两枚硬币,观察它们落地时朝上的面的情况, 用变量X 表示正面朝上的次数; 用1表示“正面朝上”，0表示“反面朝上”，用0和1构成的长度为2的字符串表示样本点: 样本空间 Ω1={00,01,10,11}， 各样本点与变量X的值的对应关系如表所示. 样本点 00 01 10 11 变量X 0 1 1 2 8 考察下列随机试验及其引入的变量： 探究新知 试验2:抛掷一枚硬币直到出现正面为止，变量Y 表示需要 的抛掷次数. 用h表示“正面向上”，t表示“反面向上”： 样本空间Ω2={h，th，tth，ttth，…}， 这个样本Ω2包含无穷多个样本点,各样本点与变量Y的值的对应关系如表所示. 样本点 h th tth ttth ... 变量Y 1 2 3 4 ... 9 考察下列随机试验及其引入的变量： 探究新知 试验1:抛掷两枚硬币,观察它们落地时朝上的面的情况, 用变量X 表示正面朝上的次数; 试验2:抛掷一枚硬币直到出现正面为止,用变量Y 表示需要 的抛掷次数. 在上面两个随机试验中,每个样本点都有唯一的一个实数与之对应.变量X,Y 有如下共同点： （1）取值依赖于样本点; （2）所有可能取值是明确的. 10 知识要点 一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有唯一的实数 X(ω)与之对应,我们称X为随机变量. 试验1中随机变量X的可能取值为0,1,2,共有3个值； 试验2中随机变量Y的可能取值为1,2,3,…,有无限个取值,但可以一一列出. 像这样,可能取值为有限个或可以一一列出的随机变量, 称为离散型随机变量. 通常用大写英文字母表示随机变量，例如 X,Y, Z,ξ,η ； 用小写英文字母表示随机变量的取值，例如 x, y, z. 11 函数与随机变量的异同点 探究新知 函数 自变量(数) 正面 向上 反面 向上 1 0 随机变量 函数值(数) 样本点 (不一定是数) 随机变量(数) 都是映射 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 12 小试牛刀 判断下列变量是不是离散型随机变量,是的话说出其可能的取值. 1. 某人射击一次可能命中的环数X. 2. 在一个装有8个红球,4个白球的袋子中,随机摸出4个球,这4个球中白球的个数Y. 3. 某网页在24小时内被浏览的次数Z. 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 0，1，2，3，4 0，1，2，3，…… 所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量. 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 13 种子含水量的测量误差X1； 某品牌电视机的使用寿命X2； 某一天内的温度X3等. 知识要点 这些都是可以在某个区间内取任意实数、不能一一列出的随机变量，称为连续型随机变量. 例如 ： 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 14 根据问题引入合适的随机变量，有利于我们简洁地表示关心的随机事件，以及随机试验中的概率问题. 学以致用 例如 ：抛掷一枚骰子,掷出的点数为X. Ω={1，2，3，4，5，6} 通过随机变量X 可以表示一些随机事件. 事件“掷出1点”表示为{X=1}； 事件“掷出的点数不大于2”表示为{X≤2}； 事件“掷出偶数点”表示为{X=2}∪{X=4}∪{X=6}， 或表示为{X=2或X=4或X=6}. 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 15 学以致用 例如 ：抛掷一枚骰子,掷出的点数为X. X 可能的取值有1,2,3,4,5,6 X P 1 2 6 5 4 3 列表: 该表不仅列出了随机变量X的所有取值,而且列出了X的每一个取值的概率. 我们将上述表格叫做随机变量X的分布列. 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 16 知识要点 一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1, x2 ,…, xn , 我们称X取每一个值 xi 的概率 P(X=xi)=pi ，i=1，2，…，n 为X的概率分布列，简称分布列. 注意：① 列出随机变量的所有可能取值； ② 求出随机变量的每一个值发生的概率. 17 知识要点 1. 离散型随机变量分布列的表示法 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn ②表格法: ③图象法: 2.离散型随机变量分布列的性质 X P 6 5 4 3 2 0 1 ①解析式法: 18 利用分布列和概率的性质，可以计算一些事件的概率. 学以致用 例如 ：抛掷一枚骰子,掷出的点数X的分布列为： X P 1 2 6 5 4 3 事件“掷出的点数不大于2”的概率为 事件“掷出偶数点”的概率为 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 19 学以致用 例1 一批产品中次品率为5%，随机抽取1件，定义 求X的分布列. 解：根据X的定义，X的分布列为 X 0 1 P 0.95 0.05 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 20 知识要点 对于只有两个可能结果的随机实验，用A表示“成功”， 表示“失败”，定义 如果P(A)=p，则 ，X的分布列为 X 0 1 P 1-p p 称X服从两点分布或0—1分布. 21 学以致用 例2 某学校高二年级有200名学生,他们的体育综合测试成绩分5个等级,每个等级对应的分数和人数如下表所示. 解：X可能取值为1,2,3,4,5,且{X=1}=“不及格”,{X=2}=“及格”, {X=3}=“中等”,{X=4）=“良”,{X=5}=“优”. 根据古典概型的知识，可得X的分布列，如下表所示. 等级 不及格 及格 中等 良好 优秀 分数 1 2 3 4 5 人数 20 50 60 40 30 从中任意选取1人,求所选同学分数X的分布列,以及P(X ≥4). X 1 2 3 4 5 P 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 22 学以致用 例2 某学校高二年级有200名学生,他们的体育综合测试成绩分5个等级,每个等级对应的分数和人数如下表所示. 等级 不及格 及格 中等 良好 优秀 分数 1 2 3 4 5 人数 20 50 60 40 30 从中任意选取1人,求所选同学分数X的分布列,以及P(X ≥4). X 1 2 3 4 5 P P(X ≥4)=P(X =4)+P(X =5) 解： 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 23 学以致用 例3 一批笔记本电脑共有10台,其中A品牌3台 ,B品牌7台. 如果从中随机挑选2台,求这2台电脑中A品牌台数的分布列. 则X可能取值为0,1,2,可得X的分布列为： 解： X 0 1 2 P 用表格 表示为： 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 24 D 1. 下列表中可以作为离散型随机变量的分布列是( ) 小试牛刀 2. 若离散型随机变量 X 的分布列为 小试牛刀 X 0 1 P 2a 3a 则a＝____. 3. 袋中有4个红球,3个黑球,从袋中随机取球,设取到一个红球得2分,取到一个黑球得1分,从袋中任取4个球. 求得分X的概率分布列. 解: 从袋中随机摸4个球的情况为：1红3黑，2红2黑， 3红1黑，4红 共四种情况, 其分别得分为5分,6分,7分,8分. 故X的可能取值为5,6,7,8. 小试牛刀 所以，得分 X 的概率分布列为： X 5 6 7 8 P 4. 袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个,从袋中任取3个小球,按3个小球上最大数字的9倍计分,每个小球被取的可能性相等,用X表示取出的3个小球上的最大数字. (1)随机变量X的概率分布列； (2)计算介于20分到40分之间的概率． 解: 依题意可知，X的可能取值为2,3,4,5. 小试牛刀 所以，得分 X 的概率分布列为： X 2 3 4 5 P (2)设事件C=“一次取球得分介于20分到40分之间” 求离散型随机变量分布列的步骤 1. 明确随机变量的所有可能取值以及取每个值 所表示的意义； 2. 利用概率的有关知识,求出随机变量每个取值 的概率； 3. 按规范形式写出分布列. 课堂总结 $$