7.1 条件概率与全概率公式 课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第七章　随机变量及其分布 7.1　条件概率与全概率公式 人教A版 数学 选择性必修第三册 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 目录索引 学习单元1　条件概率与全概率公式 条件概率是概率论的重要概念,由此得出的乘法公式彻底解决了积事件概率的计算问题.全概率公式是概率论中一个基本且重要的公式,其基本思想是利用一组两两互斥的事件,将一个复杂事件表示为两两互斥事件的和事件,再由概率的加法公式和乘法公式求这个复杂事件的概率,它为计算某些事件的概率提供了有力的工具. 本学习单元通过创设不同的情境,让学生先直观认识条件概率的意义,通过列举试验的样本空间,发现条件概率的本质是在缩小的样本空间上的概率,然后从特殊到一般抽象出条件概率的定义.同样地,通过具体实例,提炼出求复杂事件概率的基本思路,将其一般化得到全概率公式.利用全概率公式计算概率,体现了分解与综合、化难为易的转化思想. 具体内容结构如下图所示: 学习目标 1.结合古典概型,了解条件概率,掌握条件概率的两种求法.(数学抽象) 2.理解全概率公式.(逻辑推理) 3.能够利用条件概率公式与全概率公式解决一些简单的实际问题.(数学建模) 基础落实·必备知识一遍过 知识点1　条件概率 1.定义:一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,我们称P(B|A)= 为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率.   　当A为必然事件时,P(B|A)=P(B) 2.概率的乘法公式:对任意两个事件A与B,若P(A)>0,则　　　　　　　　　.  我们称该式为概率的乘法公式. P(AB)=P(A)P(B|A) 名师点睛 对于条件概率需注意的问题 (1)利用条件概率公式求P(B|A)时一定要注意P(A)>0. (2)事件B在“事件A已发生”这个附加条件下发生的概率与没有这个附加条件发生的概率一般是不相同的. 微思考 1.P(B|A)与P(AB)有何区别? 2.若事件A,B互斥,则P(B|A)是多少? 提示 P(B|A)的值是事件AB发生相对于事件A发生的概率的大小;而P(AB)是事件AB发生相对于原来的总空间而言,一般P(B|A)≠P(AB). 提示 A与B互斥,即A,B不同时发生,则P(AB)=0,故P(B|A)=0. 知识点2　条件概率的性质 条件概率只是缩小了样本空间,因此条件概率同样具有概率的性质.设样本空间为Ω,P(A)>0,则 (1)P(Ω|A)=1; (2)如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=　　　　　　　　;  (3)设 和B互为对立事件,则P( |A)=　　　　　.  P(B|A)+P(C|A)　 1-P(B|A) 微思考 条件概率与一般的古典概型的概率、与积事件的概率有何区别?试分辨下面的例子是什么类型的概率. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子1次,(1)求出现大于3点的概率;(2)已知抛出的点数是偶数,求出现大于3点的概率;(3)求出现大于3点的偶数点的概率. 提示 条件概率与古典概型的区别在于样本空间的不同,条件概率与积事件的区别在于所发生的事件不同.例子具体类型:抛掷一枚质地均匀的正方体骰子1次, (1)出现大于3点的概率.(古典概型,样本空间中的样本点数为6,则P1= ) (2)已知抛出的点数是偶数,求出现大于3点的概率.(条件概率,样本空间中的样本点数为3,P2= ) (3)出现大于3点的偶数点的概率.(积事件概率,样本空间中的样本点数为6,P3= ) 知识点3　全概率公式 1.定义:一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,有　 　　　　　　　,我们称此公式为全概率公式.  *2.贝叶斯公式:设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,P(B)>0,有 　 .  注意此条件不可或缺 微思考 1.全概率公式中蕴含了什么数学思想?有怎样的作用? 提示 全概率公式中蕴含了分类讨论的数学思想.它将一个复杂事件的概率求解问题,转化为在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题. 2.贝叶斯公式实现了怎样的效果? 提示 贝叶斯公式实现了条件概率中条件的互相转换,把P(A|B)的求解问题转化成运用P(B|A)来求. 重难探究·能力素养速提升 问题1在必修第二册“概率”的学习中,当同一试验中两个事件A与B相互独立时,则其积事件AB的概率为P(AB)=P(A)P(B).如果事件A与B为两个随机事件,如何表示积事件AB的概率呢? 探究点一 利用条件概率公式求条件概率 问题2条件概率可以通过哪些方式来求? 问题3如何从题意识别是求条件概率还是求积事件的概率? 【例1】 集合A={1,2,3,4,5,6},甲、乙两人各从A中任取一个数,若甲先取(不放回),乙后取.在甲抽到奇数的条件下,求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率. 规律方法　求条件概率P(B|A)的关键是先求出P(AB),P(A),再利用条件概率公式求出P(B|A).在古典概型中,样本空间Ω包含的样本点的个数为n(Ω),事件A包含的样本点的个数为n(A),事件AB包含的样本点的个数为n(AB), 探究点二 求互斥事件的条件概率 问题4条件概率相对于一般的概率,只是缩小了样本空间.类比一般概率的性质,可否写出条件概率的性质? 问题5互斥事件的条件概率如何计算?这种计算方法蕴含了怎样的数学思想? 【例2】 一张储蓄卡的密码共有6位数字,每位数字都可从0~9这十个数中任选一个.某人在银行自助提款机上取钱时,忘记了密码的最后一位数字,求: (1)任意按最后一位数字,不超过3次就按对的概率; (2)如果他记得密码的最后一位的数字不大于4,不超过3次就按对的概率. 规律方法　当所求事件的概率相对较复杂时,往往把该事件分成两个(或多个)互斥的较简单的事件之和,求出这些较简单事件的概率,再利用P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)便可求得所求事件的概率.但应注意这个公式在“B与C互斥”这一前提下才成立. 探究点三 全概率公式的应用 问题6什么是全概率公式?与互斥事件的条件概率有何区别? 【例3】 有一批产品是由甲、乙、丙三厂同时生产的,其中甲厂产品占50%,乙厂产品占30%,丙厂产品占20%,甲厂产品正品率为95%,乙厂产品正品率为90%,丙厂产品正品率为85% .如果从这批产品中随机抽取一件,求该产品是正品的概率. 解 设A,B,C分别表示抽得产品是甲厂、乙厂、丙厂生产的,D表示抽得产品为正品, 则由已知,P(A)=50%, P(B)=30%, P(C)=20%, P(D|A)=95%, P(D|B)=90%, P(D|C)=85%, 从而任取一件产品为正品的概率可由全概率公式得到: P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C) 规律方法　利用全概率公式求概率 为了求复杂事件的概率,往往可以把它分解成若干个互不相容的简单事件,然后利用条件概率和概率的乘法公式,求出这些简单事件的概率,最后将概率相加,得到最终结果,这一方法其实就是全概率公式的应用. 本节要点归纳 1.知识清单:(1)条件概率的理解;(2)利用定义或缩小样本空间求条件概率;(3)全概率公式、贝叶斯公式. 2.方法归纳:定义法、缩小样本空间法、 转化与化归. 3.常见误区:(1)分不清“在谁的条件下”,求“谁的概率”;(2)事件拆分不合理或不全面. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 级 必备知识基础练 1.若P(A)=0.2,P(B)=0.18,P(AB)=0.12,则P(A|B)和P(B|A)分别等于(　　) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.盒中有10只同一型号的螺丝钉,其中3只是坏的,现在从盒中不放回地依次抽取两只,则在第一只是好的的条件下,第二只是坏的概率为(　　) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.已知5%的男人和0.25%的女人患色盲,假如男人、女人各占一半,现随机选一人,则此人恰是色盲的概率是(　　) A.0.012 45 B.0.057 86 C.0.026 25 D.0.028 65 C 解析 用事件A,B分别表示随机选一人是男人和女人,用事件C表示此人恰好患色盲,则Ω=A∪B,且A,B互斥,P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.(多选题)甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球,乙罐中有6个红球、2个白球和2个黑球,先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐,分别以事件A1,A2,A3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球,再从乙罐中随机取出一个球,以事件B表示由乙罐取出的球是红球,下列结论正确的是(　　) A.事件B与事件A1不相互独立 B.A1,A2,A3是两两互斥的事件 C.P(B)= D.P(B|A1)= ABD 解析 对于A,由题意可知,事件A1发生与否影响事件B的发生,故事件B与事件A1不相互独立,故A正确; 对于B,A1,A2,A3两两不可能同时发生,故B正确; 对于D,已知从甲罐中取出一个红球放入乙罐,这时乙罐中有11个球,其中红球有7个,因此,在事件A1发生的条件下,事件B发生的概率为P(B|A1)= ,故D正确.故选ABD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.从1,2,3,4,5,6,7,8,9中不放回地依次取2个数,事件A为“第一次取到的是奇数”,B为“第二次取到的是3的整数倍”,则P(B|A)=(　　) B 解析 由题意得P(A)= ,n(Ω)=9×8=72,事件AB为“第一次取到的是奇数且第二次取到的是3的整数倍”, 若第一次取到的为3或9,第二次有2种取法; 若第一次取到的为1,5,7,第二次有3种取法. 故n(AB)=2×2+3×3=13, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.某种元件用满6 000小时未坏的概率是 ,用满10 000小时未坏的概率是 ,现有一个此种元件,已经用满6 000小时未坏,则它能用到10 000小时的概率为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.有五瓶墨水,其中红色一瓶,蓝色、黑色各两瓶,某同学从中随机任取两瓶,若取的两瓶中有一瓶是蓝色,则另一瓶是红色或黑色的概率为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8.某运动队为评估短跑运动员在接力赛中的作用,对运动员进行数据分析.运动员甲在接力赛中跑第一棒、第二棒、第三棒、第四棒四个位置,统计以往多场比赛,其出场率与出场时比赛获胜率如下表所示. 比赛位置 第一棒 第二棒 第三棒 第四棒 出场率 0.3 0.2 0.2 0.3 比赛胜率 0.6 0.8 0.7 0.7 (1)当甲出场比赛时,求该运动队获胜的概率; (2)当甲出场比赛时,在该运动队获胜的条件下,求甲跑第一棒的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解 (1)记“甲跑第一棒”为事件A1,“甲跑第二棒”为事件A2,“甲跑第三棒”为事件A3,“甲跑第四棒”为事件A4,“运动队获胜”为事件B.则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)+P(A4)P(B|A4) =0.3×0.6+0.2×0.8+0.2×0.7+0.3×0.7=0.69, 所以当甲出场比赛时,该运动队获胜的概率为0.69. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 级 关键能力提升练 9.某社区活动中心打算周末照看养老院的老人,现有4个志愿者服务小组甲、乙、丙、丁和有4个需要帮助的养老院可供选择,每个志愿者小组只去一个养老院,设事件A=“4个志愿者小组去的养老院各不相同”,事件B=“小组甲独自去一个养老院”,则P(A|B)=(　　) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.把外形相同的球分装在三个盒子中,每盒10个.其中,第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B;第二个盒子中有红球和白球各5个;第三个盒子中有红球8个、白球2个.试验按如下规则进行:先在第一个盒子中任取一个球,若取得标有字母A的球,则在第二个盒子中任取一个球;若第一次取得标有字母B的球,则在第三个盒子中任取一个球.如果第二次取出的是红球,则称试验成功,则试验成功的概率为(　　) A.0.59 B.0.41 C.0.48 D.0.64 A 解析 设事件A为“从第一个盒子中取得标有字母A的球”,事件B为“从第一个盒子中取得标有字母B的球”,事件R为“第二次取出的球是红球”,则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.一项血液化验用来鉴别是否患有某种疾病,在患有此种疾病的人群中通过化验有95%的人呈阳性反应,而健康的人通过化验也会有1%的人呈阳性反应,某地区此种病患者占人口总数的0.5%,则: (1)某人化验结果为阳性的概率为　　　　(用百分数表示);  (2)若此人化验结果为阳性,则此人确实患有此病的概率为　　　　.  1.47% 解析 设A=“呈阳性反应”,B=“患有此种病”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.某种电子玩具按下按钮后,会出现红球或绿球.已知按钮第一次按下后,出现红球与绿球的概率都是 ,从按钮第二次按下起,若前一次出现红球,则下一次出现红球、绿球的概率分别为 ,若前一次出现绿球,则下一次出现红球、绿球的概率分别为 ,记第n(n∈N,n≥1)次按下按钮后出现红球的概率为Pn. (1)P2的值为　　　　;  (2)若n∈N,n≥2,用Pn-1表示Pn的表达式为　　　　　　　　　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13.某市计划开展知识竞赛活动.某单位初步推选出3名党员和5名民主党派人士,并从中随机选取4人组成代表队参赛. (1)在代表队中既有党员又有民主党派人士的条件下,求党员甲被选中的概率; (2)现从代表队中随机选取1名队员,求该队员是党员的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解 (1)设事件A表示“党员甲被选中”,事件B表示“代表队中既有党员又有民主党派人士”, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)设选取4人中党员个数为i(i=0,1,2,3)的事件为Ci,从代表队中随机选取1名队员,该队员是党员为事件D, P(B)=P(Ai)P(B|Ai) P(Ai|B)=,i=1,2,…,n 解 设A=“甲抽到奇数”,B=“乙抽到的数比甲抽到的数大”,由题意可知n(Ω)=30,n(A)=15,n(AB)=9,则P(A)=,P(AB)=,所以P(B|A)= 所以在甲抽到奇数的条件下,乙抽到的数比甲抽到的数大的概率为 因为P(A)=. 解 设“第i次按对密码”为事件Ai(i=1,2,3),则A=A1∪(A2)∪(A3)表示“不超过3次就按对密码”. (1)因为事件A1,事件A2与事件 A3两两互斥,由概率的加法公式得P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= (2)设事件B表示“最后一位的数字不大于4”, 则P(A|B)=P(A1∪(A2)∪(A3)|B) =P(A1|B)+P(A2|B)+P(A3|B)= ==0.915. A. B. C. D. 解析 P(A|B)=, P(B|A)= A. B. C. D. 解析 设事件A为“抽取的第一只是好的”,事件B为“抽取的第二只是坏的”, 则P(A)=, P(AB)=, 所以P(B|A)= 5%+0.25%=0.026 25. 对于C,P(B)=,故C不正确; A. B. C. D. 则P(AB)=, 由条件概率的定义,得P(B|A)=,故选B. 解析 设“用满6 000小时未坏”为事件A,“用满10 000小时未坏”为事件B,则P(A)=,P(AB)=P(B)=,故P(B|A)= 解析 设事件A为“有一瓶是蓝色”,事件B为“另一瓶是红色”,事件C为“另一瓶是黑色”,事件D为“另一瓶是红色或黑色”,则D=B∪C,且B与C互斥, 又P(A)=,P(AB)=,P(AC)=, 故P(D|A)=P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)= (2)P(A1|B)=, 所以当甲出场比赛时,在该运动队获胜的条件下,甲跑第一棒的概率为 A. B. C. D. 解析 由题意P(A)=,P(AB)=P(A),P(B)=, ∴P(A|B)= P(A)=,P(B)=,P(R|A)=,P(R|B)=,P(R)=P(R|A)P(A)+P(R|B)P(B) ==0.59. 　 (1)P(A)=P(B)P(A|B)+P()P(A|)=0.5%×95%+99.5%×1%=1.47%. (2)P(B|A)= Pn=-Pn-1+ 解析 (1)设A1=第1次出现红球,A2=第1次出现绿球,B=第2次出现红球,则P(A1)=P(A2)=,P(B|A1)=,P(B|A2)=,由全概率公式得P2=P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)= (2)设C1=第(n-1)次出现红球,C2=第(n-1)次出现绿球,D=第n次出现红球,则P(C1)=Pn-1,P(C2)=1-Pn-1,P(D|C1)=,P(D|C2)=, 由全概率公式得Pn=P(D)=P(C1)P(D|C1)+P(C2)P(D|C2)=Pn-1+(1-Pn-1) =-Pn-1+(n∈N,n≥2). 则P(B)=, P(AB)=, 所以P(A|B)= 则P(C0)=,P(C1)=, P(C2)=,P(C3)=, 且P(D|C0)=0,P(D|C1)=,P(D|C2)=,P(D|C3)=, 所以P(D)=P(C0)P(D|C0)+P(C1)P(D|C1)+P(C2)P(D|C2)+P(C3)P(D|C3) =0+ $$