奥数——等差数列（课件）-2024-2025学年四年级上册数学人教版

小学奥数 四年级 第9讲 等 差 数 列 1 (1)1，2，3，4，5，… (2)0, 5，10，15，20，… (3)1,4,9,16,25,36,… 上面的三组数都是数列。 数列中的数称为项，第一个数叫第一项，又叫首项，第二个数叫第二项……以此类推，最后一个数叫作这个数列的末项，项的个数叫作项数。在一个数列中，如果从第二项起，每一项与前面一项的差都相等，这样的数列叫作等差数列。相邻两项的差叫作这个等差数列的公差。 这一讲，我们就来学习有关等差数列的知识。 一、知识要点 二、精讲精练 【例1】 求等差数列3,5,7,9,……的第10项和第100项。 【分析与解答】 我从3，5，7，9，开始数，第10项是21，第11项是23……你这样数太麻烦了，应该从这个等差数列的规律入手： =3 =5=3+2 =5+2=3+2+2=3+2×2 =7+2=3+2+2+2=3+2×3 根据这个规律，你能求出第10项和第100项吗？ 【我来解答】：第10项： =3+(10-1)×2=21 第100项： =3+(100-1)×2=201 【小结与提示】 如果数列 ，， ， …是等差数列，且它们的公差为d，那么： = +（n-1)xd 【练习1】 P83 求等差数列3，7，11，…的第4项，第7项和第10项。 实践与应用 【例2】有一堆粗细均匀的圆木堆成梯形，最上面一层有6根圆木，每向下一层增加1根，一共堆了28层，最下面一层有多少根圆木？ 【分析与解答】 将每层圆木的根数写出来:6,7,8,9,10,…可以看出这是一个等差数列。在这个等差数列中，已知首项()是6，公差（d)是1，项数(n)是28，求最下面一层是多少，也就是求这个等差数列的第28项是多少。 我来解答：6+1×(28-1)=33(根) 小结与提示 在解答这道题时，将每层的圆木根数抽象成等差数列是关键。 【练习2】 P83 一个剧场设置了22排座位，第一排有36个座位，后面每排都比前一排多2个座位，第22排有多少个座位？ 实践与应用 【例3】 20 个小朋友排成一排玩报数游戏,后一个小朋友报的数都比前一个小朋友报的数多3。已知最后一个小朋友报的数是59，第一个小朋友报的数是多少？ 【分析与解答】 将小朋友报的教从小到排大到起来是一个等差数列，其中n=20，=50，d=3，要求首项是多少。我们可以这样考虑： 多了(n-1)个d,也就是多了19个3，求出与的差，也就可以求出。 我来解答：59-(20-1)×3=2 小结与提示 我们可以推导出求首项a，的公式： = -(n-1)×d 【练习3】 P84 收购站有一堆圆木，它的每一层比下一层少一根。小闵数了数，它的最下面一层有26根圆木，一共有18层。这堆圆木最上面一层有多少根？ 实践与应用 【例4】 在等差数列 9,13,17,21，…中，405是第几项？ 【分析与解答】 在这个等差数到中，已知=9, =405，d=4，要求n是多少。 我们可以这样考虑： 与相差405-9=396，求出相差的396中有几个公差， 再加上1即可。 我来解答： (405-9)÷4+1=100 小结与提示 我们可以推导出求项数n的公式：n=( - ) ÷ d+1 【练习4】 P85 在等差数列3，5，7、9，…中，21是第几项？ 实践与应用 【例5】一个等差数列的第1项是5，第6项是20，它的第3项是多少？ 【分析与解答】 根据题目的条件，要求这个等差数列的第3项，我们必须先求出公差。 =5， =20，n=6，可以得出与相差20-5=15，15就是（6-1)个公差，所以公差为3。 我来解答： d=(20-5)÷(6-1)=3 a=5+(3-1)×3=11 小结与提示 我们可以推导出求公差d的公式：d=(- )÷(n-1) 【练习5】 P70 已知等差数列的第一项是12，第6项是27，求这个等差数列的公差。 实践与应用 课堂小结 在这一讲中，我们认识了等差数列，知道了几个通用公式，在使用这些公式时，要清楚首项、末项、项数、公差的意义，从而选择合适的公式进行计算。这些公式用文字表述为： 末项=首项+公差×(项数-1) 项数=(末项-首项)÷公差+1 公差=(末项-首项)÷(项数-1) 【例题1】 有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项？ 【思路导航】 容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52.要求项数，可直接带入项数公式进行计算。 项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。 三、拔高提升 【例题2】 有一等差数列：3,7,11,15,……，这个等差数列的第100项是多少？ 【思路导航】 这个等差数列的首项是3.公差是4，项数是100。 要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。 第100项=3+4×（100－1）=399. 【例题3】有这样一个数列：1.2.3.4，…，99，100。请求出这个数列所有项的和。 【思路导航】 如果我们把1.2.3.4，…，99，100与列100，99，…，3.2.1相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101.一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2.就是所求数列的和。 1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050 上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和： 等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2 这个公式也叫做等差数列求和公式。 【例题4】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。 【思路导航】 这个数列是等差数列，我们可以用公式计算。 要求这一数列的和，首先要求出项数是多少： 项数=（末项－首项）÷公差+1=（50－2）÷2+1=25 首项=2.末项=50，项数=25 等差数列的和=（2+50）×25÷2=650. 【例题5】计算（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99） 【思路导航】 容易发现，被减数与减数都是等差数列的和，因此，可以先分别求出它们各自的和，然后相减。 进一步分析还可以发现，这两个数列其实是把1 ～ 100这100个数分成了奇数与偶数两个等差数列，每个数列都有50个项。因此，我们也可以把这两个数列中的每一项分别对应相减，可得到50个差，再求出所有差的和。 （2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99） =（2－1）+（4－3）+（6－5）+…+（100－99） =1+1+1+…+1 =50 宝剑锋从磨砺出， 梅花香自苦寒来！ 感 谢 观 看！ $$