第11讲 成比例线段（3大考点4大题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（北师大版）

第11讲 成比例线段 课程标准 学习目标 了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段;通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割． 1、学会用试验的方法估计复杂的随机事件发生的概率； 2、体会一些复杂的随机事件发生的概率． 知识点一：比例线段 在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 知识点二：比例的基本性质 (1)基本性质：⇔ ad＝bc；（b、d≠0） (2)合比性质：⇔＝；（b、d≠0）(3)等比性质：＝…＝＝k(b＋d＋…＋n≠0)⇔ ＝.（b、d、···、n≠0） 知识点三：黄金分割 点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝=≈0.618，那么线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比． 题型01 比例的性质 1．如果，则下列各式不成立的是（    ） A． B． C． D． 2．若，则的值是（    ） A． B． C．12 D． 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．如果，且，那么k的值是（    ） A．2 B．3 C． D． 5．如果，且是和的比例中项，那么等于（ ） A． B． C． D． 6．若，则 ． 7．已知，且，则 ． 8．盒中有枚黑棋和枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为 ． 9．如图称为桔槔，俗称“吊杆”“称杆”，是一种原始的汲水工具．在图2的桔槔模型中，设支点O离物体A的桔槔端点距离为，离物体B的桔槔端点距离为，若，且物体A的质量为，则能汲起水的质量B为 ．    10．已知三条线段，，满足，且. (1)求，，的值； (2)若线段是线段和的比例中项，求的值. 题型02 比例线段 11．一种精密零件长毫米，把它画在图纸上，图上零件长厘米，这张图纸的比例尺是（   ） A． B．500:1 C．1:50 D．50:1 12．比例尺为的地图上，两地间的图上距离为，则两地间的实际距离是（    ） A． B． C． D． 13．小红的爸爸是汽车制造厂的工程师．他要将一个长毫米、宽毫米的零件画在一张纸（）上，适合的比例尺是（　　） A． B． C． D． 14．如图，以为斜边作等腰直角三角形，再以为圆心，长为半径作弧，交线段于点，那么等于（    ） A． B． C． D． 15．若在比例尺为的地图上，测得两地的距离为厘米，则这两地的实际距离是 千米． 16．在比例尺为的地图上，量得甲乙两地的距离约为，则甲乙两地的实际距离约为 ． 17．为了将优质教育资源更好的惠及广大人民群众，某校设有凤凰路校区与春晖路校区，杨老师欲从凤凰路校区骑行去春晖路校区，用手机上的地图软件搜索时，显示两个校区间骑行的实际路程为，当地图上比例尺由变为时，则地图上两个校区的路程增加了 ． 题型03 成比例线段 18．已知线段，，，是成比例线段，其中，，，则的值是（　　） A．6 B．4 C．8 D．10 19．下列长度的四条线段中，不能成比例的是（    ） A． B． C． D． 20．已知线段，，，是成比例线段，其中，，，则的值是 ． 21．已知线段，线段，线段c是线段a、b的比例中项，则 ． 22．小慧同学在学习“图形的相似”一章后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，下图就是一个特殊化的学习过程，图中横线上应填写的数值是 ． 23．与在网格中的位置如图所示，如果每个小正方形的边长都是1． (1)求，，的值； (2)求的周长与的周长的比； (3)在，，，，，这六条线段中，指出其中三组成比例的线段． 题型04 黄金分割 24．主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．如图，若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设她至少走x米时倍好站在舞台的黄金分割点上（的长为米），则满足的方程是（    ） A． B． C． D． 25．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，则下列结论中正确的是（　　） ①；②；③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 26．如图，点C把线段分成两条线段和，如果，则称线段被点C黄金分割，点C叫做线段的黄金“右割”点，根据图形不难发现，线段上另有一点D把线段分成两条线段和，若，则称点D是线段的黄金“左割”点，若，则（    ） A． B． C． D． 27．20世纪70年代初，我国著名的数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，．已知为2米，则线段的长为 米． 28．已知点P是线段的黄金分割点，如果，那么线段 ． 29．研究发现当主持人站在舞台黄金分割点的位置时，视觉声音效果最佳．如图，主持人现站在10米舞台的左边端点P处，那她要站在最佳位置处时至少要走 米（黄金分割比近似值为0.618，结果精确到小数点后1位）． 30．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为 ．（结果保留根号） 31．“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用，秦兵马俑被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离的比值约为，若如图所示的兵马俑头顶到下巴的距离约为m，则该兵马俑的眼睛到下巴的距离约为 m． 32．已知点P是线段的黄金分割点，．若，则 ．（结果保留根号） 33．古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于中国各地． 若古筝上有一根弦，支撑点是靠近点的一个黄金分割点，则 ．（结果保留根号） 34．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯系统研究了黄金分割，其定义为：如图①，点C将线段分成两部分（），若，则称点C为线段的黄金分割点．如图②，在中，点D是边的黄金分割点（），且．若，则的长为 ． 35．某品牌的行李箱拉杆拉开后放置如图所示，经测量该行李箱从轮子底部到箱子上沿的高度与从轮子底部到拉杆顶部的高度 之比满足黄金分割（即），已知，则的长为 cm． 36．如果，那么下列比例式中成立的是（　　） A． B． C． D． 37．在世纪年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中为边的黄金分割点，即．已知为米，则线段的长为（     ）． A．米 B．米 C．米 D．米 38．新定义：两边之比等于黄金比的矩形叫做黄金矩形，如图，矩形是黄金矩形（），点E、F分别在边、上，将矩形沿直线折叠，使点B的对应点落在CD边上，点A的对应点为，过点E作于点G，当矩形也是黄金矩形（）时，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 39．已知三个数1、2、，请你再添上一个数，使它们能构成一个比例式，则这个数是 ．（只填一个） 40．点是线段上的一点，如果，，那么 ． 41．已知线段，，，是成比例线段，其中，，，则的值是 . 42．如果，且，则的值为 ． 43．射影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形的边取中点，以为圆心，线段为半径作圆，其与边的延长线交于点，这样就把正方形延伸为黄金矩形，若，则 ． 本题考查了黄金分割，矩形的性质，正方形的性质，设，根据正方形的性质可得，则，然后根据黄金矩形的定义可得，从而可得，最后进行计算即可解答，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键. 44．正五角星是一个非常优美的几何图形，在如图所示的正五角星中，以、、、、为顶点的多边形为正五边形，其余各点都是对角线的交点，下列4个结论：①，②，③，④． 请填写你认为正确的结论序号： ． 三、解答题 45．如图，我们知道，如果点是线段上的一点，将线段分割成两条线段，且满足，那么这种分割就叫做黄金分割．其中线段与的比值或线段与的比值叫做黄金分割数．已知比例的基本性质：对于长度为的四条线段，如果，则．求黄金分割数（结果保留根号）． 46．已知a，b，c，d为四个不为0的数． (1)如果，求与的值； (2)如果，求证； (3)如果，求证． 47．（1）我们把邻边之比为的矩形叫做黄金矩形．如图，已知正方形，请用无刻度直尺和圆规作出黄金矩形，使得点、分别在线段、上．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（）的基础上，若以为边作正方形，使得点、分别在线段、上，则矩形是黄金矩形吗？为什么？ 48．已知a，b，c，d，e，f六个数，如果，那么． 理由如下： ∵ ∴，，（第一步） ∴（第二步） (1)解题过程中第一步应用了______的基本性质；在第二步解题过程中，应用了______的基本性质； (2)应用此解题过程中的思路和方法解决问题： ①如果，则______； ②已知，求的值． 49．如图，以长为的线段为边作正方形，取的中点，连接．在的延长线上取点，使．以为边作正方形，点在上． (1)求线段、的长； (2)求证：； (3)请指出图中的黄金分割点． 50．【背景知识】 宽与长的比等于的矩形称为黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界上很多著名建筑，为了取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊帕特农神庙等． （1）经测量帕特农神庙的长约为30米，求它的宽度是多少米?（结果保留根号） 【实验操作】 折一个黄金矩形 第一步：在矩形纸片的一端利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，将正方形折成两个相等的矩形，再将其展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线，并将折到图3所示的处； 第四步：展平纸片，按照所得的点D折出，得到矩形（如图4）．          【问题思考】 （2）若的长为2，请证明：矩形是黄金矩形； （3）在（2）的条件下，以图3中的折痕为边，构造黄金矩形，直接写出这个矩形的面积． 试卷第2页，共31页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 成比例线段 课程标准 学习目标 了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段;通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割． 1、学会用试验的方法估计复杂的随机事件发生的概率； 2、体会一些复杂的随机事件发生的概率． 知识点一：比例线段 在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 知识点二：比例的基本性质 (1)基本性质：⇔ ad＝bc；（b、d≠0） (2)合比性质：⇔＝；（b、d≠0） (3)等比性质：＝…＝＝k(b＋d＋…＋n≠0)⇔ ＝.（b、d、···、n≠0） 知识点三：黄金分割 点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝=≈0.618，那么线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比． 题型01 比例的性质 1．如果，则下列各式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例性质，前项加（或减）后项等式成立，则可对A、B、C进行判断；利用后项都乘以2可对D进行判断． 【详解】解：A、如果，则，所以A选项的等式不成立，符合题意； B、如果，则，所以B选项的等式成立，不符合题意； C、如果，则，所以C选项的等式成立，不符合题意； D、如果，则，所以D选项的等式成立，不符合题意； 故选：A． 2．若，则的值是（    ） A． B． C．12 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了比例的性质，直接根据比例的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握等比性质是解题的关键．利用等比性质，进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， 故选：A． 4．如果，且，那么k的值是（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质求得，代入，即可求解． 【详解】解：， ， ． ， ， 故选：B． 5．如果，且是和的比例中项，那么等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了比例线段，正确把握比例中项的定义是解题关键． 由b是a、c的比例中项，根据比例中项的定义，即可求得，又由，即可求得答案． 【详解】解：∵b是a、c的比例中项， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6．若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了比例的性质，设，代入代数式进行计算，即可解答． 【详解】解：设 ∴，，， ∴ 故答案为：． 7．已知，且，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解答本题的关键．设，则，代入，求出k的值即可得到a的值． 【详解】解：设，则， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 8．盒中有枚黑棋和枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查简单的概率计算、比例性质，根据随机取出一枚棋子，它是黑棋的概率是，可得，进而利用比例性质求解即可． 【详解】解：∵随机取出一枚棋子，它是黑棋的概率是， ∴，则， 故答案为：． 9．如图称为桔槔，俗称“吊杆”“称杆”，是一种原始的汲水工具．在图2的桔槔模型中，设支点O离物体A的桔槔端点距离为，离物体B的桔槔端点距离为，若，且物体A的质量为，则能汲起水的质量B为 ．    【答案】9 【分析】题目主要考查比例的性质及杠杆平衡原理，根据题意得出，然后确定即可求解，理解是解题关键． 【详解】解：根据题意得， ∵， ∴， ∵物体A的质量为， ∴， 故答案为：9． 10．已知三条线段，，满足，且. (1)求，，的值； (2)若线段是线段和的比例中项，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段； （1）设，用含的代数式分别表示出，再由，建立关于的方程，解方程求出的值，从而可求出的值； （2）由已知线段 是线段 和 的比例中项，可得到，代入计算求出的值． 【详解】（1）解：设，则， ∵ ∴ 即， 解得：， ∴； （2）解：∵线段是线段和的比例中项， ∴， ∵ ∴． 题型02 比例线段 11．一种精密零件长毫米，把它画在图纸上，图上零件长厘米，这张图纸的比例尺是（   ） A． B．500:1 C．1:50 D．50:1 【答案】D 【分析】本题考查比例尺，关键是掌握比例尺的定义．比例尺图上距离与实际距离的比，由此即可计算． 【详解】解：厘米毫米， ：：， 这张图纸的比例尺是：． 故选：D． 12．比例尺为的地图上，两地间的图上距离为，则两地间的实际距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段的比，设两地间的实际距离为，由题意得：，求解即可得出答案，熟练掌握线段比的意义是解决问题的关键． 【详解】解：设两地间的实际距离为， 由题意得：， 解得：， 两地间的实际距离为， 故选：C． 13．小红的爸爸是汽车制造厂的工程师．他要将一个长毫米、宽毫米的零件画在一张纸（）上，适合的比例尺是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了比例尺的计算方法，图上距离和实际距离已知，依据“比例尺=图上距离:实际距离”即可求得适合的比例尺.，解题的关键要掌握比例尺的计算方法． 【详解】解：∵零件的实际长度为，零件的图上长度为，即， ∴适合的比例尺， 故选：． 14．如图，以为斜边作等腰直角三角形，再以为圆心，长为半径作弧，交线段于点，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知是等腰直角三角形，设，可用含的式子表示的长，再根据以为圆心，长为半径作弧，可知的长，由此即可求解． 【详解】解：根据题意得，是等腰直角三角形，设， ∴， ∵以为圆心，长为半径作弧，交线段于点， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查作图求线段的比值，理解题意，找出线段之间的大小关系是解题的关键． 15．若在比例尺为的地图上，测得两地的距离为厘米，则这两地的实际距离是 千米． 【答案】 【分析】本题考查了比例尺的应用，设两地间的实际距离是，根据题意可得方程，解方程即可求得x的值，然后换算单位即可求得答案． 【详解】解：设两地间的实际距离是， ∵比例尺为，量得两地间的距离为， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∵， ∴两地间的实际距离是千米， 故答案为：． 16．在比例尺为的地图上，量得甲乙两地的距离约为，则甲乙两地的实际距离约为 ． 【答案】20 【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离．根据比例尺关系即可直接得出实际的距离． 【详解】解：根据比例尺=图上距离：实际距离， ∴甲乙两地的实际距离为． 故答案为：20． 【点睛】考查了比例线段．能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换． 17．为了将优质教育资源更好的惠及广大人民群众，某校设有凤凰路校区与春晖路校区，杨老师欲从凤凰路校区骑行去春晖路校区，用手机上的地图软件搜索时，显示两个校区间骑行的实际路程为，当地图上比例尺由变为时，则地图上两个校区的路程增加了 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例尺的运用，掌握比例尺的计算方法是解题的关键． 根据进行计算即可求解，计算时注意单位的换算，单位要统一． 【详解】解：实际路程为， 当比例尺为时，图示距离为， 当比例尺为时，图上距离为， ∴， 故答案为： ． 题型03 成比例线段 18．已知线段，，，是成比例线段，其中，，，则的值是（　　） A．6 B．4 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查图形的相似，根据成比例线段的定义可得，据此即可求得答案． 【详解】∵线段，，，是成比例线段，其中，，， ∴． ∴． 故选：B 19．下列长度的四条线段中，不能成比例的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了成比例线段，根据成比例的线段的定义逐一判断即可求解，熟记：“在四条线段中，如果其中的两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段”是解题的关键． 【详解】解：A、，则四条线段能成比例，故不符合题意； B、，则四条线段能成比例，故不符合题意； C、，则四条线段不能成比例，故符合题意； D、，则四条线段能成比例，故不符合题意． 故选：C． 20．已知线段，，，是成比例线段，其中，，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查成比例线段（如果四条线段，，，成比例，则，注意顺序，位置不能随意颠倒），解题的关键是根据成比例线段列式计算即可． 【详解】解：∵线段，，，是成比例线段，，，， ∴， ∴， ∴的值是． 故答案为：． 21．已知线段，线段，线段c是线段a、b的比例中项，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查比例中项，根据比例中项的定义得到，代值求解即可得到答案． 【详解】解：线段c是线段a、b的比例中项， ， ，， ， 或（舍）， 故答案为：6． 22．小慧同学在学习“图形的相似”一章后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，下图就是一个特殊化的学习过程，图中横线上应填写的数值是 ． 【答案】2 【分析】根据得到a，b，c之间的关系，再等量代换得到a，c的关系． 本题考查与成比例线段相关的比例式的计算，根据比例相等得到等量关系是解决问题的关键． 【详解】， ， ， ， 故答案为 2． 23．与在网格中的位置如图所示，如果每个小正方形的边长都是1． (1)求，，的值； (2)求的周长与的周长的比； (3)在，，，，，这六条线段中，指出其中三组成比例的线段． 【答案】(1) (2)的周长与的周长的比为 (3)，，，，是成比例线段；，，，是成比例线段；，，，是成比例线段 【分析】（1）根据图象，求出，，，，，的长度，即可求解， （2）计算，即可求解， （3）根据成比例线段的定义，即可求解， 本题考查了成比例线段，解题的关键是：熟练掌握成比例线段概念． 【详解】（1）解：由图可知，，，，，， ∴，， 故答案为：， （2）解：， 故答案为：的周长与的周长的比为， （3）， ，，，，是成比例线段； ， ，，，是成比例线段； ， ，，，是成比例线段， 故答案为：，，，，是成比例线段；，，，是成比例线段；，，，是成比例线段． 题型04 黄金分割 24．主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．如图，若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设她至少走x米时倍好站在舞台的黄金分割点上（的长为米），则满足的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 点P是的黄金分割点，且，，则，则，即可求解． 【详解】解：由题意知，点P是的黄金分割点，且，，则，， ， ． 故选：A． 25．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，则下列结论中正确的是（　　） ①；②；③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】此题考查了黄金分割：点把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点． 由黄金分割的定义分别进行判断． 【详解】解：∵为的黄金分割点， ∴， ， ①、②、③错误，④正确，不符合题意， 故选：A． 26．如图，点C把线段分成两条线段和，如果，则称线段被点C黄金分割，点C叫做线段的黄金“右割”点，根据图形不难发现，线段上另有一点D把线段分成两条线段和，若，则称点D是线段的黄金“左割”点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了黄金分割，解题的关键是理解题意，先根据，，求出，再求出，再根据求出结果即可． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴， 故选：C． 27．20世纪70年代初，我国著名的数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，．已知为2米，则线段的长为 米． 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割比例为进行求解即可． 【详解】解：∵E为边的黄金分割点，， ∴米， 故答案为：． 28．已知点P是线段的黄金分割点，如果，那么线段 ． 【答案】/ 【分析】本题考查黄金分割点，根据黄金分割点的定义可得，代入数据求值即可． 【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点，即， ∴， ∴ 故答案为：． 29．研究发现当主持人站在舞台黄金分割点的位置时，视觉声音效果最佳．如图，主持人现站在10米舞台的左边端点P处，那她要站在最佳位置处时至少要走 米（黄金分割比近似值为0.618，结果精确到小数点后1位）． 【答案】3.8 【分析】本题考查黄金分割及近似数和有效数字，熟知黄金分割的定义是解题的关键． 设主持人站的位置距离点的距离为米，根据黄金分割的定义，建立关于的方程即可解决问题． 【详解】解：设主持人站的位置与点的距离为米， 则， 解得， 所以（米， 故主持人站的最佳位置时至少要走3.8米． 故答案为：3.8． 30．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为 ．（结果保留根号） 【答案】/ 【分析】本题考查黄金分割，直接利用黄金分割的定义计算即可．解题的关键是掌握黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，黄金分割的比值是，即． 【详解】解：∵为的黄金分割点（），的长度为， ∴， ∴， ∴的长度为． 故答案为：． 31．“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用，秦兵马俑被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离的比值约为，若如图所示的兵马俑头顶到下巴的距离约为m，则该兵马俑的眼睛到下巴的距离约为 m． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，根据比例关系列式计算即可． 【详解】解：设该兵马俑的眼睛到下巴的距离为， 则， 解得：， 故答案为：． 32．已知点P是线段的黄金分割点，．若，则 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】根据黄金分割点的定义，知是较长线段，代入计算即可；此题考查了黄金分割点的概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段原线段． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，且，， ， 故答案为：． 33．古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于中国各地． 若古筝上有一根弦，支撑点是靠近点的一个黄金分割点，则 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，且， ， 故答案为：． 34．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯系统研究了黄金分割，其定义为：如图①，点C将线段分成两部分（），若，则称点C为线段的黄金分割点．如图②，在中，点D是边的黄金分割点（），且．若，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查黄金分割以及等角对等边，根据点D是边的黄金分割点，可得出，再根据等角对等边可得出，代入求解即可． 【详解】解：∵点D是边的黄金分割点（）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为． 35．某品牌的行李箱拉杆拉开后放置如图所示，经测量该行李箱从轮子底部到箱子上沿的高度与从轮子底部到拉杆顶部的高度 之比满足黄金分割（即），已知，则的长为 cm． 【答案】50 【分析】本题考查了比例问题，根据题意正确列出方程是解题的关键． 根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，解得： 故答案为50． 36．如果，那么下列比例式中成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据比例的性质， ，据此可得答案． 【详解】解：由比例的性质可得， ，则四个选项中，只有A选项符合题意， 故选：A． 37．在世纪年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中为边的黄金分割点，即．已知为米，则线段的长为（     ）． A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，黄金分割．设，则，根据求出的值，即可求解． 【详解】解析：∵， 设，则， ∵， ∴， 即， 解得：，（舍去）， ∴线段的长为米． 故选：B． 38．新定义：两边之比等于黄金比的矩形叫做黄金矩形，如图，矩形是黄金矩形（），点E、F分别在边、上，将矩形沿直线折叠，使点B的对应点落在CD边上，点A的对应点为，过点E作于点G，当矩形也是黄金矩形（）时，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查黄金比，矩形与折叠，勾股定理． 连接，根据黄金矩形的定义设，，则，证明得到，从而，设，则 ，在中，根据构造方程，求解得到，从而． 【详解】连接， ∵矩形是黄金矩形，，， ∴设，， ∵矩形是黄金矩形，， ∴， ∴， ∵四边形是四边形翻折得到， ∴，， ， ∴， ∵在矩形中，， 又 ∴， ∴， ∴， 设，则 ， ∵在中，， ∴ 解得：， ∴， ∴． 故选：D 二、填空题 39．已知三个数1、2、，请你再添上一个数，使它们能构成一个比例式，则这个数是 ．（只填一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查成比例线段．根据外项积等于内项积，求解即可． 【详解】解：由题意，得：可以添加的数为； ∵， ∴1、2、、，能构成一个比例式． 故答案为：（答案不唯一）． 40．点是线段上的一点，如果，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，由题意得出点是的黄金分割点，得到，结合，，代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴点是的黄金分割点， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 故答案为：． 41．已知线段，，，是成比例线段，其中，，，则的值是 . 【答案】 【分析】本题主要考查了比例线段，熟练掌握比例线段的性质是解题的关键．根据比例线段的定义得到，即可得到答案． 【详解】解：由于线段，，，是成比例线段， 故， 即 解得 故答案为：． 42．如果，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了比例的性质，设，得出，，，再根据，求出的值，从而得出，，的值，最后代入要求的式子进行计算即可得出答案． 【详解】解：设， 则，，， ， ， ， ，，， ； 故答案为． 43．射影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形的边取中点，以为圆心，线段为半径作圆，其与边的延长线交于点，这样就把正方形延伸为黄金矩形，若，则 ． 【答案】/ 【分析】 本题考查了黄金分割，矩形的性质，正方形的性质，设，根据正方形的性质可得，则，然后根据黄金矩形的定义可得，从而可得，最后进行计算即可解答，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键. 【详解】解：设， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是黄金矩形， ∴， ∴， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴， 故答案为：． 44．正五角星是一个非常优美的几何图形，在如图所示的正五角星中，以、、、、为顶点的多边形为正五边形，其余各点都是对角线的交点，下列4个结论：①，②，③，④． 请填写你认为正确的结论序号： ． 【答案】①②③ 【分析】先讨论顶角为和的等腰三角形中的黄金分割关系，再在题中的所给图形中分析出顶角为和的等腰三角形，逐个判断即可．本题考查了正多边形与圆，准确掌握正多边形的相关性质及黄金分割的比例关系，并能准确的计算是本题的解题关键． 【详解】解：如图1，中，，，平分， ，， 和为相似的等腰三角形， 设，， ， 由相似得：， （负值舍去）， 点是线段的黄金分割点， 即：，， ， ； 如图2，中，，，， ，， 和为相似的等腰三角形， 设，，则， 由相似得：， （负值舍去）， 点是线段的黄金分割点， 即：，， ， ； 如图，连接、、、、， 五边形为正五边形，， ， ， ，故①正确； 易证：，， 和为相似的等腰三角形， 由图2得：， ，故②正确； 由题得和为相似的等腰三角形， 由图2得：， ， ， ，故③正确； 在中，，， 由图1得：， 即：，故④错误， 故答案为：①②③． 三、解答题 45．如图，我们知道，如果点是线段上的一点，将线段分割成两条线段，且满足，那么这种分割就叫做黄金分割．其中线段与的比值或线段与的比值叫做黄金分割数．已知比例的基本性质：对于长度为的四条线段，如果，则．求黄金分割数（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割的概念和性质，根据题意列出比例式即可，熟练掌握把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割是解题的关键． 【详解】解：设线段，的长为，则， 即，整理得， 解得，（不合题意舍去）， ∴黄金分割数为：． 46．已知a，b，c，d为四个不为0的数． (1)如果，求与的值； (2)如果，求证； (3)如果，求证． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了分式的求值，比例的性质： （1）先根据已知条件得到，，再把代入中进行求解即可； （2）设，则，，再分别计算出和的值即可证明结论； （3）求出，进而可得。 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴； （2）证明：设，则，， ∴，， ∴； （3）证明：∵， ∴， ∴， ∴． 47．（1）我们把邻边之比为的矩形叫做黄金矩形．如图，已知正方形，请用无刻度直尺和圆规作出黄金矩形，使得点、分别在线段、上．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（）的基础上，若以为边作正方形，使得点、分别在线段、上，则矩形是黄金矩形吗？为什么？ 【答案】（1）见解析；（2）矩形是黄金矩形，理由见解析． 【分析】本题考查作图复杂作图，尺规作图，正方形的性质，矩形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （）作的垂直平分线交于点，连接，在上取，然后在上取，过作垂线交于点，四边形即为所求； （）由正方形的性质，，由（）得，从而，即可得解． 【详解】（1）如图，四边形即为所求． （2）解：矩形是黄金矩形，理由如下： 如下图， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，， 由（）得，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴矩形是黄金矩形，． 48．已知a，b，c，d，e，f六个数，如果，那么． 理由如下： ∵ ∴，，（第一步） ∴（第二步） (1)解题过程中第一步应用了______的基本性质；在第二步解题过程中，应用了______的基本性质； (2)应用此解题过程中的思路和方法解决问题： ①如果，则______； ②已知，求的值． 【答案】(1)比例，比例 (2)①2，② 【分析】此题考查了比例的性质，仿照例题方法用同一个字母表示所有未知数是解题的关键： （1）根据比例的基本性质解答； （2）①根据比例的性质得到，代入计算即可； ②设，则，代入化简可得答案 【详解】（1）解：解题过程中第一步应用了比例的基本性质；在第二步解题过程中，应用了比例的基本性质 （2）①∵， ∴， ∴ 故答案为2； ②设，则， ∴ 49．如图，以长为的线段为边作正方形，取的中点，连接．在的延长线上取点，使．以为边作正方形，点在上． (1)求线段、的长； (2)求证：； (3)请指出图中的黄金分割点． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念． （1）要求的长，只需求得的长，又，，则； （2）根据（1）所求分别求出的值即可证明结论； （3）根据（1）中的数据得：，根据黄金分割点的概念，则点M是的黄金分割点． 【详解】（1）解：在中，，由勾股定理知： ， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得， ∴； （3）解：∵， ∴点M是的黄金分割点． 50．【背景知识】 宽与长的比等于的矩形称为黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界上很多著名建筑，为了取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊帕特农神庙等． （1）经测量帕特农神庙的长约为30米，求它的宽度是多少米?（结果保留根号） 【实验操作】 折一个黄金矩形 第一步：在矩形纸片的一端利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，将正方形折成两个相等的矩形，再将其展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线，并将折到图3所示的处； 第四步：展平纸片，按照所得的点D折出，得到矩形（如图4）．          【问题思考】 （2）若的长为2，请证明：矩形是黄金矩形； （3）在（2）的条件下，以图3中的折痕为边，构造黄金矩形，直接写出这个矩形的面积． 【答案】（1）（米）；（2）见详解；（3）或． 【分析】（1）由题意得帕特农神庙宽的与长的比等于，已知长为30，则可以求出宽． （2）若的长为2，由折纸的过程可知，，．求得，则，则可得，进而可求得，即可得证． （3）分为黄金矩形的长和黄金矩形的宽，两种情况，进行讨论求解即可． 本题考查黄金分割，掌握黄金矩形的定义，是解题的关键． 【详解】（1）由题意得帕特农神庙宽与长的比等于， ∴它的宽为： （米）． （2）证明：， 由题意得，，， ， ， ， ， ∴矩形是黄金矩形． （3）由折叠的性质可得， 又， ， ∴ ， 又， ， ． 当 为黄金矩形的长时，则宽为， 则面积为． 当 为黄金矩形的宽时，则长为， 则面积为． 综上，矩形的面积为：或． 试卷第2页，共31页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$