压轴专项十 平行四边形压轴专项2023—2024学年人教版数学八年级下册

2023—2024学年人教版数学八年级下册压轴专项十：平行四边形压轴专项（原版） 1、如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）． （1）连结EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF； （2）当t为多少时，以A、C、F、E为顶点的四边形是平行四边形？ 2、（2024春•重庆期末）如图，在菱形ABCD中，∠C＝60°，E是对角线BD上一点． （1）如图1，若E是线段BD的中点，且AB＝6，求AE的长度； （2）如图2，F是线段AB延长线上一点，且DE＝BF，连接AE，EF．求证：AE＝EF． 3、（2024春•抚远市期末）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边三角形APE，点E的位置随点P位置的变化而变化，连接CE． （1）如图①，当点E在菱形ABCD内部或边上时，求证：BD＝CE+PD； （2）如图②、图③，请分别写出线段BD，CE，PD之间的数量关系，不需证明． 4、已知点E是平行四边形ABCD边CD上的一点（不与点C，D重合）． （1）如图1，当点E运动到CD的中点时，连接AE、BE，若AE平分∠BAD，证明：CE＝CB． （2）如图2，过点E作EF⊥DC交直线CB于点F，连接AF．若∠ABC＝120°，BC＝2．封AB＝4．在线段CF上是否存在一点H．使得四边形AFHD为菱形？若存在，请求出ED，CH的长；若不存在，请简单地说明理由． 5．（2024秋•鄄城县期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，点E在线段BO上从点B出发以1cm/s的速度向点O运动，点F在线段OD上从点O出发以2cm/s的速度向点D运动． （1）若点E，F同时运动，设运动时间为ts，当t为何值时，四边形AECF是平行四边形？ （2）在（1）的条件下，当AB为何值时，平行四边形AECF是菱形？ 6、（2024春•成华区校级期中）如图，已知在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为点E，CE＝CD，点F为CE的中点，点G是CD上的一点，连接DF、EG、AG． （1）若CF＝4，AE＝6，求BE的长； （2）若∠CEG＝∠AGE，那么： ①判断线段AG和EG的数量关系，并说明理由； ②求证：∠1＝∠2． 7、（2024春•富阳区期中）如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF． （1）求证：； （2）求证：EF＝CF； （3）若，设△BEC的面积为S1，△EFC的面积为S2，求的值．（用含a的代数式来表示） 8、（2024秋•莲湖区校级月考）已知，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E，F分别是边AB，BC上的点，连接DE，DF，BP． （1）如图1，当CF＝2BE＝2时，试说明△DEF是直角三角形； （2）如图2，若点E是边AB的中点，DE平分∠ADF，求BF的长． 9、（2024春•嘉祥县期末）如图①，在矩形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝CF．直线EF分别交BA、DC的延长线于点G、H． （1）求证：四边形BHDG是平行四边形； （2）如图②，若四边形BHDG是菱形，且AB＝4，BC＝8，求CH的长． 10、如图，▱ABCD中，AC＝12cm，BD＝16cm，在对角线BD上，E，F两点分别从B，D点往终点D，B运动，它们的速度都是每秒1cm/s，且同时出发，同时停止，若它们运动时间为t． （1）当t≠8时，判断四边形AECF的形状，并说明你的结论． （2）当运动时间t为多少时，四边形AECF为矩形？ 11、（2024春•河北区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF． （1）求证：四边形AEFD为平行四边形； （2）①当t＝　 　s时，四边形AEFD为菱形； ②当t＝　 　s时，四边形DEBF为矩形； 12、如图，正方形ABCD的边长为8cm，点E在AD边上，AE＝6cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C→D运动，设运动时间为t秒． （1）BE＝　 　； （2）当点P在BE的垂直平分线上时，求t的值； （3）当t＝　 　，PE平分∠BED，试猜想此时PB是否为∠EBC的角平分线，并说明理由． 13、（2024•六合区校级开学）课本上有一道习题：如图1，在正方形ABCD中，点E在AB上，点F在BC上，AF与DE相交于点G，AF＝DE，求证：∠DGF＝90°． （1）请完成上题的证明过程； （2）如图2，在菱形ABCD中，点E在AB上，点F在射线BC上，AF与DE相交于点G，AF＝DE，求证：∠DGF＝∠B． 14、（2024春•海陵区校级期末）如图，在正方形ABCD中，F为BC为边上的定点，E、G分别是AB、CD边上的动点，AF和EG交于点H．有2个选项：①AF⊥EG②AF＝EG． （1）请从2个选项中选择一个作为条件，余下一个作为结论，得到一个真命题，并证明．你选择的条件是 　 　，结论是 　 　（只要填写序号）； （2）若AB＝6，BF＝2． ①若BE＝3，求AG的长； ②连结AG、EF，直接写出AG+EF的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年人教版数学八年级下册压轴专项十：平行四边形压轴专项（解析） 1、（2024春•睢县期中）如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）． （1）连结EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF； （2）当t为多少时，以A、C、F、E为顶点的四边形是平行四边形？ 【分析】（1）由题意得到AD＝CD，再由AG与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS即可得证； （2）分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE＝CF时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案． 【解答】（1）证明：∵AG∥BC， ∴∠EAD＝∠DCF，∠AED＝∠DFC， ∵D为AC的中点， ∴AD＝CD， 在△ADE和△CDF中， ， ∴△ADE≌△CDF（AAS）； （2）解：当t＝2或6时，A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形．理由如下： ①当点F在C的左侧时， 根据题意，得AE＝tcm，BF＝2tcm， 则CF＝BC﹣BF＝（6﹣2t）cm， ∵AG∥BC， 当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形， 即t＝6﹣2t， 解得t＝2； ②当点F在C的右侧时，根据题意，得AE＝tcm，BF＝2tcm， 则CF＝BF﹣BC＝（2t﹣6）cm， ∵AG∥BC，当AE＝CF时，四边形AEFC为平行四边形， 即t＝2t﹣6， 解得t＝6， 综上可得：当t＝2或6时，A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形． 2、（2024春•重庆期末）如图，在菱形ABCD中，∠C＝60°，E是对角线BD上一点． （1）如图1，若E是线段BD的中点，且AB＝6，求AE的长度； （2）如图2，F是线段AB延长线上一点，且DE＝BF，连接AE，EF．求证：AE＝EF． 【分析】（1）由四边形ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，证明△ABD是等边三角形，根据E是线段BD的中点，进而可以解决问题； （2）作EG∥AB交AD于点G，先证明△DGE是等边三角形，得DG＝DE＝GE，再证明△AGE≌△EBF，得AE＝EF． 【解答】（1）解：如图1，∵四边形ABCD是菱形， ∴∠DAB＝∠C＝60°，AB＝AD， ∴△ABD是等边三角形， ∴AD＝BD＝AB＝6， ∵E是线段BD的中点， ∴BE＝DE＝3， ∴AE＝BE＝3； （2）证明：如图2，作EG∥AB交AD于点G， ∵△DAB是等边三角形， ∴∠GDE＝60°，∠DGE＝∠DAB＝60°，∠DEG＝∠DBA＝60°， ∴△DGE是等边三角形， ∴DG＝DE＝GE， ∵BF＝DE， ∴GE＝BF， ∵AD＝BD， ∴AD﹣DG＝BD﹣DE， ∴AG＝EB， ∵∠AGE＝180°﹣∠DGE＝120°，∠EBF＝180°﹣∠DBA＝120°， ∴∠AGE＝∠EBF， 在△AGE和△EBF中， ， ∴△AGE≌△EBF（SAS）， ∴AE＝EF． 3、（2024春•抚远市期末）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边三角形APE，点E的位置随点P位置的变化而变化，连接CE． （1）如图①，当点E在菱形ABCD内部或边上时，求证：BD＝CE+PD； （2）如图②、图③，请分别写出线段BD，CE，PD之间的数量关系，不需证明． 【分析】（1）先判断出∠BAP＝∠CAE，进而判断出△BAP≌△CAE，得出BP＝CE，∠ABP＝∠ACE＝30°，再判断出∠CAH+∠ACH＝90°，即可得出结论； （2）同（1）的方法即得出结论； 【解答】（1）证明：如图1，连接AC，延长CE交AD于H， ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°， ∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD＝∠CBD＝30°， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∠CAH＝60°， ∵△APE是等边三角形， ∴AP＝AE，∠PAE＝60°， ∵∠BAC＝∠PAE， ∴∠BAP＝∠CAE， ∴△BAP≌△CAE（SAS）， ∴BP＝CE， ∵BD＝BP+PD， ∴BD＝CE+PD； （2）解：如图2，BD＝CE+PD， 连接AC，AC与BD交于点O， ∴△ABC，△ACD为等边三角形， 在△ABP和△ACE中，AB＝AC，AP＝AE， 又∵∠BAP＝∠BAC+∠CAP＝60°+∠CAP， ∠CAE＝∠EAP+∠CAP＝60°+∠CAP， ∴∠BAP＝∠CAE， ∴△ABP≌△ACE（SAS）， ∴BP＝CE， ∵BD＝BP+PD， ∴BD＝CE+PD； 如图3，BD＝CE﹣PD， 连接AC，AC与BD交于点O， ∴△ABC，△ACD为等边三角形， 在△ABP和△ACE中，AB＝AC，AP＝AE， 又∵∠BAP＝∠BAD+∠DAP＝120°+∠DAP， ∠CAE＝∠CAD+∠DAP+∠PAE＝120°+∠DAP， ∴∠BAP＝∠CAE， ∴△ABP≌△ACE（SAS）， ∴BP＝CE，∵BD＝BP﹣PD，∴BD＝CE﹣PD． 4、（2024春•巴东县期末）已知点E是平行四边形ABCD边CD上的一点（不与点C，D重合）． （1）如图1，当点E运动到CD的中点时，连接AE、BE，若AE平分∠BAD，证明：CE＝CB． （2）如图2，过点E作EF⊥DC交直线CB于点F，连接AF．若∠ABC＝120°，BC＝2．封AB＝4．在线段CF上是否存在一点H．使得四边形AFHD为菱形？若存在，请求出ED，CH的长；若不存在，请简单地说明理由． 【分析】（1）先根据平行四边形的性质证得∠DEA＝∠BAE，再根据角平分线的性质证得∠DAE＝∠DEA，得出AD＝DE，根据E是CD的中点得出AE＝CE，进而得出CE＝CB，结论得证． （2）当DH⊥CF且CE＝1+时，四边形AFHD为菱形，先根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFHD是平行四边形，再证明AD＝DH证得平行四边形AFHD是菱形． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD＝BC， ∴∠DEA＝∠BAE， 又∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE＝∠BAE， ∴∠DAE＝∠DEA， ∴AD＝DE， 又∵E是CD的中点， ∴DE＝CE， ∴CE＝CB； （2）解：存在，当DH⊥CF且CE＝1+时，四边形AFHD为菱形， 理由如下：过点D作DH⊥CF于H，如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝2，∠ABC＝∠ADC＝120°， ∴∠BAD＝∠BCD＝60°， ∵CE＝1+， ∴DE＝CD﹣CE＝4﹣（1﹣）＝3﹣， 在Rt△CHD中，∠CHD＝90°，∠DCH＝60°， ∴∠CDH＝30°， ∴CH＝CD＝2， ∴DH＝， ∴AD＝DH， 在Rt△CEF中，∠CEF＝90°，∠ECF＝60°， ∴∠CFE＝30°， ∴CF＝2CE＝2（1+）＝2+2， ∴FH＝CF﹣CH＝2+2﹣2＝2 ∴AD＝FH， 在平行四边形ABCD中，AD∥BC，点F在CB的延长线上， ∴AD∥FH， ∴四边形AFHD是平行四边形， 又∵AD＝DH， ∴平行四边形AFHD是菱形． 5、（2024秋•鄄城县期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，点E在线段BO上从点B出发以1cm/s的速度向点O运动，点F在线段OD上从点O出发以2cm/s的速度向点D运动． （1）若点E，F同时运动，设运动时间为ts，当t为何值时，四边形AECF是平行四边形？ （2）在（1）的条件下，当AB为何值时，平行四边形AECF是菱形？ 【分析】（1）若是平行四边形，所以BD＝12cm，则B0＝DO＝6cm，故有6﹣1t＝2t，即可求得t值； （2）由菱形的性质得AC⊥EF，再由勾股定理求出AB的长即可． 【解答】解：（1）若四边形AECF为平行四边形， 则OA＝OC，OE＝OF， ∵四边形ABCD为平行四边形，BD＝12cm，AC＝6cm， ∴BO＝OD＝6cm，OA＝OC＝3cm， ∴OE＝（6﹣t）cm，OF＝2tcm， ∴6﹣t＝2t， ∴t＝2， ∴当t为2时，四边形AECF是平行四边形； （2）若四边形AECF是菱形， 则AC⊥EF， ∴AO2+BO2＝AB2， ∴AB＝＝3（cm）， ∴当AB为3cm时，▱AECF是菱形． 6．（2024春•成华区校级期中）如图，已知在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为点E，CE＝CD，点F为CE的中点，点G是CD上的一点，连接DF、EG、AG． （1）若CF＝4，AE＝6，求BE的长； （2）若∠CEG＝∠AGE，那么： ①判断线段AG和EG的数量关系，并说明理由； ②求证：∠1＝∠2． 【分析】（1）先求出CD＝CE＝2CF＝8，再由平行四边形的性质得出AB＝CD＝8，然后由勾股定理即可得出答案； （2）①延长BC交AG的延长线于H，易证∠CEG＝∠CHG，再证∠AEG＝∠EAG，即可得出答案； ②由①得AG＝EG＝HG，再由AAS证得△ADG≌△HCG，得DG＝CG，则CF＝CG，然后由SAS证△CDF≌△CGE，即可得出结论． 【解答】（1）解：∵CE＝CD，点F为CE的中点，CF＝2， ∴CD＝CE＝2CF＝8， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD＝8， ∵AE⊥BC， ∴∠AEB＝90°， 在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE＝＝＝2； （2）①解：AG＝EG，理由如下： 延长BC交AG的延长线于H，如图所示： ∵∠CEG＝∠AGE，∠AGE＝∠CEG+∠CHG， ∴∠CEG＝∠CHG， ∵∠AEG+∠CEG＝90°，∠EAG+∠CHG＝90°， ∴∠AEG＝∠EAG， ∴AG＝EG； ②证明：由①得：∠CEG＝∠CHG，AG＝EG， ∴AG＝EG＝HG， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BH， ∴∠DAG＝∠CHG，∠ADG＝∠HCG， 在△ADG和△HCG中， ， ∴△ADG≌△HCG（AAS）， ∴DG＝CG， ∴CG＝CD＝CE， ∵点F为CE的中点， ∴CF＝CE， ∴CF＝CG， 在△CDF和△CGE中， ， ∴△CDF≌△CGE（SAS）， ∴∠1＝∠2． 7、（2024春•富阳区期中）如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF． （1）求证：； （2）求证：EF＝CF； （3）若，设△BEC的面积为S1，△EFC的面积为S2，求的值．（用含a的代数式来表示） 【分析】（1）平行四边形的性质得AB＝CD，AD∥BC，由AD＝2AB，F是AD的中点得AD＝2CD＝2FD，所以CD＝FD，则∠DCF＝∠DFC＝∠BCF＝∠BCD； （2）延长CD、EF交于点G，由AB∥CD得∠A＝∠FDG，即可证明△AEF≌△DGF，得EF＝GF，而∠ECG＝∠BEC＝90°，则EF＝CF＝EG； （3）设AE＝m，则BE＝am，CD＝AB＝m+am，CG＝2m+am，所以S1＝am•CE，S2＝S△EGC＝（2m+am）CE，即可求得＝． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD∥BC， ∵AD＝2AB，F是AD的中点， ∴AD＝2CD＝2FD， ∴CD＝FD， ∴∠DCF＝∠DFC， ∵∠DFC＝∠BCF， ∴∠DCF＝∠BCF＝∠BCD． （2）证明：如图，延长CD、EF交于点G， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠FDG， 在△AEF和△DGF中， ， ∴△AEF≌△DGF（ASA）， ∴EF＝GF， ∴CE⊥AB， ∴∠ECG＝∠BEC＝90°， ∴EF＝CF＝EG． （3）解：如图，设AE＝m， ∵， ∴BE＝am， ∴CD＝AB＝m+am， ∵△AEF≌△DGF， ∴DG＝AE＝m， ∴CG＝m+am+m＝2m+am， ∵S1＝S△BEC＝am•CE，S2＝S△EFC＝S△EGC＝×（2m+am）CE＝（2m+am）CE， ∴＝＝， ∴的值为． 8、（2024秋•莲湖区校级月考）已知，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E，F分别是边AB，BC上的点，连接DE，DF，BP． （1）如图1，当CF＝2BE＝2时，试说明△DEF是直角三角形； （2）如图2，若点E是边AB的中点，DE平分∠ADF，求BF的长． 【分析】（1）在Rt△ADE中，DE2＝AE2+AD2＝62+72＝85，在Rt△DCF中，DF2＝DC2+CF2＝82+22＝68，在Rt△BEF中，EF2＝BE2+BF2＝12+42＝17，得出DF2+EF2＝DE2，即可得出结论； （2）作EH⊥DF于H，则∠A＝∠DHE＝90°，证明△AED≌△HED（AAS），得出DA＝DH＝6，EA＝EH＝4，得出EH＝EB＝4，证明Rt△EHF≌Rt△EBF（HL），得出BF＝HF．设BF＝x，则HF＝x，CF＝6﹣x，得出DF＝DH+HF＝6+x，在Rt△CDF中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【解答】（1）证明；∵CF＝2BE＝2， ∴BE＝1， ∴AE＝AB﹣BE＝7． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝8，AD＝BC＝6， 在Rt△ADE中，DE2＝AE2+AD2＝62+72＝85， 在Rt△DCF中，DF2＝DC2+CF2＝82+22＝68， 在Rt△BEF中，EF2＝BE2+BF2＝12+42＝17， ∴DF2+EF2＝DE2， ∴△DEF是直角三角形，且∠DFE＝90°； （2）解：作EH⊥DF于H， 则∠A＝∠DHE＝90°． ∵DE平分∠ADF， ∴∠ADE＝∠HDE， 在△AED和△HED中， ， ∴△AED≌△HED（AAS）， ∴DA＝DH＝6，EA＝EH＝4， ∴EH＝EB＝4， 在Rt△EHF和Rt△EBF中， ， ∴Rt△EHF≌Rt△EBF（HL）， ∴BF＝HF． 设BF＝x，则HF＝x，CF＝6﹣x， ∴DF＝DH+HF＝6+x， 在Rt△CDF中，DC2+CF2＝DF2， ∴82+（6﹣x）2＝（6+x）2， ∴x＝， 即BF＝． 9、（2024春•嘉祥县期末）如图①，在矩形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝CF．直线EF分别交BA、DC的延长线于点G、H． （1）求证：四边形BHDG是平行四边形； （2）如图②，若四边形BHDG是菱形，且AB＝4，BC＝8，求CH的长． 【分析】（1）由“AAS”证△AGE≌△CHF，得AG＝CH，即可解决问题； （2）由菱形的性质得BH＝DH＝4+CH，再由勾股定理得BH2＝BC2+CH2，即（4+CH）2＝82+CH2，求解即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠BCD＝90°， ∴∠AGE＝∠CHF，∠GAE＝∠HCF＝90°， 在△AGE和△CHF中， ， ∴△AGE≌△CHF（AAS）， ∴AG＝CH， ∴AB+AG＝CD+CH， 即BG＝DH， ∵AB∥CD ∴四边形BHDG是平行四边形； （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝4， ∵四边形BHDG是菱形， ∴BH＝DH＝4+CH， 在Rt△BCH中，由勾股定理得：BH2＝BC2+CH2， 即（4+CH）2＝82+CH2， 解得：CH＝6， 即CH的长为6． 10、如图，▱ABCD中，AC＝12cm，BD＝16cm，在对角线BD上，E，F两点分别从B，D点往终点D，B运动，它们的速度都是每秒1cm/s，且同时出发，同时停止，若它们运动时间为t． （1）当t≠8时，判断四边形AECF的形状，并说明你的结论． （2）当运动时间t为多少时，四边形AECF为矩形？ 【分析】（1）根据题意可得AO＝CO，EO＝FO，即可证四边形AECF是平行四边形； （2）由四边形AECF是矩形可得AC＝EF，可列方程可解t的值． 【解答】解：（1）四边形AECF是平行四边形 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AO＝CO，BO＝EO ∵BE＝DF＝t ∴EO＝FO，AO＝CO ∴四边形AECF是平行四边形 （2）若四边形AECF是矩形 ∴AC＝EF ∴12＝16﹣2t或12＝2t﹣16 解得：t＝2或14 当t＝2或14时，四边形AECF为矩形． 11、（2024春•河北区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF． （1）求证：四边形AEFD为平行四边形； （2）①当t＝　10　s时，四边形AEFD为菱形； ②当t＝　　s时，四边形DEBF为矩形； 【分析】（1）由题意得∠BCA＝30°，CD＝4tcm，AE＝2tcm，再由含30°角的直角三角形的性质得DF＝DC＝2tcm，得到AE＝DF，然后证AE∥DF，即可得出结论； （2）①由AE＝AD，得四边形AEFD为菱形，得2t＝60﹣4t，进而求得t的值； ②∠EDF＝∠B＝∠DFB＝90°时，四边形DEBF为矩形，得到∠AED＝90°，再证AD＝2AE，得60﹣4t＝4t，即可得出结论． 【解答】（1）证明：由题意可知CD＝4tcm，AE＝2tcm， ∵∠B＝90°，∠A＝60°， ∴∠C＝30°， ∴DF＝DC＝2tcm． ∵AE＝2tcm，DF＝2tcm， ∴AE＝DF． 又∵DF⊥BC，AB⊥BC， ∴AE∥DF， ∴四边形AEFD为平行四边形． （2）解：①∵AB⊥BC，DF⊥BC， ∴AE∥DF． ∵AE＝DF，AE∥DF， ∴四边形AEFD为平行四边形， ∴要使平行四边形AEFD为菱形，则需AE＝AD， 即2t＝60﹣4t， 解得t＝10， ∴当t＝10时，四边形AEFD为菱形， 故答案为：10． ②要使四边形DEBF为矩形，则∠EDF＝∠B＝∠DFB＝90°， ∴∠DEB＝90°， ∴∠AED＝90°． ∵∠AED＝90°，∠A＝60°， ∴∠ADE＝30°， ∴AD＝2AE， 即60﹣4t＝4t， 解得t＝． 即当t＝时，四边形DEBF为矩形， 故答案为：． 12．（2024秋•江阴市期中）如图，正方形ABCD的边长为8cm，点E在AD边上，AE＝6cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C→D运动，设运动时间为t秒． （1）BE＝　10cm　； （2）当点P在BE的垂直平分线上时，求t的值； （3）当t＝　20　，PE平分∠BED，试猜想此时PB是否为∠EBC的角平分线，并说明理由． 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）如图1中，设BE的垂直平分线交AB于点P，交CD于点P′，连接PE．过点P′作P′T⊥AB于点T．由题意PB＝PE＝8﹣t，利用勾股定理求出t，再证明PT＝AE＝6cm，求出BT，可得结论； （3）结论：PB是∠EBC的角平分线．如图2中，连接PB，过点P作PK⊥BE于点K．利用全等三角形的性质证明PD＝PK＝PC，可得结论． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝90°， ∴BE＝＝＝10（cm）， 故答案为：10cm； （2）如图1中，设BE的垂直平分线交AB于点P，交CD于点P′，连接PE．过点P′作P′T⊥AB于点T． 由题意PB＝PE＝8﹣t， 在Rt△APE中，则有t2+62＝（8﹣t）2， ∴t＝． ∵∠C＝∠CBT＝∠BTP′＝90°， ∴四边形CBTP′是矩形， ∴CP′＝BT，P′T＝BC＝AB， ∵∠A＝∠P′TB＝90°，∠ABE+∠TPP′＝90°，∠P′PT+∠PP′T＝90°， ∴∠ABE＝∠PP′T， ∴△P′TP≌△BAE（AAS）， ∴PT＝AE＝6cm， ∴BT＝AB﹣AP﹣PT＝8﹣﹣6＝， ∴运动到P′时，t＝8+8+＝， 综上所述，满足条件的t的值为或． （3）结论：PB是∠EBC的角平分线． 理由：如图2中，连接PB，过点P作PK⊥BE于点K． ∵PE平分∠BED，PK⊥BE．PD⊥ED， ∴∠PED＝∠PEK，∠D＝∠PKE＝90°， ∵PE＝PE， ∴△PED≌△PEK（AAS）， ∴PD＝PK，ED＝EK＝2cm， ∵BE＝10cm， ∴BK＝8cm＝BC， ∵PB＝PB，∠C＝∠PKB＝90°， ∴△BPK≌△BPC（AAS）， ∴PK＝PC， ∴PD＝PC， ∵PK⊥BE，PC⊥BC， ∴∠PBK＝∠PBC， ∴PB平分∠EBC， ∵PD＝PC， ∴t＝8+8+4＝20． 故答案为：20． 13、（2024•六合区校级开学）课本上有一道习题：如图1，在正方形ABCD中，点E在AB上，点F在BC上，AF与DE相交于点G，AF＝DE，求证：∠DGF＝90°． （1）请完成上题的证明过程； （2）如图2，在菱形ABCD中，点E在AB上，点F在射线BC上，AF与DE相交于点G，AF＝DE，求证：∠DGF＝∠B． 【分析】（1）根据正方形的性质和已知条件证明Rt△DAE≌Rt△ABF，再通过证明∠ADE+∠DAF＝90°证明∠DGF＝90°； （2）作AH⊥BC于点H，EK⊥CD于点K，根据同一个菱形的高相等证明EK＝AH，再由AF＝DE证明Rt△EKD≌Rt△AHF得到∠EDC＝∠F，再推出∠DGF＝∠B． 【解答】（1）证明：如图1， ∵四边形ABCD是正方形， ∴DA＝AB，∠DAE＝∠B＝90°， ∵AF＝DE， ∴Rt△DAE≌Rt△ABF（HL）， ∴∠ADE＝∠BAF， ∴∠ADE+∠DAF＝∠BAF+∠DAF＝∠DAB＝90°， ∴∠DGF＝∠ADE+∠DAF＝90°． （2）证明：如图2，作AH⊥BC于点H，EK⊥CD于点K，则∠EKD＝∠AHF＝90°， 设AF交CD于点R， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝DC， ∴S菱形ABCD＝EK•DC＝AH•BC， ∴EK＝AH， ∵AF＝DE， ∴Rt△EKD≌Rt△AHF（HL）， ∴∠EDC＝∠F， ∴∠DRF﹣∠EDC＝∠DRF﹣∠F， ∵∠DGF＝∠DRF﹣∠EDC，∠DCF＝∠DRF﹣∠F， ∴∠DGF＝∠DCF， ∵CD∥AB， ∴∠DCF＝∠B， ∴∠DGF＝∠B． 14、（2024春•海陵区校级期末）如图，在正方形ABCD中，F为BC为边上的定点，E、G分别是AB、CD边上的动点，AF和EG交于点H．有2个选项：①AF⊥EG②AF＝EG． （1）请从2个选项中选择一个作为条件，余下一个作为结论，得到一个真命题，并证明．你选择的条件是 　①　，结论是 　②　（只要填写序号）； （2）若AB＝6，BF＝2． ①若BE＝3，求AG的长； ②连结AG、EF，直接写出AG+EF的最小值． 【分析】（1）条件是①，结论是②．过点G作GP⊥AB交于P，证明△ABF≌△GPE（ASA）即可； （2）①在Rt△APG中，求出AP＝1，PG＝6，利用勾股定理得出AG＝； ②过点F作FQ∥EG，过点G作GQ∥EF，当A、G、Q三点共线时，AG+EF的值最小，证明△AFQ是等腰直角三角形，由勾股定理即可求AQ的值即为所求． 【解答】解：（1）（答案不唯一）选择的条件是①，结论是②．理由如下： 如图1，过点G作GP⊥AB交于P， ∵AH⊥EG， ∴∠AEH+∠DAH＝90°， ∵∠PEG+∠PGC＝90°， ∴∠EAH＝∠PGE． 在△ABF与△GPE中， ， ∴△ABF≌△GPE（ASA）， ∴AF＝EG． 故答案为：①，②（答案不唯一）； （2）①∵BF＝2， ∴PE＝2， ∵AB＝6，BE＝3， ∴AE＝3， ∴AP＝1， 在Rt△APG中，AP＝1，PG＝6， ∴AG＝＝； ②过点F作FQ∥EG，过点G作GQ∥EF， ∴四边形EFQG为平行四边形， ∴GQ＝EF， ∴AG+EF＝AG+GQ≥AQ， ∴当A、G、Q三点共线时，AG+EF的值最小， ∵EG＝AF，EG＝FQ， ∴AF＝FQ， ∵AF⊥EG， ∴AF⊥FQ， ∴△AFQ是等腰直角三角形， ∵AF＝＝2， ∴AQ＝4， ∴AG+EF的最小值为4． 学科网（北京）股份有限公司 $$