24.4 第1课时 弧长和扇形面积（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年九年级数学上册同步备课（人教版）

圆的有关性质 点和圆、直线和圆的位置关系 正多边形和圆 圆 弧、弦、圆心角 新知一览 圆 点和圆的位置关系 切线长定理及三角形的内切圆 圆周角 切线的判定与性质 垂直于弦的直径 弧长和扇形面积 弧长和扇形面积 圆锥的侧面积和全面积 直线与圆的位置关系 第二十四章 圆 人教版九年级（上） 24.4 弧长和扇形面积 第1课时 弧长和扇形面积 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料.如图所示. 如何求一段弧的长度? 700 mm 700 mm R = 900 mm ( 100° A C B D O 导入新课 知识点 1：与弧长相关的计算 探究一 如何求一段弧的长度? 圆的周长 C = 2πR ° 圆心角所对的弧长 ＝ 360 1° 的圆心角所对的弧长呢？ 2πR 360 πR 180 探究新知 n° 的圆心角所对的弧长呢？ 总结 n° 的圆心角所对的弧长: . n 表示 1° 圆心角的倍数. ° ° 合作探究 例1 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算如图所示管道的展直长度 L (单位：mm，精确到 1 mm). 700 mm 700 mm R = 900 mm ( 100° A C B D O 管道的展直长度 L = AC + BD + 弧 AB 的长 也可以用 表示 典例精析 解： 因此所要求的展直长度 L = 2×700 + 500π ≈ 2971 (mm). 答：管道的展直长度约为 2971 mm. 700 mm 700 mm R = 900 mm ( 100° A C B D O 例2 如图，在 ∠AOC 中，∠AOC = 90°，∠C = 20°，以 O 为圆心，OA 为半径的圆交 AC 于点 B，若 OA = 6，求 的长. 连接 OB 求 ∠AOB ∠AOB = 180°-∠OAB-∠OBA 联系已知角 求 解：连接 OB . ∵ ∠AOC = 90°，∠C = 20°， ∴ ∠OAB = 70°. 又∵ OA = OB， ∴∠OAB = ∠OBA =70°，∠AOB = 40°. ∴ 1.(广西)如图在 △ABC 中，CA = CB = 4，∠BAC = α 将 △ABC 绕点 A 逆时针旋转 2α 得到 △AB′C′ 连接 B′C 并延长交 AB 于点 D，当 B′D⊥AB 时， 的长是 ( ) B 链接中考 知识点 2：与扇形相关的计算 探究二 如何求圆的部分面积? 扇形 扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形． ° 问题一 由扇形的定义可知，扇形面积就是圆面积的一部分．你能类比刚才我们研究弧长公式的方法推导出扇形面积的计算公式吗？ 360° 所对的扇形的面积： 1° 所对的扇形的面积： πR2 360 πR2 合作探究 问题二 圆心角是 n° 的扇形的面积呢？ 总结 圆心角为 n° 的扇形的面积是: . ° 合作探究 2.(兰州)如图 1 是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板；该展板的部分示意图如图 2 所示；它是以 O 为圆心，OA，OB 长分别为半径，圆心角∠O =120° 形成的扇面，若 OA = 3m ，OB =1.5m，则阴影部分的面积为 ( ) A.4.25π m2 B.3.25π m2 C.3π m2 D.2.25π m2 D 链接中考 探究三 圆心角是 n° 所对的弧长公式和扇形的面积公式之间的关系. R 合作探究 总结 圆心角为 n° 的扇形的面积是: 方法总结 例3 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水面高 0.3 m，求截面上有水部分的面积 (精确到 0.01 m2). 典例精析 ∵ OC＝0.6，DC＝0.3， ∴ OD＝OC - DC＝0.3. ∴ OD＝DC. 又 AD⊥OC， ∴ AD 是线段 OC 的垂直平分线. ∴ AC＝AO＝OC. 从而∠AOD＝60°，∠AOB＝120°. 解：如图，连接 OA、OB，过点 O 作弦 AB 的垂线，垂足为 D，交 于点 C，连接 AC. 在 Rt△AOD 中，OA = 0.6 m，OD = 0.3 m， ∴ AD = m. ∴ AB = 2AD = m. ∴ 截面上有水部分的面积为 S = S扇形AOB - SΔOAB O O 弓形的面积 = 扇形的面积 ± 三角形的面积 弓形的面积公式: S弓形 = S扇形 - S三角形 S弓形 = S扇形 + S三角形 方法总结 例4 已知正三角形 ABC 的边长为 a，D，E，F 分别为 BC，CA，AB 的中点分别以 A，B，C 为圆心，长为半径作圆，求图中阴影部分的面积. S阴影= S△ABC -S扇形FBD-S扇形ECD-S扇形FAE = S△ABC -3×S扇形 解：连接 AD . 由题意得：CD = ，AC = a .∴ AD = ∴S△ABC = BC×AD× = ， 计算公式 弧长 面积公式 面积公式 ________ 扇形 弓形 ________ ________ S弓形 = S扇形 - S三角形 S弓形 = S扇形 + S三角形 课后小结 2. 某扇形的圆心角为 72°，面积为 5π，则此扇形的弧长为 ( ) A．π B．2π C．3π D．4π B 1. 75° 的圆心角所对的弧长是 2.5π cm，则此弧所在圆的半径是_____cm. 6 基础练习 当堂练习 3. 如图，某数学兴趣小组将边长为 5 的正方形铁丝框 ABCD 变形为以 A 为圆心，AB 为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得扇形 ABD 的面积为______. 25 4.(宜昌)“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形如图以边长为 2 厘米的等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”，该“莱洛三角形”的面积是_____________________. S莱洛三角形= (S扇形BAC -S△ABC)×3+S△ABC 4.（例题变式题） 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是 0.6 m，其中水面高 0.9 m，求截面上有水部分的面积 (精确到 0.01 m2）. O A B D C E 更多练习见专题课件. 课后作业 $$