24.2.1 点和圆位置关系（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年九年级数学上册同步备课（人教版）

圆的有关性质 点和圆、直线和圆的位置关系 正多边形和圆 圆 弧、弦、圆心角 新知一览 圆 点和圆的位置关系 切线长定理及三角形的内切圆 圆周角 切线的判定与性质 垂直于弦的直径 弧长和扇形面积 弧长和扇形面积 圆锥的侧面积和全面积 直线与圆的位置关系 第二十四章 圆 人教版九年级（上） 24.2.1 点和圆的位置关系 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 问题：我国射击运动员在奥运会上屡获金牌，为祖国赢得荣誉，如下图是射击靶的示意图，它是由许多同心圆 (圆心相同、半径不等的圆)构成的，你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？ A B C D E 导入新课 知识点 1：点和圆的位置关系 问题1 观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？ 点和圆的位置关系有三种： 点在圆内， 点在圆上， 点在圆外. 探究新知 问题2 设点到圆心的距离为 d，圆的半径为 r，量一量在三种不同的位置关系下，d 与 r 有怎样的数量关系？ 问题3 反过来，由 d 与 r 的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？ 合作探究 总结 点 P 在⊙O 内 点 P 在⊙O 上 点 P 在⊙O 外 d＜r d = r d＞r 设⊙O 的半径为 r，点到圆心的距离 OP = d ，则有： 符号“ ”读作“等价于”，它表示符号“ ”的左右两端可以互相推出. 数形结合： 位置关系 数量关系 定义总结 例1 圆心为 O 的两个同心圆，半径分别为 1 和 2，若 OP = ，则点 P 在 ( 　) A. 大圆内 B. 小圆内 C. 小圆外 D. 大圆内，小圆外 O D 总结 点 P 在圆环内 r＜d＜R 典例精析 1.(青海 )点 P 是非圆上一点，若点 P 到⊙O 上的点的最小距离是 4 cm，最大距离是 9 cm，则⊙O的半径是_____________cm. ① 点在圆内 ② 点在圆外 6.5 或 2.5 链接中考 知识点 2：三角形的外接圆与外心 如何解决“破镜重圆”问题呢？ 合作探究 解题关键是什么？ 破镜重圆问题 几点确定圆心 转化 请动手画一画过一个点 A 、两个点 A、B 作圆，并思考这样的圆有多少个. 无数个 无数个 有什么规律？ 动手实践 经过同一平面内三个点作圆，情况会怎样呢？ D E G F ● O A B C 不在同一条直线的三点作圆： 圆心在三条线段垂直平分线的交点上. 总结 不在同一条直线上的三点确定一个圆. 合作探究 1. 将如图所示的破损的镜子复原. A B C O 方法： (1) 在圆弧上任取三点 A、B、C； (2) 作线段 AB、BC 的垂直平分线， 其交点 O 即为圆心； (3) 以点 O 为圆心，OA 长为半径 作圆. 则⊙O 即为所求. 练一练 三角形的外接圆： 经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆. 三角形的外心： 外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心. 总结 定义总结 2.下列说法是否正确？ (1) 任意的一个三角形一定有一个外接圆( ) (2) 任意一个圆有且只有一个内接三角形( ) (3) 经过三点一定可以确定一个圆( ) (4) 三角形的外心到三角形各顶点的距离相等( ) √ × × √ 练一练 知识点 3：反证法 过同一直线上的三点可以作圆吗？ 合作探究 怎么证明？ 如图，已知点 A、B、C 在直线 l 上. 求证：过点 A、B、C 不能作圆. A B C l 假设可以作圆 如图，已知点 A、B、C 在直线 l 上. 求证：过点 A、B、C 不能作圆. 得出相关条件 与原有知识矛盾 假设不成立 A B C l 合作探究 l1 l2 A B C P l 证明：假设过同一直线上的三点可以作圆. 则该圆的圆心到 A、B、C 三点的距离都相等， 即圆心是线段 AB、BC 垂直平分线的交点. 分别作 AB、BC 垂直平分线 l1、l2. 显然 l1∥l2， l1 与 l2 无交点，故产生矛盾. 所以假设不成立. 即过同一直线上的三点不能作圆. 假设原命题不成立 进行推理，产生矛盾 假设不成立，原命题成立 反证法步骤： 总结 ①假设原命题不成立； ②以此为依据进行推理，产生矛盾（与公理、定理或条件矛盾）； ③得出假设不成立，从而原命题成立. 方法总结 例2 求证：在一个三角形中，至少有一个内角≤60°. 已知：△ABC. 求证：△ABC 中至少有一个内角小于或等于 60°. 证明：假设　　　　　　　　　　　　　　　　　， 则　　　　　　　　　　　　　　　. ∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　， 即　　　　　　　　　　. 这与　　　　　　　　　　　矛盾，故假设不成立． ∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　． △ABC 中没有一个内角小于或等于 60° ∠A > 60°，∠B > 60°，∠C > 60° ∠A +∠B +∠C > 180° 三角形的内角和为 180° △ABC中至少有一个内角小于或等于 60° ∠A +∠B +∠C > 60° + 60° + 60° = 180° 典例精析 点在圆外⇔d___r _________________ 的三点确定一个圆 确定圆的条件 点和圆的位置关系 点和圆的位置关系 不在同一条直线上 ＞ 点在圆内⇔d___r 点在圆上⇔d___r ＜ = 假设原命题不成立→推出矛盾→假设不成立 反证法 课后小结 基础练习 1.⊙O 的半径 r 为 5 cm，O 为原点，点 P 的坐标为(3，4)， 则点 P 与⊙O 的位置关系为 ( ) A. 点 P 在⊙O 内 B. 点 P 在⊙O 上 C. 点 P 在⊙O 外 D. 点 P 在⊙O 上或⊙O 外 B 当堂练习 2. 判断： (1) 经过三点一定可以作圆 ( ) (2) 三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的 交点 ( ) (3) 三角形的外心到三边的距离相等 ( ) (4) 等腰三角形的外心一定在这个三角形内 ( ) √ × × × 3. 某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示．为复制该瓷盘要确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心． 解：(1) 在圆形瓷盘的边缘选 A、B、C 三点； (2) 连接 AB、BC； (3) 分别作出 AB、BC 的垂直平分线； (4) 两垂直平分线的交点就是瓷盘的圆心. A B C 4. 如图，已知 Rt△ABC 中 ，∠C = 90°，若 AC = 12 cm， BC = 5 cm，求△ABC 的外接圆半径. C B A O 解：设 Rt△ABC 的斜边 AB 的中点为 O，连接 OC，则 OA = OB = OC. 故点 O 是△ABC 的外心. ∵∠C = 90°，AC = 12 cm，BC = 5 cm， ∴ AB = 13 cm. 则 OA = 6.5 cm， 即 △ABC 的外接圆半径为 6.5 cm. 更多练习见专题课件. 课后作业 $$