24.1.4 圆周角（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年九年级数学上册同步备课（人教版）

null圆的有关性质 点和圆、直线和圆的位置关系 正多边形和圆 圆 弧、弦、圆心角 新知一览 圆 点和圆的位置关系 切线长定理及三角形的内切圆 圆周角 切线的判定与性质 垂直于弦的直径 弧长和扇形面积 弧长和扇形面积 圆锥的侧面积和全面积 直线与圆的位置关系 24.1 圆的有关性质 第二十四章 圆 人教版九年级（上） 24.1.4 圆周角 C A E D B 思考： 回想足球射门的过程，图中过球门 A、E 两点画圆，球员射中球门的难易程度与他所处的位置 B、C、D 有关(张开的角度大小)、仅从数学的角度考虑，球员应选择从哪一点的位置射门更有利？ 为什么呢？ 导入新课 知识点 1：圆周角的定义 问题1：∠ACB 有什么特点？它与 ∠AOB 有何异同？ 问题2：你能仿照圆心角的定义给 ∠ACB 取一个名字并下定义吗？ A B O C 如图，把圆心角∠AOB 的顶点 O 拉到圆上，得到∠ACB. 探究新知 总结 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 例如：∠ACB. A B O C 定义总结 · C O A B · C O B · C O B A A · C O A B · C O B · C O B A A 1.下列各图中的∠BAC是否为圆周角？简述理由. 顶点 A 不在圆上 顶点 A 不在圆上 边 AC 没有和圆相交 √ √ √ 练一练 知识点 2：圆周角定理及其推论 　　图中圆周角∠ACB 和圆心角∠AOB 有怎样的关系？ A B O C 合作探究 先猜一猜，再用量角器量一量. 圆心 O 在∠BAC 的内部 圆心 O 在 ∠BAC 的一边上 圆心 O 在 ∠BAC 的外部 推导论证圆周角∠ACB 和圆心角∠AOB 之间的数量关系. 合作探究 情况一：圆心 O 在∠BAC 的一边上 (特殊情形) OA = OC ∠A = ∠C ∠BOC = ∠A + ∠C O A B C O A B D O A C D D O A C D O A B D 情况二：圆心 O 在∠BAC 的内部 O A B D O C A D O A B D C O A D C O A B D C O A D O A B D 情况三：圆心 O 在∠BAC 的外部 总结 圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 定义总结 在同圆(或等圆)中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等. 上节课我们学习了一个反映圆心角、圆心角所对的弧、圆心角所对的弦三个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？ 那么，圆周角与圆周角所对的弧、弦有什么关系吗？ 想一想 圆周角与弧的关系 问题1 如图，OB，OC 都是⊙O 的半径，点 A ，D 是圆上任意两点，连接 AB，AC，BD，CD. ∠BAC 与∠BDC 相等吗？请说明理由. D ∠BAC=∠BDC 合作探究 问题2 如图，若 ∠A 与∠B 相等吗？ D A B O C E F 圆周角推论1：同弧或等弧所对的圆周角______. 相等 想一想：反过来，如果∠A =∠B，那么 成立吗？ 圆周角与弦的关系 问题3 如图，线段 AB 是☉O 的直径，点 C 是☉O 上的任意一点 (除点 A、B 外)，那么∠ACB 就是直径 AB 所对的圆周角. 想一想，∠ACB 会是怎样的角？ · O A C B AB 是直径 ∠AOB = 180° ∠ACB 是直径 AB 所对的圆周角 ∠ACB = 90° 合作探究 圆周角推论 2： 半圆（或直径）所对的圆周角是______，90° 的圆周角所对的弦是______. 直径 直角 方法总结 例1 如图，⊙O 的直径 AB 为 10 cm，弦 AC 为 6 cm. ∠ACB 的平分线交⊙O 于点 D，求 BC，AD，BD 的长. 在 Rt△ABC 中 CD 平分∠ACB 连接 OD ∠ACD =∠BCD ∠AOD =∠BOD AD = BD Rt△ABD 中 典例精析 ∵ CD 平分∠ACB， ∴ AD = BD. ∴∠AOD =∠BOD. ∴∠ACD =∠BCD. 在 Rt△ABD 中，AD2 + BD2 = AB2， 解：如图，连接 OD. 在 Rt△ABC 中， ∴∠ACB =∠ADB = 90°. ∵ AB 是直径， 总结 解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则应考虑构造直角三角形来求解. 方法总结 AB 为直径 ∠ADB = 90° 1. (济南)如图，AB、CD 是 ⊙O 的直径，∠ACD = 25°，求∠BAD 的度数. ∠ACD = 25° ∠B = 25° ∠BAD = 90°-∠B = 65° 链接中考 解：∵ AB 是 ⊙O 的直径， ∴∠ADB = 90°. ∵相同的弧所对应的圆周角相等，且∠ACD = 25°， ∴∠B = 25°. ∴∠BAD = 90°-∠B = 65°. 知识点 3：圆内接四边形 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆. 知识讲解 如图，四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形.探究 ∠A 与∠C，∠B 与∠D 之间的关系. ∠A +∠C = 180°， ∠B +∠D = 180°. 如何证明呢？ 合作探究 ∵ ∠A 所对的圆心角是∠β，∠C 所对的圆心角是∠α， ∴ 证明：连接 OB，OD． 总结 圆的内接四边形的对角互补. ∴ 同理， 合作探究 2.(长春) 如图，四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形,若∠BCD = 121° ，则 ∠BOD 的度数为 ( ) A. 138° B. 121° C. 118° D. 112° C 链接中考 圆心角 类比 圆周角 圆周角定义 圆周角定理 圆周角定理的推论 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的_____. 1.同弧或等弧所对的圆周角_____. 2.半圆(或直径)所对的圆周角是_____. 90°的圆周角所对的弦是_____. 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 圆内接四边形 圆内接四边形的对角_____. 一半 相等 直角 直径 互补 课后小结 基础练习 1. (泗阳县期末)如图，AB 是 ⊙O 的直径，弦 CD 交AB 与点 E，∠ADC = 26°，求∠CAB 的度数. 解：连接 BC. ∵AB 是 ⊙O 直径， ∴∠ACB = 90°. ∴∠B = ∠D = 26°. ∴∠CAB = 90° - 26° = 64°. 当堂练习 3. (肥城)如图，四边形 ABCD 内接⊙O ， ∠ABC = 135°，AC = 4，则⊙O 的半径为( ) A. 4 B. C. D. 2. (阜宁县期末)如图，AB 是⊙O 的直径， C、D 是 ⊙O 的两点，且 AD = DC ，∠DAC = 25°， 求∠BAC 的度数 ( ) A. 30° B. 35° C. 40° D. 50° C B 4. (武汉)如图，以 AB 为直径的⊙O 经过△ABC 的顶点 C，AE，BE 分别平分 ∠BAC 和 ∠ABC，AE 的延长线交⊙O 于点 D. 连接 BD. 判断△BDE 的形状，并证明你的结论. 能力提升 解：△BDE 为等腰直角三角形. 证明：∵ AE 平分∠BAC，BE 平分∠ABC. ∴ ∠BAE = ∠CAD = ∠CBD，∠ABE = ∠EBC. ∵ ∠BED =∠BAE +∠ABE， ∠DBE =∠DBC +∠CBE， ∴ ∠BED =∠DBE. ∴ BD = ED. ∵ AB 为直径， ∴ ∠ADB = 90°. ∴ △BDE 是等腰直角三角形. 更多练习见专题课件. 课后作业 $$