2.6 第1课时 行程(或动点)问题及平均变化率问题（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年九年级数学上册同步备课（北师大版）

2.6 应用一元二次方程 第二章 一元二次方程 第1课时 行程(动点)问题及平均变化率问题 九年级上册数学（北师版） 解得 x1 = ， x2 = . 复习导入 (x + 6)2 + 72 = 102. （舍） 还记得本章开始时梯子下滑的问题吗？ 如图，一个长为 10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 m. 如果梯子的顶端下滑 1 m，那么梯子的底端滑动多少米？ 10 m 8 m 1 m x m 探究新知 利用一元二次方程解决行程（动点）问题 1 10 m 8 m x m x m (1) 在这个问题中，梯子顶端下滑 1 m 时，梯子底端滑动的距离大于 1 m，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？ 解：设梯子顶端下滑 x m 时，梯子底端滑动 x m ，根据题意，得 (8 - x)2 + (6 + x)2 = 102 解得 x1 = 0 ， x2 = 2. （舍） 答：梯子顶端下滑 2 m . x2 - 2x = 0 (2) 如果梯子的长度是 13 m，梯子顶端与地面的垂直距离为 12 m，那么梯子顶端下滑的距离与梯子的底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？ 解：设梯子顶端下滑 x m 时，梯子底端滑动的距离和它相等，根据题意，得 (12 - x)2 + (5 + x)2 = 132， 解得 x1 = 0（舍），x2 = 7. 13 m 12 m x m x m x2 - 7x = 0 例1 如图，某海军基地位于 A 处，在其正南方向 200 n mile 处有一目标 B，在 B 的正东方向 200 n mile 处有一重要目标 C. 小岛 D 位于 AC 的中点，岛上有一补给码头，小岛 F 位于 BC 的中点. 一艘军舰 沿 A 出发，经 B 到 C 匀速巡航，一 艘补给船同时从 D 出发，沿南偏西方向 匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰. 东 北 A B C D F E 典例精析 小岛 D 与小岛 F 相距多少海里？ 解：连接 DF. ∵AD = CD，BF = CF， ∴DF 是△ABC 的中位线. ∴DF∥AB，且 DF = AB， ∵AB⊥BC，AB = BC = 200 n mile， ∴DF⊥BC，DF = 100 n mile，DF = 100 n mile. 东 北 A B C D F 已知军舰的速度是补给船的 2 倍，军舰在由 B 到 C 的途中与补给船相遇于 E 处，那么相遇时补给船航行了多少海里 (结果精确到 0.1 海里)？ E 设相遇时补给船航行了 x n mile，那么 DE = x n mile，AB + BE = 2x n mile， EF = AB + BF - (AB + BE) = (300 - 2x) n mile. 东 北 A B C D F E 在 Rt△DEF 中，根据勾股定理可得方程 x2 = 1002 + (300 - 2x)2. 解这个方程得 ， (不合题意，舍去). 整理，得 3x2 - 1200x + 100000 = 0， 所以，相遇时补给船大约航行了 118.4 n mile. 如图，在矩形 ABCD 中，AB = 6 cm，BC = 12 cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1 cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 2 cm/s 的速度移动，如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，那么几秒后五边形 APQCD 的面积为 64 cm2？ A B C D Q P (6 - t) 2t 针对训练 解：设所需时间为 t s，根据题意，得 2t(6 - t)÷2 = 6×12 - 64. 整理得 t2 - 6t + 8 = 0. 解方程，得 t1 = 2，t2 = 4 . 答：在第 2 秒和第 4 秒是五边形面积是 64 cm2. A B C D Q P (6 - t) 2t 1. 前年生产1吨甲种药品的成本是 5000 元，随着生产技术的进步，设下降率是 x，则去年生产 1 吨甲种药品的成本是 元，如果保持这个下降率，那么现在生产 1 吨甲种药品的成本是 元. 下降率 x 第一次降低前的量 5000(1 - x) 5000 下降率 x 第二次降低后的量 第二次降低前的量 5000(1 - x)(1 - x) 5000(1 - x)2 5000(1 - x) 5000(1 - x)2 平均变化率问题与一元二次方程 2 下降率= 下降前的量-下降后的量 下降前的量 ×100％ 例2 前年生产 1 吨甲种药品的成本是 5000 元，随着生产技术的进步，现在生产 1 吨甲种药品的成本是 4050 元，试求甲种药品成本的年平均下降率. 解：设甲种药品的年平均下降率为 x. 根据题意，列方程，得 5 000 (1 - x)2 = 4050， 解方程，得 x1 = 0.1，x2 = 1.9. 根据问题的实际意义，取 x = 0.1， 即甲种药品成本的年平均下降率为 10％. 注意 下降率不可为负，且不大于1. 例3 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为 200 万元，一月、二月、三月的营业额共 950 万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求平均增长率是多少？ 解：设平均增长率为 x. 根据题意，得 答：平均增长率为 50％. 200 + 200(1 + x) + 200(1 + x)2 = 950， 整理方程，得 4x2 + 12x - 7 = 0. 解得 x1 = −3.5(舍去)，x2 = 0.5 = 50％. 想一想 你能总结出有关增长率和下降率的有关数量关系吗？ 若平均增长(或下降)百分率为 x，增长(或下降)前的是 a，增长(或下降)n 次后的量是 b，则它们的数量关系可表示为 a(1±x)n = b (其中增长取“+”，下降取“-”). 练一练： 前年生产 1 吨乙种药品的成本是 6000 元，随着生产技术的进步，现在生产 1 吨乙种药品的成本是 3600 元，试求乙种药品成本的年平均下降率. 解：设乙种药品的年平均下降率为 y. 根据题意，列方程，得 6000(1 − y)2 = 3600 解方程，得 y1≈0.225， y2≈1.775. 根据问题的实际意义，取 y≈0.225， 即甲种药品成本的年平均下降率为 22.5％. 利用一元二 次方程 解决行程问题 列方程步骤： 应用类型 行程问题 平均变化率 问题 面积问题 动点问题 审 设 列 解 检 答 当堂小结 1. 某厂今年一月份的总产量为 500 吨，三月份的总产量为 720 吨，平均每月的增长率是 x，则可列方程( ) A. 500(1 + 2x) = 720 B. 500(1 + x)2 = 720 C. 500(1 + x2) = 720 D. 720(1 + x)2 = 500 2. 某校去年对实验器材的投资为 2 万元，预计今明两年的投资总额为 8 万元．若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是 x，则可列方程为 . B 2(1 + x) + 2(1 + x)2 = 8 课堂练习 3.（山东·期中）小明设计了点做圆周运动的一个动 画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点 A、B 以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的 路程 l ( cm ) 与时间 t (s) 满足关系： (t ≥ 0)，乙以 4 cm/s 的速度匀速运动，半圆的长度为 21 cm. (1) 甲运动 4 s 后的路程是多少？ (2) 甲、乙从开始运动到第三次相遇时， 它们运动了多少时间？ 解：(1) 当 t = 4 时， ， 甲 A B 乙 (2) 由题意知，甲、乙从开始运动到第 3 次相遇总路程为 5 个半圆， 整理得，t2 + 11t - 210 = 0， ∴ (t - 10)(t + 21) =0， 解得，t = 10 或 t = -21 (舍去) 答：它们运动了 10 秒. 甲 A B 乙 $$