2.4 用因式分解求解一元二次方程（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年九年级数学上册同步备课（北师大版）

2.4 用因式分解法求解 一元二次方程 第二章 一元二次方程 九年级上册数学（北师版） 我们知道，若 ab = 0，则 a = 0 或 b = 0．类似地，解方程 (x + 1)(x - 1) = 0 时，可转化为两个一元一次方程 x + 1 = 0 或 x - 1 = 0 来解． 你能求出方程 (x + 3)(x - 5) = 0 的解吗？ 复习导入 引例：一个数的平方与这个数的 3 倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？ 因式分解法解一元二次方程 1 探究新知 小颖、小明、小亮都设这个数为 x，根据题意，可得方程 x2 = 3x. 但他们的解法各不相同. 解：由方程 x2 = 3x，得 x2 - 3x = 0， 小明的方法： 小颖的方法： x1 = 0，x2 = 3. 所以这个数是 0 或 3. 解：方程 x2 = 3x 两边同时约去 x，得 x = 3. 所以这个数是 3. 他们做得对吗？为什么？ √ × x = 0 解：由方程 x2 = 3x，得 x2 - 3x = 0， 小亮的方法： 即 x(x - 3) = 0， 于是 x= 0，x - 3 = 0， 因此 x1 = 0，x2 = 3. 所以这个数是 0 或 3. 因式分解 如果 a · b = 0， 那么 a = 0 或 b = 0. 两个因式乘积为 0，说明什么？ 降次，化为两个一次方程 解两个一次方程，得出原方程的根 他做得对吗?为什么? 你是怎么做的? 当一元二次方程的一边为 0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，就可以用前面的方法求解.这种解一元二次方程的方法称为因式分解法. 因式分解法的概念 因式分解法的基本步骤 一移——使方程的右边为 0； 二分——将方程的左边因式分解； 三化——将方程化为两个一元一次方程； 四解——写出方程的两个解. 简记歌诀： 右化零，左分解； 两因式，各求解. 要点归纳 例1 解下列方程： (1) 5x2 = 4x； (2) x(x - 2) = x - 2. 解：(1) 原方程可变形为 x = 0 或 5x - 4 = 0. ∴ x1 = 0，x2 = . x(5x - 4) = 0. 典例精析 5x2 - 4x = 0， (2) 原方程可变形为 x - 2 = 0 或 x - 1 = 0. ∴ x1 = 2，x2 = 1. (x - 2)(x - 1) = 0. x(x - 2) - (x - 2) = 0. 你能用因式分解法解方程 x2 - 4 = 0，(x + 1)2 - 25 = 0 吗？ 想一想 解： x2 - 4 = 0 可变形为 x + 2 = 0 或 x - 2 = 0. ∴ x1 = -2，x2 = 2 . (x + 2)(x - 2) = 0. ∴ x1 = -6，x2 = 4. (x + 6)(x - 4) = 0. [(x + 1) + 5][(x + 1) - 5] = 0. (x + 1)2 - 25 = 0 可变形为 x + 6 = 0 或 x - 4 = 0. 例2 用适当的方法解方程： (1) 3x(x + 5) = 5(x + 5)； (2) (5x + 1)2 = 1； 分析：该式左右两边含公因式， 所以用因式分解法解答较快. 解：变形得 (3x - 5)(x + 5) = 0. 即 3x - 5 = 0 或 x + 5 = 0. 解得 分析：方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可用直接开平方法. 解：开平方，得 5x + 1 = ±1. 解得 x1 = 0，x2 = 灵活选用适当的方法解方程 2 (3) x2 - 12x = 4； (4) 3x2 = 4x + 1. 分析：二次项系数为 1，可用配方法解较快. 解：配方，得 x2 - 12x + 62 = 4 + 62， 即 (x - 6)2 = 40. 开平方，得 解得 x1 = ， x2 = 分析：二次项系数不为 1，且不能直接开平方，也不能直接分解因式，则用公式法. 解：整理成一般形式，得 3x2 - 4x - 1 = 0. ∵Δ = b2 - 4ac = 28 > 0， 填一填：一元二次方程的各种解法及适用类型. 一元二次方程的解法 适用的方程类型 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解 x2 + px + q = 0 ( p2 - 4q≥0) (ax + m)2 = n (a ≠ 0，n≥0) ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0，b2 - 4ac≥0) (ax + m)(bx + n) = 0 (ab ≠ 0) 拓展提升 1. 一般地，当一次项系数为 0 时 (ax2 + c = 0，a ≠ 0)，应选用直接开平方法； 2. 若常数项为 0 (ax2 + bx = 0，a ≠ 0)，应选用因式分解法； 3. 化为一般式 (ax2 + bx + c = 0，a ≠ 0) 后，若一次项系数和常数项都不为 0，先看左边是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，否则就选用公式法或配方法. 此时若二次项系数为 1，且一次项系数为偶数，则可选用配方法；否则可选公式法. 系数含根式时也可选公式法. 一元二次方程的解法选择基本思路 要点归纳 因式分解 概念 步骤 简记歌诀： 右化零，左分解；两因式，各求解 如果 a ·b = 0，那么 a = 0 或 b = 0 原理 将方程左边因式分解，使右边为 0 因式分解的常见方法有 ma + mb = m(a + b)； a2±2ab + b2 = (a±b)2； a2 - b2 = (a + b)(a - b). 当堂小结 1. 填空： ① x2 - 3x + 1 = 0； ② 3x2 - 1 = 0； ③ -3t2 + t = 0； ④ x2 - 4x = 2； ⑤ 2x2 = x； ⑥ 5(m + 2)2 = 8； ⑦ 3y2 - y - 1 = 0； ⑧ 2x2 + 4x = 1； ⑨ (x - 2)2 = 2(x - 2). 最适合运用直接开平方法： ； 最适合运用因式分解法： ； 最适合运用公式法： ； 最适合运用配方法： . ⑥ ① ③ ⑤ ⑦ ⑧ ⑨ ② ④ 课堂练习 2. 解方程：x2 - 3x - 10 = 18. 下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？请指出并改正过来. 解：原方程化为 (x - 5)(x + 2) = 18. ① 由 x - 5 = 3，得 x = 8； ② 由 x + 2 = 6，得 x = 4. ③ ∴ 原方程的解为 x1 = 8 或 x2 = 4. ④ 3. 解方程 x(x + 1) = 2 时，要先把方程化为 ； 再选择适当的方法求解，解得 x1 = ，x2 = . x2 + x - 2 = 0 -2 1 解：原方程化为 x2 - 3x - 28 = 0， (x - 7)(x + 4) = 0， x1 = 7，x2 = -4. 15 解：化为一般式为 因式分解，得 x2 - 2x + 1 = 0. (x - 1)2 = 0. ∴ x - 1 = 0. 解得 x1 = x2 = 1. 解：因式分解，得 (2x + 11)( 2x - 11) = 0. ∴ 2x + 11 = 0 或 2x - 11 = 0， 4.解方程： 解得 5. 把小圆形场地的半径增加 5 m 得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径． 解：设小圆形场地的半径为 r， 根据题意得 π(r + 5)2 = 2πr2. 因式分解，得 于是得 答：小圆形场地的半径是 解得 . 17 $$