第二章 4 用因式分解法求解一元二次方程&5 一元二次方程的根与系数的关系&专题特训四-【拔尖特训】2025-2026学年九年级上册数学(北师大版)

33 4　用因式分解法求解一元二次方程 ▶ “答案与解析”见P17 1. (2024·贵州)一元二次方程x2-2x=0的 解是 ( ) A. x1=3,x2=1 B. x1=2,x2=0 C. x1=3,x2=-2 D. x1=-2,x2=-1 2. 如果二次三项式x2+px+q能分解成(x- 3)(x+5)的形式,那么方程x2+px+q=0 的两个根为 ( ) A. x1=-3,x2=5 B. x1=-3,x2=-5 C. x1=3,x2=-5 D. x1=3,x2=5 3. 方程x(x+2)=5(x+2)的解是 . 4. 解下列方程: (1) (y+2)(2y+3)=6. (2) x-3=4(x-3)2. (3) 4(2x-1)2=9(x+4)2. (4) (x2-1)2-6(x2-1)+9=0. 5. 对于方程(x-1)(x-2)=x-2,下列说法中 不正确的是 ( ) A. 与方程x2+4=4x的根相同 B. 两边同时除以x-2,得x-1=1,可以解 得x=2 C. 该方程有两个相等的实数根 D. 移项并分解因式,得(x-2)2=0,可以解 得x1=x2=2 6. 新考法·阅读理解 阅读材料: 用“十字相乘法”分解因式2x2- x-3. 如图,二次项系数2=1×2,常数项-3= -1×3=1×(-3),验算“交叉相乘之和”.发 现第③个“交 叉 相 乘 之 和”的 结 果1× (-3)+2×1=-1,等于一次项系数-1,即 (x+1)(2x-3)=2x2-3x+2x-3=2x2- x-3,则2x2-x-3=(x+1)(2x-3). (第6题) 像这样,通过十字交叉线,把二次三项式分解 因式的方法,叫做十字相乘法. 仿照以上方法,解答下列问题: (1) 分解因式:3x2+5x-12= . (2) 解方程: ① x2-3x+2=0. ② 3x2+10x-8=0. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二章　一元二次方程拍 照 批 改 34 *5　一元二次方程的根与系数的关系 ▶ “答案与解析”见P18 1. 关于x的方程x2-5x+3=0的根的情况为 ( ) A. 没有实数根 B. 两根之和是-5 C. 两根之积是3 D. 有两个相等的实数根 2. (2024·乐山)若关于x 的一元二次方程 x2+2x+p=0的两根为x1,x2,且 1 x1+ 1 x2=3 ,则p的值为 ( ) A. -23 B. 2 3 C. -6 D. 6 3. (2024·巴中)已知方程x2-2x+k=0的一 个根为-2,则方程的另一个根为 . 4. 已知一元二次方程x2-3x+k=0的两个实 数根为x1,x2,若x1x2+3x1+3x2=1,则实 数k的值为 . 5. 设x1,x2是关于x的方程x2-3x+k=0的 两个根,且x1=2x2,则k= . 6. (2024·遂宁)已知关于x 的一元二次方程 x2-(m+2)x+m-1=0. (1) 求证:无论m 取何值,方程都有两个不相 等的实数根. (2) 如果方程的两个实数根为x1,x2,且 x21+x22-x1x2=9,求m 的值. 7. (2024·绥化)小影与小冬一起写作业,在解 一个一元二次方程时,小影在化简过程中写 错了常数项,因而得到方程的两个根是6和 1;小冬在化简过程中写错了一次项的系数, 因而得到方程的两个根是-2和-5.原来的 方程是 ( ) A. x2+6x+5=0 B. x2-7x+10=0 C. x2-5x+2=0 D. x2-6x-10=0 8. ★(2024·成都)若 m,n 是一元二次方程 x2-5x+2=0的两个实数根,则m+(n- 2)2的值为 . 9. 已知x1,x2 是关于x 的方程x2-2x+k- 1=0的两个实数根,且 x2 x1+ x1 x2=x 2 1+2x2- 1,则k的值为 . 10. 新考法·项目式学习 阅读材料: 如果实数m,n满足m2-m- 1=0,n2-n-1=0,且m≠n,那么 可利用根的定义构造一元二次方程x2- x-1=0,然后将m,n看作是此方程的两个 不相等的实数根去解决相关问题. 请根据上述材料解答下列问题: (1) 若实数a,b满足a2+5a-7=0,b2+ 5b-7=0(a≠b),则a+b= ,ab= . (2) 已知实数m,n 满足4m2-m-2=0, 4n2-n-2=0,且m≠n,求nm+ m n 的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)九年级上 35 专题特训四　一元二次方程根与系数 关系的应用类型 ▶ “答案与解析”见P18 类型一 已知一根,求另一根及字母的值 根据一元二次方程根与系数的关系列方程组,即 可求出另一根及字母的值.注意两根的和为一次项系 数与二次项系数比的相反数,不要忽略相反数. 1. 已知关于x的一元二次方程x2-(k+1)x- 6=0的一个根是x1=2,则此方程的另一个 根x2和k的值分别是 ( ) A. 3和2 B. -2和3 C. -3和-2 D. 3和-2 2. 已知关于x 的一元二次方程x2-2x-a=0 的两个根分别记为x1,x2.若x1=-1,则 a-x21-x22的值为 . 类型二 求与两根和、积有关的代数式的值 先利用一元二次方程根与系数的关系求得两根 和、积的值,再将所求代数式转化为用两根和、积表示 的形式,最后整体代入计算即可. 3. 已知a和b是方程x2+2024x-4=0的两 个解,则a2+2023a-b的值为 ( ) A. 2020 B. 2024 C. 2026 D. 2028 4. 已知一元二次方程x2+2x-8=0的两个根 为x1,x2,则 x2 x1+2x1x2+ x1 x2= . 5. 已知关于x的一元二次方程x2+(2m-1)x+ m2-3=0有实数根. (1) 求实数m 的取值范围. (2) 当m=2时,方程的根为x1,x2,求代数 式(x21+2x1)(x22+4x2+2)的值. 类型三 已知两根和、积,求原方程 若一元二次方程的两根为x1,x2,则这个方程为 x2-(x1+x2)x+x1x2=0.据此只要求出两根和、 积,就可以写出原方程. 6. 一个二次项系数为1的一元二次方程的两个 根分别为2和3,则这个方程是 ,当 二 次项系数不为1时,一元二次方程为 . 类型四 已知与两根和、积有关式子的值, 求字母的取值(范围) 先利用一元二次方程根与系数的关系求得两根 和、积的值,再将所给式子转化为用两根和、积表示的 形式,然后整体代入求字母的取值(范围).注意隐含 的“根的判别式大于或等于0”,即方程有两根的条件. 7. 已知关于x 的一元二次方程x2-4x+m- 1=10的实数根x1,x2 满足3x1x2-x1- x2>2,则m 的取值范围是 . 8. 已知关于x 的方程x2-4x+k+1=0有两 个实数根. (1) 求k的取值范围. (2) 设方程的两个实数根分别为x1,x2,且 3 x1+ 3 x2=x1x2-4 ,求实数k的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二章　一元二次方程拍 照 批 改 想当然认为方程为 二次方程导致错解 解答根据整式方程有实数根 求字母的取值范围的题目时,若题 目中未说明方程是二次方程,则要 分两种情况讨论:一是考虑方程为 一次方程;二是考虑方程为二次方 程,以避免解答不全,导致错误. 8. C 解析:∵ m-2n=3,∴ Δ= (-m)2-4(-n2+mn+1)=m2+ 4n2-4mn-4=(m-2n)2-4=32- 4=9-4=5>0.∴ 原方程有两个不 相等的实数根. 9. 有两个不相等的实数根 解析:由 所给一次函数的图象可知,k<0,b< 0.∵ 关于x的一元二次方程为x2+ bx-kb=0,∴ Δ=b2-4×1× (-kb)=b2+4kb.∵ k<0,b<0, ∴ kb>0.∴ Δ=b2+4kb>0.∴ 此方 程有两个不相等的实数根. 10. x2-3x+1=0 解析:原方程去 分母,得2x= 5+3,移项,得2x- 3=5,两边平方,得4x2-12x+9= 5,即x2-3x+1=0. 11. ①②④ 解析:① 若a+b+c= 0,则b=-(a+c).∴ b2-4ac= [-(a+c)]2-4ac=(a-c)2≥0.故 ①正确.② ∵ 方程ax2+c=0有两 个不相等的实数根,∴ x2=-ca>0. ∴ a,c异号.∴ b2-4ac>0.∴ 方程 ax2+bx+c=0必有两个不相等的实 数根.故②正 确.③ ∵ c 是 方 程 ax2+bx+c=0的一个根,∴ ac2+ bc+c=0.当c≠0时,ac+b+1=0, 故③不正确.④ ∵ x1 是一元二次方 程ax2+bx+c=0的一个根,∴ x1= -b± b2-4ac 2a ,即± b2-4ac= 2ax1+b.∴ b2-4ac=(2ax1+b)2. 故④正确.故正确的有①②④. 12. (1) ①③④. (2) ∵ 关于x的一元二次方程 ax2+ bx+c=0(a≠0)为“和谐方程”, ∴ b=a+c. ∴ b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a- c)2≥0. ∴ “和谐方程”总有实数根. 13. (1) ∵ a=1,b=-(k+3),c= 2k+2, ∴ Δ=b2-4ac=[-(k+3)]2-4× 1×(2k+2)=k2+6k+9-8k-8= k2-2k+1=(k-1)2≥0. ∴ 无论k 取何值,方程总有两个实 数根. (2) ∵ Δ=(k-1)2≥0, ∴ x = k+3± (k-1)2 2 = k+3±(k-1) 2 . ∴ x1=k+1,x2=2. ∵ 方程有一个不小于4的根, ∴ k+1≥4,解得k≥3. 14. 1- 33 4 解析:当2x2-4=x, 且x≤0时,输入计算后始终不能输 出 y 的 值. ∴ x = -(-1)± (-1)2-4×2×(-4) 2×2 = 1± 33 4 .∵ 1+ 33 4 >0 ,1- 33 4 < 0,∴ x=1- 334 . 15. 令xy=a,x+y=b,则原方程组 可化为 5a2+2b=133, b 4+2a 2=51. 整理,得 5a2+2b=133①, 16a2+2b=408②. 由②-①,得11a2=275,即a2=25, 解得a=±5. 将a2=25代入②,得b=4. ∴ 方程组的解为 a=5, b=4 或 a=-5 , b=4. ∴ x2+y2=(x+y)2-2xy=b2- 2a. 当a=5,b=4时,x2+y2=6; 当a=-5,b=4时,x2+y2=26. ∴ x2+y2的值为6或26. 第2课时 公式法的实际应用 1. C 2. 48 3. 设页边距为xcm. 根据题意,得(16-2x)(10-2x)= 16×10×70%,解得x=1或x=12 (不合题意,舍去). 答:设置页边距为1cm. 4. C 解析:由题意,得(90-b)· (60-a)=5046.∵ a∶b=2∶3, ∴ a=23b.∴ (90-b)60-23b = 5046,解得b1=3,b2=177(不合题 意,舍去). 5. (1) 设人行通道的宽度为x米,则 两块运动区域的长为(21-3x)米,宽 为(10-2x)米. 根据题意,得(21-3x)(10-2x)= 90,解得x1=10(不合题意,舍去), x2=2. 答:人行通道的宽度为2米. (2) 不能. 理由:假设人行通道的宽度为y 米 时,每块运动区域的宽与长之比等于 3∶5. 根据题意,得(10-2y)∶ 21-3y 2 = 3∶5,解得y= 37 11. ∵ 37 11>3 , ∴ 假设不成立. ∴ 不能改变人行通道的宽度,使得每 块运动区域的宽与长之比等于3∶5. 4　用因式分解法求解 一元二次方程 1. B 2. C 3. x1=-2,x2=5 4. (1) y1=0,y2=- 7 2. (2) x1=3,x2= 13 4. (3) x1=- 10 7 ,x2=14. (4) x1=2,x2=-2. 5. B 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 71 6. (1) (x+3)(3x-4). (2) ① 方程可以化为(x-1)(x- 2)=0,即x-1=0或x-2=0. ∴ x1=1,x2=2. ② 方程可以化为(3x-2)(x+4)= 0,即3x-2=0或x+4=0. ∴ x1= 2 3 ,x2=-4. *5　一元二次方程的 根与系数的关系 1. C 2. A 3. 4 4. -8 5. 2 解析:由题意,得x1+x2= 3x2=3,解得x2=1.将x=1代入 x2-3x+k=0,得12-3×1+k=0, 解得k=2. 6. (1) 对于x2-(m+2)x+m-1= 0,a=1,b=-(m+2),c=m-1. ∴ Δ=b2-4ac=[-(m+2)]2-4× 1×(m-1)=m2+4m+4-4m+4= m2+8. ∵ m2≥0, ∴ Δ>0. ∴ 无论m 取何值,方程都有两个不 相等的实数根. (2) 由题意,得x1+x2=m+2, x1x2=m-1. ∵ x21+x22-x1x2=9,即(x1+ x2)2-3x1x2=9, ∴ (m+2)2-3(m-1)=9. 整理,得m2+m-2=0. ∴ (m+2)(m-1)=0,解得m1= -2,m2=1. ∴ m 的值为-2或1. 7. B 解析:不妨假设一元二次方程 为x2+bx+c=0.由题意,得6+ 1=-b,-2×(-5)=c,解得b= -7,c=10.∴ 一元二次方程为x2- 7x+10=0. 8. 7 解析:由根与系数的关系,可得 m+n=5,将n代入方程,可得n2- 5n+2=0,∴ n2=5n-2.∴ m+ (n-2)2=m+n2-4n+4=m+5n- 2-4n+4=m+n+2=5+2=7. 综合运用根的意义、根与系数的 关系求代数式的值 求与一元二次方程两根有关 的代数式的值时,若代数式中出现 相关字母的次数大于或等于2,往 往需要先利用一元二次方程根的 意义降次,有时需要多次降次,再 结合根与系数的关系整体代值,通 过不断地变换,化简,最终求得代 数式的值. 9. 2 解析:∵ x1,x2 是关于x的方 程x2-2x+k-1=0的两个实数根, ∴ x1+x2=2,x1x2=k-1,x21- 2x1+k-1=0.∴ x21=2x1-k+1. ∵ x2 x1 + x1 x2 =x 2 1 + 2x2 - 1, ∴ (x1+x2)2-2x1x2 x1x2 =2 (x1 + x2)-k.∴ 22-2(k-1) k-1 =4-k ,解 得k=2或k=5.当k=2时,关于x 的方程为x2-2x+1=0,Δ=0,符合 题意;当k=5时,关于x 的方程为 x2-2x+4=0,Δ<0,方程没有实数 根,不合题意.∴ k=2. 10. (1) -5;-7. (2) 可以将m,n看作方程4x2-x- 2=0的 两 个 根,则 m +n= 14 , mn=-12. ∴ n m + m n = n2+m2 mn = (n+m)2-2nm mn = 1 4 2 -2× -12 -12 =-178. 专题特训四　一元二次方程 根与系数关系的应用类型 1. C 2. -7 解析:∵ 关于x的一元二次 方程x2-2x-a=0的两个根分别记 为x1,x2,∴ x1+x2=2,x1x2= -a.∵ x1 = -1,∴ x2 =3. ∴ x1x2=-3=-a.∴ a=3.∴ a- x21-x22=3-(-1)2-32=3-1- 9=-7. 3. D 4. -372 解析:∵ 一元二次方程 x2+2x-8=0的两个根为x1,x2, ∴ x1 +x2 = -2,x1x2 = -8. ∴ x2 x1 +2x1x2 + x1 x2 =2x1x2 + x22+x21 x1x2 = 2x1x2 + (x1+x2)2-2x1x2 x1x2 =2× (-8)+ (-2)2-2×(-8) -8 =-372. 5. (1) 由 题 意,得 (2m -1)2 - 4(m2-3)≥0,解得m≤134. (2) 当m=2时,方程为x2+3x+1=0. ∵ 方程的根为x1,x2, ∴ x1+x2=-3,x1x2=1,x21+ 3x1+1=0,x22+3x2+1=0. ∴ (x21+2x1)(x22+4x2+2)=(x21+ 2x1+x1-x1)(x22+3x2+x2+2)= (-1-x1)(-1+x2+2)=(-1- x1)(x2+1)=-x2-x1x2-1- x1=-(x1+x2)-x1x2-1=3-1- 1=1. 6. x2-5x+6=0 2x2-10x+12= 0(第二空答案不唯一) 解析:设此一 元二次方程为x2+px+q=0.∵ 二 次项系数为1,两个根分别为2,3, ∴ p=-(2+3)=-5,q=2×3=6. ∴ 这个方程为x2-5x+6=0.当二 次项系数不为1时,∵ 两个根分别是 2和3,∴ -ba =5 ,c a =6.∴ b= -5a,c=6a.a 的取值不唯一,如设 a=2,则b=-5×2=-10,c=6× 2=12.∴ 这个方程是2x2-10x+ 12=0. 7. 13<m≤15 解析:由一元二次方 程根与系数的关系,得x1x2=m- 11,x1+x2=4.∵ 3x1x2-x1-x2> 2,∴ 3(m-11)-4>2,解得m>13. 又∵ Δ=(-4)2-4(m-11)≥0, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 81 ∴ m≤15.∴ 13<m≤15. 8. (1) ∵ 关于x 的方程x2-4x+ k+1=0有两个实数根, ∴ Δ=(-4)2-4(k+1)=-4k+ 12≥0. ∴ k≤3. (2) 依题意,得x1+x2=4,x1x2= k+1. ∵ 3 x1+ 3 x2=x1x2-4 , ∴ 3(x1+x2) x1x2 =x1x2-4. ∴ 3×4 k+1=k+1-4. ∴ k1=5,k2=-3. 又∵ k≤3, ∴ k=-3. 6　应用一元二次方程 第1课时 几何问题与古代趣题 1. B 解析:∵ HM∶EM=8∶9, ∴ 设HM=8x,EM=9x.∵ 四边形 ABCD、四 边 形 EBGF、四 边 形 HNQD 均为正方形,∴ HD=NQ= 2,BG=BE,BC=AD=AB.由题意, 得AH=EM=9x,AE=HM=8x, ∴ AB=BC=AD=9x+2.∴ BG= BE=AB-AE=9x+2-8x=x+2. ∵ BG,NQ,BC的长是某个直角三角 形的三边长,其中BC 的长是斜边长, ∴ BG2+NQ2=BC2.∴ (x+2)2+ 22=(9x+2)2,解得x=110 (负值舍 去).∴ AB=9×110+2= 29 10. 2. 1 解析:设移动时间为t秒,则 0≤t≤132 ,BP=t,CQ=2t.∴ CP= BC-BP=9-t.由题意,得12 (9- t)·2t=8,整理,得t2-9t+8=0,解 得t1=1,t2=8(不合题意,舍去). ∴ 经过1秒,△PCQ 的面积等于8. 3. 设移动时间为ts. 由题意,得AP=2tcm,CQ=tcm,易 知0≤t≤3. 当AP+CQ=AB=6cm时,2t+t= 6,解得t=2. 分两种情况讨论: 当0≤t<2时,如图①,过点Q 作 QE⊥AB 于点E. ∴ ∠PEQ=∠BEQ=90°. ∵ 在矩形ABCD 中,∠B=∠C=90°, ∴ 四边形BCQE 是矩形. ∴ QE=BC=2cm,BE=CQ=tcm. ∵ AP=2tcm, ∴ PE=6-2t-t=(6-3t)cm. 在 Rt△PQE 中,由 勾 股 定 理,得 PE2+QE2=PQ2,即(6-3t)2+4= 9,解得t=6+53 (不合题意,舍去)或 t=6-53 . 当2<t≤3时,如图②,过点P 作 PE⊥CD 于点E, ∴ ∠PEQ=∠PEC=90°. ∵ ∠B=∠C=90°, ∴ 四边形BCEP 是矩形. ∴ PE=BC=2cm,BP=CE=(6- 2t)cm. ∵ CQ=tcm, ∴ QE=t-(6-2t)=(3t-6)cm. 在 Rt△PEQ 中,由 勾 股 定 理,得 QE2+PE2=PQ2,即(3t-6)2+4= 9,解得t= 6+5 3 或t= 6-5 3 (不合 题意,舍去). 综上所述,经过6+5 3 s 或6-5 3 s ,点 P,Q 之间的距离是3cm. (第3题) 4. 46 解析:设这批椽的数量为 x株,则每株椽的价格为3(x-1)元. 依题意,得3(x-1)x=6210.整理, 得x2-x-2070=0,解得x1=46, x2=-45(不合题意,舍去).∴ 这批 椽的数量为46株. 5. (1) 25 3. (2) 由题意,得CP=2tcm,CQ= (25-t)cm. 由题意,得(2t)2+(25-t)2=252,解 得t1=10,t2=0(不合题意,舍去). ∴ 10s后P,Q 两点相距25cm. (3) 存在. 由题意,易得S1= 1 2×2t× (25- t)=-t2+25t,S2= 1 2×30×25=375. ∵ S1∶S2=2∶5, ∴ 5(-t2+25t)=375×2,解得t1= 10,t2=15. ∴ 点P 运动的时间为10s或15s. 6. 能. 设AP=x,则PD=10-x,PB2 = x2 +16,PC2 =(10-x)2+16. ∵ 在 Rt△BPC 中,PB2 +PC2 = BC2, ∴ x2+16+(10-x)2+16=100,即 x2-10x+16=0,解 得 x1 =2, x2 =8. ∴ 能使三角尺的两直角边分别经过 点B,C,此时AP 的长为2或8. 7. (1) ∵ BC =500km,AB = 300km, ∴ AC= BC2-AB2=400km. ∵ (11×40-400)2+(300-11×20)2= 405(km),405<200, ∴ 经过11h后轮船与台风中心相距 405km,此时轮船受到台风的影响. (2) 设这艘轮船航行的时间为th. 由题意,得(400-40t)2+(300- 20t)2=2002,解得t1=7,t2=15. ∴ 轮船受到台风影响的时间为15- 7=8(h). 8. (1) 26;12. (2) 设剪去的正方形的边长为xcm. 根据题意,得(30-2x)(16-2x)= 240,解得x1=20(不合题意,舍去), x2=3. 答:剪去的正方形的边长为3cm. (3) 设剪去的正方形的边长为ycm. 根据题意,得30×16-2y2-2· 30y 2 =412 ,解得y1=-17(不合题意, 舍去),y2=2. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 91