2.2 第1课时 直接开平方法与配方法(1)（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年九年级数学上册同步备课（北师大版）

2.2 用配方法求解一元二次方程 第二章 一元二次方程 第1课时 直接开平方法与配方法(1) 九年级上册数学（北师版） 复习导入 在上一课中，梯子的底端滑动的距离 x 满足方程 x2 + 12x - 15 = 0. 我们已经求出了 x 的近似值，你能设法求出它的精 确值吗？ 10 m 8 m 1 m x m 探究新知 直接开平方法 1 议一议 (1) 你能解哪些特殊的一元二次方程? x2 = 4； x2 = 0； x2 + 1 = 0. 解：根据平方根的意义，得 x1 = 2，x2 = -2. 解：移项，得 x2 = -1． ∵ 负数没有平方根， ∴ 原方程无解. 解：根据平方根的意义，得 x1 = x2 = 0. (2) 当 n = 0 时，方程 (I) 有两个相等的实数根 x1 = x2 = 0； (3) 当 n ＜ 0 时，因为对任意实数 x，都有 x2 ≥ 0 ，所以方程 (I) 无实数根. 一般的，对于可化为 x2 = n (I) 的方程， (1) 当 n ＞ 0 时，根据平方根的意义，方程 (I) 有两个不相等的实数根 x1 = ，x2 = ； 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法. 归纳 探究归纳 (2) 你会解下列一元二次方程吗？你是怎么做的？ x2 = 5， 2x2 + 3 = 5， 解： 直接开平方，得 解：移项，得 2x2 = 2. 直接开平方，得 x = ± 1， ∴ x1 = 1，x2 = -1. 系数化为 1，得 x2 = 1. 议一议 x2 + 2x + 1 = 5， 解：在解方程(I)时，由方程 x2 = 25 得 x = ±5. 由此想到： (x + 1)2 = 5 ， 于是，原方程的两个根为 看成是一个整体，可以用直接开平方法求解. 实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程. 解析：先将 72 移到方程的右边，再同第 1 小题一样地解. 解：移项，得 (x + 6)2 = 51. (x + 6)2 + 72 = 102. 两边开平方，得 x + 6 = ， 即 x + 6 = 或 x + 6 = . 所以 x1 = ， x2 = . 7 1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？ 如果一个一元二次方程具有 x2 = n 或 (x＋m)2 = n (n≥0)的形式，那么就可以用直接开平方法求解. 2.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明. 不是所有的一元二次方程都能用直接开平方法求解，如：x2 + 2x - 3 = 0. 探究交流 下列完全平方公式你还记得吗？试着填一填. (1) a2 + 2ab + b2 = ( )2； (2) a2 - 2ab + b2 = ( )2. a + b a - b 探究交流 配方的方法 2 (3) 你能解方程 x2 + 12x - 15 = 0 吗？你遇到的困难是什么？你能设法将这个方程转化成上面方程的形式吗？与同伴进行交流. 议一议 解：可以把常数项移到方程的右边，得 x2 + 12x = 15 ， x1，x2 都符合原问题的要求吗？ （舍） 将方程转化为 (x + m)2 = n 的形式. 当 n≥0 时，两边同时开平方，转化为一元一次方程，便可求出它的根. 完全平方式 常数 两边都加 62，得 x2 + 12x + 62 = 15 + 62， 即 (x + 6)2 = 51 . 两边开平方，得 x + 6 = ， 因此我们说方程 x2 + 12x = 15 的两个根 x1 = ， x2 = . 填上适当的数或式，使下列各等式成立： （1）x2 + 12x + = ( x + 6)2； （2）x2 − 4x + = ( x − )2； （3）x2 + 8x + = ( x + )2； 你发现了什么规律？ 62 22 2 42 4 对于二次项系数为 1 的单字母二次三项式，将常数项配成一次项系数一半的平方时，可得完全平方公式. 做一做 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 3 二次项系数为 1 的完全平方式： 常数项等于一次项系数一半的平方. 填一填： x2 + px + ( )2 = ( x + )2 配方的方法 归纳总结 例1 解方程 x2 + 8x - 9 = 0. 解：可以把常数项移到方程的右边，得 x2 + 8x = 9 ， 两边都加 42（一次项系数 8 的一半的平方），得 x2 + 8x + 42 = 9 + 42， 即 (x + 4)2 = 25 . 两边开平方，得 x + 4 = ± 5 ， 即 x + 4 = 5 或 x + 4 = -5. 所以 x1 = 1 ， x2 = -9. 通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法. 配方法的定义 配方法解方程的基本思路 把一元二次方程化为 (x + m)2 = n 的形式，通过开平方将方程降次，转化为一元一次方程求解． 要点归纳 14 用配方法解 一元二次方程 直接开平方法： 基本思路： 解二次项系数为 1 的一元二次方程步骤 形如 (x + m)2 = n (n≥0) 将方程转化为(x + m)2 = n (n≥0)的形式，在用直接开平 方法，直接求根. 1.移项 3.直接开平方求解 2.配方 当堂小结 C. 解方程 4(x - 1)2 = 9，得 4(x - 1) =±3，x1 = ， x2 = D. 解方程 (2x + 3)2 = 25，得 2x + 3 =±5，x1 = 1， x2 = -4 1.下列解方程的过程中，正确的是（ ） A. 解方程 x2 = -2，得 x =± B. 解方程 (x - 2)2 = 4，得 x - 2 = 2，x = 4 D 课堂练习 (1)方程 x2 = 0.25 的根是 . (2)方程 2x2 = 18 的根是 . (3)方程 (2x - 1)2 = 9 的根是 . 3. 解下列方程： (1) x2 - 81＝0； (2) 2x2＝50； (3) (x＋1)2＝4. x1＝0.5，x2＝-0.5 x1＝3，x2＝-3 x1＝2，x2＝-1 2.填空: x1＝9，x2＝-9. x1＝5，x2＝-5. x1＝1，x2＝-3. 17 解： 方程的两根为 4. 解下列方程： 解：移项，得 x2 - 8x= -1， 配方，得 x2 - 8x + 42 = -1 + 42 ， ( x - 4)2 = 15. 由此可得 即 $$