1.3 第2课时 正方形的判定（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年九年级数学上册同步备课（北师大版）

1.3 正方形的性质与判定 第2课时 正方形的判定 第一章 特殊的平行四边形 九年级上册数学（北师版） 将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开. 怎样剪才能剪出一个正方形？ 剪口线与折痕成 45° 角即可. 情景导入 问题1 什么是正方形？正方形有哪些性质？ A B C D 正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形. O 正方形性质：①四个角都是直角； ②四条边都相等； ③对角线相等且互相垂直平分. 复习回顾 问题2 你是如何判定矩形、菱形的？ 思考 怎样判定一个四边形是正方形呢？ 平行四边形 矩形 菱形 四边形 三个角是直角 四条边相等 定义 四个判定定理 定义 对角线相等 定义 对角线垂直 正方形判定的几条途径： 正方形 正方形 + + 先判定菱形 先判定矩形 矩形条件(二选一) 菱形条件(二选一) 一个直角/ 一组邻边相等/ 对角线相等 对角线垂直 平行四边形 正方形 一组邻边相等， 且一内角是直角 正方形的判定 1 探究新知 已知：如图,在矩形 ABCD 中，AC，DB 是它的两条对角 线，AC⊥DB. 求证：四边形 ABCD 是正方形. 证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AO = CO = BO = DO，∠ADC = 90°. ∵ AC⊥DB， ∴ AD = AB = BC = CD. ∴ 四边形 ABCD 是正方形. 对角线互相垂直的矩形是正方形. A B C D O 猜想： 已知：如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC = DB. 求证：四边形 ABCD 是正方形. 证明：∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ AB = BC = CD = AD，AC⊥DB. ∵ AC = DB， ∴ AO = BO = CO = DO. ∴△AOD，△AOB，△COD，△BOC 是等腰直角三角形. ∴∠DAB =∠ABC =∠BCD =∠ADC = 90°. ∴ 四边形 ABCD 是正方形. 对角线相等的菱形是正方形. A B C D O 猜想： 剩余猜想，同学们自己动手证明一下吧！ 常用的正方形判定方法： 归纳总结 定义法 矩形法 菱形法 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 有一组邻边相等的矩形是正方形. 对角线相互垂直的矩形是正方形. 有一个角是直角的菱形是正方形. 对角线相等的菱形是正方形. 例1 如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE. 求证：四边形 BECF 是正方形. F A B E C D 典例精析 证明：∵BF∥CE，CF∥BE， ∴四边形 BECF 是平行四边形. ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ABC = 90°，∠DCB = 90°. ∴∠EBC = ∠ECB. ∴ EB = EC. ∴□ BECF 是菱形(菱形的定义). 在△EBC 中， ∵∠EBC = 45°，∠ECB = 45°， ∴∠BEC = 90°. ∴菱形 BECF 是正方形 (有一个角是直角的菱形是正方形). 又∵ BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB， ∴∠EBC = ∠ABC = 45°，∠ECB = ∠DCB = 45°. F A B E C D 中点四边形问题 2 做一做 如图，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点组成一个新四边形，这个新四边形的形状有什么特征？ C A B D E F G H EH∥AC EH = AC 三角形 中位线定理 E，H 分别是 AC，BC 中点 同理， FG∥AC， FG = AC EH = FG，EH∥FG 四边形 EHGF 是平行四边形 做一做 如果四边形 ABCD 变为特殊的四边形，中点四边形 EFGH 会有怎样的变化呢？ 原四边形 中点四边形 一般四边形 平行四边形 平行四边形 ？ 矩形 ？ 菱形 ？ 正方形 ？ A B C D 拓展1 如图，顺次连接平行四边形 ABCD 各边中点，得到的四边形 EFGH 是什么四边形？ 解：连接 AC、BD. ∵ 点 E、F、G、H 为各边中点， ∴ 四边形 EFGH 是平行四边形. E F G H H G F E D C B A 解：连接 AC、BD. ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC = BD. ∵ 点 E、F、G、H 为各边中点， ∴ EF = GH = FG = EH. ∴ 四边形 EFGH 是菱形. 拓展2 如图，顺次连接矩形 ABCD 各边中点，得到的四边形 EFGH 是什么四边形？ 解：连接 AC，BD. ∵ E，F 分别是 AB 和 BC 边中点， ∴ EF∥AC ，同理可证 HG∥AC，EH∥BD，FG∥BD. ∴EF∥HG，EH∥FG， ∴四边形 EFGH ，PFQO 为平行四边形. 又∵四边形 ABCD 是菱形 ∴AC⊥BD， ∴∠1 = 90°，∠2=90°. ∴四边形 EFGH 是矩形. 拓展3 如图，顺次连接菱形 ABCD 各边中点，得到的四边形 EFGH 是什么四边形？ A B C D O E F G H 证明：连接 AC，BD， ∵ E，F 分别是 AB 和 BC 边中点， ∴ EF∥AC 且EF = AC， 同理可证 HG∥AC 且 HG = AC， EH∥BD且 EH = BD，FG∥BD 且 FG = BD. ∴四边形 PFQO 为平行四边形. A B C D O H G F E 拓展4 如图，顺次连接正方形 ABCD 各边中点，得到的四边形 EFGH 是什么四边形？ P Q 又∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AC = BD，AC⊥BD. ∴EF = FG = HG = EH，∠DOC = 90°. ∴四边形 EFGH 是菱形，∠EFG = 90°. ∴四边形 EFGH 为正方形. A B C D O H G F E 原四边形 中点四边形 一般四边形 平行四边形 矩形 菱形 正方形 归纳总结 菱形 矩形 正方形 平行四边形 平行四边形 思考：决定中点四边形形状的关键因素是什么？ 归纳总结 对角线 不垂直， 不相等 平行四边形 对角线 不垂直， 不相等 平行四边形 对角线相等 菱形 对角线垂直 矩形 对角线相等且垂直 正方形 决定中点四边形 EFGH 的形状的主要因素是原四边形 ABCD 的对角线的长度和位置关系. 5 种判定方法 三个角是直角 四条边相等 一个角是直角 或对角线相等 一组邻边相等 或对角线垂直 一组邻边相等 或对角线垂直 一个角是直角 或对角线相等 一个角是直角且一组邻边相等 平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结 当堂小结 1. 下列命题正确的是（ ） A. 四个角都相等的四边形是正方形 B. 四条边都相等的四边形是正方形 C. 对角线相等的平行四边形是正方形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 D 课堂练习 2. 如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　） A．当 AB = BC 时，四边形 ABCD 是菱形 B．当 AC⊥BD 时，四边形 ABCD 是菱形 C．当∠ABC = 90°时，四边形 ABCD 是矩形 D．当 AC = BD时，四边形 ABCD 是正方形 D 3. 如图，四边形 ABCD 中，∠ABC = ∠BCD =∠CDA = 90°，请添加一个条件____________________，可得出该四边形是正方形． AB = BC (答案不唯一) A B C D O 4. 已知四边形 ABCD 是平行四边形，再从①AB = BC，②∠ABC = 90°，③AC = BD，④AC⊥BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形 ABCD 是正方形，其中错误的是_____________（只填写序号）． ②③或①④ 5. 如图，在四边形 ABCD 中，AB = BC ，对角线 BD 平分∠ABC，P 是 BD 上一点，过点 P 作 PM⊥AD，PN⊥ CD，垂足分别为 M、N. (1) 求证：∠ADB =∠CDB； (2) 若∠ADC = 90°，求证：四边形 MPND 是正方形. C A B D P M N 证明：(1) ∵ BD 平分∠ABC. ∴∠1 =∠2. 又∵ AB = BC，BD = BD， ∴△ABD≌△CBD (SAS). ∴∠ADB =∠CDB. 1 2 （2）∵ PM⊥AD，PN⊥CD， ∴∠PMD =∠PND = 90°. 又∵∠ADC = 90°， ∴ 四边形 MPND 是矩形. ∵∠ADB =∠CDB， ∴∠ADB = 45°. ∴∠MPD = 45°. ∴ DM = PM. ∴ 四边形 MPND 是正方形. C A B D P M N $$