1.1 第3课时 菱形的性质、判定与其他知识的综合（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年九年级数学上册同步备课（北师大版）

1.1 菱形的性质与判定 第3课时 菱形的性质、判定与其他知识的综合 第一章 特殊的平行四边形 九年级上册数学（北师版） 1．平行四边形的对边 ， 对角 ，对角线 ． 2．菱形具有 的一切性质． 3．菱形是 图形也是 图形． 4．菱形的四条边都 ． 5．菱形的两条对角线互相 ． 平行且相等 相等 互相平分 平行四边形 轴对称 中心对称 相等 垂直且平分 复习回顾 菱形的面积 问题1 菱形是特殊的平行四边形，那么能否利用平行四边形的面积公式计算菱形 ABCD 的面积呢? A B C D 思考 前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直，那么能否利用对角线来计算菱形 ABCD 的面积呢? 能. 过点 A 作 AE⊥BC 于点 E， 则 S菱形ABCD = 底×高 = BC·AE. E 1 探究新知 问题2 如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 交于点 O，试用对角线表示出菱形 ABCD 的面积. A B C D O 解：∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AC⊥BD. ∴ S菱形ABCD = S△ABC + S△ADC = AC·BO + AC·DO = AC·(BO + DO) = AC·BD. 你有什么发现？ 菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半 例1 如图，四边形 ABCD 是边长为 13 cm 的菱形， 其中对角线 BD 长 10 cm. 求： (1) 对角线 AC 的长度； (2) 菱形 ABCD 的面积. 解：(1) ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴∠AED = 90°， (2) S菱形ABCD ∴ AC = 2AE = 2×12 = 24 (cm). D B C A E 5 归纳总结 菱形的面积计算有如下方法： (1) 一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积； (2) 四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的 4 倍)； (3) 两条对角线长度乘积的一半． 例2 如图，菱形花坛 ABCD 的边长为 20 m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路 AC 和 BD，求两条小路的长和花坛的面积（结果分别精确到 0.01 m 和 0.1 m2）. A　 B　 C　 D　 O　 解：∵ 花坛 ABCD 是菱形， 1. 如图，已知菱形的两条对角线分别为 6 cm 和 8 cm，则这个菱形的高 DE 为（　　） A. 2.4 cm B. 4.8 cm C. 5 cm D. 9.6 cm B 练一练 如图的两张不等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分是什么图形？ 平行四边形 菱形的判定与性质的综合问题 2 做一做 如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分 ABCD 是菱形吗？为什么？ 是菱形 A C D B 分析：易知四边形 ABCD 是平行四边形，只需证一组邻边相等或对角线互相垂直即可. 由题意可知 BC 边上的高和 CD 边上的高相等， 然后通过证△ABE≌△ADF，即可得 AB = AD. E F 例3 如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，BE＝2DE，延长 DE 到点 F，使得 EF＝BE，连接 CF. (1) 求证：四边形 BCFE 是菱形； 证明：∵ D、E 分别是 AB、AC 的中点， ∴ DE∥BC，且 BC＝2DE. 又∵ BE＝2DE，EF＝BE， ∴ EF＝BC，EF∥BC. ∴ 四边形 BCFE 是平行四边形. 又∵ EF＝BE，∴ 四边形 BCFE 是菱形. (2) 解：∵∠BCF＝120°， ∴∠EBC＝60°， ∴ △EBC 是等边三角形， ∴ 菱形的边长为 4，高为 ， ∴ 菱形的面积为 . (2) 若 CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形 BCFE 的面积． 判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以先尝试证出这个四边形是平行四边形． 总结 2. 如图，在 □ABCD 中，AC 平分∠DAB，AB = 2，求 □ABCD 的周长. 解：在 □ABCD 中，AD∥BC，AB∥CD， ∴∠DAC =∠ACB，∠BAC =∠ACD. ∵ AC 平分∠DAB， ∴∠DAC =∠BAC.∴∠DAC =∠ACD. ∴ AD = CD. ∴ 四边形 ABCD 为菱形. ∴ 菱形 ABCD 的周长为 4AB = 4×2 = 8. 练一练 A B C D 菱形的性质与判定的综合性问题 菱形的面积 综合运用 菱形面积 = 底×高 = 两条对角线乘积的一半 当堂小结 1. 已知菱形的周长是 24 cm，那么它的边长是______. 2. 如图，菱形 ABCD 中∠BAD＝120°， 则∠BAC＝_____°. 6 cm 60 3. 如图，菱形的两条对角线长分别为 10 cm 和 24 cm，则菱形的边长 是（ ） C A. 10 cm B. 24 cm C. 13 cm D. 17 cm A B C D O 课堂练习 4. 如图，在菱形 ABCD 中，点 O 为对角线 AC 与 BD 的交点，且在△AOB 中，OA＝5，OB＝12. 求菱形 ABCD 两对边的距离 h. 解：在 Rt△AOB 中，OA＝5，OB＝12， ∴ S△AOB＝ OA·OB＝ ×5×12＝30. ∴ S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120. 而菱形两对边的距离相等， ∴ S菱形ABCD＝AB·h＝13h. ∴ 13h＝120，解得 h＝ . A B C D O 证明：由尺规作∠BAF 的平分线的过程可得 AB = AF，∠BAE =∠FAE. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD∥BC. ∴∠FAE =∠AEB. ∴∠BAE =∠AEB. ∴ AB = BE. ∴ BE = FA. ∴ 四边形 ABEF 为平行四边形. ∵ AB = AF，∴ 四边形 ABEF 为菱形. 5. 如图，在平行四边形 ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线交 BC 于点 E，连接 EF． （1）求证：四边形 ABEF 为菱形； （2）AE，BF 相交于点 O，若 BF = 6，AB = 5，求 AE 的长． 解：∵ 四边形 ABEF 为菱形， ∴ AE⊥BF，BO = FB = 3，AE = 2AO． 在 Rt△AOB 中，由勾股定理得 AO = 4， ∴ AE = 2AO = 8． $$