1.1 第1课时 菱形的性质（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年九年级数学上册同步备课（北师大版）

1.1 菱形的性质与判定 第1课时 菱形的性质 第一章 特殊的平行四边形 九年级上册数学（北师版） 性质： 边：平行四边形的对边平行且相等. 角：平行四边形的对角相等，邻角互补. 对角线：平行四边形的对角线互相平分. 对称性：平行四边形是中心对称图形. 回忆一下，什么是平行四边形，它有哪些性质？ A B C D O 复习回顾 下面几幅图片中都含有一些平行四边形. 观察这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？ 情景导入 菱形的性质 思考 如果从边的角度，将平行四边形特殊化，内角大小保持不变，仅改变边的长度，让它有一组邻边相等，这个特殊的平行四边形叫什么呢? 平行四边形 菱形 邻边相等 1 一般 特殊 探究新知 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 菱形是特殊的平行四边形. 平行四边形不一定是菱形. 同学们，能给这个图形下个定义吗？ 知识要点 菱形的定义 菱形也是常见的图形，你能举出一些生活中菱形的例子吗？与同伴交流. 两组对边分别平行 一组邻边相等 四边形 平行四边形 菱形 归纳总结 韦恩图： 活动1 动手操作 是菱形吗？ （1）菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质. 你能列举一些这样的性质吗？ 想一想 （2）你认为菱形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流. 边 角 对角线 对称性 菱形 对边平行且相等 对角相等 互相平分 中心对称 动手操作 度量法 剪拼法 A B C D A B C O D ( C ) O 8 cm 8 cm ( B ) 1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； 3.菱形是轴对称图形 做一做 （1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？ 菱形的性质： 对称性： 图形， 对称轴： 条， 是________所在的直线. 轴对称 2 A B C D 对角线 菱形被分割为四个全等的直角三角形 用菱形纸片折一折，回答下列问题： 对角线互相垂直 对称轴互相垂直 用菱形纸片折一折，回答下列问题： （2）菱形中有哪些相等的线段？ A B C O D 菱形的四条边相等. 怎样证明菱形所特有的性质呢？ 同学们，动手证一证吧！ 求证：(1) AB = BC = CD = AD； (2) AC⊥BD. 证明：(1) ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AB = CD，AD = BC (菱形的对边相等). 又∵ AB = AD， ∴ AB = BC = CD = AD. A B C O D 已知：如图，在菱形 ABCD 中，AB = AD，对角线 AC 与 BD 相交于点 O. 证一证 (2) ∵ AB = AD， ∴△ABD 是等腰三角形. 又∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ OB = OD（菱形的对角线互相平分）. 在等腰三角形 ABD 中， ∵OB = OD， ∴ AO⊥BD，即 AC⊥BD. A B C O D 知识要点 菱形的性质 定理 菱形的对角线互相垂直. A B C O D 几何语言描述： ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AB = BC = CD = AD，AC⊥BD. 定理 菱形的四条边都相等. 例1 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O， ∠BAD = 60°，BD = 6，求菱形的边长 AB 和对角线 AC 的长. ∴ AB = AD(菱形的四条边相等)， AC⊥BD (菱形的对角线互相垂直)， OB = OD = BD = =3 (菱形的对角线互相平分). 典例精析 解：∵四边形 ABCD 是菱形， A B C O D 在等腰三角形 ABD 中，∵∠BAD = 60°， ∴△ABD 是等边三角形. ∴ AB = BD = 6. 在Rt△AOB 中，由勾股定理，得 OA2 + OB2 = AB2， ∴OA= . ∴ AC = 2OA = （菱形的对角线互相平分） A B C O D 证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴AD∥BC，AD＝BA， ∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB. ∴∠DAE＝∠AEB. ∵AB＝AE，∴∠ABC＝∠AEB. ∴∠ABC＝∠DAE.  ∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB.  又∵AD＝BA，∴△AOD≌△BEA. ∴AO＝BE. 例2 如图，E为菱形ABCD的边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE，求证：OA=EB. A B C D O E 1. 如图，在菱形 ABCD 中，已知∠A＝60°，AB＝5，则 △ABD 的周长是 (　　) A.10 B.12 C.15 D.20 C 2. 如图，菱形 ABCD 的周长为 48 cm，对角线 AC、BD 相交于 O 点，E 是 AD 的中点，连接 OE，则线段 OE 的长为_______. 6 cm 练一练 菱形 菱形的性质 有关计算 边 周长 = 边长的四倍 角 对角线 1. 两组对边分别平行且相等； 2. 四条边相等 两组对角分别相等，邻角互补 1. 两条对角线互相垂直平分； 2. 每一条对角线平分一组对角 当堂小结 1. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是 （ ） A. 对角相等 B. 对边相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等 C 2. 如图，在菱形 ABCD 中，AC = 8，BD = 6，则△ABD 的周长等于 （ ） A. 18 B. 16 C. 15 D. 14 B 课堂练习 21 3. 根据下图填一填： （1）已知菱形 ABCD 的周长是 12 cm， 那么它的边长是 ______. （2）在菱形 ABCD 中，∠ABC＝120°， 则∠BAC＝_____°. （3）菱形 ABCD 的两条对角线长分别为 6 cm 和 8 cm， 则菱形的边长是_______. （4）菱形的一个内角为 120°，平分这个内角的对角 线长为 11 cm，菱形的周长为________. 3 cm 30 A B C O D 5 cm 44 cm 4. 如图，四边形 ABCD 是菱形，F 是 AB 上一点，DF 交 AC 于 E． 求证：∠AFD =∠CBE． 证明：∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ CB = CD， CA 平分∠BCD． ∴∠BCE =∠DCE． 又 CE = CE， ∴△BCE≌△DCE (SAS)． ∴∠CBE =∠CDE． ∵ 在菱形 ABCD 中，AB∥CD， ∴∠AFD=∠EDC. ∴∠AFD=∠CBE． A D C B F E $$