第15讲 三角形全等的判定 （5个知识点+6种经典题型+试题练习）-2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第15讲 三角形全等的判定 （5个知识点+6种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．三角形的稳定性 当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中． 【例1】（2024春•江南区校级期中）如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为　　． 【变式】（2022秋•蒙城县期末）如图，建筑工人在木门框上加两根木条、晃动的木椅子腿与坐板间钉一根木条，防止门框变形、椅子摇晃，利用了三角形的　　 A．任意两边之和大于第三边 B．任意两边之差小于第三边 C．稳定性 D．三角形三个内角的和为 知识点2．全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 【例2】（2022秋•蒙城县期末）如图，在中，高，相交于点，当增加一个条件 　　时，． 【变式】（2022秋•凤台县期末）已知：如图，，点为线段上一点，连接交于点，过点作分别交、于点、点，，求证：． 知识点3．直角三角形全等的判定 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 【例3】（2023秋•蚌埠期末）如图，已知，，若用“”判定和全等，则需要添加的条件是　　 A． B． C． D． 【变式】如图，将等腰直角三角形的直角顶点置于直线上，且过，两点分别作直线的垂线，垂足分别为，，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程． 知识点4．全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 【例4】（2023秋•宿松县期末）一个三角形的两边长分别为4和8，设第三边上的中线长为，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【变式】（2023秋•金安区校级期末）如图，的面积为，平分，过点作于点．则的面积为 　　． 知识点5．全等三角形的应用 （1）全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． （2）作辅助线构造全等三角形 常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． （3）全等三角形在实际问题中的应用 一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 【例5】（2023秋•无为市期中）如图，幼儿园的滑梯中有两个长度相等的梯子，且，已知，，则　　． 【变式】（2023秋•田家庵区期中）为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在八年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端，的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量，的距离．甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，先在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可； 乙：如图2，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可． 甲、乙两个同学的方案是否可行？请说明理由． 经典题型汇编 题型一、用SSS证明三角形全等（SSS） 1．（23-24八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在中，，，可直接利用“”判定（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，，现添加“”，则判定的直接依据是 ． 3．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，点在同一条直线上，且，求证：． 题型二、用SAS证明三角形全等（SAS） 4．（22-23八年级上·安徽淮北·阶段练习）在和中，下列条件不能判断这两个三角形全等的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．（20-21八年级上·安徽合肥·期中）如图，AD是△ABC的中线，∠ADB与∠ADC的平分线分别交AB，AC于点E，F，M是AD上的一点，且DM＝DB．则给出下列结论： ①S△ABD＝S△ACD；②∠EDF＝90°；③MF＝BE；④BE+CF＞EF． 其中正确的是 （把所有正确的答案的序号都填在横线上） 6．（23-24八年级上·安徽芜湖·期末）如图，在中，，，，、交于点．在不添加字母和辅助线的情况下，请你在图中找出一对全等三角形并证明． 题型三、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 7．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，，，则判定 与 全等的依据是(　　) A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·安徽淮南·期中）请规范书写的具体内容： ． 9．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，点，，，在同一直线上，，，，求证：． 题型四、全等的性质和HL综合（HL） 10．（20-21八年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，在和中，，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24八年级上·安徽铜陵·期中）和中，是边上的高，是边上的高．若，，，则与的关系是 ． 12．（23-24八年级上·安徽六安·期末）在中，，点分别在边上， (1)如图（1），若，求证：． (2)如图（2），若，则线段与线段相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由． 题型五、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 13．（23-24八年级上·安徽淮南·期末）如图，相交于点O，，要证明，还需添加的一个条件是 ．    14．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期末）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，，，若添加一个条件后，添加的条件可以是（    ） A． B． C． D． 15．（八年级上·安徽·期末）如图，AB∥CD (1)用直尺和圆规作的平分线CP，CP交AB于点E(保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)中作出的线段CE上取一点F，连结AF．要使△ACF≌△AEF，还需要添加一个什么条件？请你写出这个条件(只要给出一种情况即可；图中不再增加字母和线段；不要求证明) 题型六、全等三角形综合问题 16．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，一条线段两点分别在线段和的垂线上移动，若以为顶点的三角形与以为顶点的三角形全等，则的值为（    ）    A． B． C．或 D．或 17．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，已知四边形中，，，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度沿﹣﹣运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为 时，能够使与全等． 18．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）已知：如图，，，．    (1)当，时，求的度数； (2)求证：． 试题练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）尺规作图是起源于古希腊的数学课题，尺规作图中往往蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，已知，以点为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交，于点，，再以点为圆心，以长为半径画弧，交弧①于点，画射线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（20-21八年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，，点D，E分别是的中点，则判定与全等的依据是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，，则判定和全等的依据是（    ）    A． B． C． D． 5．（20-21八年级上·安徽黄山·期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图，则说明，两个三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D．不能确定 6．（23-24八年级上·安徽滁州·期末）如图，，A，C，F，D在同一直线上，添加下列条件仍不能判定的是（    ） A．， B．， C．， D．， 7．（23-24八年级上·安徽池州·期末）如图，，是锐角的高，相交于点，若，，，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 8．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图所示，为的角平分线，且，则的大小是（　　）． A． B． C． D． 9．（23-24八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，点、在边上，点在边上，将沿着翻折，使点和点重合，将沿着翻折，点恰与点重合．结论：①；②；③；④其中正确的有（    ） A．①②③④ B．③④ C．①②④ D．①②③ 10．（21-22八年级下·安徽宿州·期末）如图，于点D，于点F，要根据“”证明，则还需要添加的条件是（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 11．（23-24八年级上·安徽淮南·期中）如图，已知，请你添加一个条件： ，使．（只需填一个即可） 12．（21-22八年级上·安徽铜陵·期中）如图，△ABC中AC⊥BC，AC＝8cm，BC＝4cm，AP⊥AC于A，现有两点D、E分别在AC和AP上运动，运动过程中总有DE＝AB，当AD＝ cm时，能使△ADE和△ABC全等． 13．（21-22八年级上·安徽六安·期中）已知三角形两边长分别为3和6，则第三边上的中线长x取值范围是 . 14．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，点是内一点，连接、、，其中，平分，若的面积为4，则的面积是 ． 三、解答题 15．（2023八年级上·安徽合肥·专题练习）如图，已知．求证：． 16．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图所示，已知，，．    (1)求证：； (2)说明与的位置关系． 17．（23-24八年级上·安徽滁州·期末）如图，D是的边上一点．，交于点E，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 18．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图所示，在四边形 中，，为 的中点，连接、，并延长 交 的延长线于点 ． (1)求证：； (2)若，求证：． 19．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）已知：如图，点E、点F在上，且，，．求证：． 20．（20-21八年级上·安徽阜阳·期末）如图，点，，，在一条直线上，，，． 求证：（1）； （2）． 21．（22-23八年级上·安徽滁州·期末）如图，在和中，，，，连接，交于点M．    (1)如图1，当点B，C，D在同一条直线上时，可以得到图中的一对全等三角形，即__________； (2)当点D不在直线上时，如图2位置，且． ①求证：； ②求的大小（用含的代数式表示）． 22．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围； （2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 23．（21-22八年级上·安徽六安·期末）（1）如图1，已知，为的平分线上一点．连接，，在不作辅助线的情况下，能作为的依据是_______（从，，，中选择一个填入）． （2）如图2，已知，，为的平分线上两点连接，，，；全等三角形的对数是_______； （3）如图3，已知，，，为的平分线上三点，连接，，，，，；全等三角形的对数是_______； （4）依此规律，第个图形中有全等三角形的对数是_______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 三角形全等的判定 （5个知识点+6种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．三角形的稳定性 当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中． 【例1】（2024春•江南区校级期中）如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为　三角形具有稳定性　． 【分析】根据三角形具有稳定性解答． 【解答】解：生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性． 【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得． 【变式】（2022秋•蒙城县期末）如图，建筑工人在木门框上加两根木条、晃动的木椅子腿与坐板间钉一根木条，防止门框变形、椅子摇晃，利用了三角形的　　 A．任意两边之和大于第三边 B．任意两边之差小于第三边 C．稳定性 D．三角形三个内角的和为 【分析】根据三角形的稳定性可以解答． 【解答】解：建筑工人在木门框上加两根木条、晃动的木椅子腿与坐板间钉一根木条，防止门框变形、椅子摇晃，利用了三角形的稳定性． 故选：． 【点评】本题考查三角形的稳定性，熟知三角形具有稳定性是解答的关键． 知识点2．全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 【例2】（2022秋•蒙城县期末）如图，在中，高，相交于点，当增加一个条件 　（答案不唯一）　时，． 【分析】根据全等三角形的判定方法结合已有条件添加即可． 【解答】解：高，相交于点， ． ， ， 可以添加，此时根据可以证明． 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和是解题的关键． 【变式】（2022秋•凤台县期末）已知：如图，，点为线段上一点，连接交于点，过点作分别交、于点、点，，求证：． 【分析】先根据平行线的性质得出，，再由可知，即，根据定理即可得出结论． 【解答】证明：，， ，， ， ，即， 在和中， ， ． 【点评】本题考查的是全等三角形的判定，熟知两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等是解答此题的关键． 知识点3．直角三角形全等的判定 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 【例3】（2023秋•蚌埠期末）如图，已知，，若用“”判定和全等，则需要添加的条件是　　 A． B． C． D． 【分析】根据两直角三角形全等的判定定理逐个判断即可． 【解答】解：，， ， ．，，符合两直角三角形全等的判定定理，能推出和全等，故本选项符合题意； ．，，，符合两直角三角形全等的判定定理，不是两直角三角形全等的判定定理，故本选项不符合题意； ．，，不符合两直角三角形全等的判定定理，不能推出和全等，故本选项不符合题意； ．，，，符合两直角三角形全等的判定定理，不是两直角三角形全等的判定定理，故本选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有等． 【变式】如图，将等腰直角三角形的直角顶点置于直线上，且过，两点分别作直线的垂线，垂足分别为，，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程． 【分析】分析图可知，全等三角形为：．根据这两个三角形中的数量关系选择证明全等． 【解答】解：全等三角形为：． 证明如下： 由题意知， ， ． 在与中， ， ． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、． 注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 知识点4．全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 【例4】（2023秋•宿松县期末）一个三角形的两边长分别为4和8，设第三边上的中线长为，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】延长到，使，连接，，利用证明，得，由，得，在中利用三角形三边关系可得答案． 【解答】解：如图，，，为边的中线， 延长到，使，连接， ， ， 在与中， ， ， ， 在中，，， 即，， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系等知识，作辅助线构造三角形全等是解题的关键． 【变式】（2023秋•金安区校级期末）如图，的面积为，平分，过点作于点．则的面积为 　7.5　． 【分析】根据已知条件证得，根据全等三角形的性质得到，得出，，推出，代入求出即可． 【解答】解：延长交于， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 故答案为：7.5． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，能够根据已知条件证得得到，进而得到，是解决问题的关键． 知识点5．全等三角形的应用 （1）全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． （2）作辅助线构造全等三角形 常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． （3）全等三角形在实际问题中的应用 一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 【例5】（2023秋•无为市期中）如图，幼儿园的滑梯中有两个长度相等的梯子，且，已知，，则　90　． 【分析】利用证明得到，则． 【解答】解：，， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：90． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，掌握其性质定理是解决此题的关键． 【变式】（2023秋•田家庵区期中）为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在八年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端，的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量，的距离．甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，先在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可； 乙：如图2，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可． 甲、乙两个同学的方案是否可行？请说明理由． 【分析】甲同学作出的是全等三角形，然后根据全等三角形对应边相等测量的，所以是可行的； 甲同学利用的是“边角边”，乙同学的方案根据等腰三角形的性质得出，故方案可行． 【解答】解：甲、乙两同学的方案都可行， 甲同学方案： 在和中， ， ， ； 乙同学方案： ，于点， ， 测量出线段的长度就是池塘两端，之间的距离， 甲、乙两同学的方案都可行． 【点评】本题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形判定的“”定理是解决问题的关键． 经典题型汇编 题型一、用SSS证明三角形全等（SSS） 1．（23-24八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在中，，，可直接利用“”判定（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定的应用，全等三角形的判定定理有，，，．根据已知条件和全等三角形的判定定理结合图形得出选项即可． 【详解】解：根据，，可以推出，理由是， 其余是错误的，不能直接用定理推出，和不全等， 故选：C． 2．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，，现添加“”，则判定的直接依据是 ． 【答案】三边对应相等的三角形是全等三角形 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，熟记定理内容是解题关键． 【详解】解：∵， ∴判断三角形全等的依据是：三边对应相等的三角形是全等三角形 故答案为：三边对应相等的三角形是全等三角形 3．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，点在同一条直线上，且，求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 根据全等三角形的判定定理证得结论． 【详解】证明：∵， ∵在和中， ∴． 题型二、用SAS证明三角形全等（SAS） 4．（22-23八年级上·安徽淮北·阶段练习）在和中，下列条件不能判断这两个三角形全等的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定方法：，进行判断即可； 【详解】解：A、利用，不能判断两个三角形全等，符合题意； B、利用，得到两个三角形全等，不符合题意； C、利用，得到两个三角形全等，不符合题意； D、利用，得到两个三角形全等，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键． 5．（20-21八年级上·安徽合肥·期中）如图，AD是△ABC的中线，∠ADB与∠ADC的平分线分别交AB，AC于点E，F，M是AD上的一点，且DM＝DB．则给出下列结论： ①S△ABD＝S△ACD；②∠EDF＝90°；③MF＝BE；④BE+CF＞EF． 其中正确的是 （把所有正确的答案的序号都填在横线上） 【答案】①②④ 【分析】过A作AH⊥BC于H，根据已知条件得到S△ABD＝S△ACD；故①正确；根据角平分线的定义得到∠ADE＝∠ADB，∠ADF＝∠ADC，求出∠EDF＝∠ADE+∠ADF＝（∠ABD+∠ADC）＝90°，故②正确；没有条件能够证明MF＝BE，故③错误；延长ED到G，使DE＝DG，连接CG，FG，根据全等三角形的性质得到EF＝FG，根据全等三角形的性质得到BE＝CG，根据三角形的三边关系得到CF+CG＞FG，等量代换即可得到结论． 【详解】解：如图，过A作AH⊥BC于H， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∴S△ABD＝BD•AH，S△ACD＝CD•AH， ∴S△ABD＝S△ACD；故①正确； ∵DE平分∠ADB，DF平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠ADB，∠ADF＝∠ADC， ∵∠ADB+∠ADC＝180°， ∴∠EDF＝∠ADE+∠ADF＝（∠ABD+∠ADC）＝90°， 故②正确； 没有条件能够证明MF＝BE，故③错误； 延长ED到G，使DE＝DG，连接CG，FG， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝DC， ∵∠BDE＝∠CDG， ∴∠FDC+∠CDG＝90°， 即∠EDF＝∠FDG， 在△EFD和△GFD中，， ∴△EFD≌△GFD（SAS）， ∴EF＝FG， 在△BDE和△CDG中，， ∴△BDE≌△CDG（SAS）， ∴BE＝CG， 在△CFG中，由三角形三边关系定理得：CF+CG＞FG， ∵CG＝BE，FG＝EF， ∴BE+CF＞EF．故④正确． 故答案为：①②④． 【点睛】此题考查三角形的性质和面积的计算，全等三角形的判定，角平分线和中线的性质；熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键． 6．（23-24八年级上·安徽芜湖·期末）如图，在中，，，，、交于点．在不添加字母和辅助线的情况下，请你在图中找出一对全等三角形并证明． 【答案】；证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．先证明，然后根据证明即可． 【详解】证明：，理由如下 ， 即， 在和中， ． 题型三、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 7．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，，，则判定 与 全等的依据是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据公共角相等，结合已知条件，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴ ， 故选：D． 8．（23-24八年级上·安徽淮南·期中）请规范书写的具体内容： ． 【答案】两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理；根据题意写出的具体内容，即可求解． 【详解】解：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 故答案为：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等． 9．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，点，，，在同一直线上，，，，求证：． 【答案】详见解析 【分析】 本题考查了平行线的性质和全等三角形的判定定理，关键是掌握：全等三角形的判定定理． 【详解】 证明：，， ，， ， ， 在和中 ， ． 题型四、全等的性质和HL综合（HL） 10．（20-21八年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，在和中，，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据HL定理分别证明Rt△ABC≌Rt△ADE和Rt△AEO≌Rt△ACO，根据全等三角形的性质可判断各选项． 【详解】解：解：∵， ∴Rt△ABC≌Rt△ADE（HL） ∴，∠BAC=∠DAE， 故A选项正确； ∴∠BAC-∠EAC=∠DAE-∠EAC，即， 故B选项正确； 连接AO， ∵AE=AC，AO=AO， ∴Rt△AEO≌Rt△ACO（HL）， ∴，故C选项正确； 无法得出，故D选项错误； 故选：D． 【点睛】本题全等三角形的性质与判断．掌握证明直角三角形全等的HL定理是解题关键． 11．（23-24八年级上·安徽铜陵·期中）和中，是边上的高，是边上的高．若，，，则与的关系是 ． 【答案】相等或互补 【分析】分三种情况：当和都是锐角时；当和都是钝角时；当为钝角，为锐角时；利用全等三角形的判定与性质，邻补角之间的关系，即可得到答案． 【详解】解：当和都是锐角时，如图，    是边上的高，是边上的高， ， 在和中， ， ， ； 当和都是钝角时，如图，    同理可得， ， ，， ； 当为钝角，为锐角时，如图，    同理可得：， ， ， ； 综上所述，与的关系是相等或互补， 故答案为：相等或互补． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、邻补角的关系，熟练掌握全等三角形的判定与性质，采用分类讨论的思想，是解此题的关键． 12．（23-24八年级上·安徽六安·期末）在中，，点分别在边上， (1)如图（1），若，求证：． (2)如图（2），若，则线段与线段相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由． 【答案】(1)证明详见解析； (2)相等，理由详见解析． 【分析】本题考查了直角三角形的全等判定和性质，三角形全等的判定和性质． (1)根据直角三角形的全等判定证明即可． (2)过点作交的延长线于，过点作交的延长线于．仿照(1)证明直角三角形全等即可． 【详解】（1）， 均为直角三角形， 又 ． （2）相等，理由如下： 如图所示，过点作交的延长线于，过点作交的延长线于． ， ， ， ， ， ． 题型五、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 13．（23-24八年级上·安徽淮南·期末）如图，相交于点O，，要证明，还需添加的一个条件是 ．    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定方法，添加结合根据即可证明． 【详解】∵ 添加结合根据即可证明， 故答案为：（答案不唯一）． 14．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期末）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，，，若添加一个条件后，添加的条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查添加条件证明全等和平行线的性质，熟练全等三角形的判定依据，根据题意得到，如果添加，则，即可利用证明，如果添加其他选项均为不能证明三角形全等． 【详解】解：∵， ∴， 如果添加，则，得， ∵， ∴， 故选：D． 15．（八年级上·安徽·期末）如图，AB∥CD (1)用直尺和圆规作的平分线CP，CP交AB于点E(保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)中作出的线段CE上取一点F，连结AF．要使△ACF≌△AEF，还需要添加一个什么条件？请你写出这个条件(只要给出一种情况即可；图中不再增加字母和线段；不要求证明) 【答案】（1）答案见解析；（2）AF⊥CE（答案不唯一） 【分析】（1）本题首先作出图形． （2）要使△ACF≌△AEF，添加AF⊥CE或∠CAF=∠EAF后可分别根据AAS判定△ACF≌△AEF． 【详解】解：（1）作图如下； （2）取点F和画AF正确（如图）； 添加的条件可以是： 添加AF⊥CE，可根据AAS判定△ACF≌△AEF； 添加∠CAF=∠EAF，可根据AAS判定△ACF≌△AEF等．（选一个即可） 题型六、全等三角形综合问题 16．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，一条线段两点分别在线段和的垂线上移动，若以为顶点的三角形与以为顶点的三角形全等，则的值为（    ）    A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质．分两种情况，由全等三角形对应边相等，即可解决问题． 【详解】解：当时， ∴， 当时， ∴， ∴的值是或． 故选：C． 17．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，已知四边形中，，，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度沿﹣﹣运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为 时，能够使与全等． 【答案】或或或 【分析】 本题考查全等三角形的判定和性质，动点问题，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，动点的运动轨迹，分类讨论：①点由向运动；②点由向运动；进行解答，即可． 【详解】 ∵点为的中点， ∴， 设点在线段上运动的时间为， ①点由向运动时，，， 当， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴点的运动速度为； 当时， ∴，， ∴， 解得：， ∴点的运动速度为； ②点由向运动,， 当时， ∴，， ∴， 解得：； ∴点的运动速度为； 当， ∴，， ∴， 解得：， ∴点的运动速度为； 综上所述：点的运动速度为或或或． 故答案为：3或5或或． 18．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）已知：如图，，，．    (1)当，时，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)详见解析 【分析】本题考查全等三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，三角形内角和，即可． （1）根据三角形内角和为，，求出的角度，再根据三角形的内角和，求出，根据全等三角形的判定，则，则，最后根据是三角形的外角和，即可； （2）由（1）得，根据全等三角形的判定，即可． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵． （2）由（1）得，， 在和中， ， ∴． 试题练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）尺规作图是起源于古希腊的数学课题，尺规作图中往往蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的判定等知识点，明确尺规作图所隐含的条件成为解题的关键． 由尺规作图可知：、，然后根据全等三角形的判定定理即可解答． 【详解】解：由尺规作图可知：、， ∴． 故选：A． 2．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，已知，以点为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交，于点，，再以点为圆心，以长为半径画弧，交弧①于点，画射线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了尺规作图以及全等三角形的判定与性质，根据题意得出证即可求解． 【详解】解：由题意可得： ∵， ∴ ∴ ∴ 故选：C 3．（20-21八年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，，点D，E分别是的中点，则判定与全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由AB=AC，D、E分别是AB、AC的中点易得AE=AD，再加上公共角，则可利用“SAS”判定△ABE与△ACD全等． 【详解】解：△ABE与△ACD全等的理由如下： ∵AB=AC，D、E分别是AB、AC的中点， ∴AE=AD， 在△ABE和△ADC中 ∴△ABE≌△ADC（SAS）． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 4．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，，则判定和全等的依据是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理推出即可． 【详解】解：∵在和中， ， ∴， 故选：A． 5．（20-21八年级上·安徽黄山·期中）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图，则说明，两个三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】根据题意可直接进行求解． 【详解】解：由题意可得： 在和中， ， ∴≌（SSS）， 故选B． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定条件是解题的关键． 6．（23-24八年级上·安徽滁州·期末）如图，，A，C，F，D在同一直线上，添加下列条件仍不能判定的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法有，结合平行线的性质和全等三角形的判定方法，逐个判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵，，， ∴，故A不符合题意； B、∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴，故B不符合题意； C、∵， ∴， 当，时，不能得出，故C符合题意； D、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴，故D不符合题意； 故选：C． 7．（23-24八年级上·安徽池州·期末）如图，，是锐角的高，相交于点，若，，，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、余角的定义、线段的和差． 先根据题意及余角的定义得出，再利用证明，然后根据全等三角形的性质得出，，最后根据线段的和差即可得出答案． 【详解】解：，是锐角的高， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，， ． 故选：C． 8．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图所示，为的角平分线，且，则的大小是（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识点，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先根据邻补角的定义可得，再根据三角形内角和定理可得，再由角平分线的定义可得、；然后证明可得，最后根据三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ∵为的角平分线， ∴，即 在和， , ∴， ∴， ∴． 故选A． 9．（23-24八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，点、在边上，点在边上，将沿着翻折，使点和点重合，将沿着翻折，点恰与点重合．结论：①；②；③；④其中正确的有（    ） A．①②③④ B．③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查翻折变换，等边三角形的判定，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．将沿着翻折，可得，，将沿着翻折，可得，，进而得到，，从而判断①②正确，再假设③④成立，得到与题干条件矛盾，从而判断①②不一定正确． 【详解】解：∵将沿着翻折，使点B和点E重合， ∴，， ∵将沿着翻折，点C恰与点A重合， ∴，， ∴，∴④正确； ∵， ∴，故③正确； 当，则， ∴，， ∴为等边三角形，与题干条件矛盾，故①不准确， 同理：当，而，， 则， ∴， 结合三角形的内角和可得：，与题干条件矛盾，故②不准确， 故选：B． 10．（21-22八年级下·安徽宿州·期末）如图，于点D，于点F，要根据“”证明，则还需要添加的条件是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形全等的判定方法进行判断． 【详解】解：于点D，于点F， ， ， 当添加时，根据“”判断 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 二、填空题 11．（23-24八年级上·安徽淮南·期中）如图，已知，请你添加一个条件： ，使．（只需填一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法为：、、、、，注意、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 要判定，由得到，具备了一组边对应相等，一组对应角相等，故添加后可根据判定． 【详解】解：添加， ∵ ∴， ∵在和中， ∴， 故答案为：． 12．（21-22八年级上·安徽铜陵·期中）如图，△ABC中AC⊥BC，AC＝8cm，BC＝4cm，AP⊥AC于A，现有两点D、E分别在AC和AP上运动，运动过程中总有DE＝AB，当AD＝ cm时，能使△ADE和△ABC全等． 【答案】8或4/4或8 【分析】根据直角三角形全等的判定方法确定AD的长度． 【详解】∵AC⊥BC，AP⊥AC， ∴∠ACB＝∠EAD＝90°， ∵DE＝AB， ∴当AD＝AC＝8cm时，根据“HL”可判断Rt△ADE≌Rt△CAB； 当AD＝BC＝4cm时，根据“HL”可判断Rt△ADE≌Rt△CBA； 综上所述，当AD＝8cm或4cm时，△ADE和△ABC全等． 故答案为：8或4． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定，关键是掌握判定直角三角形全等的“HL”判定，另外要注意这里有两种情况． 13．（21-22八年级上·安徽六安·期中）已知三角形两边长分别为3和6，则第三边上的中线长x取值范围是 . 【答案】 【分析】由可证，可得，，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解． 【详解】解：如图所示，，，延长至E，使，连接、，设， 在与中， ， ∴， ∴，， 在中，，即， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意构造全等三角形及三角形的三边关系． 14．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，点是内一点，连接、、，其中，平分，若的面积为4，则的面积是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形全等的判定及性质，三角形的面积公式，角平分的性质，证明 可得到，是解题关键． 【详解】解：延长交于点E如图： ，平分， ， ， ， ，， ， 的面积为4， ， 故答案为：8． 三、解答题 15．（2023八年级上·安徽合肥·专题练习）如图，已知．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．根据，推出都是直角三角形，利用“”证明即可得出结论． 【详解】证明：， 都是直角三角形， 在与中，， ， ． 16．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图所示，已知，，．    (1)求证：； (2)说明与的位置关系． 【答案】(1)见解析 (2)平行，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定； （1）根据平行线的性质得出，进而根据，即可得证； （2）根据（1）得出，进而根据，证明得出，进而可得，即可得出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴； （2）解：，理由如下， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 17．（23-24八年级上·安徽滁州·期末）如图，D是的边上一点．，交于点E，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)的长是3； 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质， （1）根据平行线得到角度关系，再根据角角边判定直接证明即可得到答案； （2）根据三角形全等对应边相等直接求解即可得到答案； 【详解】（1）证明：∵， ∴，， 在和中， ∵， ∴； （2）解：由（1）可知， ∵，， ∴， ， ∴，即的长是3． 18．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图所示，在四边形 中，，为 的中点，连接、，并延长 交 的延长线于点 ． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定； （1）根据平行线的性质可得，根据中点的性质得出，对顶角相等可得，即可证明； （2）证明，又，根据全等三角形的性质，根据，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵是的中点， ∴ 在和中， ∴ （2）解：∵， ∴， ∵ ∴ ∴， ∵，， ∴ ∴． 19．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）已知：如图，点E、点F在上，且，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．先证明，得到，从而得出，再证明，即可得出结论．熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 20．（20-21八年级上·安徽阜阳·期末）如图，点，，，在一条直线上，，，． 求证：（1）； （2）． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）利用“边边边”定理证即可； （2）由全等可得，，根据平行线的判定证明即可． 【详解】证明：（1）， ， ， 在和中， ， ， ； （2）由（1）得：， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，解题关键是依据已知条件证明三角形全等，再根据全等三角形的性质解决问题． 21．（22-23八年级上·安徽滁州·期末）如图，在和中，，，，连接，交于点M．    (1)如图1，当点B，C，D在同一条直线上时，可以得到图中的一对全等三角形，即__________； (2)当点D不在直线上时，如图2位置，且． ①求证：； ②求的大小（用含的代数式表示）． 【答案】(1)，； (2)①见解析；②． 【分析】（1）由“”可证； （2）①由“”可证，可得， ②由全等三角形的性质可得，由三角形的内角和定理可求解． 【详解】（1）∵， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：，； （2）①∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键． 22．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围； （2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）；（2），见解析；（3），见解析 【分析】（1）由已知得出，即为的一半，即可得出答案； （2）延长至点M，使，连接，可得，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论； （3）延长交于点G，根据平行和角平分线可证，也可证得，从而可得，即可得到结论． 【详解】解：（1）如图①，延长到点E，使，连接， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： 延长至点M，使，连接，如图②所示． 同（1）得：， ∴， ∵， ∴， 在中，由三角形的三边关系得： ， ∴； （3），理由如下： 如图③，延长交于点G， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ ． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系，作辅助线—倍长中线法、全等三角形的判定与性质，角的关系等知识点，所以本题的综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键． 23．（21-22八年级上·安徽六安·期末）（1）如图1，已知，为的平分线上一点．连接，，在不作辅助线的情况下，能作为的依据是_______（从，，，中选择一个填入）． （2）如图2，已知，，为的平分线上两点连接，，，；全等三角形的对数是_______； （3）如图3，已知，，，为的平分线上三点，连接，，，，，；全等三角形的对数是_______； （4）依此规律，第个图形中有全等三角形的对数是_______． 【答案】（1）SAS；（2）3；（3）6；（4） 【分析】（1）利用SAS判定△ABD≌△ACD即可； （2）由（1）知△ABD≌△ACD，利用SAS证△ABE≌△ACE，从而得到BD=CD，BE=CE，则可利用SSS证△BDE≌△CDE，即可得出答案； （3）由（2）知△ABD≌△ACD，△ABE≌△ACE，△BDE≌△CDE，再利用SAS证△ABF≌△ACF，利用SSS证△BDF≌△CDF，△BEF≌△CEF，即可得出答案； （4）由（1）（2）（3）总结出规律即可求解． 【详解】解：（1）∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD， 在△ABD和△ACD中， ， ∴△ABD≌△ACD（SAS）， 故答案为：SAS； （2）由（1）知△ABD≌△ACD， ∴BD=CD， 在△ABE和△ACE中， ， ∴△ABE≌△ACE， ∴BE=CE， 在△BDE和△CDE中， ， ∴△BDE≌△CDE， ∴全等三角形共有3个， 故答案为：3； （3）同理可得△ABD≌△ACD，△ABE≌△ACE，△BDE≌△CDE，△ABF≌△ACF，△BDF≌△CDF，△BEF≌△CEF，共有6对全等三角形， 故答案为：6； （4）第1个图有1对全等三角形， 第2个图有3=对全等三角形， 第3个图有6=对全等三角形， … 第x个图有对全等三角形， 故答案为：． 【点睛】本题词考查全等三角形的判定，图形找规律，熟练掌握全等三角形的判定理是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$