第15讲 平面直角坐标系 （5个知识点+5种经典题型+试题练习）-2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第15讲 平面直角坐标系 （5个知识点+5种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．点的坐标 （1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）． （2）平面直角坐标系的相关概念 ①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴． ②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴． （3）坐标平面的划分 建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限． （4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系． 【例1】（2023秋•南京期末）如图，在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为、，则点在此坐标系中的第 　　象限． 【变式】（2024春•定南县期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“龙沙点”． （1）点的“长距”为 　　； （2）若点是“龙沙点”，求的值； （3）若点的长距为4，且点在第二象限内，试说明点是“龙沙点”． 知识点2．坐标与图形性质 1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号． 2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律． 3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题． 【例2】（2024春•柳州期末）在平面直角坐标系中，有点，过点作轴，交轴于点，且，则点的坐标是 　　． 【变式】（2023秋•镇江期末）已知点，轴，且，则点的坐标是　　 A． B． C．或 D．或 知识点3．两点间的距离公式 两点间的距离公式： 设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝． 说明：求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式． 【例3】（2023春•郯城县期末）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是　　 A．1 B． C． D． 【变式】（2023秋•惠来县期末）在平面直角坐标系中，有，，三点． （1）当点在轴上时，点的坐标为 　　． （2）当点在轴上时，点的坐标为 　　． （3）当轴时，，两点间的距离为 　　． （4）当轴于点，且时，点的坐标为 　　． 知识点4．关于x轴、y轴对称的点的坐标 （1）关于x轴的对称点的坐标特点： 横坐标不变，纵坐标互为相反数． 即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． （2）关于y轴的对称点的坐标特点： 横坐标互为相反数，纵坐标不变． 即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． 【例4】（2024春•攸县期末）在平面直角坐标系中，若点关于轴对称的点的坐标为　　． 【变式】（2023秋•济南期末）在的网格中建立如图所示的直角坐标系，规定在网格内（包括边界）横，纵坐标都是整数的点称为格点，已知的三个顶点都是格点，直线经过点且平行轴，直线经过点且平行轴． （1）的顶点坐标分别是 　　， 　　， 　　； （2）与△关于轴对称，，，的对应点分别是，，，则 　　； （3）点是格点，且以点，，，为顶点的四边形是轴对称图形，则所有符合条件的点坐标为 　　． 知识点5．关于原点对称的点的坐标 关于原点对称的点的坐标特点 （1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）． （2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形． 注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标． 【例5】（2024•下陆区校级三模）若点，则点关于原点的对称点的坐标是　　 A． B． C． D． 【变式】（2022秋•未央区校级期中）已知点的坐标满足方程，求点分别关于轴，轴以及原点的对称点坐标． 经典题型汇编 题型一．点的坐标 1．（2024春•潮州期末）点在第三象限，若该点到轴的距离为3，到轴的距离为1，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•碑林区校级期末）已知点在第二象限，且到轴的距离与它到轴的距离相等，则　　． 3．（2024春•铁东区期末）【阅读材料】 平面直角坐标系中，点的横坐标的绝对值表示为，纵坐标的绝对值表示为，我们把点的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点的勾股值，记为，即（其中的“ “是四则运算中的加法），例如点的勾股值 【解决问题】 （1）求点，，的勾股值，； （2）若点在轴的上方，其横，纵坐标均为整数，且，请直接写出点的坐标． 题型二．坐标与图形性质 4．（2023秋•二七区期末）在平面直角坐标系中，轴，，若点，则点的坐标是　　 A． B．或 C． D．或 5．（2023秋•无锡期末）在平面直角坐标系中，点到点的距离是 　　． 6．（2024春•夏津县期末）如图，已知、、 （1）求点到轴的距离； （2）求的面积； （3）点在轴上，当的面积为6时，请直接写出点的坐标． 题型三．两点间的距离公式 7．（2024春•惠东县期中）点到原点的距离为　　 A．5 B．4 C．3 D． 8．（2023秋•宿迁期末），是平面直角坐标系中的两点，线段长度的最小值为 　　． 9．（2023秋•鹰潭期末）先阅读一段文字，再回答下列问题： 已知平面内两个点分别为，，，其两点间距离公式为．例如：点和的距离为．同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于轴或平行于轴时，两点间的距离公式可简化成：或． （1）已知、两点在平行于轴的直线上，点的纵坐标为5，点的纵坐标为2，则、两点的距离为 　　； （2）线段平行于轴，且，若点的坐标为，则点的坐标是 　　； （3）已知个顶点坐标为，，，请判断此三角形的形状，并说明理由． 题型四．关于x轴、y轴对称的点的坐标 10．（2023秋•浦江县期末）点关于轴的对称点是　　 A． B． C． D．． 11．（2024•洪山区校级二模）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则代数式的值为 　　． 12．（2023秋•青岛期末）在平面直角坐标系中，已知点． （1）若点在轴上，请直接写出点关于轴的对称点的坐标； （2）若点到两坐标轴的距离相等，求点的坐标． 题型五．关于原点对称的点的坐标 13．（2023秋•河东区期末）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是　　 A． B． C． D． 14．（2024春•连平县期末）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 　　． 15．（2022春•凤翔县期中）如果点在第二象限，那么点关于原点的对称点在第几象限？ 试题练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·云南保山·开学考试）若点在第四象限，则点所在象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（23-24八年级上·广东佛山·期中）已知点的位置在如图所示的直角坐标系，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）在平面直角坐标系的第四象限内有一点，到轴的距离为4，到轴的距离为6，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）已知点，轴，且，则B点坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 5．（23-24八年级上·四川自贡·开学考试）如果点在x轴上，那么点P的坐标是（　　） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，下列各点属于第一象限内的点是（    ）． A． B． C． D． 7．（20-21八年级·全国·假期作业）已知点到两坐标轴的距离相等，那么的值为（    ） A．4 B． C．或4 D．或 8．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）已知点 P 在第四象限，且到 x 轴的距离为 3，到 y 轴的距离为 2，则点 P 的坐标是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）在平面直角坐标系的第二象限内有一点M，点M到x轴距离为3，到原点距离为5，则点M的坐标是（　　） A． B． C． D． 10．（23-24八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，，一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿循环爬行，问第2025秒瓢虫在点（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 11．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，已知点A的坐标为，则点A到x轴的距离为 ． 12．（24-25八年级上·全国·课后作业）若点在第二象限，则点在第 象限 13．（23-24八年级上·广东梅州·期中）若第三象限内的点满足，则点P的坐标是 ． 14．（22-23八年级上·山东青岛·期中）已知点到轴的距离为5，到轴的距离为3，且在第四象限内，则点的坐标为 ． 15．（2023八年级上·全国·专题练习）设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳动1个单位，经过5次跳动质点落在点（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方案共有 种． 16．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是 ．    17．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）中，点，交轴于，交轴于．则的值为 ． 18．（24-25八年级上·全国·假期作业）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，点E的坐标为，其关于y轴对称的点F的坐标，则 ． 三、解答题 19．（24-25八年级上·全国·课后作业）已知第二象限内的点到轴的距离是3，到轴的距离是5，求点的坐标． 20．（23-24八年级上·广东梅州·期中）建立平面直角坐标系，在坐标系中描出下列各点，并写出各点所在的象限或坐标轴．． 21．（24-25八年级上·全国·课后作业）已知平面直角坐标系中有两个点，若直线轴，且，求m、n的值． 22．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）在平面直角坐标系中，有点，． (1)当点在第二象限的角平分线上时，求的值： (2)当点和点关于轴对称，求点所在的象限位置． 23．（23-24八年级上·四川绵阳·开学考试）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点M在y轴上，求m的值； (2)若点M到y轴的距离是3，求m的值； (3)若点M在第一、三象限的角平分线上，求m的值． 24．（23-24八年级上·陕西渭南·期中）已知点． (1)若点P在x轴上，求m的值； (2)若点P在第二象限，且点P到x轴的距离是到y轴距离的2倍，求点P的坐标． 25．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）在数学活动课中，小刚在平面直角坐标系中设计了如图所示的图案，该图案由3种等腰直角三角形构成，设最小的等腰直角三角形的斜边长为1，最大的等腰直角三角形的顶点位于x轴上，依次为． (1)的坐标为 ，的坐标为 ，的坐标为 ． (2)若用此图案装修学校的围墙（只装一层），制作如图所示的3种等腰直角三角形墙砖，最小的等腰直角三角形的斜边长为1m，围墙总长为2026m按照图中的排列方式，则3种墙砖各需要多少块？ 26．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图1，、，且、满足． (1)点坐标：______；点坐标：______； (2)若，连接，过点作，且，连接交轴于点，则的面积为______； (3)如图2，若点是的中点，点是轴正半轴上一点，点在轴正半轴上，若，若，求点的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 平面直角坐标系 （5个知识点+5种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．点的坐标 （1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）． （2）平面直角坐标系的相关概念 ①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴． ②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴． （3）坐标平面的划分 建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限． （4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系． 【例1】（2023秋•南京期末）如图，在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为、，则点在此坐标系中的第 　四　象限． 【分析】根据题意可得：，，从而可得，，然后根据平面直角坐标系中第四象限点的坐标特征即可解答． 【解答】解：、两点的坐标分别为、， ，， ，， 点在此坐标系中的第四象限， 故答案为：四． 【点评】本题考查了点的坐标，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【变式】（2024春•定南县期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“龙沙点”． （1）点的“长距”为 　4　； （2）若点是“龙沙点”，求的值； （3）若点的长距为4，且点在第二象限内，试说明点是“龙沙点”． 【分析】（1）根据“长距“的定义解答即可； （2）根据“龙沙点”的定义解答即可； （3）由“长距“的定义求出的值，然后根据“龙沙点”的定义求解即可． 【解答】解：（1）根据题意，得点到轴的距离为4，到轴的距离为1， 点的“长距“为4． 故答案为：4； （2）点是“龙沙点”， ， 或， 解得或； （3）点的长距为4，且点在第二象限内， ， 解得， ， 点的坐标为， 点到轴、轴的距离都是5， 是“龙沙点”． 【点评】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里定义． 知识点2．坐标与图形性质 1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号． 2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律． 3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题． 【例2】（2024春•柳州期末）在平面直角坐标系中，有点，过点作轴，交轴于点，且，则点的坐标是 　、　． 【分析】由点，及轴且，可得点的纵坐标的绝对值，从而可得的值，再求得的值即可得出答案． 【解答】解：点，轴，， ， ， 当时，；当时，． 点的坐标是、． 故答案为：、． 【点评】本题考查了平面直角坐标系中的坐标与图形性质，熟练掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点是解题的关键． 【变式】（2023秋•镇江期末）已知点，轴，且，则点的坐标是　　 A． B． C．或 D．或 【分析】根据，轴，可求得点的横坐标，再根据，即可求得点的纵坐标． 【解答】解：，轴， 点的横坐标是， ， 点的纵坐标是或0， 点的坐标是或， 故选：． 【点评】本题考查了坐标与图形性质，掌握轴，纵坐标相等是解题的关键． 知识点3．两点间的距离公式 两点间的距离公式： 设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝． 说明：求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式． 【例3】（2023春•郯城县期末）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是　　 A．1 B． C． D． 【分析】求出1与2的平方和的算术平方根即可． 【解答】解：点到原点的距离是． 故选：． 【点评】本题主要考查了点到原点的距离求法：一个点横坐标与纵坐标平方和的算术平方根即为此点到原点的距离． 【变式】（2023秋•惠来县期末）在平面直角坐标系中，有，，三点． （1）当点在轴上时，点的坐标为 　　． （2）当点在轴上时，点的坐标为 　　． （3）当轴时，，两点间的距离为 　　． （4）当轴于点，且时，点的坐标为 　　． 【分析】（1）利用轴上点的坐标特征得到，求出得到点坐标； （2）利用轴上点的坐标特征得到，求出得到点坐标； （3）利用与轴平行的直线上点的坐标特征得到，求出得到、点的坐标，然后计算两点之间的距离； （4）利用垂直于轴的直线上点的坐标特征得到，然后求出得到点坐标． 【解答】解：（1）点在轴上， ，解得， 点坐标为； （2）点在轴上， ，解得， 点坐标为； （3）轴， 、点的纵坐标相同， ，解得， ，， ，两点间的距离； （4）轴，， ，解得， 点坐标为或． 故答案为：（1）；（2）；（3）4；（4）或． 【点评】本题考查两点间的距离公式：设有两点，，，，则这两点间的距离为．也考查了坐标轴上点的坐标特征． 知识点4．关于x轴、y轴对称的点的坐标 （1）关于x轴的对称点的坐标特点： 横坐标不变，纵坐标互为相反数． 即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． （2）关于y轴的对称点的坐标特点： 横坐标互为相反数，纵坐标不变． 即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． 【例4】（2024春•攸县期末）在平面直角坐标系中，若点关于轴对称的点的坐标为　　． 【分析】根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变；即点关于轴的对称点的坐标是即可得到点关于轴对称的点的坐标． 【解答】解：点关于轴的对称点的坐标是， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了关于轴、轴对称的点的坐标规律，比较容易，关键是熟记规律：（1）关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．（2）关于轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变． 【变式】（2023秋•济南期末）在的网格中建立如图所示的直角坐标系，规定在网格内（包括边界）横，纵坐标都是整数的点称为格点，已知的三个顶点都是格点，直线经过点且平行轴，直线经过点且平行轴． （1）的顶点坐标分别是 　2，4　， 　　， 　　； （2）与△关于轴对称，，，的对应点分别是，，，则 　　； （3）点是格点，且以点，，，为顶点的四边形是轴对称图形，则所有符合条件的点坐标为 　　． 【分析】（1）根据点的位置写出坐标即可； （2）利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，，即可得出点坐标； （3）根据轴对称图形的定义，画出图形即可． 【解答】解：（1）由图可得，，，， 故答案为：2，4；5，2；3，； （2）如图1中，， 故答案为：3，1； （3）以点，，，为顶点的四边形是轴对称图形，则坐标为或， 故答案为：或； 【点评】本题考查作图坐标与图形的变化，等腰直角三角形的性质，轴对称图形等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． 知识点5．关于原点对称的点的坐标 关于原点对称的点的坐标特点 （1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）． （2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形． 注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标． 【例5】（2024•下陆区校级三模）若点，则点关于原点的对称点的坐标是　　 A． B． C． D． 【分析】根据关于原点对称的点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，进行求解即可． 【解答】解：点关于原点的对称点的坐标是； 故选：． 【点评】本题考查求关于原点对称的点的坐标．熟练掌握关于原点对称的点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数是解题的关键． 【变式】（2022秋•未央区校级期中）已知点的坐标满足方程，求点分别关于轴，轴以及原点的对称点坐标． 【分析】根据关于原点对称的点横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案． 【解答】解：由题意，得 ，， 解得，， 点的坐标为， 点关于轴，轴以及原点的对称点坐标分别为，，． 【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数是解题关键． 经典题型汇编 题型一．点的坐标 1．（2024春•潮州期末）点在第三象限，若该点到轴的距离为3，到轴的距离为1，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 【分析】根据点的坐标的几何意义及第三象限点的坐标特点解答即可． 【解答】解：到轴的距离为3，到轴的距离为1， 点的纵坐标是，横坐标是， 又第三象限内的点横坐标小于0，纵坐标小于0， 点的横坐标是，纵坐标是． 故点的坐标为． 故选：． 【点评】本题主要考查了点的坐标的几何意义：横坐标的绝对值就是到轴的距离，纵坐标的绝对值就是到轴的距离． 2．（2023秋•碑林区校级期末）已知点在第二象限，且到轴的距离与它到轴的距离相等，则　　． 【分析】根据点在第二象限可知，，再由到轴的距离与它到轴的距离相等可得出关于的方程，求出的值即可． 【解答】解：点在第二象限， ，， 到轴的距离与它到轴的距离相等， ， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查的是点的坐标，熟知第二象限内点的坐标特点是解题的关键． 3．（2024春•铁东区期末）【阅读材料】 平面直角坐标系中，点的横坐标的绝对值表示为，纵坐标的绝对值表示为，我们把点的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点的勾股值，记为，即（其中的“ “是四则运算中的加法），例如点的勾股值 【解决问题】 （1）求点，，的勾股值，； （2）若点在轴的上方，其横，纵坐标均为整数，且，请直接写出点的坐标． 【分析】（1）根据题意可以求得勾股值，； （2）根据题意可知，然后根据，即可求得点的坐标． 【解答】解：（1）点，，， ，； （2）点在轴的上方，其横，纵坐标均为整数，且， 时，或，或时，， 点的坐标为、、、、． 【点评】本题考查点的坐标，解答本题的关键是明确题意，求出相应的点的坐标． 题型二．坐标与图形性质 4．（2023秋•二七区期末）在平面直角坐标系中，轴，，若点，则点的坐标是　　 A． B．或 C． D．或 【分析】在平面直角坐标系中与轴平行，则它上面的点纵坐标相同，可求点纵坐标；与轴平行，相当于点左右平移，可求点横坐标． 【解答】解：轴， 点纵坐标与点纵坐标相同，为， 又，可能右移，横坐标为；可能左移横坐标为， 点坐标为或， 故选：． 【点评】此题考查平面直角坐标系中平行特点和平移时坐标变化规律，还渗透了分类讨论思想． 5．（2023秋•无锡期末）在平面直角坐标系中，点到点的距离是 　5　． 【分析】根据点和点，可以发现这两点都在直线上，然后即可得到这两点的距离为，再计算即可． 【解答】解：点到点， ， 故答案为：5． 【点评】本题考查坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题意，发现这两点都在直线上． 6．（2024春•夏津县期末）如图，已知、、 （1）求点到轴的距离； （2）求的面积； （3）点在轴上，当的面积为6时，请直接写出点的坐标． 【分析】（1）点的纵坐标的绝对值就是点到轴的距离解答； （2）根据三角形的面积公式列式进行计算即可求解； （3）设点的坐标为，根据的面积为6，、，所以，即，所以或，即可解答． 【解答】解：（1）， ， 点到轴的距离为3； （2）、、 ，点到边的距离为：， 的面积为：． （3）设点的坐标为， 的面积为6，、， ， ， 或， 点的坐标为或． 【点评】本题考查了坐标与图形，解决本题的关键是利用数形结合的思想． 题型三．两点间的距离公式 7．（2024春•惠东县期中）点到原点的距离为　　 A．5 B．4 C．3 D． 【分析】直接根据两点间的距离公式求解． 【解答】解：， 即点到原点的距离为5． 故选：． 【点评】本题考查了两点间的距离公式：设有两点，，，，则这两点间的距离为．求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式． 8．（2023秋•宿迁期末），是平面直角坐标系中的两点，线段长度的最小值为 　3　． 【分析】由得在轴上，故若线段的长度最小，垂线段最短，那么当轴时，线段长度最小，即． 【解答】解：如图． ， 在轴上． 线段的长度为点到轴上点的距离． 若使得线段长度的最小，由垂线段最短， 当在时，即轴，线段长度最小． ． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查平直角坐标系点的坐标以及垂线段最短，熟练掌握垂线段最短是解题的关键． 9．（2023秋•鹰潭期末）先阅读一段文字，再回答下列问题： 已知平面内两个点分别为，，，其两点间距离公式为．例如：点和的距离为．同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于轴或平行于轴时，两点间的距离公式可简化成：或． （1）已知、两点在平行于轴的直线上，点的纵坐标为5，点的纵坐标为2，则、两点的距离为 　3　； （2）线段平行于轴，且，若点的坐标为，则点的坐标是 　　； （3）已知个顶点坐标为，，，请判断此三角形的形状，并说明理由． 【分析】（1）根据平行于轴的直线横坐标相同，利用两点间的距离公式求出、两点的距离即可； （2）根据平行于轴的直线坐标轴相同，由的长，以及的坐标，确定出的坐标即可； （3）利用两点间的距离公式求出三边长，即可作出判断． 【解答】解：（1）设，， 则； 故答案为：3； （2）设， ，， ， 解得：或， 则或； 故答案为：或； （3），，， ，，， ，且， 则为等腰直角三角形． 【点评】此题考查了两点间的距离公式，熟练掌握两点间的距离公式是解本题的关键． 题型四．关于x轴、y轴对称的点的坐标 10．（2023秋•浦江县期末）点关于轴的对称点是　　 A． B． C． D．． 【分析】关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数． 【解答】解：关于轴的对称点为， 故选：． 【点评】此题主要考查了关于轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律． 11．（2024•洪山区校级二模）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则代数式的值为 　10　． 【分析】直接利用关于轴对称的性质得出关于，的方程组进而得出，的值，即可得出答案． 【解答】解：点与点关于轴对称， ，， 解得：， ， 故答案为：10． 【点评】此题主要考查了关于轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 12．（2023秋•青岛期末）在平面直角坐标系中，已知点． （1）若点在轴上，请直接写出点关于轴的对称点的坐标； （2）若点到两坐标轴的距离相等，求点的坐标． 【分析】（1）由题意可得，求出的值，进而可得出结论； （2）由题意可得，求出的值即可求点坐标． 【解答】解：（1）点在轴上， ， ， ， 点关于轴的对称点的坐标为； （2）点到两坐标轴的距离相等， ， 或， 或， ，或． 【点评】本题考查平面内点的坐标，熟练掌握平面内点的坐标特点是解题的关键． 题型五．关于原点对称的点的坐标 13．（2023秋•河东区期末）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是　　 A． B． C． D． 【分析】两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．由此可求点关于原点对称的点的坐标． 【解答】解：点， 点关于原点对称的点为， 故选：． 【点评】本题考查关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特点是解题的关键． 14．（2024春•连平县期末）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 　　． 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案． 【解答】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 15．（2022春•凤翔县期中）如果点在第二象限，那么点关于原点的对称点在第几象限？ 【分析】首先根据第二象限内点的坐标特点可得，，进而可得，由此可判断出点在第三象限，再由关于原点对称的点的坐标特点可知在第一象限． 【解答】解：点在第二象限， ，， ， 点在第三象限， 点与点关于原点对称， 点在第一象限． 【点评】此题主要考查了每一个象限内点的坐标特点，以及原点对称的点的坐标特点，关键是掌握关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反． 试题练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·云南保山·开学考试）若点在第四象限，则点所在象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数判断出、的正负情况，再求解即可． 【详解】解：点在第四象限， ，， ， 点所在象限是第三象限． 故选：C． 2．（23-24八年级上·广东佛山·期中）已知点的位置在如图所示的直角坐标系，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了点的坐标，直接根据平面直角坐标系点的位置得出答案． 【详解】解：由平面直角坐标系可知，点的坐标为， 故选：D． 3．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）在平面直角坐标系的第四象限内有一点，到轴的距离为4，到轴的距离为6，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查平面直角坐标系中的点到坐标轴的距离，象限内点的坐标的符号特点等，其中要牢记第四象限内的点的坐标符号特点为，．根据点到坐标轴的距离及点所在的象限解答即可． 【详解】解：设点的坐标为，， ∵到轴的距离为， ∴， ∴， ∵到轴的距离为， ∴， ∴， ∵点在第四象限内， ∴，， ∴，， 即点的坐标为,． 故选：． 4．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）已知点，轴，且，则B点坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由平行于x轴可知，A、B两点纵坐标相等，再根据线段的长为5，B点可能在A点的左边或右边，分别求B点坐标． 【详解】解：∵轴， ∴A、B两点纵坐标相等，都是4， 又∵A的坐标是，线段的长为5， ∴当B点在A点左边时，B的坐标为， 当B点在A点右边时，B的坐标为． 故B点坐标是：或． 故选：D． 【点睛】本题考查了与坐标轴平行的平行线上点的坐标特点及分类讨论的解题思想． 5．（23-24八年级上·四川自贡·开学考试）如果点在x轴上，那么点P的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标，根据x轴上点的纵坐标为0列方程求出m的值，再求解即可． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴， 解得， ∴， ∴点P的坐标为． 故选：C． 6．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，下列各点属于第一象限内的点是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了各象限中点的坐标特征，根据各象限中点的坐标特征即可判断求解，熟练掌握各象限中点的坐标的特征是解题的关键． 【详解】解：∵第一象限内的点的横纵坐标都为正数， ∴点符合要求， 故选：． 7．（20-21八年级·全国·假期作业）已知点到两坐标轴的距离相等，那么的值为（    ） A．4 B． C．或4 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离与坐标的关系，解答本题的关键在于得出，注意不要漏解． 由点到两坐标轴的距离相等可得出，求出a的值即可． 【详解】解：∵点到两坐标轴的距离相等， ∴ ∴， ∴或． 故选C． 8．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）已知点 P 在第四象限，且到 x 轴的距离为 3，到 y 轴的距离为 2，则点 P 的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标，熟记点到轴的距离等于纵坐标的长度，到轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键．根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数以及点到轴的距离等于纵坐标的长度，到轴的距离等于横坐标的长度解答． 【详解】解：点在第四象限，且到轴的距离为3，到轴的距离为2， 点的横坐标是2，纵坐标是， 点的坐标是． 故选：D 9．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）在平面直角坐标系的第二象限内有一点M，点M到x轴距离为3，到原点距离为5，则点M的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查第二象限坐标的特点、勾股定理、以及点到坐标轴的距离，熟记点的坐标特征是解题关键．根据题意画出图形，利用勾股定理算出，再根据横坐标的绝对值就是到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是到x轴的距离，即可得到点M的坐标． 【详解】解：由题意画图如下： 轴于点，连接， 点M到x轴距离为3，到原点距离为5， ，， ， 的坐标是． 故选：C． 10．（23-24八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，，一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿循环爬行，问第2025秒瓢虫在点（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查点的坐标，先根据点的坐标求出一圈的长度，再计算爬行一圈所需要是时间，再求整个周期剩下的时间即可得出结论． 【详解】解：∵ ∴， ， ∴瓢虫7秒爬行一圈， ∵， ， ， ∴第2025秒瓢虫在点， 故选：D． 二、填空题 11．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，已知点A的坐标为，则点A到x轴的距离为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离．根据点到轴的距离为点的纵坐标的绝对值解答． 【详解】解：点的坐标为，则点到轴的距离为． 故答案为：3． 12．（24-25八年级上·全国·课后作业）若点在第二象限，则点在第 象限 【答案】一或四/四或一 【分析】本题考查了平面直角系四个象限点坐标的特点，熟练掌握每个象限点坐标的特点是做题的关键． 由点所在象限，推出点横纵坐标的正负性，结合绝对值的定义，推出点坐标所在的象限． 【详解】点在第二象限 ， 当时，或 所以点可能在第一象限，也可能在第四象限． 故答案为：一或四． 13．（23-24八年级上·广东梅州·期中）若第三象限内的点满足，则点P的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的立方根，算术平方根，各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．先求的值，再根据各象限内点的坐标的符号特征，可得答案． 【详解】解：∵为第三象限内的点， ∴， ∵， ∴， ∴点P的坐标为． 故答案为：． 14．（22-23八年级上·山东青岛·期中）已知点到轴的距离为5，到轴的距离为3，且在第四象限内，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，根据第四象限内的点的坐标第四象限；点到轴的距离是纵坐标的绝对值，到轴的距离是横坐标，可得答案，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 【详解】解：到轴的距离为5，到轴距离为3，且在第四象限内，则点的坐标为， 故答案为：． 15．（2023八年级上·全国·专题练习）设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳动1个单位，经过5次跳动质点落在点（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方案共有 种． 【答案】5 【分析】本题考查了平面直角坐标系的点的特征：向正方向跳动1个单位，横坐标加1；向负方向跳动1个单位，横坐标减1；要注意“经过5次跳动质点落在点（允许重复过此点）”这个条件，进行充分的分类讨论，据此即可作答． 【详解】解：共有如下方案： ①可先向负方向跳动一次再连续向正方向跳动4次； ②向正方向跳动1次，再向负方向跳动1次，再向正方向跳动3次； ③向正方向跳动2次后，再向负方向跳动1次，再向正方向跳动2次； ④向正方向跳动3次后，再向负方向跳动1次，再向正方向跳动1次； ⑤向正方向跳动4次后，再向负方向跳动1次． ∴质点不同的运动方案共有5种． 故答案为：5 16．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系，根据平面直角坐标系中点的表示方法求解即可． 【详解】如图所示，    过点分别作轴与轴的垂线，垂足分别为和，垂足在轴上所表示的数为，垂足在轴上所表示的数是，所以，点的横坐标是，纵坐标是，点的坐标为． 故答案为： 17．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）中，点，交轴于，交轴于．则的值为 ． 【答案】4 【分析】此题主要考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质等知识，可以过点C分别作x轴与y轴的垂线，垂足分别为，则，，证明，得到，，从而得解． 【详解】解：过点C分别作x轴与y轴的垂线，垂足分别为， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴ 故答案为：4． 18．（24-25八年级上·全国·假期作业）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，点E的坐标为，其关于y轴对称的点F的坐标，则 ． 【答案】 【分析】本题考查点的坐标规律、代数式求值，利用关于y轴对称的点纵坐标相同，可得，即可求出答案． 【详解】解：∵点E的坐标为，其关于y轴对称的点F的坐标， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题 19．（24-25八年级上·全国·课后作业）已知第二象限内的点到轴的距离是3，到轴的距离是5，求点的坐标． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中的点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中的点的坐标特征是解题关键．在直角坐标系中，点到轴的距离等于其纵坐标的绝对值，到轴的距离等于其横坐标的绝对值；在第二象限，横坐标为负数，纵坐标为正数．根据坐标的表示方法，由点到轴的距离是3，到轴的距离是5，且它在第二象限内，即可得到点的坐标． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴点的横坐标为负，纵坐标为正， 又∵点到轴的距离是3，到轴的距离是5， ∴点的坐标为． 20．（23-24八年级上·广东梅州·期中）建立平面直角坐标系，在坐标系中描出下列各点，并写出各点所在的象限或坐标轴．． 【答案】描点见解析，在第一象限；在第一象限；在第二象限；在第三象限；在轴上；在轴上 【分析】本题考查图形与坐标，先将各点在平面直角坐标系中标出，再由各象限及坐标轴上点的坐标特征判定即可得到答案，熟练掌握图形与坐标相关知识是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示：   ； 在第一象限；在第一象限；在第二象限；在第三象限；在轴上；在轴上． 21．（24-25八年级上·全国·课后作业）已知平面直角坐标系中有两个点，若直线轴，且，求m、n的值． 【答案】m的值为2，n的值为7或． 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，根据直线轴，可得，再由，可得，即可求解． 【详解】解：直线轴， ∴点与点的连线垂直于x轴， 即． 又， ， 解得或． 故m的值为2，n的值为7或． 22．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）在平面直角坐标系中，有点，． (1)当点在第二象限的角平分线上时，求的值： (2)当点和点关于轴对称，求点所在的象限位置． 【答案】(1) (2)点在第一象限 【分析】（1）根据第二象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标互为相反数列方程求解即可； （2）根据关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，求出、的值，即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得：； （2）解：由题意可得：， 解得：， ∴， 故点在第一象限． 【点睛】本题考查了点的坐标，掌握第二象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标互为相反数是解答本题的关键． 23．（23-24八年级上·四川绵阳·开学考试）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点M在y轴上，求m的值； (2)若点M到y轴的距离是3，求m的值； (3)若点M在第一、三象限的角平分线上，求m的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】此题考查了解一元一次方程组，以及点的坐标，弄清题意是解本题的关键． （1）由点M在y轴上，得到横坐标为0，求出m的值即可； （2）根据M到y轴的距离为3，得到横坐标的绝对值为3，求出m的值即可； （3）根据M在第一、三象限的角平分线上，得到M横纵坐标相等，求出m的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴，即或， 解得：或； （3）解：∵在第一、三象限的角平分线上， ∴， 解得：． 24．（23-24八年级上·陕西渭南·期中）已知点． (1)若点P在x轴上，求m的值； (2)若点P在第二象限，且点P到x轴的距离是到y轴距离的2倍，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为 【分析】此题主要考查了点的坐标，正确掌握平面内点的坐标特点，能够正确分类讨论是解题的关键． （1）直接利用轴上点的坐标特点得出，进而得出答案； （2）直接利用点到两坐标轴的距离关系得出等式求出答案． 【详解】（1）解：∵点在轴上， 解得：； （2）∵点到轴的距离是到轴距离的2倍， ∴或， 解得：或， ∵点P在第二象限， ∴点P的坐标为． 25．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）在数学活动课中，小刚在平面直角坐标系中设计了如图所示的图案，该图案由3种等腰直角三角形构成，设最小的等腰直角三角形的斜边长为1，最大的等腰直角三角形的顶点位于x轴上，依次为． (1)的坐标为 ，的坐标为 ，的坐标为 ． (2)若用此图案装修学校的围墙（只装一层），制作如图所示的3种等腰直角三角形墙砖，最小的等腰直角三角形的斜边长为1m，围墙总长为2026m按照图中的排列方式，则3种墙砖各需要多少块？ 【答案】(1)；； (2)大号墙砖需要675块，中号墙砖需要1350块，小号墙砖需要2704块 【分析】本题考查了勾股定理的应用： （1）根据条件分别写出的坐标，找出规律，进而得到，的坐标； （2）根据图形复现，墙砖每3个单位长度循环一次，在每一个循环周期内，需要大号墙砖1块，中号墙砖2块，小号墙砖4块，再用2026除以4即可求解； 准确识别图形，得到循环规律是解题的关键． 【详解】（1）解：∵最小的等腰直角三角形的斜边长为1， ∴中间大的等腰直角三角形的直角边为1， ∴， 由图可得， 由规律可得， 故答案为：；；； （2）解：由题图可知，图案每3m重复一次， ∵， ∴一共循环了次，还余下1m，多出来的1m是四块小号的墙砖， ∴大号墙砖需要675块， 中号墙砖需要（块）， 小号墙砖需要（块）， ∴大号墙砖需要675块，中号墙砖需要1350块，小号墙砖需要2704块． 26．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图1，、，且、满足． (1)点坐标：______；点坐标：______； (2)若，连接，过点作，且，连接交轴于点，则的面积为______； (3)如图2，若点是的中点，点是轴正半轴上一点，点在轴正半轴上，若，若，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)10 (3)点E的坐标为 【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的综合，绝对值的非负性，二次根式有意义的条件，垂直平分线的性质，准确作出辅助线是解题关键． （1）已知、满足，根据非负数的性质可以求得a、b的值； （2）作轴于点F，则，根据全等三角形的判定定理可得，然后根据对应关系求出对应边的长度，从而可以求得点E的坐标，再用全等三角形的判定定理证明，从而求得的长度，最后用三角形的面积公式进行计算即可； （3）作交y轴于点G，连接，根据全等三角形的判定定理依次证明、，得出，即可写出点E的坐标． 【详解】（1）解：、满足， ， 解得， 点的坐标为，B点的坐标为， 故答案为：，； （2）如图所示：作轴于点F，则， ，垂足为B，且， ， ， ， ， ， 点E的坐标为， 在和中，，， ， ， ， ， 故答案为：10； （3）作交y轴于点G，连接， 在，点M为的中点， 为线段的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， 为公共边， ， ， ， , 点E的坐标为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$