21.4 第3课时 二次函数应用中的其他问题（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年九年级数学上册同步备课（沪科版）

第3课时 二次函数应用中的其他问题 第21章 二次函数与反比例函数 21.4 二次函数的应用 优翼数学教学课件（HK）九上 情境引入 行驶中的汽车，在制动后由于惯性，还要继续向前滑行一段距离才能停止，在此运动中存在着许多与数学知识有关的实际问题.那么何时急刹车，才能避免追尾呢？ 导入新课 引例：行驶中的汽车，在制动后由于惯性，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“制动距离”.为了解某型号汽车的制动性能，对其进行了测试，测得数据如下表： 建立二次函数模型解决实际问题 制动时车速 (km/h) 0 10 20 30 40 50 制动距离 (m) 0 0.3 1.0 2.1 3.6 5.5 有一辆该型号的汽车在公路上发生了交通事故，现场测得制动距离为 46.5 m，试问事故发生时车速是多少？是否因超速(该段公路限速为110 km/h)行驶导致了交通事故？ 新课讲授 【分析】 要解答这个问题，就是要解决在知道了制动距离时，如何求得相应的制动时的车速. 题中给出了几组制动距离与制动时车速之间的关联数据，为此，求出制动距离与制动时车速的函数关系式是解答本题的关键. 解：以制动时车速的数据为横坐标 (x 值)、制动距离的数据为纵坐标 (y 值)，在平面直角坐标系中，描出各组数据对应的点，并用平滑的曲线连起来，如图. 10 O 3 6 x y 50 40 30 20 观察图中描出的这些点的整体分布，它们基本上都是在一条抛物线附近，因此，y 与 x 之间的关系可以近似地以二次函数来模拟，故可设 y = ax² + bx + c. 任选三组数据，代入函数表达式，得 解得 即所求二次函数表达式为 y = 0.002x² + 0.01x (x≥0). 10 O 3 6 x y 50 40 30 20 把 y = 46.5 m 代入上式，得 答：制动时车速为 150 km/h (大于 110 km/h)，即在事故发生时，该汽车属超速行驶. 解得 46.5 = 0.002x² + 0.01x. x1= -155 (舍去)，x2 = 150 (km/h) . 对于函数关系类型不明确的两个变量，通常取一组对应数据转化为坐标，在坐标系中描点、连线，并观察点的整体分布情况（如直线型，双曲线型，抛物线型等），从而确定函数类型，再用待定系数法求相应的函数关系式. 总结归纳 (2) 假设果园增种 x 棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？ (3) 如果该果园橙子的总产量为 y 个，那么请你写出 y 与 x 之间的关系式. y = (100 + x)(600 - 5x) = -5x² + 100x + 60000. 例1 某果园有 100 棵橙子树,每一棵树平均结 600 个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少. 根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结 5 个橙子. (1) 问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？ 变量是橙子树棵数和橙子个数. 前者是自变量，后者是因变量 (100 + x) 棵 (600 - 5x) 个 在上述问题中，增种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？ x/棵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 y/个 你能根据表格中的数据作出猜测吗？ y = -5x² + 100x + 60000 2. 利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系. 何时橙子总产量最大 1. 利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系. 3. 增种多少棵树，可以使橙子的总产量在 60400 个以上? (x 为正整数). 由 y ＞ 60400，得 -5(x - 10)² + 60500＞60400， ∴ 增种 6 到 14 棵树可使橙子的总产量在 60400 个以上. 解函数应用题的步骤： 设未知数 (确定自变量和因变量)； 找等量关系，列出函数关系式； 化简，整理成标准形式 (一次函数、二次函数等)； 求出自变量的取值范围； 利用函数知识求解 (如求最值等)； 写出结论. 总结归纳 营销问题 某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件，已知商品的进价为每件 40 元，则每星期销售额是 元，销售利润是 元. 探究交流 18000 6000 数量关系 （1）销售额 = 单价×销售量； （2）利润 = 销售额 - 总成本 = 单件利润×销售量； （3）单件利润 = 销售单价 - 进价. 12 例2 某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件．市场调查反映：每涨价 1 元，每星期少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件．已知该商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？ 涨价销售 ①设每件涨价 x 元，每星期获得的利润为 y 元，填空： 单件利润 (元) 销售量 (件) 每星期利润 (元) 正常销售 涨价销售 20 300 20 + x 300 - 10x (20 + x)(300 - 10x) 则 y = (20 + x)(300 - 10x) = -10x2 + 100x + 6000. 6000 13 ②自变量 x 的取值范围如何确定？ 营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故 300 - 10x≥0，且 x≥0，因此自变量的取值范围是 0≤x≤30. ③涨价多少元时，利润最大？最大利润是多少？ y = -10x2 + 100x + 6000， 当 时，y = -10×52 +100×5+6000 = 6250. 即涨价 5 元时利润最大，最大利润是 6250 元. 14 降价销售 ①设每件降价 x 元，每星期获得的利润为 y 元，填空： 单件利润(元) 销售量(件) 每星期利润(元) 正常销售 降价销售 20 300 (20 − x) (300 + 20x) (20 − x)(300 + 20x) 所得利润 y = (20 − x)(300 + 20x) = −20x2 + 100x + 6000. 6000 综上可知，定价 65 元时利润最大，最大利润是 6250 元. ②自变量 x 的取值范围如何确定？ 营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故 20 − x≥0，且 x≥0，因此自变量的取值范围是 0≤x≤20. ③降价多少元时，利润最大？最大利润是多少？ 当 时， 即降价 2.5 元时，最大利润是 6125 元. y = −20x2 + 100x + 6000， 由(1)(2)的讨论及现在的销售情况，你知道应该如何定价能使利润最大了吗? 例3 某网络玩具店引进一批进价为 20 元/件的玩具，如果以单价 30 元出售，那么一个月内售出 180 件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨 1 元，月销售量将相应减少 10 件．当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？ ①设每件商品的销售单价上涨 x 元，一个月内获取的商品总利润为 y 元，填空： 单件利润（元） 销售量（件） 每月利润（元） 正常销售 涨价销售 10 180 10 + x 180 - 10x (10 + x)(180 - 10x) 1800 建立函数关系式 y = (10 + x)(180 - 10x) = -10x2 + 80x + 1800. 营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故 180 - 10x≥0，因此自变量的取值范围是 x≤18. ③定价为多少元时，利润最大？最大利润是多少？ y = -10x2 + 80x + 1800 = -10(x - 4)2 + 1960 (x≤18). 当 x = 4，即销售单价定为 34 元时，y 取最大值 1960. 答：当销售单价为 34 元时，该店在一个月内能获得最 大利润 1960 元. ②自变量 x 的取值范围如何确定？ 知识要点 求解最大利润问题的一般步骤 (1) 建立利润与价格之间的函数关系式： “总利润 = 总售价 - 总成本”或“总利润 = 单件利润×销售量”； (2) 结合实际意义，确定自变量的取值范围； (3) 在自变量的取值范围内确定最大利润： 可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出 函数的简图，利用简图和增减性求出. 20 y = (160 + 10x)(120 - 6x) 某旅馆有客房 120 间，每间房的日租金为 160 元，每天都客满．经市场调查，若一间客房日租金每增加 10 元，则客房每天少出租 6 间．不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？ 解：设每间客房的日租金提高 10x 元，则每天客房出租数减少 6x 间，则有 练一练 =－60(x－2)2 + 19440. ∵ x≥0，且 120－6x＞0， ∴ 0≤x＜20. 当 x = 2 时，y 有最大值，且 y最大 = 19440. 答：每间客房的日租金提高到 180 元时，客房日租金的总收入最高，最高收入为 19440 元. 这时每间客房的日租金为 160 + 10×2 = 180 (元). 1. 某种商品每件的进价为 20 元，调查表明：在某段时间内若以每件 x 元 (20≤x≤30) 出售，可卖出 (600－20x) 件，为使利润最大，则每件售价应定为 元. 25 当堂练习 23 2. 一工艺师生产的某种产品按质量分为 9 个档次. 第 1 档次（最低档次）的产品一天能生产 80 件，每件可获利润 12 元. 产品每提高一个档次，每件产品的利润增加 2 元，但一天产量减少 4 件. 如果只从生产利润这一角度考虑，他生产哪个档次的产品，可获得最大利润？ 解：设生产第 x 档次的产品时，每天获得的利润为 w 元， 则 w = [12 + 2(x－1)][80－4(x－1)] = (10 + 2x)(84－4x) =－8x2 + 128x + 840 =－8(x－8)2 + 1352. 当 x = 8 时，w 有最大值，且 w最大 = 1352. 答：该工艺师生产第 8 档次产品，可使利润最大， 最大利润为 1352 元. x y 5 16 O 7 3. 某种商品每天的销售利润 y (元) 与销售单价 x (元) 之间满足关系：y = ax2 + bx - 75，其图象如图. (1) 销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 解：由题图可求得 y = -x2 + 20x - 75. ∵ -1<0，对称轴 x = 10， ∴ 当 x = 10 时，y 值最大，最大值为 25.即销售单价定为 10 元时，销售利润最大，最大利润为 25 元. 26 (2) 销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于 16 元？ 解：由对称性知 y = 16 时，x1 = 7 和 x2 = 13. 故销售单价在 7 元到 13 元之间（含 7 元和 13 元）时，利润不低于 16 元. 4. 某化工材料经销公司购进了一种化工原料共 7000 千克，购进价格为每千克 30 元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克 70 元，也不得低于 30 元.市场调查发现：单价定为 70 元时，日均销售 60 千克；单价每降低 1 元，日均多售出 2 千克. 在销售过程中，每天还要支出其它费用 500 元（天数不足一天时，按整天计算）. 设销售单价为 x 元，日均获利为 y 元. （1）求 y 关于 x 的函数关系式，并注明 x 的取值范围； 解：y = (x﹣30)[60 + 2(70﹣x)]﹣500 =﹣2x2 + 260x﹣6500 (30≤x≤70). (2) 将上面所求出的函数配方成顶点式，写出顶点坐标， 并指出单价定为多少元时日均获利最多，最多是多少元. 解：y = -2(x﹣65)2 + 1950， 顶点是 (65，1950)， 单价定为 65 元时，日均获利最多，最多是 1950 元． 转化 回归 （二次函数的图象和性质） 二次函数建模问题 营销中的二次函数问题 （函数建模问题，营销问题） 建立恰当的直角坐标系 能够将实际距离准确的转化为点的坐标； 选择运算简便的方法. 实际问题 数学模型 转化的关键 课堂小结 $$