21.3 第2课时 二次函数与一元二次不等式（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年九年级数学上册同步备课（沪科版）

第21章 二次函数与反比例函数 21.3 二次函数与一元二次方程 第2课时 二次函数与一元二次不等式 优翼数学教学课件（HK）九上 问题1：上节课学到的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根和二次函数 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 的图象，它们存在着怎样的联系? 回顾与思考 问题2：一次函数与一元一次不等式有怎样的联系？那你可以猜测到二次函数与一元二次不等式的联系吗？ 导入新课 二次函数与一元二次不等式的关系 问题1 函数 y = ax2 + bx+ c 的图象如图， 那么方程 ax2 + bx + c = 0 的根是 ； 不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集是______________； 不等式 ax2 + bx + c < 0 的解集是___________. 3 -1 O x y x1 = −1，x2 = 3 x < −1 或 x > 3 −1 < x < 3 合作探究 新课讲授 拓广探索： 函数 y = ax2 + bx + c 的图象如图， 那么方程 ax2 + bx + c = 2 的根是______________； 不等式 ax2 + bx + c > 2 的解集是______________； 不等式 ax2 + bx + c < 2 的解集是____________. O x 2 (4，2) (−2，2) x1 = −2，x2 = 4 x < −2 或 x > 4 −2 < x < 4 y −2 4 问题2：如果不等式 ax2 + bx + c＞0 (a ≠ 0) 的解集是 x ≠ 2 的一切实数，那么函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴有____ 个交点，坐标是 . 方程 ax2 + bx + c = 0 的根是 . 1 (2 ，0) x1 = x2 = 2 2 O x y 问题3：(1) 如果方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0) 没有实数根，那么函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴有_____个交点； (2) 不等式 ax2 + bx + c＜0 的解集是什么？ 0 解：当 a＞0 时，不等式 ax2 + bx + c＜0 无解； 当 a＜0 时，不等式 ax2 + bx + c＜0 的解集是一切实数. O x y 思考： (1) m 取何值时，抛物线 y = x2 + (m + 8)x + m + 8 与 x 轴的两个交点关于原点对称？ (2) m 取何值时，抛物线 y = x2 + (m + 8)x + m + 8 与 x 轴的正半轴有两个交点？ (3) m 取何值时，抛物线 y = x2 + (m + 8)x + m + 8 与 x 轴的负半轴有两个交点？ (4) m 取何值时，抛物线 y = x2 + (m + 8)x + m + 8 与 x 轴的正负半轴都有交点？ (5) m 取何值时，抛物线 y = x2 + (m + 8)x + m + 8 过原点？ 解：若抛物线 y = x2 + (m + 8)x + m + 8 与 x 轴有交点， 则 (m + 8)2 - 4(m + 8)≥0，∴ m≥-4 或 m≤-8. 设这两个交点为 x1，x2. (1) 若抛物线与 x 轴的两个交点关于原点对称， 则 x1 + x2 = -(m + 8) = 0， 且 m＞-4 或 m＜-8. ∴ m 不存在. (2) 若抛物线与 x 轴的正半轴有两个交点. 则 x1 + x2 = -(m + 8)＞0 ，x1·x2 = m + 8＞0， 且 m＞-4 或 m＜-8. ∴ m 不存在. (3) 若抛物线与 x 轴的负半轴有两个交点. 则 x1 + x2 = -(m + 8)＜0 ，x1·x2 = m + 8＞0， 且 m＞-4 或 m＜-8. ∴ m＞-4. (4) 若抛物线与 x 轴的正负半轴都有交点， 则 x1·x2 = (m + 8)＜0， 且 m＞-4 或 m＜-8. ∴ m＞-4. (5) 若抛物线经过原点， 则 m + 8 = 0，且 m≥-4 或 m≤-8. ∴ m = -8. x y 0 2 0 x y -1 2 x y 0 y=-x2+x+2 试一试：利用函数图象解下列方程和不等式： (1)①-x2+x+2=0； ②-x2+x+2>0； ③-x2+x+2<0. (2)①x2-4x+4=0； ②x2-4x+4>0； ③x2-4x+4<0. (3)①-x2+x-2=0； ②-x2+x-2>0； ③-x2+x-2<0. y=x2-4x+4 y=-x2+x-2 ①x1 = -1，x2 = 2 ③x＜-1或 x＞2 ①x1 = x2 = 2 ② x ≠ 2 ③ x 无解 ①无解 ②无解 ③ x 为全体实数 ②-1＜x＜2 二次函数 y = ax2+bx+c 的图象与 x 轴交点 a＞0 时的解集 a＜0 时的解集 有两个交点 (x1,0), (x2,0) (x1＜x2) 有一个交点 (x0，0) 没有交点 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴交点的坐标与一元二次不等式的关系 y＜0，x1＜x＜x2； y＞0，x2＜x或x＜x2. y＞0，x1＜x＜x2； y＜0，x2＜x或x＜x2. y＞0，x ≠ x0； y＜0，无解 y＜0，x ≠ x0； y＞0，无解. y＞0，全体实数；y＜0，无解 y＜0，全体实数；y＞0，无解. 利用两个函数图象求不等式的解集 例2 已知抛物线 (a＞0) 与直线 相交于点 O (0 ，0) 和点 A (3 ，2)，求不等式 的解集. 分析：根据题目提供的条件，无法确定抛物线的解析式.因此，我们可以换一个思路，利用函数的图象来判求不等式的解集. 解：根据题目提供的条件，画出草图： x y O 3 2 由图可知，不等式 的解集为 或 . 方法归纳 不等式 的解集是二次函数 的图象在直线 上方的所有点的横坐标所组成的范围. 不等式 的解集是二次函数 的图象在直线 下方的所有点的横坐标所组成的范围. 已知函数 y1＝x2 与函数 的图象大致如图，若 y1＜y2，则自变量 x 的取值范围是( ) 做一做 A. C. B. 或 D. 或 A 解析：先根据方程 求出图象交点的横坐标，然后再结合图象，得出答案. 1. (1) x 取何值时， 关于 x 的二次三项式 x2 - 3x + 2 的值为负数？ (2) a 是什么实数时，不等式 ax2 + ax - 1＞0 无解？ 解：(1) 1＜x＜2. (2) 当 a = 0 时，不等式无解，符合题意； 当 a ≠ 0 时，Δ = a2 + 4a≤0，解得 -4≤a＜0. 综上可知，-4≤a≤0. 当堂练习 2. 当 1＜x＜3 时，二次函数 y = x² - (k + 1)x + k 的图象在 x 轴下方，求 k 的取值范围. 解：y = x² - (k + 1)x + k = (x - k)(x - 1)，与 x 轴交点坐标为 (1，0)，(k，0). 由题意知，当 1＜x＜3 时， y＜0， 所以 k≥3. 3.已知二次函数 的图象如图所示，利用图象回答问题： (1) 方程 的解是什么？ (2) x 取什么值时，y＞0？ (3) x 取什么值时，y＜0？ x y O 2 4 8 解：(1) x1 = 2，x2 = 4. (2) x＜2 或 x＞4. (3) 2＜x＜4. 19 解：y1 = kx + 1 经过点 A(1，0)， 则 0 = k + 1，解得 k = -1. y2 = ax2 + bx - 2 经过点 A(1，0)， 则 0 = a + b - 2 ①. 抛物线的对称轴是 ，故 ②，联立①②，解得 4. 如图，一次函数 y1= kx + 1 与二次函数 y2 = ax2 + bx - 2 交于 A、B 两点，且 A (1，0)，抛物线的对称轴是 （1）求 k 和 a、b 的值； x y A O B (2) 求不等式 kx + 1＞ax2 + bx - 2 的解集. x y A O B 解：解方程 -x + 1 = x2 + x - 2，得 x1 = -6，x2 = 1. ∴ 点 B 的横坐标为 -6. 根据图象可以看出， kx + 1＞ax2 + bx - 2 的解集为 -6＜x＜1. b2-4ac 的符号 二次函数 y = ax2+bx+c (a＞0) 的图象 一元二次方程 ax2+bx+c = 0 (a ≠ 0) 的根 不等式 ax2+bx+c＞0 (a＞0)的解集 不等式 ax2+bx+c＜0 (a＞0)的解集 x2 x1 x y O O x1= x2 x y O y x b2-4ac＞0 b2-4ac＝0 b2-4ac＜0 x1，x2 x1 = x2 = 没有实数根 x＜x1或x＞x2 x ≠ x1 全体实数 x1＜x＜x2 无解 无解 课堂小结 $$