21.2.3 二次函数表达式的确定（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年九年级数学上册同步备课（沪科版）

第21章 二次函数与反比例函数 *3.二次函数表达式的确定 21.2 二次函数的图象和性质 优翼数学教学课件（HK）九上 复习引入 1. 一次函数 y = kx + b (k ≠ 0) 有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？ 2. 求一次函数表达式的方法是什么？一般步骤有哪些？ 2 个 2 个 待定系数法 (1) 设：表达式 (2) 代：坐标代入 (3) 解：方程（组） (4) 还原：写表达式 导入新课 一般式法求二次函数的表达式 探究归纳 问题1 （1）二次函数 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 中有几个待定系数？需要抛物线上的几个点的坐标才能求出系数？ 3个 3个 （2）下面是我们用描点法画二次函数的图象时所列表格的一部分： x -3 -2 -1 0 1 2 y 0 1 0 -3 -8 -15 新课讲授 ① 选取图象经过的三点 (-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试求出这个二次函数的表达式. 解：设这个二次函数的表达式为 y = ax2 + bx + c，把 (-3，0)，(-1，0)，(0，-3) 代入表达式，得 9a - 3b + c = 0， a - b + c = 0， c = -3， 解得 a = -1， b = -4， c = -3. ∴ 所求的二次函数的表达式为 y = -x2 - 4x - 3. 待定系数法 步骤: 1.设：表达式 2.代：坐标代入 3.解：方程(组) 4.还原：写解析式 这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法. 其一般步骤是： ① 设函数表达式为 y = ax2 + bx + c； ② 代入三点的坐标后得到一个三元一次方程组； ③ 解方程组得到 a，b，c 的值； ④ 把待定系数用求得的值换掉，写出函数表达式. 归纳总结 一般式法求二次函数表达式的方法 5 例1 一个二次函数的图象经过 (-1，10)，(1，4)，(2，7) 三点，求这个二次函数的表达式. 解：设这个二次函数的表达式是 y = ax2 + bx + c，代入 (-1，10)，(1，4)，(2，7) 三点，可得 解这个方程组，得 ∴ 所求的二次函数的表达式是 y = 2x2 - 3x + 5. 4a + 2b + c = 7， a - b + c = 10， a + b + c = 4， c = 5. a = 2， b = -3， 例2 有一个二次函数，当 x = 0 时，y = -1；当 x = -2 时，y = 0；当 x = 时，y = 0，求这个二次函数的表达式. 则有 解：设所求的二次函数为 y = ax2 + bx + c， 解得 故所求的二次函数的表达式为 顶点法求二次函数的表达式 选取抛物线的顶点 (-2，1) 和经过的一点 (1，-8)，试求出这个抛物线所对应的二次函数的表达式. 解：设这个二次函数的表达式为 y = a(x - h)2 + k，把顶点 (-2，1) 代入 y = a(x - h)2 + k， 得 y = a(x + 2)2 + 1， 再把点 (1，-8) 代入上式， 得 -8 = a(1 + 2)2 + 1， 解得 a = -1. ∴ 所求的二次函数的表达式为 y = -(x + 2)2 + 1，即 y = -x2 - 4x - 3. 归纳总结 顶点法求二次函数的方法 这种根据抛物线的顶点坐标求表达式的方法叫做顶点法. 其步骤是： ① 设函数表达式是 y = a(x + h)2 + k； ② 先代入顶点坐标，得到关于 a 的一元一次方程； ③ 将另一点的坐标代入原方程求出 a 的值； ④ 将 a 用数值换掉，写出函数表达式，然后化为一般式. 例2 一个二次函数的图象经点 (0，1)，它的顶点坐标为 (8，9)，求这个二次函数的表达式. 解： 因为这个二次函数的图象的顶点坐标为 (8，9)，所以可设其表达式为 y = a(x - 8)2 + 9. 又因为它的图象经过点 (0，1)， 所以 1 = a(0 - 8)2 + 9，解得 故所求的二次函数的表达式是 y = (x - 8)2 + 9，即 y = x2 + 2x + 1. 解：∵ (-3，0)，(-1，0) 是抛物线与 x 轴的交点， ∴可设其表达式为 y = a(x + 3)(x + 1). 代入点 (0，-3)，得 a(0 + 3)(0 + 1) = -3， 解得 a = -1. ∴ 所求表达式为 y = -(x + 3)(x + 1)，即 y = -x2 - 4x - 3. 选取二次函数图象上的三点 (-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试求出这个二次函数的表达式. 交点法求二次函数的表达式 x y O 1 2 -1 -2 -3 -4 -2 -4 -3 1 归纳总结 交点法求二次函数表达式的方法 这种已知抛物线与 x 轴的交点坐标，求表达式的方法叫做交点法. 其一般步骤是： ① 设其表达式是 y = a(x - x1)(x - x2) (其中 x1，x2 分别是两交点的横坐标)； ② 将抛物线经过的第三点的坐标代入表达式，得到关于 a 的一元一次方程； ③ 解方程得出 a 值； ④ 写出表达式，并化为一般式. 想一想 确定二次函数的这三点应满足什么条件？ 这三点不能在同一条直线上（其中两点的连线可垂直于 y 轴，但不可以垂直于 x 轴）. 求特殊二次函数的表达式 例3 已知二次函数 y = ax2 + c 的图象经过点 (2，3) 和 (-1，-3)，求这个二次函数的表达式． 解：∵ 该图象经过点 (2，3) 和 (-1，-3)， ∴ 这个二次函数的表达式为 y = 2x2 - 5. a = 2， c = -5. 解得 { 关于 y 轴对称 3 = 4a + c， -3 = a + c， { ∴ 已知二次函数 y = ax2 + bx 的图象经过点 (-2，8) 和 (-1，5)，求这个二次函数的表达式． 解：∵ 该图象经过点 (-2，8) 和 (-1，5)， 做一做 图象经过原点 8 = 4a - 2b， 5 = a - b， ∴ { 解得 a = -1，b = -6. ∴ y = -x2 - 6x. B C 二次函数与一次函数的综合 解：如图所示. 例5 抛物线 与直线 交于 B，C 两点. （1）在同一平面直角坐标系中 画出直线与抛物线； 解：由 （2）记抛物线的顶点为 A，求△ABC 的面积. 得顶点 A 的坐标为 (4，0)， 解方程组 得 B (2，2)，C (7，4.5). B C A B1 x y O A -1 -2 -3 -1 2 1 6 4 8 6 B C 过 B，C 两点作 x 轴的垂线，垂足为 B1，C1. C1 练一练 如图，函数 y = ax2 - 2x + 1 和 y = ax + a (a 是常数，且 a ≠ 0) 在同一平面直角坐标系的图象可能是( ) x O y A O x y B x O y C x O y D A 1. 如图，在平面直角坐标系中，该抛物线的表达式应是 . 注 y = ax2 与 y = ax2 + k，y = a(x + h)2，y = a(x + h)2 + k 一样都是顶点式，只不过前三者是顶点式的特殊形式. 注意 x y O 2 -2 -4 2 -2 4 当堂练习 20 2. 过点 (2，4)，且当 x = 1 时，y 有最值为 6，则其表达式是 . y = -2x2 + 4x + 4 顶点坐标是 (1，6) 21 3. 已知二次函数的图象经过点 (－1，－5)，(0，－4)和 (1，1)，求这个二次函数的表达式． 解：设这个二次函数的表达式为 y＝ax2＋bx＋c. 依题意得 ∴ 这个二次函数的表达式为 y＝2x2＋3x－4. a＋b＋c＝1， c＝－4， a－b＋c＝－5， 解得 b＝3， c＝－4. a＝2， 22 4. 已知抛物线与 x 轴相交于点 A (－1，0)，B (1，0)，且过点 M (0，1)，求此抛物线的表达式． 解：由于点 A(－1，0)，B (1，0) 是抛物线与 x 轴的交点，故可设该抛物线的表达式为 y＝a(x＋1)(x－1). 又因为抛物线过点 M (0，1)， 所以 1＝a(0＋1)(0－1)，解得 a＝－1. 所以所求抛物线的表达式为 y＝－(x＋1)(x－1)， 即 y＝－x2＋1. 23 5. 如图，抛物线 y＝x2＋bx＋c 过点 A (－4，－3)，与 y轴交于点 B，对称轴是 x＝－3，请解答下列问题： (1) 求抛物线的表达式； 解：把点 A (－4，－3) 代入 y＝x2＋bx＋c 得 16－4b＋c＝－3，即 c＝4b－19. ∵ 对称轴是 x＝－3，∴ ＝－3. ∴ b＝6. ∴ c＝4b－19＝5. ∴ 该抛物线的表达式为 y＝x2＋6x＋5. (2) 若与 x 轴平行的直线和抛物线交于 C，D 两点，点 C 在对称轴左侧，且 CD＝8，求△BCD 的面积． 解：∵ CD∥x 轴，∴ 点 C 与点 D 关于 x＝－3 对称. ∵ 点 C 在对称轴左侧，且CD＝8， ∴ 点 C 的横坐标为－7. ∴ 点 C 的纵坐标为 (－7)2＋6×(－7)＋5＝12. 易得点 B 的坐标为 (0，5)， ∴ △BCD 中 CD 边上的高为12－5＝7. ∴ △BCD 的面积为 ×8×7＝28. ①已知三点坐标 ②已知顶点坐标或对称轴或最值 ③已知抛物线与x 轴的两个交点 已知条件 所选方法 用一般式法：y = ax2 + bx + c 用顶点法：y = a(x - h)2 + k 用交点法：y = a(x - x1)(x - x2) (x1，x2 为交点的横坐标) 待定系数法 求二次函数解析式 课堂小结 $$