21.2.2 第4课时 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年九年级数学上册同步备课（沪科版）

第21章 二次函数与反比例函数 2. 二次函数 y = ax² + bx + c 的图象和性质 第4课时 二次函数 y = ax² + bx + c 的图象和性质 优翼数学教学课件（HK）九上 复习引入 y=a(x+h)2+k a＞0 a＜0 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 向上 向下 (-h，k) (-h，k) x = -h x = -h 当 x＜-h 时，y 随着 x 的增大而减小；当 x＞-h 时y 随着 x 的增大而增大. 当 x＜-h 时，y 随着 x 的增大而增大；当 x＞-h 时，y 随着 x 的增大而减小. x = -h 时，y最小 = k x = -h 时，y最大 = k 抛物线 y = a(x + h)2 + k 可以看作由抛物线 y = ax2 经过平移得到 导入新课 顶点坐标 对称轴 最值 y = -2x2 y = -2x2 - 5 y = -2(x + 2)2 y = -2(x + 2)2 - 4 y = (x - 4)2 + 3 y = -x2 + 2x y = 3x2 + x - 6 (0，0) y 轴 0 (0，-5) y 轴 -5 (-2，0) 直线 x = -2 0 (-2，-4) 直线 x = -2 -4 (4，3) 直线 x = 4 3 ? ? ? ? ? ? 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质 探究归纳 我们已经知道 y = a(x + h)2 + k 的图象和性质，能否利用这些知识来探讨 的图象和性质？ 问题1 能不能将 化成 y = a(x + h)2 + k 的形式？用什么方法？ 能，用配平方法. 新课讲授 配方可得 想一想：配平方的技巧及步骤是什么？ 配方 现在你知道怎样配方了吗？ (1)“提”：提出二次项系数； (2)“配”：括号内配成完全平方； (3)“化”：化成顶点式. 提示：配方所得二次函数表达式通常称为顶点式. 问题2 你能说出 的对称轴及顶点坐标吗？ 答：对称轴是直线 x = 6，顶点坐标是 (6，3). 问题3 二次函数 可以看作是由 怎样平移得到的？ 答：平移方法 1： 先向上平移 3 个单位，再向右平移 6 个单位得到的； 平移方法 2： 先向右平移 6 个单位，再向上平移 3 个单位得到的. 7 10 x y 5 10 5 O … … … … 9 8 7 6 5 4 3 x 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 问题4 如何画二次函数 的图象？ 先利用图形的对称性列表； 然后描点画图， 得到图象如右图所示. 问题5 结合二次函数 的图象，说出其性质. 5 10 x y 5 10 x = 6 当 x＜6 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x＞6 时，y 随 x 的增大而增大. O 例1 画出函数 的图象，并说明这个函数具有哪些性质. x ··· -2 -1 0 1 2 3 4 ··· y ··· ··· -6.5 -4 -2.5 -2 -2.5 -4 -6.5 解：将函数 配方，可得 ， 先列表： 典例精析 2 x y -2 O 4 -2 -4 -4 -6 -8 然后描点、连线，得到图象如下. 由图象可知，这个函数具有如下性质： 当 x＜1 时，函数值 y 随 x的增大而增大； 当 x＞1时，函数值 y 随 x的增大而减小； 当 x = 1 时，函数取得最大值，最大值 y = -2. 求二次函数 y = 2x2 - 8x + 7 图象的对称轴和顶点坐标. 因此，二次函数 y = 2x2 - 8x + 7 图象的对称轴是直线 x = 2，顶点坐标为 (2，-1). 解： 练一练 将一般式 y = ax2 + bx + c 化成顶点式 我们如何用配方法将一般式 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 化成顶点式 y = a(x + h)2 + k？ y = ax² + bx + c 归纳总结 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质 一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c 可以通过配方化成 y = a(x + h)2 + k 的形式，即 因此，抛物线 y = ax2 + bx + c 的顶点坐标是 ，对称轴是直线 (1) (2) x y O x y O 如果 a＞0，当 x＜ 时，y 随 x 的增大而减小；当 x＞ 时，y 随 x 的增大而增大. 如果 a＜0，当 x＜ 时，y 随 x 的增大而增大；当 x＞ 时，y 随 x 的增大而减小. 16 例2 已知二次函数 y =－x2＋2bx＋c，当 x＞1 时，y 的值随 x 值的增大而减小，则实数 b 的取值范围是（ ） A．b≥－1 B．b≤－1 C．b≥1 D．b≤1 解析：∵ 二次项系数－1＜0，∴ 抛物线开口向下. 故在对称轴右侧，y 随 x 值的增大而减小. 由于当 x＞1 时，y 随 x 值的增大而减小，∴ 抛物线 y =－x2＋2bx＋c 的对称轴应在直线 x = 1 的左侧. 而抛物线的对称轴为直线 ，∴ b≤1. 故选 D. D 17 填一填 顶点坐标 对称轴 最值 y = -x2 + 2x y = -2x2 - 1 y = 9x2 + 6x - 5 (1，3) x = 1 有最大值 1 (0，-1) y 轴 有最大值 -1 有最小值 -6 ( ，-6) 直线 x = 二次函数字母系数与图象的关系 合作探究 问题1 一次函数 y = kx + b 的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空： x y O y = k1x + b1 x y O y = k2x + b2 y = k3x + b3 k1 ___ 0 b1 ___ 0 k2 0 b2 ___ 0 ＞ ＜ k3 ___ 0 b3 ___ 0 ＜ ＞ ＜ ＞ x y O 问题2 二次函数 的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空： a1 ___ 0 b1 ___ 0 c1 ___ 0 a2 ___ 0 b2 ___ 0 c2 ___ 0 ＞ ＞ ＞ ＞ ＜ ＝ 开口向上，a＞0 对称轴在 y 轴左侧，x＜0 对称轴在 y 轴右侧，x＞0 x = 0时，y = c. x y O a3___ 0 b3___ 0 c3___ 0 a4___ 0 b4___ 0 c4___ 0 ＜ ＝ ＞ ＜ ＞ ＜ 开口向下，a＜0 对称轴是 y 轴，x = 0 对称轴在 y 轴右侧，x＞0 x = 0时，y = c. 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 a、b、c 的关系 字母符号 图象的特征 a＞0 开口_____________________ a＜0 开口_____________________ b=0 对称轴为_____轴 a、b 同号 对称轴在 y 轴的____侧 a、b 异号 对称轴在 y 轴的____侧 c=0 经过原点 c＞0 与 y 轴交于_____半轴 c＜0 与 y 轴交于_____半轴 向上 向下 y 左 右 正 负 例3 已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是 (　　) A．1　　　B．2　　　　C．3　　　D．4 D 由图象上横坐标为 x＝-2的点在第三象限可得4a-2b+c＜0，故③正确 由图象上 x＝1的点在第四象限得 a＋b＋c＜0，由图象上 x＝－1的点在第二象限得出 a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得 (a＋c)2＜b2，故④正确． 【解析】由图象开口向下可得 a＜0，由对称轴在 y 轴左侧可得 b＜0，由图象与 y 轴交于正半轴可得 c＞0，则 abc＞0，故①正确； 由对称轴 x＞-1可得 2a - b＜0，故②正确； 1.已知二次函数 y = ax2 + bx + c 的 x、y 的部分对应值如下表： x -1 0 1 2 3 y 5 1 -1 -1 1 A. y 轴 B. 直线 x = C. 直线 x = 2 D. 直线 x = 则该二次函数图象的对称轴为( ) D 当堂练习 24 O y x –1 –2 3 2.已知二次函数 y = ax2 + bx + c( a≠0 )的图象如图所示，则下列结论： （1）a、b 同号； （2）当 x = –1 和 x = 3 时，函数值相等； （3）4a + b =0； （4）当 y = –2 时，x 的值只能取 0； 其中正确的是 . 直线 x = 1 （2） 25 3.如图是二次函数 y = ax2 + bx + c ( a ≠ 0 )图象的一部分，x = -1 是对称轴，有下列判断：① b-2a=0；② 4a - 2b + c＜0；③ a - b + c = -9a；④若 (-3，y1)，( ，y2)是抛物线上两点，则y1＞y2.其中正确的是( ) A．①②③　　 B．①③④ C．①②④　 D．②③④ x y O 2 x = -1 B 26 4.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： 直线 x = 3 直线 x = 8 直线 x = 1.25 直线 x = 0.5 27 顶点： 对称轴： y = ax2+bx+c ( a ≠ 0 ) (一般式) 配方法 公式法 (顶点式) 课堂小结 $$