21.2.2 第1课时 二次函数y=ax²+k的图象和性质（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年九年级数学上册同步备课（沪科版）

第21章 二次函数与反比例函数 第1课时 二次函数 y = ax² + k 的图象和性质 2.二次函数 y = ax² + bx + c 的图象和性质 优翼数学教学课件（HK）九上 这个函数的图象是如何画出来的？ 情境引入 x y O 导入新课 二次函数 y = ax2 + k (a＞0) 的图象和性质 做一做：画出二次函数 y = 2x²， y = 2x2 + 1，y = 2x2 - 1 的图象，并考察它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性. x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 … y = 2x2 + 1 … … y = 2x2 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 … y = 2x2 - 1 … … 3.5 1 -0.5 1 -0.5 -1 3.5 5.5 1.5 3 1.5 1 3 5.5 新课讲授 x y O -2 2 2 4 6 4 -4 8 y = 2x2+1 y = 2x2 y = 2x2 - 1 观察上述图象，说说它们有哪些特征. 例1 在同一直角坐标系中，画出二次函数 与 的图象. 探究归纳 解：先列表： x ··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ··· ··· ··· ··· ··· x y -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 描点、连线，画出这两个函数的图象： 观察与思考 抛物线 ， 的开口方向、对称轴和顶点各是什么？ 抛物线 开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 向上 （0，0） （0，1） y 轴 y 轴 想一想：通过上述例子，你能得出函数 y = ax2 + k(a＞0)的性质是什么？ 二次函数 y = ax2 + k (a＜0) 的图象和性质 做一做 在同一坐标系内画出 下列二次函数的图象： 2 y -2 -2 4 2 -4 x O 根据图象回答下列问题： (1) 图象的形状都是 ； (2) 三条抛物线的开口方向______； (3) 对称轴都是__________； (4) 从上往下三个顶点坐标分别是 _____________________； 抛物线 向下 直线 x = 0 (0，0) (0，2) ( 0，-2) (5) 顶点都是最____点，对应函数都有最____值，从上而下最大值分别为______、_______﹑_______； (6) 对应函数的增减性都相同： ____________________________ ____________________________. 高 大 y = 0 y = -2 y = 2 对称轴左侧 y 随 x 增大而增大， 对称轴右侧 y 随 x 增大而减小 二次函数 y = ax2 + k（a ≠ 0）的性质 y = ax2 + k a＞0 a＜0 开口方向 向上 向下 对称轴 y 轴 y 轴 顶点坐标 （0，k） （0，k） 最值 当 x = 0 时，y最小值 = k 当 x = 0 时，y最大值 = k 增减性 当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小；x＞0 时，y 随 x 的增大而增大 当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小；x＜0 时，y 随 x 的增大而增大 知识要点 例2 已知二次函数 y＝ax2 + c，当 x 取 x1，x2 (x1 ≠ x2) 时函数值相等，则当 x＝x1 + x2 时，其函数值为_____. 解析：由二次函数 y＝ax2 + c 图象的对称性可知，x1，x2 必然关于 y 轴对称，即 x1 + x2＝0. 把 x＝0 代入二次函数表达式，即得所求函数值. c 【方法总结】二次函数 y＝ax2 + c 的图象关于 y 轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，函数值相等的两点的对应横坐标互为相反数. 解析式 y = 2x2 y = 2x2 + 1 y = 2x2 - 1 + 1 - 1 点的坐标 函数对应值表 x … … y = 2x2 - 1 … … y = 2x2 … … y = 2x2 + 1 … … 4.5 -1.5 3.5 5.5 -1 2 1 3 x 2x2 2x2 - 1 (x, ) (x, ) (x, ) 2x2 - 1 2x2 2x2 + 1 从“数”的角度探究 二次函数 y = ax2 + k 的图象与平移 2x2 + 1 y = 2x2 + 1 y = 2x2 - 1 可以发现，把抛物线 y = 2x2 向 平移 1 个单位长度，就得到抛物线 ；把抛物线 y = 2x2 向 平移 1 个单位长度，就得到抛物线 y = 2x2 - 1. 下 y = 2x2 + 1 上 从“形”的角度探究 4 x y O -2 2 2 4 6 -4 8 10 -2 二次函数 y = ax2 + k 的图象可以由 y = ax2 的图象平移得到： 当 k＞0 时，向上平移 k 个单位长度得到； 当 k＜0 时，向下平移 -k 个单位长度得到. 二次函数 y = ax2 与 y = ax2 + k (a ≠ 0) 的图象的关系 上下平移规律： 平方项不变，常数项上加下减. 知识要点 二次函数 y＝－3x2＋1 的图象可将 (　　) A. 抛物线 y＝－3x2 向左平移 3 个单位得到 B. 抛物线 y＝－3x2 向左平移 1 个单位得到 C. 抛物线 y＝3x2 向上平移 1 个单位得到 D. 抛物线 y＝－3x2 向上平移 1 个单位得到 练一练 D 想一想 1. 画抛物线 y = ax2 + k 的图象有几步？ 2. 抛物线 y = ax2 + k 中的 a 决定什么？怎样决定的？k 决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？ 第一种方法：平移法，两步即第一步画 y = ax2 的图象，再向上（或向下）平移 |k| 个单位. 第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线. a 决定开口方向和大小；k 决定顶点的纵坐标. 解：抛物线 y＝x2－4 中，令 y＝0，得 x＝±2， 即 A 点的坐标为 (-2，0)，B点的坐标为 (2，0)， ∴ AB＝4. 设 P 点纵坐标为 b. ∵ S△PAB＝4， ∴ ×4|b|＝4，解得 b＝±2. 当 b＝2 时，令 x2 - 4＝2，解得 x＝± ； 当 b＝-2 时，令 x2 - 4＝-2，解得 x＝± . 故 P 点坐标为 ( ，2)或(- ，2)或( ，-2)或(- ，-2). 例3 如图，抛物线 y＝x2－4 与 x 轴交于 A、B 两点，点P 为抛物线上一点，且 S△PAB＝4，求 P 点的坐标． 1. 将抛物线 y = 2x2 向下平移 4 个单位，就得到抛物线 ___________． 2. 填表： y = 2x2 - 4 函数 开口方向 顶点 对称轴 有最高/低点 y = 3x2 y = 3x2 + 1 y = -4x2 - 5 向上 向上 向下 (0，0) (0，1) (0，-5) y 轴 y 轴 y 轴 有最低点 有最低点 有最高点 当堂练习 19 3. 已知 (m，n) 在 y = ax2 + a (a 不为 0) 的图象上，则 (-m，n)____(填“在”或“不在”) y = ax2 + a (a 不为 0) 的图象上. 4. 若 y = x2 + (k - 2) 的顶点是原点，则 k____；若顶点位于 x 轴上方，则 k____；若顶点位于 x 轴下方，则 k . 在 = 2 ＞2 ＜2 20 5. 不画函数 y = -x2 和 y = -x2 + 1 的图象回答下面的问题： （1）抛物线 y = -x2 + 1 经过怎样的平移才能得到抛物线 y = -x2？ （2）对于函数 y = -x2 + 1，当 x 时，y 随 x 的增大而减小；当 x 时，函数 y 有最大值，最大值是 ；其图象与 y 轴的交点坐标是 ，与 x 轴的交点坐标是 . （3）试说出抛物线 y = x2 - 3 的开口方向、对称轴和顶点坐标. 向下平移 1 个单位. ＞0 = 0 1 (0，1) (-1，0)，(1，0) 开口向上，对称轴是 y 轴，顶点坐标 (0，-3). 21 6. 在同一直角坐标系中，一次函数 y＝ax＋k 和二次函数 y＝ax2＋k 的图象可能是 (　　) 方法总结：熟记一次函数 y＝kx＋b 在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质(开口方向、对称轴、顶点坐标等)是解决问题的关键． D 能力提升 7. 对于二次函数 y = mxm2-m + 3，当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大，则 m =____. 8. 已知抛物线 y = (a - 2)x2 + a2 - 2 的最高点为 (0，2)，则 a =_____. 9. 抛物线 y = ax2 + c 与 x 轴交于A (-2，0)、B 两点，与 y 轴交于点 C (0，-4)，则△ABC 的面积是_____. 2 -2 8 二次函数 y = ax2 + k (a ≠ 0) 的图象和性质 图象 性质 与 y = ax2的关系 1. 开口方向由 a 的符号决定； 2. k 决定顶点位置；3. 对称轴是 y 轴 增减性结合开口方向和对称轴才能确定 平移|k|个单位： k 正→向上平移； k 负→向下平移 课堂小结 $$