21.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年九年级数学上册同步备课（沪科版）

第21章 二次函数与反比例函数 21.2 二次函数的图象和性质 1. 二次函数 y = ax² 的图象和性质 优翼数学教学课件（HK）九上 情境引入 导入新课 二次函数 y = ax2 的图象 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y = x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　 例1 画出二次函数 y = x2 的图象. 9 4 1 0 1 9 4 典例精析 1. 列表：在 y = x2 中自变量 x 可以是任意实数，列表表示几组对应值： 新课讲授 3. 连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到 y = x2 的图象． 2 4 -2 -4 O 3 6 9 x y 2. 描点：根据表中 x，y 的数值在坐标平面内描点 (x，y)； 双击演示操作 -3 3 o 3 6 9 当取更多个点时，函数 y = x2 的图象如下： x y 二次函数 y = x2 的图象形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线. 这条抛物线关于 y 轴 对称，y 轴就是它的 对称轴. 对称轴与抛物线的交 点叫做抛物线的顶点 练一练：画出函数 y = -x2 的图象. y 2 4 -2 -4 O -3 -6 -9 x 双击演示操作 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y = -x2 … -9　 -4　 -1　 0　 -1　 -4　 -9　 …　 根据你以往学习函数图象的经验，说说二次函数 y = x2 的图象有哪些特征，并与同伴交流. x o y = x2 议一议 1. y＝x2 是一条抛物线； 2. 图象开口向上； 3. 图象关于 y 轴对称； 4. 顶点 (0，0)； 5. 图象有最低点. y 说说二次函数 y = -x2 的图象有哪些特征，与同伴交流. o x y y = -x2 1. y＝-x2 是一条抛物线； 2. 图象开口向下； 3. 图象关于 y 轴对称； 4. 顶点 (0，0)； 5. 图象有最高点． 1. 顶点都在原点； 3. 当 a＞0 时，开口向上； 当 a＜0 时，开口向下. 二次函数 y = ax2 的图象特征： 知识要点 2. 图象关于 y 轴对称； 观察图象，说说抛物线 y = ax2 与 y = -ax2 (a＞0) 有什么关系. 二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于 x 轴对称. x y O y = ax2 y = -ax2 交流讨论 二次函数 y = ax2 的性质 问题1：观察图象，y 随 x 的变化如何变化？ (-2,4) (-1,1) (2,4) (1,1) 对于抛物线 y = ax2 (a＞0)： 当 x＞0 时，y 随 x 取值的增大而增大； 当 x＜0 时，y 随 x 取值的增大而减小. 知识要点 (-2,-4) (-1,-1) (2,-4) (1,-1) 问题2：观察图象，y 随 x 的变化如何变化？ 对于抛物线 y = ax2 (a＜0)： 当 x＞0 时，y 随 x 取值的增大而减小； 当 x＜0 时，y 随 x 取值的增大而增大. 知识要点 解：分别填表，再画出它们的图象，如图所示. x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ··· ··· ··· x ··· -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· ··· ··· 8 4.5 2 0.5 0 8 4.5 2 0.5 8 4.5 2 0.5 0 8 4.5 2 0.5 例2 在同一直角坐标系中，画出函数 的图象. 双击演示操作 思考1：从抛物线 来看，开口大小与 a 的大小有什么关系？ x y O -2 2 2 4 6 4 -4 8 当 a＞0 时，a 越大，开口越小. 练一练：在同一直角坐标系中，画出函数 的图象． x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ··· ··· ··· x ··· -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· ··· ··· -8 -4.5 -2 -0.5 0 -8 -4.5 -2 -0.5 -8 -4.5 -2 -0.5 0 -8 -4.5 -2 -0.5 思考2 从抛物线 来看，开口大小与 a 的大小有什么关系？ x y O -2 2 -2 -4 -6 4 -4 -8 当 a＜0 时，a 越小（即 a 的绝对值越大），开口越小. 对于抛物线 y = ax2 ，| a | 越大，抛物线的开口越小． y＝ax2 a＞0 a＜0 图象 位置开 口方向 对称性 顶点最值 增减性 开口向上，在 x 轴上方 开口向下，在 x 轴下方 a 的绝对值越大，开口越小 关于 y 轴对称，对称轴是直线 x＝0 顶点坐标是原点（0，0） 当 x = 0 时，y最小值 = 0 当 x = 0 时，y最大值 = 0 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减 知识要点 y O x y O x 3. 函数 y = x2 的图象的开口 ，对称轴是 ， 顶点是 ，顶点是抛物线的最 点. 2. 函数 y = -3x2 的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ，顶点是抛物线的最 点. 1. 函数 y = 4x2 的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 . 向上 向下 y 轴 y 轴 (0，0) (0，0) 4. 函数 y = -0.2x2 的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 . 向上 y 轴 (0，0) 向下 y 轴 (0，0) 高 低 练一练 20 20 例1 已知 y = (m + 1)x 是二次函数，且其图象开口向上，求 m 的值和函数解析式. m2 + m 解：依题意有 m + 1＞0， ① m2 + m = 2， ② 解②得 m1 = -2，m2 = 1. 由①得 m＞-1， ∴ m = 1. 此时，二次函数为 y = 2x2. 典例精析 例2 已知二次函数 y = x2. （1）判断点 A (2，4) 是否在该二次函数图象上； 典例精析 解：当 x = 2 时，y = x2 = 4， 所以 A (2，4) 在该二次函数图象上. 22 （2）请分别写出点 A 关于 x 轴的对称点 B 的坐标，关于 y 轴的对称点 C 的坐标； 解：点 A (2，4) 关于 x 轴的对称点 B 的坐标为 (2，-4)， 关于 y 轴的对称点 C 的坐标为 (-2，4). （3）点 B、C 在二次函数 y = x2 的图象上吗？在二次函数 y = -x2 的图象上吗？ 解：当 x = 2 时，y = -x2 = -4， 所以点 B (2，-4) 在二次函数 y = -x2 的图象上； 当 x = -2 时，y = x2 = 4， 所以点 C (-2，4) 在二次函数 y = x2 的图象上. 23 已知 是二次函数，且当 x＞0 时，y 随 x 增大而增大，则 k = . 分析： 是二次函数，即二次项的系数不为 0，x 的指数等于 2. 又因当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大，即说明二次项的系数大于 0. 因此， 解得 k = 2. 2 练一练 24 例3 已知二次函数 y = 2x2. (1) 若点 (－2，y1) 与 (3，y2) 在此二次函数的图象上， 则 y1_____ y2 (填“＞”“＝”或“＜”)； ＜ (2) 如图，此二次函数的图象经过点 (0，0)，长方形 ABCD 的顶点 A、B 在 x 轴上，C、D 恰好在二次函数的图象上，B 点的横坐标为 2，求图中阴影部分的面积之和． (2) 解：∵ 二次函数 y＝2x2 的图象经过点 B(2，0)， ∴ 当 x＝2 时，y＝2×22＝8. ∵ 抛物线和长方形都是轴对称图形，且 y 轴为它们的对称轴， ∴ OA＝OB. ∴ 在长方形 ABCD 内，左边阴影部分 面积等于右边空白部分面积. ∴ S阴影部分面积之和＝2×8＝16. 二次函数 y＝ax2 的图象关于 y 轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中，我们根据图象上的点具有对称性转化到同一变化区域中 (全部为升或全部为降)，根据对应点的高低去比较函数值的大小；对于求不规则的图形面积，采用等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形以方便求解． 方法总结 1. 函数 y = 2x2 的图象的开口 ，对称轴 ，顶点是 ； 在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而 ； 在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而 . 向上 y 轴 (0，0) 减小 增大 x y O 当堂练习 2. 函数 y = -3x2 的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 . 在对称轴左侧，y 随 x 的增大而 ； 在对称轴右侧，y 随 x 的增大而 . 向下 y 轴 (0，0) 减小 增大 x y O 3. 如右图，观察函数 y = (k - 1)x2 的图象，则 k 的取值范围是 . x y k＞1 O 4. 说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： 开口方向 对称轴 顶点 向上 向下 向下 向上 y 轴 y 轴 y 轴 y 轴 （0，0） （0，0） （0，0） （0，0） 5. 若抛物线 y = ax2 (a ≠ 0)，过点 (-1，2)，则 （1）a 的值是 ； （2）对称轴是 ，开口 ； （3）顶点坐标是 ，顶点是抛物线上的最 点， 抛物线在 x 轴的 方（除顶点外）； （4）若 A (x1，y1)，B (x2，y2) 在这条抛物线上，且 x1 ＜x2＜0，则 y1 y2. 2 y 轴 向上 (0，0) 低 上 ＞ 31 6. 已知二次函数 y = x2，若 x≥m 时，y 最小值为 0，求实数 m 的取值范围． 解：二次函数 y = x2 中， 当 x = 0 时，y 有最小值，且 y最小值 = 0. ∵ 当 x≥m 时，y最小值 = 0， ∴ m≤0． 7. 已知：如图，直线 y＝3x＋4 与抛物线 y＝x2 交于 A、B 两点，求出 A、B 两点的坐标，并求出三角形 AOB 的面积． 解：由题意得 解得 ∴ 两交点坐标为 A (4，16) 和 B (-1，1)． ∵ 直线 y＝3x＋4 与 y 轴相交于点 C (0，4)，即 CO＝4. ∴ S△ACO＝ ×4×4＝8，S△BOC＝ ×4×1＝2. ∴ S△AOB＝S△ACO＋S△BOC＝10. 二次函数 y = ax2 的图象及性质 画法 描点法 根据对称性对称取点 图象 抛物线 轴对称图形 性质 重点关注4个方面 开口方向及大小 对称轴 顶点坐标 增减性 课堂小结 $$