专题02 直线方程“对称性”五种考法-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（苏教版2019选择性必修第一册）

专题02 直线方程“对称性”五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、点关于直线对称 2 类型二、直线关于点对称 3 类型三、直线关于直线对称 4 类型四、路程以及光学性质 5 类型五、与其他章节融合……………………………………………………………8 压轴能力测评（10题） 9 1. 点关于直线对称 点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可． 2.直线关于点对称 法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； 法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 3.直线关于直线对称 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点 第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点 第三步：利用两点式写出方程 4. 对称的性质 曲线关于直线对称： （1）对称轴直线多为特殊直线（竖直，或者斜率为），可以特殊化处理 （2）可以利用函数点，利用对称轴特殊性，寻找对称点，代入计算化简 （3）如果对称轴不特殊，则转化为“求轨迹题型” 5. 路程以及光学性质 涉及到最短距离，可以利用“光学性质”：光走的路径最短，借助对称性来求解 类型一、点关于直线对称 例．已知的顶点边上的高所在直线平行于直线，角B的平分线所在直线方程为，则边所在直线方程___________. 【变式训练1】在平面直角坐标系中，点关于直线的对称点为（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】已知点A（1，﹣2），B（m，n），关于直线x+2y﹣2＝0对称，则m+n的值是（　　） A．﹣2 B．3 C．5 D．7 【变式训练3】已知的顶点，，一条角平分线所在直线为，则点A坐标为 . 类型二、直线关于点对称 例．不论实数取何值时，直线都过定点，则直线关于点的对称直线方程为（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】直线关于点P（2，3）对称的直线的方程是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为（　　） A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0 C．3x－2y－6＝0 D．2x＋3y＋6＝0 类型三、直线关于直线对称 例．已知直线：关于直线的对称直线为轴，则的方程为 . 【变式训练1】已知直线与直线关于轴对称，则直线的一般方程为___________. 【变式训练2】若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线关于直线对称的直线方程为（　　） A． B． C． D． 类型四、路程以及光学性质 例．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（　　） A． B．5 C． D． 【变式训练1】已知：，，，，，一束光线从点出发射到上的点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点）.则斜率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】已知､分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 . 【变式训练3】以为一个顶点，试在x轴上找一点B，直线l：上找一点C，构成，则的最小周长为 . 类型五、与其他章节融合 例．平面直角坐标系中，矩形的四个顶点为，，，，光线从OA边上一点沿与x轴成角的方向发射到AB边上的点，被AB反射到BC上的点，再被BC反射到OC上的点，最后被OC反射到x轴上的点，若，则的取值范围是 . 【变式训练1】若，则的最小值是___________. 【变式训练2】已知，满足，则的最小值为（　　） A． B． C．1 D． 1．与直线关于坐标原点对称的直线方程为（　　） A． B． C． D． 2．在复平面内，复数对应的点关于直线对称，若，则（   ） A． B．1 C．5 D． 3．直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为（　　） A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0 C．3x－2y－6＝0 D．2x＋3y＋6＝0 4．直线关于对称直线，直线的方程是（　　） A． B． C． D． 5．设直线与关于直线对称，则直线的方程是（　　） A． B． C． D． 6．已知，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 7．在等腰直角三角形ABC中，，点P是边AB上异于A，B的一点，光从点P出发经反射后又回到点P，反射点为Q，R，若光线QR经过的重心，则 . 8．若不等式对于任意的实数恒成立，则的最大值是________，此时________． 9．在中，，角为锐角，且向量在向量上的投影向量的模是3，则 ；若，则函数的最小值为 . 10．已知直线经过两条直线和的交点，且________，若直线与直线关于点对称，求直线的方程．试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，完成解答，若选择多个条件分别解答，按照第一个解答计分．①与直线垂直；②在轴上的截距为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 直线方程“对称性”五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、点关于直线对称 2 类型二、直线关于点对称 3 类型三、直线关于直线对称 4 类型四、路程以及光学性质 5 类型五、与其他章节融合……………………………………………………………8 压轴能力测评（10题） 9 1. 点关于直线对称 点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可． 2.直线关于点对称 法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； 法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 3.直线关于直线对称 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点 第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点 第三步：利用两点式写出方程 4. 对称的性质 曲线关于直线对称： （1）对称轴直线多为特殊直线（竖直，或者斜率为），可以特殊化处理 （2）可以利用函数点，利用对称轴特殊性，寻找对称点，代入计算化简 （3）如果对称轴不特殊，则转化为“求轨迹题型” 5. 路程以及光学性质 涉及到最短距离，可以利用“光学性质”：光走的路径最短，借助对称性来求解 类型一、点关于直线对称 例．已知的顶点边上的高所在直线平行于直线，角B的平分线所在直线方程为，则边所在直线方程___________. 【答案】. 【解析】由题意，AB边上的高所在直线的斜率为，则AB的斜率，所以，与直线联立解得，即. 设，则线段AC的中点坐标为，， 所以，即. 所以，所以边所在直线方程为：. 故答案为：. 【变式训练1】在平面直角坐标系中，点关于直线的对称点为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设对称点为， 由题意可得，解得，即对称点为， 故选：B. 【变式训练2】已知点A（1，﹣2），B（m，n），关于直线x+2y﹣2＝0对称，则m+n的值是（　　） A．﹣2 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】先利用线段的中点公式求出线段AB的中点坐标，再把中点坐标代入直线x+2y﹣2＝0，结合斜率关系列方程组，求得，从而求得m+n的值． 【详解】∵A（1，﹣2）和B（m，n）关于直线x+2y﹣2＝0对称， ∴线段AB的中点C（，）在直线x+2y﹣2＝0上， ∴2+n﹣2＝0．∴m+2n＝7，而（）＝﹣1，得2m﹣n＝4， 解方程组，可得m＝3，n＝2，∴m+n＝5. 故选：C 【变式训练3】已知的顶点，，一条角平分线所在直线为，则点A坐标为 . 【答案】 【分析】点A在直线上，求点关于直线的对称点，由角平分线的性质，点在直线AB上，可求直线AB的方程，与直线联立方程组，可求点A坐标. 【详解】如图所示，可知点A在直线上，    令点为点关于直线的对称点. 由于直线CD与直线垂直，且线段CD的中点在直线上， 于是就有，解得，因此点D的坐标为. 根据对称性可知点在直线AB上，又点B的坐标为， 于是直线AB的方程为，即. 由，解得，得点A的坐标为. 故答案为： 类型二、直线关于点对称 例．不论实数取何值时，直线都过定点，则直线关于点的对称直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出定点坐标，设直线关于点的对称直线方程为，则，解方程即可得出答案. 【详解】由可得：， 令，解得：， 所以，设直线关于点的对称直线方程为：， 则到直线与的距离相等， 所以，解得：，即（舍去）或. 故直线关于点的对称直线方程为：. 故选：D. 【变式训练1】直线关于点P（2，3）对称的直线的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得和平行，设出方程，根据点P到两直线距离相等即可求出. 【详解】因为和关于点对称，则两直线平行，可设方程为（）， 点P到两直线的距离相等，则，解得或3（舍去）， 所以直线的方程是. 故选：A. 【变式训练2】直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为（　　） A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0 C．3x－2y－6＝0 D．2x＋3y＋6＝0 【答案】B 【分析】先求出定点M的坐标，再设出与直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程，利用点到直线距离公式求出答案. 【详解】由ax＋y＋3a－1＝0得， 由，得，∴M（－3，1）． 设直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为， ∴，解得:C＝12或C＝－6（舍去）， ∴直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为2x＋3y＋12＝0． 故选：B 类型三、直线关于直线对称 例．已知直线：关于直线的对称直线为轴，则的方程为 . 【答案】或 【解析】直线交轴于点，交轴于点， 设直线的方程为， 则关于直线的对称点在轴上，所以， 则的中点在直线上，所以①， 又②，联立①②可得或， 所以直线的方程为或. 故答案为：或 【变式训练1】已知直线与直线关于轴对称，则直线的一般方程为___________. 【答案】 【解析】根据题意，在直线上取和两点， 则点和点关于轴对称的点和点在直线上， 因此直线的斜率， 故直线的方程为，即. 故答案为： 【变式训练2】若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线关于直线对称的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两条直线平行的性质求出n,再利用两条平行直线间的距离求出m，再由平行线间距离即可求解. 【详解】因为直线：与：， 所以， 又两条平行直线：与：之间的距离是， 所以解得。即直线：，：， 设直线关于直线对称的直线方程为， 则，解得，故所求直线方程为， 故选：A 类型四、路程以及光学性质 例．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（　　） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】设关于的对称点为，列方程求对称点坐标，再应用两点距离公式求“将军饮马”的最短总路程. 【详解】设关于的对称点为， 所以，可得，即对称点为，又 所以“将军饮马”的最短总路程为. 故选：A 【变式训练1】已知：，，，，，一束光线从点出发射到上的点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点）.则斜率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先作出关于的对称点，再作关于的对称点，因为光线从点出发射到上的点经反射后，入射光线和反射光线都经过关于直线的对称点点，又因为再经反射，反射光线经过关于直线的对称点，所以只需连接､交与点，连接､分别交为点､，则，之间即为点的变动范围.再求出直线，的斜率即可. 【详解】∵，，， ∴直线方程为，直线方程为， 如图，作关于的对称点， ∵，∴，再作关于的对称点，则， 连接､交与点，则直线ME方程为，∴， 连接､分别交为点､，则直线方程为，直线方程为， ∴，.连接，，则，之间即为点的变动范围. ∵直线方程为，直线FH的斜率为， ∴斜率的范围为. 故选：D. 【变式训练2】已知､分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用线段的等量关系进行转化，找到最小值即为所求. 【详解】由直线与间的距离为得，过作直线垂直于，如图，    则直线的方程为：，将沿着直线往上平移个单位到点，有， 连接交直线于点P，过P作于Q，连接BQ，有，即四边形为平行四边形， 则，即有，显然是直线上的点与点距离和的最小值， 因此的最小值，即的最小值，而， 所以的最小值为= 故答案为： 【变式训练3】以为一个顶点，试在x轴上找一点B，直线l：上找一点C，构成，则的最小周长为 . 【答案】 【分析】求点关于x轴与直线l：的对称点，连接，由对称性可知，的周长为，其最小值为. 【详解】如图所示，令，分别为点关于x轴与直线l：的对称点， 并连接，，，则点的坐标为，    设点的坐标为，则，解得，于是点的坐标为. 由于， 因此的最小周长为. 故答案为： 类型五、与其他章节融合 例．平面直角坐标系中，矩形的四个顶点为，，，，光线从OA边上一点沿与x轴成角的方向发射到AB边上的点，被AB反射到BC上的点，再被BC反射到OC上的点，最后被OC反射到x轴上的点，若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据光线反射的性质，利用解三角形可得坐标，再由求解即可. 【详解】由题意，，则,， ，，即， ，解得. 故答案为： 【变式训练1】若，则的最小值是___________. 【答案】 【解析】， 表示点到点和点的距离之和， 关于轴的对称点为， 在轴上任取一点，则（当且仅当为线段与轴交点时取等号）， 的最小值为. 故答案为：. 【变式训练2】已知，满足，则的最小值为（　　） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解析】如图，过点作点关于线段的对称点，则. 设，则有，解得，所以. 设，则，所以， 又，所以点到轴的距离为， 所以，可视为线段上的点到轴的距离和到的距离之和. 过作轴，过点作轴，显然有， 当且仅当三点共线时，和有最小值. 则即为最小值，与线段的交点，即为最小值时的位置. 因为，所以的最小值为. 故选：B． 1．与直线关于坐标原点对称的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设所求对称直线上任意一点的坐标为，则关于原点对称点的坐标为，该点在已知的直线上，则，即. 故选：D. 2．在复平面内，复数对应的点关于直线对称，若，则（   ） A． B．1 C．5 D． 【答案】D 【解析】因为，故其对应的点为，该点关于直线对称的点为， 该点对应的复数为，故 ， 故选：D. 3．直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为（　　） A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0 C．3x－2y－6＝0 D．2x＋3y＋6＝0 【答案】B 【分析】先求出定点M的坐标，再设出与直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程，利用点到直线距离公式求出答案. 【详解】由ax＋y＋3a－1＝0得， 由，得，∴M（－3，1）． 设直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为， ∴，解得:C＝12或C＝－6（舍去）， ∴直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为2x＋3y＋12＝0． 故选：B． 4．直线关于对称直线，直线的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知直线与直线交于点，求出原点关于直线对称的对称点B，利用两点坐标求直线斜率公式和直线的点斜式方程即可得出结果. 【详解】如图，直线与直线交于点，直线过原点， 因为直线与直线l关于直线对称，所以原点关于直线的对称点为，且直线l过点A、B， 则直线l的斜率为，所以直线l的方程为， 即. 故选：C 5．设直线与关于直线对称，则直线的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】联立，得， 取直线上一点， 设点关于直线的对称点为， 则，解得：， 直线的斜率，所以直线的方程为， 整理为：. 故选：A 6．已知，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】可看成点到点的距离的平方， 点在直线的图象上，点在反比例函数的图象上， 问题转化为在图象上找一点，使得它到直线的距离的平方最小. 注意到反比例函数的图象关于直线对称，直线也关于对称， 观察图象知点P到直线的距离最短，， 最短距离为，所以的最小值为. 故选：C 7．在等腰直角三角形ABC中，，点P是边AB上异于A，B的一点，光从点P出发经反射后又回到点P，反射点为Q，R，若光线QR经过的重心，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，设出点P的坐标，再求出点P关于的对称点坐标，借助三点共线列式求解作答. 【详解】依题意，以点A为原点，直线AB为x轴，直线AC为y轴建立平面直角坐标系，如图，    则，，，的重心G的坐标为， 设点P的坐标为，，则点P关系y轴对称点， 设点P关于直线对称点，显然直线BC的方程为， 于是，解得，即点， 由光的反射定律知，光线过点，也过点，而光线经过的重心，因此点共线， 则有，整理得，解得， 所以. 故答案为： 8．若不等式对于任意的实数恒成立，则的最大值是________，此时________． 【答案】     18     7 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，设， 则四边形为平行四边形， 而即为： . 而， 当且仅当为平行四边形的对角线的交点时等号成立，此时， 故的最小值为18，此 时即 故答案为：18，7. 9．在中，，角为锐角，且向量在向量上的投影向量的模是3，则 ；若，则函数的最小值为 . 【答案】； 【解析】由向量在向量上的投影向量为， 得向量在向量上的投影向量的模为，所以， 又因角为锐角，所以， 如图，以点为原点，建立平面直角坐标系， 则， 在上取，使得，则， 在上取点使得， 则， 直线的方程为，设点关于直线的对称点， 则，解得，所以， 则，当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：； 10．已知直线经过两条直线和的交点，且________，若直线与直线关于点对称，求直线的方程．试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，完成解答，若选择多个条件分别解答，按照第一个解答计分．①与直线垂直；②在轴上的截距为． 【解析】因为方程组的解为， 所以两条直线和的交点坐标为． 若选①，可设直线l的方程为， 点代入方程可得，即l：． 在直线l上取两点和， 点关于点对称的点的坐标为， 点关于点对称的点的坐标为（0，0）， 所以直线m的方程为． 若选②，可得直线l的斜率， 所以直线l的方程为． 在直线l上取两点和，点关于点对称的点的坐标为， 点关于点对称的点的坐标为， 所以直线m的方程为，即． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$