专题01 动直线的四种考法-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（苏教版2019选择性必修第一册）

专题01 动直线的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、含参动直线处理 1 类型二、动直线与距离最值 4 类型三、动直线与三角函数结合 6 类型四、双动直线 7 压轴能力测评（10题） 8 1. 动直线的意义 动直线：直线含参，一般情况下，过定点 直线系： 过A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线可设：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0. 2. 动直线的性质 点到动直线（过定点型）距离最大值，就是两点之间的距离． 3. 动直线与其他章节知识的融合 动直线：圆的切线型 1.到直线系距离，每条直线的距离，直线系表示圆的切线集合， 2.如果两条直线都有参数，则两条直线可能存在“动态”垂直。则直线交点必在定点线段为直径的圆上。 类型一、含参动直线处理 例．已知点，若直线与线段没有公共点，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线经过定点. 因为，所以, 所以要使直线与线段没有公共点， 只需：，即.所以的取值范围是. 故选：A 【变式训练1】已知直线：和点，，若l与线段相交，则实数a的取值范围是（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解析】由直线：可知直线必过定点，且直线的斜率为，如下图所示： 由斜率公式可知，直线的斜率为， 直线的斜率为， 若与线段相交，只需要或， 故实数a的取值范围是或. 故选：D. 【变式训练2】若直线与直线的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法一：联立直线方程求交点，根据所在象限求斜率范围，进而确定倾斜角范围；法二：确定直线位于第一象限部分的端点，结合直线l与其交点在第一象限，数形结合确定倾斜角范围. 【详解】法一：联立两直线方程，得，解得， 所以两直线的交点坐标为. 因为两直线的交点在第一象限，所以，解得， 设直线l的倾斜角为θ，则，又，所以. 法二：由题意，直线l过定点， 设直线与x轴、y轴的交点分别为. 如图，当直线l在阴影部分（不含边界）运动时，两直线的交点在第一象限，易知，    ∴的倾斜角为，的倾斜角为. ∴直线l的倾斜角的取值范围是. 故选：D 【变式训练3】设集合，，若，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可知直线与直线相交且交点不是点（1，3），即可求出. 【详解】由题知集合表示直线，即上的点，但除去点（1，3）， 集合表示直线上的点， 易知直线与直线不重合， 所以当时，直线与直线相交且交点不是点（1，3）， 当时，两条直线相交且交点为（4，9），符合题意； 当时，由且，得且且. 综上，且. 故选：C. 例．不论为何实数，直线恒通过一个定点，这个定点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直线恒过定点，即与参数k无关，原直线方程整理为，令k的系数为0，解方程即可得解. 【详解】原方程可化为，由直线恒过定点可知， ，解得，所以直线恒过定点 故选：B 【变式训练1】已知直线 则当m、n变化时，直线都通过定点 【答案】 【详解】 令 ，从而该直线必过定点 故答案为： 【变式训练2】已知直线l：在x轴上的截距的取值范围是（，3），则其斜率的取值范围是（　　） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【解析】已知直线l：(2+a)x+(a−1)y−3a=0，所以(x+y-3)a+2x-y=0 ，所以直线过点， 由题知，在轴上的截距取值范围是， 所以直线端点的斜率分别为：，如图： 或. 故选：D. 类型二、动直线与距离最值 例．已知直线，点，记到的距离为，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线系所过定点，再由及直线系表示的直线可求出结果. 【详解】由直线，可得， 由可解的， 即直线过定点， 则, 当与直线垂直时，，当直线过点，即时，， 又直线无论取何值，不能表示直线， 所以， 故选：B 【变式训练1】已知点和直线，则点P到直线l的距离的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求得直线的定点，进而求得点P到直线l的最大距离，然后检验点是否可能在直线上即可 【详解】可化为： 设直线的定点为，点P到直线l的距离为，则有： 可得：为直线的定点 则有：，此时为点P到直线l的最大距离 若在直线上，则有：，即 可得：不可能在直线上，则有： 综上可得： 故答案为： 【变式训练2】对于任意实数，直线与点的距离为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据直线的方程确定直线过的定点，再根据已知点和动直线的位置关系分情况讨论点与直线距离的最值，从而确定其取值范围. 【详解】根据题意，对于任意实数k，直线恒过(2，2)点， 点(2，2)和点(-2，-2)确定一条直线，其直线方程为 所以当直线与直线垂直时，d取得最大值 ； 当时， 即直线不过点(－2，-2)，d无最小值， 所以d的取值范围是，选项B正确； 故答案为： 【变式训练3】已知两条直线，，且，当两平行线距离最大时， ． 【答案】5 【分析】求出恒过的定点，故，距离的最大值为，所以，求解即得出答案. 【详解】，由， 解得，故过定点． ，由， 解得，故过定点， 故，距离的最大值为． 此时，，则，， 解得，故． 故答案为：5 类型三、动直线与三角函数结合 例．直线的斜率的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将直线的一般方程转化为直线的斜截式方程，根据的范围求出的范围，进而求出范围即可求解. 【详解】当时，直线的斜率为， 因为，所以时，或， 由得， 当即时，直线的斜率为. 因为，所以或，即或. 所以直线的斜率的取值范围为. 综上所述，直线的斜率的取值范围为. 故选：A. 【变式训练1】若，则直线的倾斜角的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线的斜率的取值范围，利用斜率与倾斜角的关系可出结果. 【详解】因为，则， 所以，直线的斜率为， 因此，直线的倾斜角的取值范围是. 故选：B. 【变式训练2】已知实数满足，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】实数满足表示点在直线上，可以看作点到原点的距离，最小值是原点到直线的距离，根据点到直线的距离公式求解. 【详解】因为实数满足＝1 所以表示直线上点到原点的距离， 故的最小值为原点到直线的距离， 即， 故的最小值为1. 故答案为：1 【变式训练3】设直线系（），则下列命题中是真命题的个数是（　　） ①存在一个圆与所有直线相交； ②存在一个圆与所有直线不相交； ③存在一个圆与所有直线相切； ④中所有直线均经过一个定点； ⑤不存在定点不在中的任一条直线上； ⑥对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上； ⑦中的直线所能围成的正三角形面积都相等． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据已知可知，直线系都为以为圆心，以1为半径的圆的切线，即可根据相关知识，逐个判断各命题的真假． 【详解】根据直线系（）得到， 所有直线都为圆心为，半径为1的圆的切线． 对于①，可取圆心为，半径为2的圆，该圆与所有直线相交，所以①正确； 对于②，可取圆心为，半径为的圆，该圆与所有直线不相交，所以②正确； 对于③，可取圆心为，半径为1的圆，该圆与所有直线相切，所以③正确； 对于④，所有的直线与一个圆相切，没有过定点，所以④错误； 对于⑤，存在不在中的任一条直线上，所以⑤错误； 对于⑥，可取圆的外接正三角形，其所有边均在中的直线上，所以⑥正确； 对于⑦，可以在圆的三等分点做圆的三条切线，把其中一条切线平移到过另外两个点中点时，也为正三角形，但是它与圆的外接正三角形的面积不相等，所以⑦错误； 故①②③⑥正确，④⑤⑦错，所以真命题的个数为4个． 故选：B． 类型四、双动直线 例．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由两直线方程求出的坐标，由于两直线垂直，所以，若设，则，，然后表示出变形后，利用三角函数的性质可求得其范围. 【详解】解：由题意可知，动直线经过定点， 动直线，即，经过点定点， 动直线和动直线的斜率之积为，始终垂直，又是两条直线的交点， ，．设，则，， 由且，可得，， ，，，，，， ，， 故选：B． 【变式训练1】过定点的直线与过定点的直线交于点，则的最大值为（　　） A．1 B．3 C．4 D．2 【答案】C 【解析】由题意可知，动直线经过定点， 动直线即，经过定点， ∵过定点的直线与过定点的直线始终垂直，又是两条直线的交点， ∴，∴． 故 (当且仅当时取“”)． 故选：C 【变式训练2】过定点A的直线与过定点的直线交于点与不重合），则面积的最大值为（　　） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据方程可得定点A、B，并且可判断两直线垂直，然后利用基本不等式可得. 【详解】动直线化为，可知定点， 动直线化为，可知定点， 又 所以直线与直线垂直，为交点， . 则，当且仅当时，等号成立. 即面积的最大值为2. 故选：C. 1．直线的倾斜角的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线方程求得直线斜率的范围，再由斜率等于倾斜角的正切值可得直线的倾斜角的取值范围. 【详解】∵直线的斜率,， 设直线的倾斜角为，则， 解得. 故选：A 2．已知点，．若直线与线段相交，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直线l过定点P（1，1），且与线段AB相交，利用数形结合法，求出PA、PB的斜率， 从而得出l的斜率的取值范围,即得解 【详解】设直线过定点，则直线可写成， 令解得直线必过定点． ，．直线与线段相交，    由图象知，或，解得或， 则实数的取值范围是． 故选：A 3．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值（　　） A． B． C．3 D．6 【答案】D 【解析】由题意，动直线过定点， 直线可化为，令，可得， 又，所以两动直线互相垂直，且交点为， 所以， 因为， 所以，当且仅当时取等号. 故选：D. 4．设，过定点的动直线和过定点的动直线相交于点不重合），则面积的最大值是（　　） A． B．5 C． D． 【答案】D 【分析】由题意结合直线位置关系的判断可得两直线互相垂直，由直线过定点可得定点与定点，进而可得，再利用基本不等式及三角形面积公式即得． 【详解】由题意直线过定点， 直线可变为，所以该直线过定点， 所以， 又， 所以直线与直线互相垂直， 所以， 所以即， 当且仅当时取等号, 所以，，即面积的最大值是. 故选：D 5．（多选）下列对动直线的四种表述正确的是（　　） A．与曲线C：可能相离，相切，相交 B．恒过定点 C．时，直线斜率是0 D．时，直线的倾斜角是135° 【答案】BCD 【分析】根据过定点的直线系求出恒过点可判断B，由点与圆的位置关系可判断A，由直线方程可判断CD. 【详解】直线可化为， 令，，解得，， 所以直线恒过定点， 而该定点在圆C：内部， 所以必与该圆相交． 当时，直线方程为，故斜率为0， 当时，直线方程为，故斜率为，倾斜角为135°. 故选：BCD 6．（多选）已知集合{直线其中是正常数}，下列结论中正确的是（     ） A．当时，中直线的斜率为 B．中所有直线均经过同一个定点 C．当时，中的两条平行线间的距离的最小值为 D．中的所有直线可覆盖整个直角坐标平面 【答案】AC 【分析】A中，当时，sinθ＝cosθ，S中直线的斜率为；B中，S中所有直线均经过一个定点，不正确；C中，当m>n时，S中的两条平行直线间的距离为，可得最小值为2n；D中，由（0，0）不满足方程，可判断命题错误． 【详解】当θ时，sinθ＝cosθ，S中直线的方程为，即，故其斜率为，故A正确； 根据y＝1，可知S中所有直线不可能经过一个定点，B不正确； 当时，S中的两条平行直线间的距离为，而，则，故，即最小值为2n，C正确； 易见，点（0，0）不满足方程，∴S中的所有直线不可覆盖整个平面，D不正确； 故选：AC. 7．已知四边形各顶点的坐标分别为，，，，点为边的中点，点在线段上，且是以角为顶角的等腰三角形，记直线，的倾斜角分别为，，则___________ 【答案】 【分析】根据已知条件易得四边形为正方形，再是以角为顶角的等腰三角形即可得必为边的中点，利用直线的斜率与倾斜角的关系，可得和，可得答案. 【详解】由题中条件可知，，，，，∴四边形为正方形.又∵为边的中点，是以角为顶角的等腰三角形，∴必为边的中点，则，，∴，由题易知，，；直线与轴垂直，则，∴. 故答案为： 8．已知直线在x轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围是 ． 【答案】或. 【分析】先求出直线l所过的定点，再根据条件求解. 【详解】由直线得：， 令，解得，所以直线l过点，由题知，在x轴上的截距取值范围是，如图： 所以端点处直线的斜率分别为，    所以或； 故答案为：或. 9．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的取值范围是___________. 【答案】 【分析】可得直线分别过定点和且垂直，可得设，则，,,则，利用正弦函数的性质即可求值域． 【详解】由题意可知，动直线经过定点， 动直线即，经过定点， 时，动直线和动直线的斜率之积为，始终垂直， 时，也垂直，所以两直线始终垂直， 又P是两条直线的交点，，． 设，则，，由且，可得， ，，， ，， 故答案为： 10．过坐标原点作直线：的垂线，垂足为，则的取值范围是___________. 【答案】 【分析】根据给定条件，将表示成a的函数，求出函数的值域的作答. 【详解】依题意，，直线l的方向向量，则有， 解得，因此，， 因当时，取最小值，则有， 所以的取值范围是. 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 动直线的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、含参动直线处理 1 类型二、动直线与距离最值 4 类型三、动直线与三角函数结合 6 类型四、双动直线 7 压轴能力测评（10题） 8 1. 动直线的意义 动直线：直线含参，一般情况下，过定点 直线系： 过A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线可设：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0. 2. 动直线的性质 点到动直线（过定点型）距离最大值，就是两点之间的距离． 3. 动直线与其他章节知识的融合 动直线：圆的切线型 1.到直线系距离，每条直线的距离，直线系表示圆的切线集合， 2.如果两条直线都有参数，则两条直线可能存在“动态”垂直。则直线交点必在定点线段为直径的圆上。 类型一、含参动直线处理 例．已知点，若直线与线段没有公共点，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】已知直线：和点，，若l与线段相交，则实数a的取值范围是（　　） A． B．或 C． D．或 【变式训练2】若直线与直线的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式训练3】设集合，，若，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 例．不论为何实数，直线恒通过一个定点，这个定点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】已知直线 则当m、n变化时，直线都通过定点 【变式训练2】已知直线l：在x轴上的截距的取值范围是（，3），则其斜率的取值范围是（　　） A． B．或 C．或 D．或 类型二、动直线与距离最值 例．已知直线，点，记到的距离为，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】已知点和直线，则点P到直线l的距离的取值范围是 ． 【变式训练2】对于任意实数，直线与点的距离为，则的取值范围是 ． 【变式训练3】已知两条直线，，且，当两平行线距离最大时， ． 类型三、动直线与三角函数结合 例．直线的斜率的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】若，则直线的倾斜角的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】已知实数满足，则的最小值为_______． 【变式训练3】设直线系（），则下列命题中是真命题的个数是（　　） ①存在一个圆与所有直线相交； ②存在一个圆与所有直线不相交； ③存在一个圆与所有直线相切； ④中所有直线均经过一个定点； ⑤不存在定点不在中的任一条直线上； ⑥对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上； ⑦中的直线所能围成的正三角形面积都相等． A．3 B．4 C．5 D．6 类型四、双动直线 例．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】过定点的直线与过定点的直线交于点，则的最大值为（　　） A．1 B．3 C．4 D．2 【变式训练2】过定点A的直线与过定点的直线交于点与不重合），则面积的最大值为（　　） A． B． C．2 D．4 1．直线的倾斜角的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．已知点，．若直线与线段相交，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值（　　） A． B． C．3 D．6 4．设，过定点的动直线和过定点的动直线相交于点不重合），则面积的最大值是（　　） A． B．5 C． D． 5．（多选）下列对动直线的四种表述正确的是（　　） A．与曲线C：可能相离，相切，相交 B．恒过定点 C．时，直线斜率是0 D．时，直线的倾斜角是135° 6．（多选）已知集合{直线其中是正常数}，下列结论中正确的是（     ） A．当时，中直线的斜率为 B．中所有直线均经过同一个定点 C．当时，中的两条平行线间的距离的最小值为 D．中的所有直线可覆盖整个直角坐标平面 7．已知四边形各顶点的坐标分别为，，，，点为边的中点，点在线段上，且是以角为顶角的等腰三角形，记直线，的倾斜角分别为，，则___________ 8．已知直线在x轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围是 ． 9．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的取值范围是___________. 10．过坐标原点作直线：的垂线，垂足为，则的取值范围是___________. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$