1.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定（同步课件）数学人教B版2019必修第一册

《人教B版2019高中数学必修第一册》 第1章 集合与常用逻辑用语 1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定 1.理解全称量词命题和存在量词命题的否定的意义. 2.会对全称量词命题和存在量词命题进行否定并判断真假. 3.能根据含量词命题的真假求参数的范围. 学习目标 新知探究1——命题的否定 “否定”是我们日常生活中经常使用的一个词，2009年11月23日《人民日报》的《创新，从敢于否定开始》一文中有这样一段话:“培养一流创新人才，敢于否定的精神非常重要，一旦下定决心进行研究，首先就要敢于否定别人的成果，并想一想:前人的成果有哪些是不对的，有什么方面可以改善，有什么地方可以加强。”结合上述这段话，谈谈你对“否定”一词的认识，并由此猜想“命题的否定”是什么意思. 新知探究1——命题的否定 可以发现，命题s是对命题t的否定，命题t也是对命题s的否定，而且，s是真命题，t是假命题. 你能说出命题s:“3 的相反数是-3”和t:“3 的相反数不是-3”这两个命题之间的关系吗?它们的真假性如何? 新知构建 1.命题的否定 一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“p”，读作“非p”或“p的否定”. 如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就是一个假命题;反之亦然. 例如：=3是一个真命题，那么≠3就是一个 命题. 假 新知探究2——存在量词命题的否定 若记s:“存在整数是自然数”，则不难看出，这个命题的否定是s:“不存在整数是自然数”.这里的命题s实际上是个存在量词命题，而且可以用符号表示为 s:Z，N; 而命题s可以表述为“每一个整数都不是自然数”，因此s是一个全称量词命题，可以用符号表示为s: Z, ∉N. 显然，这里的s是一个真命题，而s是一个假命题. 新知探究2——存在量词命题的否定 若记r:“存在实数的平方小于0”，则不难看出，这个命题的否定是r:“不存在实数的平方小于0”.这里的命题r也是一个存在量词命题，而且可以用符号表示为 r:; 而命题r可以表述为“每一个实数的平方都不小于0”，因此r是一个全称量词命题，可以用符号表示为s: . 显然，这里的r是一个 命题，而s是一个 命题. R，0 R,0 真 假 新知构建 2.存在量词命题的否定 一般地，存在量词命题“ ， ”，的否定是全称量词命题 <m></m> ， <m></m> 新知探究3——全称量词命题的否定 若记s:“每一个有理数都是实数”，则不难看出，这个命题的否定是s:“不是每一个有理数都是实数”.这里的命题s实际上是个全称量词命题，而且可以用符号表示为 s: Q， R; 而命题s可以表述为“不是每一个有理数都是实数”，因此s是一个存在量词命题，可以用符号表示为s: Q, ∉Q. 显然，这里的s是一个真命题，而s是一个假命题. 尝试练习 若记r:“每一个素数都是奇数”，用类似的方法，研究r和r的关系、符号表示以及真假性. 若用A表示所有素数组成的集合，B表示所有奇数组成的集合，则 因为2是素数且2不是奇数，所以r是假命题，r是真命题. A,B A,B 新知构建 3.全称量词命题的否定 一般地，存在量词命题“ ， ”，的否定是全称量词命题 <m></m> ， <m></m> 新知构建 全称量词与存在量词命题的否定 全称量词命题： ， ，它的否定：__________________； 存在量词命题： ， ，它的否定：__________________． 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题． <m></m> ， <m></m> <m></m> ， <m></m> p ¬p 结论 ∀x∈M，p(x)   全称量词命题的否定是 ∃x∈M，p(x) 存在量词命题的否定是 ∃x∈M，¬p(x) 存在量词命题 ∀x∈M，¬p(x) 全称量词命题 典例精讲 例1 写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假: (1) p:x∈R，x2≥-1; (2) q:x∈{l,2,3,4,5}，- < x; (3) s: 至少有一个直角三角形不是等腰三角形. 【解析】 (1): ヨx∈R，x2<-1，由是真命题可知是假命题； (2)q : ヨx∈{1，2，3，4，5)，- ≥x，将集合中的元素逐个验证，当x=1时不等式成立，因此q是真命题； (3)s : 所有直角三角形都是等腰三角形.因为有一个内角为30°的直角三角形不是等腰三角形，所以s是假命题. 典例精讲 例2 写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假: (1)p:ヨa∈R，一次函数y=x+a 的图象经过原点; (2)q:x∈(-3，十∞)，x2>9 (2)q : ヨx∈(-3，十∞)，x2≤9.因为x=0时，x2=0<9，所以q 是真命题. 【解析】 (1):x∈R，一次函数y=x+a 的的图象不经过原点.因为当a=0时，一次函数y=x+a 的图象经过原点，所以是 命题 ; 假 方法总结 全称量词命题与存在量词命题真假的判断技巧 事实上，要判定全称量词命题x∈M，r(x)是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x，验证r(x)成立；但要判定其是假命题，却只需举出集合M中的一个元素xo，使得r(xo)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”). 要判定存在量词命题ヨx∈M，s(x)是真命题，只要在限定集合M中找到一个元素xo，使得s(xo)成立即可(这就是通常所说的“举例说明”)；但要判定其是假命题，却需要说明集合M中每一个，都使得s(x)不成立. 方法总结 1.对全称量词命题否定有两个方面 （1）改变量词：把全称量词换为存在量词．即：全称量词(∀)改为存在量词(∃)． （2）否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． （3）若全称量词命题为真命题，其否定命题就是假命题；若全称量词命题为假命题，其否定命题就是真命题. 2.对存在量词命题否定有两个方面 （1）改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(∃)改为全称量词(∀)． （2）否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等． （3）由于命题与命题的否定一真一假，所以如果判断一个命题的真假困难时，那么可以转化为判断命题的否定的真假从而进行判断. 方法总结 常见词语的否定形式 原词语 否定词语 原词语 否定词语 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n个 至多有(n－1)个 小于 不小于 至多有n个 至少有(n＋1)个 任意的 某个 能 不能 所有的 某些 等于 不等于 总结起来八个字“改变量词，否定结论” 典例精讲（补充） 新知运用 解决问题 小组研讨 1.写出下列命题的否定并判断其真假： （1） <m></m> ， <m></m> ； （2） <m></m> 所有的正方形都是矩形； （3） <m></m> ， <m></m> ； （4） <m></m> 至少有一个实数 <m></m> ，使 <m></m> ． 【解析】（1） ， ，假命题． （2） 至少存在一个正方形不是矩形，假命题． （3） ， ，真命题． （4） ， ，假命题． 新知运用 解决问题 小组研讨 方法总结 求解含有量词的命题中参数范围的策略 (1)对于全称量词命题“∀x∈M，a>x(或a<x)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数x的最大值(或最小值)，即a>xmax(或a<xmin). (2)对于存在量词命题“∃x∈M，a>x(或a<x)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数x的最小值(或最大值)，即a>xmin(或a<xmax). 课堂练习A 1.(1)如果是真命题，那么是真命题还是假命题? (2)如果是真命题，那么是真命题还是假命题? 2.写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假: (1)一切分数都是有理数; (2)有些三角形是锐角三角形. 3.已知:∀x∈[-2，3)， ，写出，并判断的真假 假命题 假命题 存在一个分数不是有理数 假命题 任意三角形都不是锐角三角形不是有理数 假命题 :x∈[-2，3)， ≥9 假命题 课堂练习B 1.写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假: (1)二次函数y=(x-1)-1的图象的顶点坐标是(1，-1); (2)正数的立方根都是正数; (3)存在一个最大的内角小于 60°的三角形; (4)对任意实数t，点(t，t)都在一次函数y=x的图象上. 【解析】(1)二次函数y=(x-1)-1的图象的顶点坐标不是(1，-1); 假命题 (2)存在正数的立方根不是正数; 假命题 (3)任意三角形的最大的内角不小于 60°; 真命题 (4)至少一个实数t，点(t，t)不在一次函数y=x的图象上. 假命题 课堂练习B 2.写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假: (1)ヨx∈R，|x|+x=0; (2)∀x∈R，|x|+1-x≠0. 3.已知区间 M=[a，a+1]，且“∀x∈M，x+1>0”是真命题，求实数a的取值范围. 【解析】(1)∀x∈R，|x|+x≠0;原命题为真，否定为假 (2)ヨx∈R，|x|+1-x=0.原命题为真，否定为假 【解析】∵∀x∈M，x+1＞0恒成立，即x＞-1恒成立 ∴xmin＞-1 ∴a＞-1 感 谢 例3 由命题“∃x∈R,2x2＋3x＋a≤0”是假命题，则实数a的取值范围是________． 【解析】因为命题“∃x∈R,2x2＋3x＋a≤0”是假命题，所以其否定“∀x∈R,2x2＋3x＋a>0”是真命题，等价于方程2x2＋3x＋a＝0无实根， 所以Δ＝32－4×2×a<0，解得a>eq \f(9,8). 故实数a的取值范围是a>eq \f(9,8). 【解析】(1)由于对任意的x∈{x|1≤x≤3}都有m≥x，故只需m大于或等于x的最大值，即m≥3. (2)由于存在实数x∈{x|1≤x≤3}，使m≥x，故只需m大于或等于x的最小值，即m≥1. 2. (1)已知对任意的x∈{x|1≤x≤3}，都有m≥x，求实数m的取值范围； (2)已知存在实数x∈{x|1≤x≤3}，使m≥x，求实数m的取值范围． $$