第06讲 二次根式 单元综合检测（难点）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（沪教版）

第06讲 二次根式 单元综合检测（难点） 一、单选题 1．下列说法中，正确的是（  ） A．与互为倒数 B．若则 C．若与是同类二次根式，则与3不一定相等 D．若，则 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质及运算法则计算判断即可． 【解析】A.，不是互为倒数，选项错误； B.若，由于，则，选项错误； C.若与是同类二次根式，则与3不一定相等，选项正确； D.由可得，结合可得，，则，选项错误； 故选：C 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟记相关概念是解题是解题的关键． 2．如果，则取值范围为（　　） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据算术平方根的非负性可得，根据可得，据此即可作答． 【解析】∵算术平方根非负，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴取值范围：， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了算术平方根的非负性，二次根式的化简以及绝对值的知识，掌握二次根式的化简以及算术平方根的非负性是解答本题的关键． 3．已知，那么满足上述条件的整数的个数是（    ）. A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】利用分母有理化进行计算即可. 【解析】由原式得： 所以，因为，, 所以. 故选C 【点睛】此题考查解一元一次不等式的整数解，解题关键在于分母有理化. 4．设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b对应的小数部分，然后化简、运算、求值，即可解决问题． 【解析】 ∴a的小数部分为， ∴b的小数部分为， ∴， 故选：B． 【点睛】该题主要考查了二次根式的化简与求值问题；解题的关键是灵活运用二次根式的运算法则来分析、判断、解答． 5．当时，的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据分式的运算法则以及二次根式的性质即可求出答案． 【解析】解：原式= 将代入得， 原式 . 故选：A. 【点睛】本题考查分式的运算以及二次根式的性质，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及观察出分母可以开根号，本题属于较难题型． 6．设等式在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则的值是(　　) A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据根号下的数要是非负数，得到a（x-a）≥0，a（y-a）≥0，x-a≥0，a-y≥0，推出a≥0，a≤0，得到a=0，代入即可求出y=-x，把y=-x代入原式即可求出答案． 【解析】由于根号下的数要是非负数， ∴a（x-a）≥0，a（y-a）≥0，x-a≥0，a-y≥0， a（x-a）≥0和x-a≥0可以得到a≥0， a（y-a）≥0和a-y≥0可以得到a≤0， 所以a只能等于0，代入等式得 =0， 所以有x=-y， 即：y=-x， 由于x，y，a是两两不同的实数， ∴x＞0，y＜0． 将x=-y代入原式得： 原式=． 故选B． 【点睛】本题主要考查对二次根式的化简，算术平方根的非负性，分式的加减、乘除等知识点的理解和掌握，根据算术平方根的非负性求出a、x、y的值和代入求分式的值是解此题的关键． 二、填空题 7．若，化简： ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质，化简即可． 【解析】解：， ， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用二次根式的性质是解题关键． 8．使等式成立的条件时，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由二次根式有意义的条件可得再解不等式组即可得到答案. 【解析】解： 等式成立， 由①得： 由②得： 所以则的取值范围为 故答案为： 【点睛】本题考查的是商的算术平方根的运算法则与二次根式有意义的条件，掌握“”是解本题的关键. 9．根式化简后的结果是 ． 【答案】 【分析】由根式可知，，然后根据二次根式的性质进行化简即可． 【解析】解：由题意可知， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用二次根式的性质进行化简．解题的关键在于熟练掌握二次根式的性质及二次根式的被开方数是非负数． 10．已知，化简 ． 【答案】 【分析】利用二次根式的性质得，然后利用x的范围去绝对值后合并即可 【解析】， 原式 故答案为： 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解决此类问题的关键． 11．比较大小 【答案】 【分析】根据二次根式的性质及倒退回去即可求解． 【解析】∵依题意有， ∴，， ∴， 则，即， 故， 即， ∵， ∴，， ∴， 故＞， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查二次根式的大小比较，解题的关键是熟知二次根式及不等式的性质． 12．已知 ， 且，则 ． 【答案】 【分析】先根据，且，判断出x、y的关系代入求出算式的值是多少即可． 【解析】∵， ∴， 又，， ∴，， ∴，即， 当时， 原式 ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键． 13． ． 【答案】/ 【分析】利用完全平方公式逆运算进行化简； 【解析】解：，， ． 【点睛】本题考查二次根式的化简，应用知识点：二次根式的性质和完全平方公式，解题关键灵活运用完全平方公式． 14．，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式，算术平方根，不等式等知识．熟练掌握两个式子相等，对应部分相等，是解决问题的关键． 先去括号，根据含部分对应相等，得到，根据剩余部分对应相等，得到，即得． 【解析】∵ ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴符合， ∴ 故答案为：． 15．把四张形状大小完全相同宽为的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是 ． 【答案】16cm 【分析】根据题意分别列出关系式，得出关于图②中两块阴影部分的长和宽，再利用周长公式时行计算，去括号合并即可得到结果． 【解析】解：设小长方形卡片的长为xcm，小长方形卡片的宽为， 根据题意得： x＝－2， 则图②中两块阴影部分的长分别为：－2和2， 宽分别为：2和4－x＝6－， ∴图②中两块阴影部分的周长和是：2（－2＋2）＋2（2＋6－）＝2＋16－2＝16（cm）． 故答案为：16cm． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，在解题时要根据题意结合图形得出两块阴影部分的长和宽是解题的关键． 16．若的最大值为，最小值为，则的值为 . 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，根据二次根式有意义的条件和二次根式的非负性，根据二次根式有意义的条件和二次根式的非负性即可求出x的取值范围和y的取值范围，然后将等式两边平方得到，利用偶次方的非负数和二次根式的非负数求出的最大值和最小值，从而求出的最大值和最小值，即为，代入即可． 【解析】解：∵ ∴， 解得：， 将等式两边平方，得， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， 又∵， ∴， ∴ ∴ 故答案为：． 17．设，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式的混合运算-化简求值，直接利用混合运算法则化简，正确掌握相关运算法则是解题关键． 【解析】， ， ， ， ，， ∴ ， ∴ ， ∴原式， 故答案为：． 18．满足等式的正整数对的个数有 个 【答案】8 【分析】先将等式变为，得出，从而得出，写出正整数对即可得出答案． 【解析】解：等式可变为： ， ∵， ∴， 即， ∴， 则正整数对可以是： ，，，，，，，， ∴满足已知等式的正整数对共有8个． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是的得到． 三、解答题 19．计算： 【答案】 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可． 【解析】解： 【点睛】本题考查二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 20．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】先根据二次根式的性质，分式的性质，将代数式化简，将的分母有理化，再代入原式即可求解． 【解析】解： ， 且，， ∴原式 【点睛】本题考查了分式的化简求值，二次根式的化简，平方差公式，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键． 21．设，，为正整数，且，求的值 【答案】 【分析】首先求出和的值，然后代入已知等式整理后可得，再利用完全平方公式变形得到，进而可得答案． 【解析】解：∵，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，分式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 22．嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程： 等式①：；等式②：； 等式③：；等式④：______________；…… (1)【特例探究】将题目中的横线处补充完整； (2)【归纳猜想】若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立； (3)【应用规律】嘉嘉写出一个等式（均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律． （1）根据前个的规律即可得出答案； （2）根据特例中数字的变化规律分析求解即可，对等式的坐标进行整理，即可求证； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【解析】（1）解：由题意得：等式④：； （2）解：若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律为， 证明如下：等式左边右边； （3）解：∵（均为正整数）， ∴，， ∴ ． 23．阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较  和  的大小可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．再例如：求  的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而，当x＝2时，分母    有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： (1)由材料可知，__________； (2)比较和 的大小； (3)式子 的最小值是__________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，分子有理化： （1）根据分子有理化的方法进行求解即可； （2）利用分子有理化得到，，然后比较和的大小即可得到与的大小； （3）利用二次根式有意义的条件得到，而，利用当时，有最小值，有最小值0得到的最小值． 【解析】（1）解：， 故答案为：． （2）， ， 而，， ， ； （3）由，，得， ， 当时，有最大值，则有最小值，此时有最小值0，所以的最小值为． 24．【综合与实践】某校数学课外活动小组的同学，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题． 【探究发现】 【猜想结论】 如果，那么存在（当且仅当时，等号成立）． 【证明结论】（补全横线上的说理过程） 因为， 所以①当且仅当，即时， ，所以； ②当，即时，______． 综合上述可得：若，则成立（当且仅当时，等号成立）． 【应用结论】 （1）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？ （2）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？ 【拓展应用】（3）如图，学校计划一边靠墙，其余边用篱笆围成三小块面积均为的矩形苗圃，中间用两道篱笆隔断，设每小块苗圃垂直于墙的一边长为米，求为何值时，所用篱笆的总长度最短？最短长度是多少？ 【答案】【证明结论】见解析；【应用结论】（1）当时，函数的值最小，最小值是2；（2）当时，函数的值最小，最小值是7；【拓展应用】（3）米，米 【分析】本题考查了完全平方公式、算术平方根、利用平方根解方程、解分式方程等知识点，熟练掌握完全平方公式和算术平方根是解题关键，规律的总结和应用，能够结合实际问题熟练应用规律是解决本题的关键． 证明结论：根据题目中思路解答即可； 应用结论：（1）根据题目中给的结论将函数式进行变式，即可求出最小值； （2）先将函数式边变形为易于计算的形式，再按照题目中所给结论进行计算，求出最值； （3）由题意得：篱笆的总长度为米，先将函数式边变形为易于计算的形式，再按照题目中所给结论进行计算，求出最值，可求出钢丝网的最短长度． 【解析】解：证明结论：，所以． 应用结论： （1）根据结论可知， 所以函数的最小值为2， 此时， 解得：或（舍去）， 所以，当时，函数的值最小，最小值是2． （2）根据结论可知， 所以函数的最小值为7， 此时，，解得，或4（舍去）， 所以当时，函数的值最小，最小值是7． （3）由题意得：篱笆的总长度为米． 因为， 所以蓠笆总长度最短为米， 此时，， 所以， 答：为米时，所用篱笆总长度最短，最短长度为米． 25．（1）式子与的值与有否关系? 请说明理由；当取不同的值时，代数式的值会发生什么变化? （2）设，易知，如果还有，问之间应满足什么关系? 指出结论，再说明理由 【答案】（1）与无关系，与有关系；当时，，当时，，当时，；（2） 【分析】（1）根据二次根式的性质进行化简，最后去绝对值计算即可； （2）由可得，再变形处理即可． 【解析】（1）与有关系，与无关系．理由如下： ，与无关系； ，与有关系； ， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，， 当时，， 当时，， （2），理由如下： ∵，， ∴， ∴， 两边平方，再整理得：， 继续平方，得：， ∴ ∵， ∴． 【点睛】本题考查了考查了二次根式的化简求值：．也考查了绝对值的含义以及代数式的变形能力． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 19 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 二次根式 单元综合检测（难点） 一、单选题 1．下列说法中，正确的是（  ） A．与互为倒数 B．若则 C．若与是同类二次根式，则与3不一定相等 D．若，则 2．如果，则取值范围为（　　） A． B． C． D．或 3．已知，那么满足上述条件的整数的个数是（    ）. A．4 B．5 C．6 D．7 4．设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．当时，的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 6．设等式在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则的值是(　　) A．3 B． C．2 D． 二、填空题 7．若，化简： ． 8．使等式成立的条件时，则的取值范围为 ． 9．根式化简后的结果是 ． 10．已知，化简 ． 11．比较大小 12．已知 ， 且，则 ． 13． ． 14．，则 ． 15．把四张形状大小完全相同宽为的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是 ． 16．若的最大值为，最小值为，则的值为 . 17．设，则的值为 ． 18．满足等式的正整数对的个数有 个 三、解答题 19．计算： 20．先化简，再求值：，其中，． 21．设，，为正整数，且，求的值 22．嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程： 等式①：；等式②：； 等式③：；等式④：______________；…… (1)【特例探究】将题目中的横线处补充完整； (2)【归纳猜想】若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立； (3)【应用规律】嘉嘉写出一个等式（均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______． 23．阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较  和  的大小可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．再例如：求  的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而，当x＝2时，分母    有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： (1)由材料可知，__________； (2)比较和 的大小； (3)式子 的最小值是__________． 24．【综合与实践】某校数学课外活动小组的同学，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题． 【探究发现】 【猜想结论】 如果，那么存在（当且仅当时，等号成立）． 【证明结论】（补全横线上的说理过程） 因为， 所以①当且仅当，即时， ，所以； ②当，即时，______． 综合上述可得：若，则成立（当且仅当时，等号成立）． 【应用结论】 （1）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？ （2）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？ 【拓展应用】（3）如图，学校计划一边靠墙，其余边用篱笆围成三小块面积均为的矩形苗圃，中间用两道篱笆隔断，设每小块苗圃垂直于墙的一边长为米，求为何值时，所用篱笆的总长度最短？最短长度是多少？ 25．（1）式子与的值与有否关系? 请说明理由；当取不同的值时，代数式的值会发生什么变化? （2）设，易知，如果还有，问之间应满足什么关系? 指出结论，再说明理由 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$