圆-专题-滚动问题（讲义）2024-2025学年六年级上册数学人教版

《圆》专题：滚动问题 【回顾】 在学习圆的周长时，通过让圆在直尺上滚动一周来测量圆的周长（滚动法），认真观察这个过程，可以发现：圆心的移动轨迹是一条线段，且这条线段的长度与圆的周长相等。 这说明，圆从线段的一端滚动到线段的另一端，圆心走过的距离与这条线段的长度相等。 结论 圆沿一条直线滚动时，圆心也在一条直线上运动，并且当圆滚动一周时，圆心所走过的距离等于圆的周长。 【思考】 当圆沿着其他图形滚动时，圆心的移动轨迹又是什么形状？圆心走过的距离和圆移动扫过的面积又是多少？ 第一种情况：小圆外绕大圆 设上方左图大圆半径为R，小圆半径为r，直径为d （1）小圆圆心走过的距离：以（R+r）为半径的圆的周长（红色虚线）； （2）小圆移动扫过的面积：圆环面积，即以（R+d）为半径的大圆面积减去半径为R的圆面积（绿色部分）。 其他情况：小圆内绕大圆、大圆外绕小圆 第二种情况：圆沿正方形外围滚动 圆沿正方形外围滚动一周，设圆半径为r，直径为d （1）圆心走过的距离： 正方形的周长+1个圆周长（半径为r）（红色虚线） （2）圆移动扫过的面积： 4个长方形面积+1个圆面积（半径为圆直径d）（阴影部分） 其他情况：圆内绕正方形，圆外绕/内绕长方形 第三种情况：圆沿三角形外围滚动 设圆半径为r，直径为d （1）圆心走过的距离： 三角形周长+1个圆周长（半径为r）（虚线部分） （2）圆移动扫过的面积： 三个长方形面积+1个圆面积（半径为圆直径d）（阴影部分） 题型1：大小圆 ①小圆外绕大圆；②小圆内绕大圆；③大圆外绕小圆 1、 如图，大圆半径是3cm，小圆直径是2cm，小圆绕着大圆滚动一周。 （1） ( 小圆外绕大圆 )小圆圆心走过的路程是多少厘米？ （2） 小圆扫过的面积是多少平方厘米？ 【分析】： 根据题意，作图如下： （1） 小圆圆心走过的路程是以（3+2÷2）cm为半径的圆周长（红色虚线），根据圆的周长公式“C=2πr”即可解答； 小圆移动扫过的面积是圆环面积（绿色部分），是以（3+2）cm为半径的大圆面积减去半径为3cm的圆面积，根据圆环面积公式“S圆环=π（R²-r²）”即可解答。 【解】：（1）2π×（3+2÷2）=25.12（cm） 答：小圆圆心走过的路程是25.12厘米。 （2）π×（3+2）²-π×3²=50.24（cm²） 答：小圆扫过的面积是50.24平方厘米。 2、 如图所示，小圆半径是2cm，大圆半径是3cm。现在先由小圆绕大圆转一圈，再由大圆绕小圆转一圈。那么： （1）圆心O1经过的路程（等于）圆心O2经过的路程； （2）小圆扫过的面积（小于）大圆扫过的面积。 ( 小圆外绕大圆 大圆外绕小圆 )（填“大于”“小于”或“等于”） 【分析】： 根据题意，作图如下： （1） 由图可知，圆心O1和O2经过的路程都是以（2+3）cm为半径的圆周长（黑色虚线），根据圆周长公式“C=2πr”，半径相等，圆周长相等，故圆心O1经过的路程等于圆心O2经过的路程； （2） 小圆扫过的面积是圆环面积，是以（3+2×2）cm为半径的大圆面积减去以3cm为半径的圆面积（左图橙色部分），即：π（7²-3²）=40π；同理，大圆扫过的面积是以（2+3×2）cm为半径的大圆面积减去以2cm为半径的圆面积（右图绿色部分），即π（8²-2²）=60π。所以小圆扫过的面积小于大圆扫过的面积。 3、 如图，大圆直径10cm，小圆直径4cm，现让小圆沿着大圆的圆周，在大圆内部滚动一圈，求小圆扫过的区域的面积是多少？ ( 小圆内绕大圆 )【分析】： 根据题意，作图如下： 小圆扫过的面积是圆环面积，已知大圆直径是10cm，则： 圆环外圆半径：10÷2=5（cm） 圆环内圆半径：5-4=1（cm） 即：小圆扫过的面积等于以半径为5cm的大圆面积减去以1cm为半径的圆面积。 【解】：10÷2=5（cm） 10÷2-4=1（cm） π（5²-1²）=75.36（cm²） 答：小圆扫过的区域面积是75.36平方厘米。 题型2：圆绕正方形、长方形滚动 ①圆外绕正方形、长方形；②圆内绕正方形、长方形 1、 ( 圆外绕正方形 )正方形的边长是6厘米，圆形的半径是2厘米，当圆形绕正方形滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有多大？ 【分析】： 根据题意，作图如左： 圆扫过的面积=4个长方形面积+1个圆面积 如图中阴影所示 其中：长方形两边分别是正方形边长6、圆直径4； 1个圆面积，半径为圆直径4 【解】：已知圆的半径是2cm，直径是：2×2=4（cm） 扫过面积：4×4×6+π×4²=146.24（cm²） 答：扫过的面积146.24平方厘米。 2、 ( 圆内绕正方形 )如图，正方形的边长为4cm，一个半径为1cm的圆沿着正方形的四边内侧滚动一周，则圆滚过的面积是多少？ 【分析】：根据题意，作图如左。 圆滚过的面积=正方形面积-4个“弯角”面积 已知正方形边长是4cm 1个弯角面积=小正方形面积-S圆，其中小正方形 边长和圆半径都是1cm。 【解】：4²-4×（1²-π×1²）=15.14（cm²） 答：圆滚动的面积是15.14平方厘米。 3、 如图是边长100cm的正方形，它的内侧有一个直径20cm的圆沿边长滚动一周。 （1）这个圆心经过的总路程是多少厘米？ （2）圆形滚动不到的地方面积有多大？ 【分析】：根据题意作图。 （1）圆心经过的总路程=边长为80cm的正方形周长（绿色虚线）； （2）阴影为圆形扫过面积，滚动不到的面积即空白部分 S空白=边长60cm的正方形面积+4个“弯角”面积 【解】： （1）20÷2=10（cm） 4×（100-2×10）=320（cm） 答：这个圆形经过的总路程是320厘米。 （2）S白=边长为60cm的正方形面积+4个“弯角”面积 （100-20×2）²+4×（10²-π×10²）=3686（cm²） 答：圆形滚动不到的地方面积3686平方厘米。 4、 已知一个边长为6cm的正方形和一个半径为1cm的圆。 （1） 如果圆在正方形内，沿着正方形的边滚动一圈，圆滚动不到的地方面积是多少？圆心经过的路程是多少？ （2） 如果圆在正方形外，沿着正方形的边滚动一圈，圆扫过的面积是多少？圆心经过的路程是多少？ 【分析】：根据题意作图，图①是内绕，图②是外绕。 （1） 如图①所示。扫过的面积是阴影部分，滚动不到的地方，即空白部分。 S空白=边长2cm的正方形面积+4个“弯角”面积 圆心经过的路程=边长4cm的正方形周长 （2） 如图②所示。扫过的面积是阴影部分。 S阴影=4个长方形面积+1个圆面积，其中： 长方形两边分别为正方形边长6cm、圆直径2cm； 1个圆面积，半径为圆直径2cm。 圆心经过的路程=边长6cm的正方形周长+1个圆周长 【解】： （1） 圆直径：1×2=2（cm） 空白面积：（6-2×2）²+4×（1²-π×1²）=4.86（cm²） 圆心经过的路程：（1×2+6-2×2）×4=16（cm） 答：空白部分的面积是4.86平方厘米，圆心经过的路程是16厘米。 （2）扫过面积：2×6×4+π×2²=60.56（cm²） 圆心经过的路程：4×6+2π×1=30.28（cm） 答：扫过的面积是60.56平方厘米，圆心经过的路程是30.28厘米。 5、 图中长方形的长是10厘米，宽是4厘米，而圆形铁环的半径是1厘米，当铁环绕长方形无滑动的滚动一周又回到原来位置时。 （1） 请画出圆心走过的路钱图，并计算圆心走过的路程； （2） ( 圆外绕长方形 )圆形铁环扫过的面积有多大？ 【分析】： （1） 根据题意，作图如左： 圆心走过的路程=长方形的周长+1个圆周长（半径为1cm），黑色虚线部分。 （2） 铁环扫过的面积，图中阴影部分 圆形扫过的面积=4个长方形面积+1个圆面积 4个长方形，其中2个边长为10、2，2个边长为4、2 1个圆面积的半径是2 【解】： （1）（4+10）×2+2π×1=34.28（cm） 答：圆心走过的路程为34.28厘米。 （2）（10×2+4×2）×2+π×2²=68.56（cm²） 答：圆形铁环扫过的面积为68.56平方厘米。 6、 ( 圆内外绕长方形 )圆贴着长宽分别为10cm和6cm的长方形内侧和外侧，滚动一圈后，圆心走过的路程分别是多少？（圆的半径为1cm）。 【分析】：根据题意作图。 （1）圆在内侧滚动，运动轨迹是图中虚线① 圆心走过的路程=小长方形的周长，其中长为8cm、宽为4cm； （3） 圆在外侧滚动，运动轨迹是图中实线② 圆心走过的路程=大长方形周长+1个圆周长 其中长方形长为10cm、宽为6cm；1个圆周长，半径为1cm。 【解】： 圆在内侧滚动：（10-1×2+6-1×2）×2=24（cm） 圆在外侧滚动：（10+6）×2+2π×1²=38.28（cm） 答：圆在内侧滚动，圆心走过的距离是24厘米；圆在外侧滚动，圆心走过的距离是38.28厘米。 7、 已知AB=BC=CD=8cm，∠ABC=∠BCD=90°，一枚直径4cm的游戏币从点A出发沿着A→B→C→D无滑动滚到D点。 （1） 计算游戏币在滚动过程中圆心走过的路径长。 （2） 计算游戏币在滚动过程中扫过的面积。 【分析】：此题是圆内绕+外绕正方形的结合。圆从A→B→C是圆外绕，从B→C→D是圆内绕。根据题意作图即可解答。 （1） 圆心走过的轨迹是图中黑色虚线。 圆心走过的路程=OE+弧EF+FG+GH 其中弧EF所在圆的半径为4÷2=2（cm） （2） 扫过的面积是图中阴影部分。 扫过面积=长方形IABJ的面积+扇形JBK的面积+长方形BCMK的面积+正方形PMDN的面积+一个圆的面积-1个弯角面积 其中，扇形JBK所在圆半径为4cm 【解】： （1） 圆心走过的路程=OE+弧EF+FG+GH OE=AB=8cm，弧EF=×2π×2=π，FG=GH=8-2=6cm 8+π+6+6=23.14（cm） 答：游戏币在滚动过程中圆心走过的路径长23.14厘米。 （2）扫过面积=长方形IABJ的面积+扇形JBK的面积+长方形BCMK的面积+正方形PMDN的面积+一个圆的面积-1个弯角面积 S长方形IABJ=4×8=32（cm²） S扇形JBK=π×4²=4π S长方形BCMK=4×8=32（cm²） S正方形PMDN=4×（8-4）=16（cm²） S圆=π×2²=4π S弯角=2²-π×2²=4-π 所以，S阴影=32+4π+32+16+4π-（4-π）=76+9π=104.26（cm²） 答：游戏币在滚动过程中扫过的面积是104.26平方厘米。 题型3：圆外绕三角形滚动 1、 一个半径为1cm的圆在三角形外，紧贴三角形外周顺时针滚动，已知三角形的周长为20cm，当圆回到原处时，圆心所走的路程是多少？圆扫过的面积是多少？ 【分析】：根据题意作图。 圆心经过的路程，是图中黑色虚线 圆心经过的路程=三角形周长+1个圆周长 其中1个圆周长，圆半径为1cm 扫过的面积，是图中阴影部分 扫过的面积=3个长方形面积+1个圆面积 其中3个长方形面积=三角形周长×2 1个圆面积，圆半径为2cm 【解】：圆心经过的距离：20+2π×1=26.28（cm） 扫过的面积：2×20+π×2²=52.56（cm²） 答：圆心所走的路程是26.28厘米，圆扫过的面积是52.56平方厘米。 2、 如图，等边三角形的边长是3cm，圆形的半径是1cm，当圆形绕等边三角形滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有多大？ 【分析】：根据题意作图。 扫过的面积，是图中阴影部分 扫过的面积=3个长方形+1个圆面积 其中3个长方形的长为3cm，宽为2cm 1个圆面积，圆半径为2cm 【解】：2×3×3+π×2²=30.56（cm²） 答：扫过的面积是30.56平方厘米。 题型4：圆形轮胎路径问题 （1） 车轮滚动一周行驶的路程=车轮周长 （2） 行驶的总路程=车轮周长×圈数 （3） 前轮行驶的路程=后轮行驶的路程，即前后轮转动的周长和相等： 前轮周长×前轮转动圈数=后轮周长×后轮转动圈数 1、一辆自行车车轮的外半径为20cm，如果要行驶125.6m，车轮要转动多少圈？ 【分析】：车轮滚动一周行驶的路程就是车轮的周长。已知车轮的外半径是20cm，通过圆的周长公式“C=2πr”可求出车轮转动一圈的长度，再用125.6m除以车轮一圈的长度就可得出车轮要转动的圈数。 【解】：已知r=20cm=0.2m 车轮周长；2π×0.2=1.256（m） 转动圈数：125.6÷1.256=100（圈） 答：车轮要转动100圈。 2、一辆自行车轮胎外直径50cm，如果自行车每分钟转120周，这辆自行车每小时能行多少千米？（结果保留整千米） 【分析】：已知自行车轮胎外直径是50cm，根据圆的周长公式“C=πd”，可得轮胎的周长，自行车每分钟转120周，即每分钟行驶的路程=120×轮胎的周长，1小时=60分钟，即可解答。 【解】：每分钟行驶路程：120π×50=18840（cm） 每小时行驶路程：18840×60=1130400（cm） 1130400cm = 11.304km≈11km 答：这辆自行车每小时能行11千米。 3、 有一种自行车，前轮周长是250cm，后轮周长是180cm，高果骑这种自行车绕操场跑道一周。后轮比前轮正好多转了63圈。 （1） 前轮与后轮转过的圈数比是（18∶25）。 （2） 操场跑道一周的长是多少米？ 【分析】： （1）已知前轮与后轮走过的路程是一样，即：前轮周长×前轮转动圈数=后轮周长×后轮转动圈数，所以圈数的比是周长的反比。已知前后轮周长比是25∶18，因此转过的圈数比是18∶25。 也可列方程解答：设前轮转动圈数为X，则后轮转动圈数为X+63，根据等量关系式：前轮周长×前轮转动圈数=后轮周长×后轮转动圈数，列方程求出前轮所转动的圈数，进而得出前轮与后轮的圈数比。 （2）按照第（1）小问中前后轮转动圈数的比例关系，可知当前轮转动18圈，后轮转动25圈，走这样的1份圈数相差：25-18=7（圈），已知一圈下来相差63圈，则一共走了： 63÷7=9（份），所以周长：250×18×9÷100=405（m）。 也可根据第（1）小问列方程计算出的前轮转动圈数，进行解答。 【解】： 法一： （1）前后轮所走的总路程相同，即：前轮周长×前轮转动圈数=后轮周长×后轮转动圈数，所以圈数与周长成反比。 前轮周长∶后轮周长=250∶180，则前轮圈数∶后轮圈数=180∶250，化简得：18∶25 （2）63÷（25-18）×18×250=40500（cm）=405（m） 答：操场跑道一周的长405米。 法二： （1） 设前轮转动圈数为X，则后轮转动圈数为X+63，由题可得： 250X=180×（X+63），解得：X=162，即前轮转动162圈，后轮转动162+63=225（圈） 所以，前后轮圈数比=162∶225=18∶25 （2） 跑到一圈长度=前轮转动圈数×前轮周长，即： 162×250=40500（cm）=405（m） 答：操场跑道一周的长405米。 ( 第 1 页 共 3 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$