精品解析：海南省/海口市海南观澜湖双优实验学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

海南观澜湖双优实验学校2023—2024学年 高二年级期中考试数学试卷 命题人：刘静枝 审题人：韩阳 考试时间：120分钟 本试卷分选择题和非选择题两个部分，共19题150分，共2页，考试结束后，只交答题卡 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 数列3，5，9，17，33，…的通项公式为 A B. C. D. 2. 设，则曲线在点处的切线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 3. 等差数列中，，则该数列的前11项和 A. B. C. D. 4. 设函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 等比数列中，，是方程的两根，则等于　　 A. 8 B. C. D. 以上都不对 6. 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是 A. 为函数单调递增区间 B. 为函数的单调递减区间 C. 函数在处取得极小值 D. 函数在处取得极大值 7. 数列的前99项和为（ ） A B. C. D. 8. 设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. （多选）设在处可导，下列式子中与相等的是（ ） A. B. C. D. 10. 函数在上的最值情况为（ ） A. 最大值为12 B. 最大值为5 C. 最小值为 D. 最小值为 11. 下列函数在处的切线倾斜角是锐角的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知公比大于的等比数列满足，，则的公比______． 13. 已知数列的前项和为且满足，则数列的通项公式为______． 14. 已知函数，若在区间上单调递减，则实数的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）当，求函数的最大值与最小值. 16. 正项数列{an}满足：an2﹣（2n﹣1）an﹣2n＝0． （1）求数列{an}的通项公式an； （2）令bn，求数列{bn}的前n项和Tn． 17 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间． 18. 已知数列满足，. （1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和 19 设函数，其中． （1）当时，证明：函数没有极值点； （2）当时，试判断函数零点的个数，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 海南观澜湖双优实验学校2023—2024学年 高二年级期中考试数学试卷 命题人：刘静枝 审题人：韩阳 考试时间：120分钟 本试卷分选择题和非选择题两个部分，共19题150分，共2页，考试结束后，只交答题卡 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 数列3，5，9，17，33，…的通项公式为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用规律来推导数列的通项，注意对每项进行标序，方便推导，如： 【详解】观察可知所以通项公式是 【点睛】本题属于基础题,主要考查利用数列的规律求通项，关键是找到规律． 2. 设，则曲线在点处的切线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据导数的概念可得，再利用导数的几何意义即可求解. 【详解】因为， 所以，则曲线在点处的切线斜率为， 故所求切线的倾斜角为. 故选：C 3. 等差数列中，，则该数列的前11项和 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列前项和公式以及等差数列的性质，列式求得的值. 【详解】依题意.故选B. 【点睛】本小题主要考查等差数列的前项和公式，考查等差数列的性质，属于基础题. 4. 设函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求在处切线的斜率，进而即可得切线方程. 【详解】因为，所以，所以， 即在处切线方程的斜率为， 又因为，所以切线方程为，整理得， 故选：B 5. 等比数列中，，是方程的两根，则等于　　 A 8 B. C. D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由题意得 考点：1．二次方程根与系数的关系；2．等比数列 6. 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是 A. 为函数的单调递增区间 B. 为函数的单调递减区间 C. 函数在处取得极小值 D. 函数在处取得极大值 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数和函数的单调性之间的关系，以及函数在某点取得极值的条件，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，函数的导函数的图象可知： 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以函数单调递减区间为，递增区间为， 且函数在和取得极小值，在取得极大值， 故选D． 【点睛】本题主要考查了导函数与原函数的关系，以及函数的单调性与极值的判定，其中解答中根据导函数的图象得出原函数的单调性是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题． 7. 数列的前99项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】, ∴该数列为{}，其前99项和为：. 故选：B. 8. 设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解析：检验易知A、B、C均适合，不存在选项D的图象所对应的函数，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选D． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. （多选）设在处可导，下列式子中与相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用导数的定义对各选项逐一分析计算并判断作答. 【详解】对于A，，A满足； 对于B，，B不满足； 对于C，，C满足； 对于D，，D不满足. 故选：AC 10. 函数在上的最值情况为（ ） A. 最大值为12 B. 最大值为5 C. 最小值为 D. 最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】求出函数的导数，判断函数的单调性，即可确定极大值，判断A,B;计算区间端点处的函数值，确定函数的最小值，判断C,D. 【详解】由题意得：， 令，则 或 ， 当时，>0.，当时，, 故 是函数的极大值点， 则函数的极大值也即在上的最大值为 ，故A正确，B错误； 而当 时， ，当 时， ， 故函数在上的最小值为，故C正确，D错误， 故选：AC 11. 下列函数在处的切线倾斜角是锐角的是（ ） A B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】求出函数的导数，继而求得处的切线的斜率，根据其正负，即可判断答案. 【详解】由可得，则， 故在处的切线倾斜角是钝角，A错误； 由可得，则， 故在处的切线倾斜角是锐角，B正确； 由可得，则， 故在处的切线倾斜角是锐角，C正确； 由可得，则， 故在处的切线倾斜角是钝角，D正确； 故选：BC 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知公比大于的等比数列满足，，则的公比______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得出关于的方程，结合可求得的值. 【详解】由题意可得，则， 上述两个等式作商可得，即， 因为，解得. 故答案为：. 13. 已知数列的前项和为且满足，则数列的通项公式为______． 【答案】 【解析】 【分析】当时，，化简得，利用累乘法计算得到，满足上式，写成分段的形式即可. 【详解】当时，， 化简得，，利用累乘法得 ， 显然满足上式， 所以 故答案为： 14. 已知函数，若在区间上单调递减，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求得的导函数，进而求得函数的单调递减区间，结合题意将原问题转化为子区间的问题，得到关于的不等式组，求解不等式组即可求得实数m的取值范围. 【详解】因为， 令，可得， 所以要使函数在区间上单调递减， 则区间是区间的子区间， 所以，求解不等式组可得：， 解得，所以实数取值范围是. 故答案是：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）当，求函数的最大值与最小值. 【答案】（1）增区间为：和，减区间为：；（2）最大值为8，最小值为. 【解析】 【分析】 （1）先对函数求导，然后由导数大于零可求其增区间，由导数小于零可求得其减区间； （2）由（1）可知，在上递减，在上递增，从而可求出其最值 【详解】（1）函数， 由得或，由得 函数的增区间为：和，减区间为： （2），由（1）可得 x 0 2 3 8 单调递减 单调递增 2 函数的最大值为8，最小值为. 【点睛】此题考查利用导数求函数的单调区间，利用导数求函数的最值，属于基础题 16. 正项数列{an}满足：an2﹣（2n﹣1）an﹣2n＝0． （1）求数列{an}的通项公式an； （2）令bn，求数列{bn}的前n项和Tn． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）根据数列的递推关系，即可求数列{an}的通项公式an； （2）求出bn的通项公式，利用裂项法即可得到结论． 【详解】解：（1）∵an2﹣（2n﹣1）an﹣2n＝0， ∴（an﹣2n）（an+1）＝0， 又∵各项为正，∴an＝2n． （2）∵bn， ∴数列{bn}的前n项和Tn（1）， 【点睛】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和，利用裂项法是解决本题的关键． 17. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）求出、代入直线的点斜式方程可得答案； （2）分、、讨论，利用导数判断可得答案． 【小问1详解】 若，则， ，所以， ， 所以曲线在点处的切线方程为， 即； 【小问2详解】 ， 当时，， 在上单调递增， 当时，由得，或， 由得， 所以在上单调递增，在上单调递增， 在上单调递减； 当时，由得，或， 由得， 所以在上单调递增，在上单调递增， 在上单调递减； 综上所述， 当时，单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，， 单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，， 单调递减区间为. 18. 已知数列满足，. （1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和 【答案】（1）见解析（2） 【解析】 【分析】（1）将式子合理变形，即可化成，从而证明是以首项为2，公比为2的等比数列，并利用等比数列通项公式求出的通项公式. （2）由数列的通项公式是由等比数列与等差数列通项公式乘积得到，即可判断其可运用错位相减法求解前n项和. 【详解】（Ⅰ）证明：由题意可得： ，则，又 故是以首项为2，公比为2的等比数列， 所以，故 （2）由（1）知 【点睛】本题主要考查了等比数列的证明，以及错位相减法的运用，属于中档题.对于等比数列的证明主要有两种方法：（1）定义法，证得即可，其中为常数；（2）等比中项法：证得即可. 19. 设函数，其中． （1）当时，证明：函数没有极值点； （2）当时，试判断函数零点个数，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）当时，函数在上有两个零点，理由见解析 【解析】 【分析】（1）求出导函数，根据及可得，从而判断单调性即可求解； （2）由（1）知，令，则，由，可得，进而有在上单调递减，根据函数零点存在定理可得，使，从而有在上单调递增，在上单调递减，再利用函数零点存在定理即可求解. 【小问1详解】 证明：因为， 所以当时，，从而， 所以在上单调递增， 所以函数没有极值点； 【小问2详解】 解：由（1）知， 令，则， 因为，所以， 所以在上单调递减，又，当时，， 所以，使， 所以当时，，即，所以在上单调递增， 当时，，即，所以在上单调递减， 所以为函数的极大值， 又，当时，，当时，， 所以，使；，使. 所以当时，函数在上有两个零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$