1.3.1 等比数列及其通项公式（教学课件）数学湘教版2019选择性必修第一册

湘教版2019高一数学（选修一） 第一章 数列 1.3.1 等比数列及其通项公式 1.3 等比数列 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 分层练习 错因分析 学习目标 (1)理解等比数列的概念和通项公式的意义． (2)掌握等比数列的通项公式． (3)能在具体问题情景中，发现数列的等比关系，并 解决相应的问题． 情景导入 观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题. (1)我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？” 构成数列：9，92，93，94，95，96，97，98； 类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？ 本节课我们就来探讨一下等比数列的概念！找出下列问题的规律 我们通过除法运算探究以上数列的取值规律. 情景导入 1.等比数列的概念 新知探究 在现实生活中，我们还会遇到下面一类特殊数列． （1）计算机的内存容量通常是指随机储存器（RAM）的容量，是内存条的关键性参数．进入 21世纪以来，计算机中主流采用的内存容量 （单位：MB）从小到大组成数列 128，256，512，1 024，2 048，4 096，8 192． （2）若某张报纸的厚度记为 t，面积记为 A，将其重复对折6次，可得到如下表所示的数据： 对折过程中报纸厚度和报纸面积分别组成数列： ② ③ 对折次数 报纸厚度 报纸面积 0 t=·t 1 2t=·t 2 4t=·t 3 8t=·t 4 16t=·t 5 32t=·t 6 64t=·t （3）图1.3-1中的三角形图案称为谢宾斯基三角形.图案中绿色三角形的个数依次组成数列 1，3，9，27，……. ． ④ 对于数列② ． 从第 2 项起，每一项与前一项的比都等于2； 对于数列③ ． 从第 2 项起，每一项与前一项的比都等于 ； 对于数列④1，3，9，27，……. ． 从第 2 项起，每一项与前一项的比都等于3； 研究这些数列的特征及变化规律，我们可以发现： 对于数列①128，256，512，1 024，2 048，4 096，8 192． 从第 2 项起，每一项与前一项的比都等于2； 由此我们就可以得到等比数列的概念 概念归纳 显然，若数列{an}为等比数列，那么它的递推关系为： 数列①、②、③、④均为等比数列，它们的公比分别为2，2， ，3． 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数，那么这个数列称为等比数列，这个常数叫作等比数列的公比.公比通常用字母q 表示（q≠0）. 若等比数列{an}的首项a1，公比为q ，那么根据等比数列的定义可得： 可得： a2=a1q ； a3=a2q= a1q2 ； a4=a3q= a1q3 ； …… 猜想： an=an－1q=a1qn－1． 我们能否找到等比数列的通项公式呢？ 2.等比数列的通项公式 新知探究 若等比数列{an}的首项a1，公比为q ，那么根据等比数列的定义可得： 把这n－1个式子相乘可得： 即 所以 an=a1qn－1． 验证结论 当n=1时，等式两边均为a1，这表明该等式对任意n∈N+都成立，因此等比数列{an}通项公式为： an=a1qn－1（n∈N+） 根据等比数列的通项公式，我们可以得到下列数列的通项公式． ① 128，256，512，1 024，2 048，4 096，8 192． ② ． ③ ． ④ 1，3，9，27，……. ． 一般地，如果等比数列{an}的首项为a1，公比为q ，那么该等比数列的通项公式为：an=a1qn－1 ． 概念归纳 例 1 已知数列{an}是等比数列． （1）若a2=2，a5=54，求{an}的通项公式； （2）若a1=125，q = 0.2，an=3.2ⅹ10-4，求 n ． 解：（1）由等比数列的通项公式，可知 a2=a1q = 2 ， ① a5=a1q4 = 54 ． ② 由②÷①得 q3=27，即q=3． 因此 因此，这个数列的通项公式是 课本例题 例 1 已知数列{an}是等比数列． （1）若a2=2，a5=54，求{an}的通项公式； （2）若a1=125，q = 0.2，an=3.2ⅹ10-4，求 n ． 解：（2）由等比数列的通项公式，得 又 因此，54-n = 5-5 ，即n = 9． 课本例题 例 2 证明：非零实数a，b，c成等比数列的充要条件是 b2=ac ． 证明：如果非零实数a，b，c成等比数列，由等比数列的定义得 ， 那么b2=ac ． 反过来， 如果非零实数a，b，c满足b2=ac ， 那么 ， 由等比数列的定义知，a，b，c成等比数列． 因此，非零实数a，b，c成等比数列的充要条件是 b2=ac ． 课本例题 在两个数a，b之间插入数G，使a，G，b成等比数列，则G称为a与b的等比中项． G 为a与b的等比中项 ⟺ G2 =ab． 两非零实数a，b有等比中项的前提是：ab>0． 解：设污水中污染物的初始含量为 a0，又设 n h 后残留在池中的污染物 含量为 an，这个问题的数学模型是数列{an}，它满足 因此，数列{an}是以0.88a0为首项，以0.88为公比的等比数列． 利用通项公式，得an=0.88na0． 例 3 某污水处理厂采用技术手段清除水中污染物的同时，还能生产出有用的肥料和清洁用水，在处理过程中，每小时可以从处理池中清除掉残留污染物的12%． （1）一天后污染物含量降低到什么程度？ （2）使污染物含量减半至少要多少小时（结果保留整数）？ 课本例题 课本例题 解：设污水中污染物的初始含量为 a0， 又设 n h 后残留在池中的污染物含量为 an，则an=0.88na0． （2）为求何时污染物含量会减半，从an=0.88na0=0.5a0， 得n=log0.880.5≈5.42 故使污染物含量减半至少要6h 例 3 某污水处理厂采用技术手段清除水中污染物的同时，还能生产出有用的肥料和清洁用水，在处理过程中，每小时可以从处理池中清除掉残留污染物的12%． （1）一天后污染物含量降低到什么程度？ （2）使污染物含量减半至少要多少小时（结果保留整数）？ 性质 如果数列{an}为等比数列，那么 an= am qn－m，(n，m∈N+) ． 证明：记等比数列{an}的公比为q，则 an=a1qn－1 ， am=a1qm－1 ， 两式相除，得 即 an=amqn－m ． 概念归纳 结论验证： 19 性质 如果an，am，at，as为等比数列{an}的项，且n＋m=k＋l， （n，m，k，l∈N+）那么 an am = ak al． 特别地，若n＋m=2k，那么 an am = ak2． 证明：记等比数列{an}的公比为q，则 an=a1qn－1 ， am=a1qm－1 ， ak=a1qk－1，al=a1ql－1， 所以 anam =a12 qn＋m－2，akal=a12 qk＋l－2， 又 n＋m=k＋l，所以 anam = akal． 概念归纳 结论验证： 20 概念归纳 等比数列： 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数，那么这个数列称为等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母 q表示(q ≠ 0) 等比数列的通项公式： 一般地，如果等比数列{an}的首项为a1，公比为q ，那么该等比数列的通项公式为：an=a1qn－1 21 等比数列通项公式的性质： 若数列{an}为等比数列，那么 an= am qn－m，(n，m∈N+) 若数列{an}为等比数列，且n＋m=k＋l，(n，m，k，l∈N+)， 则 an am = ak al． 特别地，若n＋m=2k，那么an am = ak2． 概念归纳 解析：因为所以 由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2， 于是a1＝＝，所以an＝a1qn－1＝. 典例剖析 题型1　等比数列通项公式的应用 例1　在等比数列{an}中 (1)a4＝2，a7＝8，求an； 解析：方法一　由已知可得 由得q＝，从而a1＝32. 又an＝1，所以32×＝1， 即26－n＝20，所以n＝6. 方法二　因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝. 由a1q＋a1q4＝18，得a1＝32. 由an＝a1qn－1＝1，得n＝6. (2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n. 等比数列中求an的2种常用方法 归纳总结 解析：设公比为q， 由已知得6＋6q＋6q2＝78， 即q2＋q－12＝0， 解得q＝3或q＝－4(舍去)． ∴a2＝6q＝6×3＝18. 1.在等比数列{an}中，an>0，已知a1＝6，a1＋a2＋a3＝78，则a2等于(　　) A．12 B．18 C．24 D．36 练一练 B 解析： ∵数列{an}为等比数列， ∴a4＋a6＝a2q2＋a2q4＝2(q2＋q4)＝，即16q4＋16q2－117＝0， ∴(4q2＋13)(4q2－9)＝0，解得q2＝，即q＝±.经检验q＝±均满足题意． 2.已知{an}为等比数列，且a2＝2，a4＋a6＝，则{an}的公比q等于(　　) A． B． C．－ D．± D 练一练 典例剖析 例2　已知等比数列的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项． 题型2　等比中项及其应用 解析：设该等比数列的公比为q，首项为a1，因为a2－a5＝42，所以q≠1， 由已知，得，所以， 因为1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)，所以由②除以①，得q(1－q)＝. 所以q＝.所以a1＝＝96. 若G是a5，a7的等比中项， 则应有G2＝a5a7＝a1q4·a1q6＝q10＝962×＝9. 所以a5，a7的等比中项是±3. 归纳总结 (1)首项a1和q是构成等比数列的基本量，从基本量入手解决相关问题是研究等比数列的基本方法． (2)解题时应注意同号的两个数的等比中项有两个，它们互为相反数，而异号的两个数没有等比中项． 解析：∵－1，a，b，c，－9成等比数列， ∴a2＝(－1)×b，b2＝(－1)×(－9)＝9， ∴b<0，∴b＝－3. 又b2＝ac，∴ac＝9. 3.如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么(　　) A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9 C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9 练一练 B 例3　某学校实验室有浓度为2 g/ml和0.2 g/ml的两种K溶液．在使用之前需要重新配制溶液，具体操作方法为取浓度为2 g/ml和0.2 g/ml的两种K溶液各300 ml分别装入两个容积都为500 ml的锥形瓶A，B中，先从瓶A中取出100 ml溶液放入B瓶中，充分混合后，再从B瓶中取出100 ml溶液放入A瓶中，再充分混合．以上两次混合过程完成后算完成一次操作．设在完成第n次操作后，A瓶中溶液浓度为an g/ml，B瓶中溶液浓度为bn g/ml.(lg 2≈0.301，lg 3≈0.477) (1)请计算a1，b1，并判定数列{an－bn}是否为等比数列？若是，求出其通项公式；若不是，请说明理由； 题型3　等比数列的实际应用 典例剖析 解析：由题意，得b1＝＝0.65 g/ml， a1＝＝1.55 g/ml. 当n≥2时，bn＝(300bn－1＋100an－1)＝(3bn－1＋an－1)， an＝(200an－1＋100bn)＝(3an－1＋bn－1)， ∴an－bn＝(an－1－bn－1)， ∴等比数列{an－bn}的公比为， 其首项a1－b1＝1.55－0.65＝0.9， ∴an－bn＝0.9·. 解析：由题意可知，问题转化为解不等式0.9·<10－2， ∴n>1＋≈7.49， ∴至少要操作8次才能达到要求． (2)若要使得A，B两个瓶中的溶液浓度之差小于0.01 g/ml，则至少要经过几次？ 归纳总结 解等比数列应用题的一般步骤 解析：根据题意，设从本月起，每月的用户数形成一个等比数列{an}， 则首项a1＝500，公比q＝1＋10%＝1.1， 则由an＝500×1.1n＝10 000可得，1.1n＝20， 则n＝log1.120≈31.4，所以大约经过32个月可使用户达到1万人． 4.某教育网站本月的用户为500人，网站改造后，预计平均每月的用户都比上一个月增加10%，那么从本月起，大约经过几个月可使用户达到1万人(精确到1)? 练一练 1.某细菌培养过程中，每15分钟分裂1次，经过2小时，这种细菌由1个繁殖成（ ） A.64个 B.128个 C.256个 D.255个 随堂练 C 2.若互不相等的实数a，b，c成等差数列，a是b，c的等比中项，且a＋3b＋c＝10，则a的值是( ) A.1 　　　　B.－1 　　　　C.－3 　　　　D.－4 D 3.写出一个公比为3，且第三项小于1的等比数列an＝___________________. 随堂练 4.若{an}为等比数列，且3a4＝a6－2a5，则公比是________. －1或3 错因分析 易错辨析　忽略等比数列各项的符号规律致错 例4　在等比数列{an}中，a5＝1，a9＝81，则a7＝(　　) A．9或－9 B．9 C．27或－27 D．－27 解析：由等比中项的性质得＝a5a9＝81，∴a7＝±9，由于等比数列中的奇数项的符号相同，所以a7＝9. B 【易错警示】 出错原因：没有弄清等比数列各项的符号规律，直接由等比中项得 a7＝±9，错选A. 纠错心得：在等比数列中，奇数项的符号相同，偶数项的符号相同． 解此类题时要小心谨慎，以防上当． 错因分析 分层练习-基础 （ ） D 40 2.下面四个数列中，一定是等比数列的是（ ） A.q,2q,4q,6q B.q，q2，q3，q4 C.q,2q,4q,8q 分层练习-基础 D 3.在等比数列{an}中，若a4＝8，q＝－2，则a7的值为（ ） A.－64 B.64 C.－48 D.48 A 4.在等比数列a,2a＋2,3a＋3中，a等于（ ） A.4 B.－4 C.－1 D.2 5.已知正项等比数列{an}，若3a1， ，2a2成等差数列，则{an}的公比q 等于（ ） A.2 　　　　B.－2 　　　　C.－3 　　　　D.3 分层练习-基础 B D 分层练习-基础 6.(多选)已知a是1,2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab等于 A.6 　　　　B.－6 　　　　C.－12 　　　　D.12 7.在等比数列{an}中，a1＝－2，a3＝－8，则数列{an}的公比为______，通项公式为an＝___________. (－2)n或－2n （ ） AB ±2 8.若公差不为0的等差数列{an}满足a3＝5，a1，a2，a5成等比数列，则a1＝____. 1 分层练习-基础 9.某公司的月销售额近几年下跌严重，从某年的6月销售额128万元，到8月跌至32万元，你能求出该公司该年7月到9月之间平均每月下降的百分比吗？若按此计算，什么时候月销售额跌至8万元？ 设每月平均下降的百分比为x， 则每月的销售额构成了等比数列{an}， a1＝128，则a2＝a1(1－x)， a3＝a1(1－x)2＝128(1－x)2＝32， 解得x＝50%. 设an＝8，an＝128(1－50%)n－1＝8，解得n＝5， 即从该年6月算起第5个月，也就是在该年的10月，该公司的月销售额跌至8万元. 10.(1)已知{an}为等比数列，且a5＝8，a7＝2，该数列的各项都为正数，求an； 设等比数列{an}的公比为q，由题意知q>0. 分层练习-基础 由an＝a1·qn－1， 分层练习-基础 (3)若等比数列{an}中，an＋4＝a4，求公比q. ∵an＋4＝a1qn＋3，a4＝a1q3， 又an＋4＝a4，∴qn＝1， ∴当n为偶数时，q＝±1；当n为奇数时，q＝1. 分层练习-基础 11.在等比数列{an}中，已知a1＝2，a1－a3＋a5＝26，则a3等于（ ） A.20 　　　　B.12 　　　　C.8 　　　　D.4 12.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 分层练习-巩固 C C 13.画一个边长为2的正方形，再以这个正方形的一条对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的一条对角线为边画第3个正方形，……，这样共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________. 2 048 14.若等差数列{an}满足a1＋a2＝10，a4－a3＝2，则an＝________；若{bn}是等比数列，且b2＝a3，b3＝a7，b6＝ak，则k＝_____. 2n＋2 63 分层练习-巩固 分层练习-巩固 15.设有四个数的数列{an}，该数列前3项成等比数列，其和为m，后3项成等差数列，其和为6，则实数m的取值范围为（ ） A.m≥6 　　　　B.m≥ 　　　　　C.m≤6 　　　　D.m≥2 B 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 17.在①a3＝5，a2＋a5＝6b2；②b2＝2，a3＋a4＝3b3；③S3＝9，a4＋a5＝8b2三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答. 已知等差数列{an}的公差为d(d>1)，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，且a1＝b1，d＝q，________；求数列{an}，{bn}的通项公式. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 分层练习-拓展 由题意，后3项成等差数列，其和为6，故可设公差为d，后3项可写成2－d,2,2＋d. 分层练习-拓展 选条件①： 因为a3＝5，所以a1＋2d＝5， 因为a2＋a5＝6b2，a1＝b1，d＝q， 所以2a1＋5d＝6a1d， 则a1＝b1＝1，d＝q＝2， 故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1. 选条件②： 因为b2＝2，a1＝b1，d＝q，所以a1d＝2， 因为a3＋a4＝3b3，所以2a1＋5d＝3a1d2， 分层练习-拓展 则a1＝b1＝1，d＝q＝2， 故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1， bn＝b1qn－1＝2n－1. 选条件③： 因为S3＝9， 所以3a1＋3d＝9， 因为a4＋a5＝8b2，a1＝b1，d＝q， 所以2a1＋7d＝8a1d， 则a1＝b1＝1，d＝q＝2， 故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝b1qn－1＝2n－1. 分层练习-拓展 课堂小结 1.知识清单： (1)等比数列的概念. (2)等比数列通项公式的基本运算. (3)等比中项的概念. (4)等比数列的应用. 2.方法归纳：方程(组)思想、构造法. 3.常见误区：x，G，y成等比数列⇒G2＝xy，但G2＝xy⇏x，G，y成等比数列. (2)《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，这句话中隐藏着一列数：，，，，，…； (3)－的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…，依次排成一列数：－，，－，，…. 对于(3)，＝－，＝－，…；也有相同的取值规律. 对于(1)，我们发现＝9，＝9，＝9，…，也就是说从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于9； 对于(2)，＝，＝，…； ×3n－1(答案不唯一) 1.数列1，－，，－，，…的一个通项公式为 A.n－1 B.n C.(－1)nn－1 D.(－1)n＋1n－1 D.，，， a3 ∵q>0，∴q＝， ∴an＝128×n－1＝. 由已知得 解得 即n－1＝3，解得n＝4. 得＝×n－1， (2)若等比数列{an}的首项a1＝，末项an＝，公比q＝，求项数n； 16．[2022·山东泰安高二期末]“绿水青山就是金山银山”是时任浙江省委书记习近平同志于2005年8月15日在浙江湖州安吉考察时提出的科学论断，2017年10月18日，该理论写入中共19大报告，为响应总书记号召，我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方公里，其中70%是沙漠(其余为绿洲)，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的 4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第n年绿洲面积为an万平方公里． (1)求第n年绿洲面积an与上一年绿洲面积an－1(n≥2)的关系； (2)判断是否是等比数列，并说明理由； (3)至少经过几年，绿洲面积可超过60%？(lg 2≈0.301 0) 解析：(1)由题意得 an＝(1－4%)an－1＋(1－an－1)×16%＝0.96an－1＋0.16－0.16an－1＝0.8an－1＋0.16＝an－1＋， 所以an＝an－1＋； (2)由(1)得an＝an－1＋，∴an－＝， 所以是等比数列． (3)由(2)有an－＝， 又a1＝，所以a1－＝－， ∴an－＝－，即an＝－＋； an＝－＋>，即<，两边取常用对数得：(n－1)lg <lg ， 所以(n－1)>＝＝＝ ＝＝≈4.1， ∴n>5.1. ∴至少经过6年，绿洲面积可超过60%. ∴m＝＋2－d＋2 ＝d2－3d＋6＝(d－3)2＋≥. ∵前3项成等比数列，根据等比中项的性质，可知第1项为， ∴数列{an}为，2－d,2,2＋d. 联立 解得或(舍去)， 联立 解得或(舍去)， 联立 解得或(舍去)， $$