21.2.3解一元二次方程—因式分解（教学课件）-2024-2025学年九年级数学上册同步教学精品课件（人教版）

第二十一章 一元二次方程 人教版·九年级·上册·第二十一章·一元二次方程 21.2.3 解一元二次方程 因式分解法 学习目标 知识与技能： 过程与方法： 情感态度与价值观： 理解因式分解的目的是将一元二次方程化成两个一元一次方程，也就是“降次” 回顾因式分解的步骤和完全平方公式及平方差公式，理解并掌握用因式分解解一元二次方程化。 通过使用因式分解解方程的这一过程，体会数学知识之间的相互联系，以及在“降次”过程之中体会将未知问题转化为已知问题求解的这一数学思维方法。 知识回顾 1、因式分解： 因式分解是指把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，常用的因式分解的方法有提公因式法、公式法和十字相乘法。 2、因式分解的一般步骤： （1）能提公因式的先提公因式； （2）然后再利用两个完全平方公式、平方差公式或十字相乘法进行因式分解； （两个平方项时考虑平方差公式，三项式时考虑完全平方公式和十字相乘法） （3）要分解到不能再分解为止； 探究引入 探究1：如果 ，请问值有哪些情况？ 情况： （2）要么 （1）要么 探究2：如果为，请尝试猜出它的解是多少？并进行验证。 解析 的形式 ：将; 代入原方程之中，原方程成立 探究3：通过以上两个探究，各位同学对解一元二次方程有没有什么新的想法呢？请通过以下几个方程试试你的想法？ 解：方程左边提公因式， 得 ∴ ∴ 解：方程左边可化为： ∴ ∴ 利用提公因式法进行因式分解化为 的形式 利用平方差公式法进行因式分解 的形式 解：方程左边可化为： ∴ 解： ∵ ∴ 方程左边可化为 ∴ ∴ 利用十字相乘法进行因式分解 的形式 利用完全平方公式法进行因式分解 的形式 新知讲解 一、解一元二次方程： 方法四：因式分解法 1. 概念： 通过因式分解把一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式； 再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次； 这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法； 典例练习 例1、利用因式分解法解下列方程 解：在方程左边提公因式，得 ∴ 或 ∴ 解：移项，得 在方程左边利用完全平方公式进行因式分解，得 ∴ ∵ 解：在方程左边利用平方差公式进行因式分解，得 ∴ ∴ 或 ∴ 或 ∴ 解：在方程左边利用十字进行因式分解，得 4 ∴ ∴或 ∴或 ∴ 典例小结 2. 几种常见的用因式分解法求解的方程： （1）形如的一元一次方程; 用提公因式法进行因式分解 （2）形如的一元一次方程; 用平方差公式法进行因式分解 （3）形如的一元一次方程; 用完全平方公式法进行因式分解 （4）形如的一元一次方程; 用十字相乘法进行因式分解 课堂练习 1. 请直接写出一元二次方程 的解（ ） 2. 已知某一元二次方程的解为请问该方程为 。 解：∵ 该一元二次方程的解为 ∴ 该一元二次方程可写为 整理 3. 利用多种解法解下列方程 解 ：去括号，得 方法一：配方法 移项 ， 得 合并同类项，得 二次项系数化为1，得 配方，得 ∴ 方法二：公式法 解 原方程有两个不相等的实数根 ∴ 方法三 : 因式分解法 解 不能使用因式分解法解该方程 因式分解法只适用于部分一元二次方程 配方法和公式法适用于所有一元二次方程 4. 用适当的方法解下列方程 解 方程两边同时除以2，得 方程左边利用平方差公式进行因式分解，得 即 ∴ ∴ 或 ∴ 解法一：因式分解法 解 移项，得 即 直接开平方，得 ∴ 或 ∴ 或 ∴ 解法二：直接开平方法 亦可用配方法和公式法 解 移项，得 方程两边同时加上，得 配方，得 ∴ 或 ∴ 或 ∴ 解法一：配方法 ∴ 解 解法二：公式法 原方程有两个不相等的实数根 ∴ 不能用直接开平方和因式分解 解 方程可化为 方程左边利用平方差公式进行因式分解，得 ∴ 或 ∴ 解法一：因式分解法 移项，得 即 解 方程可化为 解法二：公式法 移项合并同类项，得 原方程有两个不相等的实数根 ∴ $$