1.2.2全称量词与存在量词（3知识点+5题型+巩固训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（北师大版2019必修第一册）

2.2全称量词与存在量词 课程标准 学习目标 1.理解全称量词与存在量词的意义 2.全称命题和特称命题真假的判定， 1.理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词. 2.了解全称量词命题、存在量词命题的概念，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断命题的真假性. 知识点01 全称量词与全称量词命题 全称量词 量词 所有的、任意一个 符号 ∀ 命题 含有全称量词的命题是全称量词命题 命题形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 【即学即练1】（多选）（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（         ） A．矩形的对角线互相平分且相等 B．对任意非正数c，若，则 C．有些菱形不是平行四边形 D．对任意实数x，不等式恒成立 【即学即练2】（24-25高一上·全国·课堂例题）用量词符号“”表述下列命题． (1)对任意成立； (2)对所有实数，方程恰有一个解； 知识点02 存在量词与存在量词命题 存在量词 量词 存在一个、至少有一个 符号 ∃ 命题 含有存在量词的命题是存在量词命题 命题形式 “存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 【即学即练3】（多选）（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（    ） A． B． C．至少有一个无理数，使得是有理数 D．有的有理数没有倒数 【即学即练4】（24-25高一上·全国·课堂例题）用量词符号“”表述下列命题． (1)有些整数既能被整除，又能被整除； (2)某个四边形不是平行四边形． 知识点03 含有量词命题的否定 p p 结论 全称量词命题∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 存在量词命题∃x∈M，p(x) ∀x∈M，p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 【即学即练5】（24-25高一上·上海·单元测试）命题“任意，”的否定为（　　） A．任意， B．存在， C．任意， D．存在， 【即学即练6】（24-25高一上·全国·课堂例题）写出下列命题的否定： (1)所有的矩形都是平行四边形； (2)每一个素数都是奇数； (3)0； 它们与原命题在形式上有什么变化？ 难点：分类讨论思想的运用 示例1：（23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知命题：R，使为假命题． (1)求实数的取值集合； (2)设为非空集合，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 难点：数形结合的应用 示例2：（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知命题：“，使等式成立”是真命题. (1)求实数的取值集合； (2)设不等式的解集为，若是的必要条件，求的取值范围. 【题型1：全称量词命题与存在量词命题的判断】 例1．（24-25高一上·全国·随堂练习）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题： (1)负数没有倒数； (2)至少有一个整数，它既能被2整除；又能被5整除； (3){x|x是无理数}，是无理数； (4)，则. 变式1．（2023高一·江苏·专题练习）判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题： (1)正方形的四条边相等； (2)至少有一个正整数是偶数； (3)正数的平方根不等于0； (4)有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形. 变式2．（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习）判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并说明理由． (1)对一切实数a，b恒成立； (2)至少存在一对整数x，y，使得方程成立； (3)所有正方形的对角线都互相垂直． 变式3．（22-23高一·全国·随堂练习）判断下列命题是不是全称量词命题，如果是，指出其中的全称量词： (1)每一个多边形的外角和都是； (2)所有的素数都是奇数； (3)对任意的无理数x，也是无理数； (4)，x都有平方根； (5)，有． 变式4．（23-24高一·江苏·假期作业）判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题. (1)凸多边形的外角和等于； (2)矩形的对角线不相等； (3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； (4)有些实数a，b能使； (5)方程有整数解. 变式5．（20-21高一·江苏·课后作业）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题． （1）有的质数是偶数； （2）所有的质数都是奇数； （3）负数的平方是正数； （4）每一个多边形的外角和都是360°. 变式6．（20-21高一·江苏·课后作业）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题： （1）任何实数的平方都是非负数； （2）任何数与0相乘，都等于0； （3）任何一个实数都有相反数； （4）有些三角形的三个内角都是锐角. 变式7．（21-22高一上·全国·课前预习）判断下列命题是全称命题还是特称命题. （1）xR，x2+1≥1； （2）所有素数都是奇数； （3）存在两个相交平面垂直于同一条直线； （4）有些整数只有两个正因数. 【方法技巧与总结】 全称量词命题或存在量词命题的判断 注意：全称量词命题可以省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略． 【题型2：全称量词命题与存在量词命题的改写】 例2．（2023高一·江苏·专题练习）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“”或“”表示下列命题： (1)自然数的平方大于或等于零； (2)有的一次函数图象经过原点； (3)所有的二次函数的图象的开口都向上． 变式1．（21-22高一上·全国·课后作业）用量词“∀”表达下列命题： (1)实数都能写成小数形式; (2)凸n边形的外角和等于360°; (3)任意一个实数乘 都等于它的相反数． 变式2．（22-23高一上·陕西宝鸡·期末）用符号“”与“”表示下列含有量词的命题，并判断真假． (1)对任意实数，方程有实根； (2)存在实数，使得； (3)存在实数，使得等于的10倍． 变式3．（20-21高一上·湖南郴州·阶段练习）将下列命题用“”或“”表示. (1)任意实数的平方不小于0； (2)存在一个无理数，它的平方是有理数. 变式4．（21-22高一·全国·单元测试）指出下列命题中的全称量词或存在量词，并用量词符号“”或“”表示下列命题． (1)所有实数都能使成立； (2)对所有实数，，方程恰有一个解； (3)存在整数，，使得成立； (4)存在实数，使得与的倒数之和等于1． 变式5．（21-22高一上·全国·课前预习）用符号“”“ ”表示下列含有量词的命题． （1）实数的平方大于等于0； （2）存在实数对使成立． （3）至少有一个实数使不等式成立． （4）对所有正实数为正数，且． 变式6．（22-23九年级·全国·随堂练习）用量词符号“”“”表示下列命题： (1)存在一个多边形，其内角和是； (2)任何一个实数乘以后，都等于这个实数的相反数； (3)存在实数，. 变式7．（20-21高一·江苏·课后作业）用量词符号“∀”“∃”表示下列命题，并判断真假． （1）实数都能写成小数形式； （2）存在实数m，n，使m－n＝1. 变式8．（2021高一·全国·专题练习）用符号“∃”表示下列含存在量词的命题． （1）有的自然数的平方不大于零； （2）圆x2＋y2＝r2上有到圆心的距离大于r的点； （3）存在一对整数x，y，使得2x＋4y＝3； （4）存在一个无理数，它的立方是有理数． 【题型3：全称量词命题与存在量词命题的真假】 例3．（24-25高一上·全国·随堂练习）判断下列全称量词或存在量词命题的真假． (1)对每一个无理数x，x2也是无理数． (2)末位是零的整数，可以被5整除． (3)∀x∈R，有|x＋1|>1. (4)有的集合中不含有任何元素． (5)存在对角线不互相垂直的菱形． (6)∃x∈R，满足3x2＋2>0. (7)有些整数只有两个正因数． 变式1．（22-23高一·全国·课堂例题）判断下列命题的真假： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，； (5)设，，是平面上不在同一直线上的三点，在平面上存在某个点使得． 变式2．（23-24高一上·江西宜春·开学考试）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假． (1)至少有一个整数，既能被11整除，又能被9整除； (2)，； (3)，使为29的约数； (4)，． 变式3．（23-24高一上·全国·课后作业）判断下列命题哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假性. (1)对所有的正实数，为正且； (2)存在实数，使得； (3)存在实数对，使得； (4)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 变式4．（23-24高一上·全国·课后作业）指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假. (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对都对应一点； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数a，b，若，都有； (4)存在一个实数x，使得. 变式5．（21-22高一上·全国·课后作业）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假． (1)所有的实数a、b，方程ax＋b＝0恰有唯一解． (2)存在实数x，使＝. 变式6．（21-22高一上·全国·课后作业）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断命题的真假． (1)对任意的实数，关于的方程恰有唯一解; (2)存在实数，使得=． 变式7．（22-23高二上·陕西西安·期末）判断下列命题是全称命题还是特称命题，写出这些命题的否定，并说出这些否定的真假，不必证明． (1)末尾数是偶数的数能被整除； (2)对任意实数，都有； (3)方程有一个根是奇数． 【方法技巧与总结】 全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法 （1）要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x证明p（x）成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p（x）不成立即可（这就是通常所说的"举出一个反例"）. （2）要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p（x）成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题. 【题型4：含有量词命题的否定】 例4．（24-25高一上·上海·随堂练习）写出下列各陈述句的否定形式： (1)； (2)或； (3)至少有三个实数满足方程； (4)所有整数都不满足． 变式1．（23-24高一上·青海海东·阶段练习）写出下列命题的否定，并判断命题的否定的真假． (1)，； (2)有一个素数是偶数； (3)任意两个三角形的底边长和底边对应的高的长度相等，那么这两个三角形相似． 变式2．（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)，方程必有实根； (2)，使得. 变式3．（23-24高一上·山西长治·期末）已知命题． (1)写出命题的否定； (2)判断命题的真假，并说明理由． 变式4．（23-24高一上·新疆·阶段练习）写出下列全称（存在量词）命题的否定： (1)，； (2)，； (3)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (4)所有的矩形都是正方形. 变式5．（23-24高一上·湖南·课前预习）写出下列含量词命题的否定: (1)每一个素数都是奇数； (2)所有二次函数的图象都是轴对称图形； (3)； (4)有的三角形的垂心在其外部； (5)有一个小于210的正整数至少有4个质因数. 变式6．（23-24高一上·新疆·阶段练习）写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)； (2)p：有些三角形的三条边相等； (3)p：菱形的对角线互相垂直； (4)． 变式7．（2023高一·江苏·专题练习）写出下列存在量词命题的否定，并判断所得命题的真假： (1)，； (2)至少有一个实数，使； (3)，． 【方法技巧与总结】 全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定p：∃x∈M，p(x)，全称量词命题的否定是存在量词命题． 对存在量词命题进行否定时，首先把存在量词改为全称量词，然后对判断词进行否定，可以结合命题的实际意义进行表述． 【题型5：全称量词命题与存在量词命题的应用】 例5．（23-24高三上·浙江宁波·期末）命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 变式1．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）若“”为假命题，则的取值可以是（    ） A．5 B．3 C．1 D．-1 变式2．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合，集合，命题，命题，． (1)若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 变式3．（23-24高一上·云南楚雄·期中）已知p：；q：． (1)若p是q的充分不必要条件，求m的取值范围； (2)若是q的必要不充分条件，求m的取值范围． 变式4．（23-24高一上·江苏常州·阶段练习）已知命题，命题． (1)当命题为假命题时，求实数的取值范围； (2)若命题和中有且仅有一个是假命题，求实数的取值范围 变式5．（21-22高一·全国·单元测试）已知命题，使得成立；若命题为假命题，求实数的取值范围； 变式6．（20-21高一上·广东汕头·阶段练习）已知，命题p：，恒成立；命题q：存在，使得. （1）若p为真命题，求m的取值范围； （2）若p，q有且只有一个真命题，求实数m的取值范围. 变式7．（20-21高一上·福建泉州·阶段练习）设，命题p：，命题q：. （1）若命题p是真命题，求的取值范围； （2）若命题¬p与q至少有一个为假命题，求的取值范围. 【方法技巧与总结】 求解含有量词的命题中参数范围的策略 1.对于全称量词命题“∀x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a>ymax(或a<ymin)． 2.对于存在量词命题“∃x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即a>ymin(或a<ymax)． 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·课堂例题）有下列四个命题： ①，； ②，； ③，； ④，x为29的约数． 其中真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）命题“”的否定为（ ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·四川乐山·期中）命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（23-24高一上·青海海东·阶段练习）若“”为真命题，“”为假命题，则集合可以是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·山西大同·阶段练习）命题“为偶数”，下列说法正确的是（    ） A．该命题是假命题 B．该命题是真命题 C．该命题的否定为：不是偶数 D．该命题的否定为：不是偶数 6．（23-24高一上·山东潍坊·期末）设，命题“存在，使有实根”的否定是（    ） A．任意，使无实根 B．任意，使有实根 C．存在，使无实根 D．存在，使有实根 7．（23-24高一上·安徽·期末）已知“，”为真命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·陕西渭南·期末）已知命题：“，”为假命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知命题，为假命题，则a可能的取值有（    ） A． B． C．0 D．1 10．（22-23高一上·浙江·阶段练习）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（    ） A． ， B．，为偶数 C．所有菱形的四条边都相等 D．是无理数 11．（23-24高一上·重庆·期末）下列命题中，为真命题的是（    ） A． B．，使同时被3和4整除 C． D． 三、填空题 12．（24-25高一上·上海·随堂练习）“且”的否定形式为 . 13．（23-24高一下·四川泸州·期中）命题“，”是真命题，则实数的取值范围是 . 14．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）若命题“，使得”是真命题，则实数m的取值范围为 ． 四、解答题 15．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）设命题：方程有两个不相等的实数根；命题：. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题，一真一假，求实数的取值范围. 16．（22-23高一上·河南平顶山·阶段练习）已知集合，，且． (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若是真命题，求实数的取值范围． 17．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知集合． (1)当时，请判断“”是“”的什么条件；（选择“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一） (2)若命题“”是真命题，求实数的取值范围． 18．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知命题：，为假命题． (1)求实数的取值集合； (2)设非空集合，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值集合． 19．（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知命题：“，”为真命题. (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2全称量词与存在量词 课程标准 学习目标 1.理解全称量词与存在量词的意义 2.全称命题和特称命题真假的判定， 1.理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词. 2.了解全称量词命题、存在量词命题的概念，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断命题的真假性. 知识点01 全称量词与全称量词命题 全称量词 量词 所有的、任意一个 符号 ∀ 命题 含有全称量词的命题是全称量词命题 命题形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 【即学即练1】（多选）（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（         ） A．矩形的对角线互相平分且相等 B．对任意非正数c，若，则 C．有些菱形不是平行四边形 D．对任意实数x，不等式恒成立 【答案】ABD 【分析】ABD选项，为全称量词命题，且可推出为真命题；C选项为存在量词命题，错误. 【详解】A选项，矩形的对角线互相平分且相等，为全称量词命题，且是真命题，A正确； B选项，对任意非正数c，若，则，为全称命题，且是真命题，B正确； C选项，有些菱形不是平行四边形为存在量词命题，C错误； D选项，对任意实数x，不等式恒成立，为全称量词命题， 因为，故不等式恒成立，为真命题，D正确. 故选：ABD 【即学即练2】（24-25高一上·全国·课堂例题）用量词符号“”表述下列命题． (1)对任意成立； (2)对所有实数，方程恰有一个解； 【答案】(1)． (2)方程恰有一解． 【分析】根据全称量词命题书写形式进行书写 【详解】（1）． （2）方程恰有一解． 知识点02 存在量词与存在量词命题 存在量词 量词 存在一个、至少有一个 符号 ∃ 命题 含有存在量词的命题是存在量词命题 命题形式 “存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 【即学即练3】（多选）（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（    ） A． B． C．至少有一个无理数，使得是有理数 D．有的有理数没有倒数 【答案】CD 【分析】根据存在量词可判断存在量词命题，进而根据数与式的性质即可判断真假． 【详解】对于A，命题是全称量词命题，故A错误； 对于B，由方程，，方程无解，所以B是假命题，故B错误； 对于C，命题是存在量词命题，且，使得是有理数，所以C是真命题，故C正确； 对于D，有理数0没有倒数 ，所以D是真命题，故D正确． 故选：CD． 【即学即练4】（24-25高一上·全国·课堂例题）用量词符号“”表述下列命题． (1)有些整数既能被整除，又能被整除； (2)某个四边形不是平行四边形． 【答案】(1)，既能被整除，又能被整除； (2)，不是平行四边形． 【分析】根据存在量词命题的表示形式即可得解. 【详解】（1）因为存在量词命题的形式为“存在中的元素，”，用符号表示为“，”, 所以原命题表述为：，既能被整除，又能被整除； （2）原命题表述为：，不是平行四边形. 知识点03 含有量词命题的否定 p p 结论 全称量词命题∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 存在量词命题∃x∈M，p(x) ∀x∈M，p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 【即学即练5】（24-25高一上·上海·单元测试）命题“任意，”的否定为（　　） A．任意， B．存在， C．任意， D．存在， 【答案】B 【分析】根据全称量词命题否定的方法求解：改变量词，否定结论. 【详解】命题“任意，”的否定为“存在，”， 故选：B. 【即学即练6】（24-25高一上·全国·课堂例题）写出下列命题的否定： (1)所有的矩形都是平行四边形； (2)每一个素数都是奇数； (3)0； 它们与原命题在形式上有什么变化？ 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】根据全称量词命题的否定形式可直接写出结果. 【详解】（1）所有的矩形都是平行四边形的否定为： 存在一个矩形，它不是平行四边形； （2）每一个素数都是奇数的否定为： 存在一个素数不是奇数； （3）的否定为：0 难点：分类讨论思想的运用 示例1：（23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知命题：R，使为假命题． (1)求实数的取值集合； (2)设为非空集合，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由条件可得关于的方程无解，然后分两种情况讨论即可； （2）首先由为非空集合可得，然后由条件是的充分不必要条件,分析集合大小，建立不等式求解. 【详解】（1）因为命题，R，使为假命题， 所以关于的方程无解， 当时，有解，故时不成立， 当时，解得或， 所以 （2）因为为非空集合， 所以即 因为若是的充分不必要条件， 所以 , 所以或 即或 综上，实数的取值范围为或. 难点：数形结合的应用 示例2：（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知命题：“，使等式成立”是真命题. (1)求实数的取值集合； (2)设不等式的解集为，若是的必要条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意，将方程有解问题转化为在值域内，求得二次函数的值域，即可得到结果； （2）根据题意，将问题转化为，然后分，与讨论，即可求解. 【详解】（1）由题意，方程在上有解， 令，只需在的值域内， 当时，，当时，， 所以值域为， 的取值集合为； （2）由题意，，显然不为空集. ①当，即时，， ， ； ②当，即时，，不合题意舍去； ③当，即时，. ， ； 综上可得或. 【题型1：全称量词命题与存在量词命题的判断】 例1．（24-25高一上·全国·随堂练习）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题： (1)负数没有倒数； (2)至少有一个整数，它既能被2整除；又能被5整除； (3){x|x是无理数}，是无理数； (4)，则. 【答案】(1)全称量词命题 (2)存在量词命题 (3)全称量词命题 (4)全称量词命题 【分析】根据全称量词命题和存在量词命题定义判断即可 【详解】（1）负数没有倒数是“任意负数没有倒数”，有全称量词是全称量词命题 （2）至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除；有存在量词“至少有一个”是存在量词命题 （3）{x|x是无理数}，是无理数；有全称量词是全称量词命题 （4），则.有全称量词是全称量词命题 变式1．（2023高一·江苏·专题练习）判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题： (1)正方形的四条边相等； (2)至少有一个正整数是偶数； (3)正数的平方根不等于0； (4)有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形. 【答案】(1)全称量词命题 (2)存在量词命题 (3)全称量词命题 (4)全称量词命题 【分析】根据全称量词和存在量词的特点逐个判断即可 【详解】（1）正方形的四条边相等可以理解为所有正方形的四条边都相等，所以是全称量词命题； （2）至少有一个正整数是偶数可以理解为至少存在一个正整数是偶数，所以是存在量词命题； （3）正数的平方根不等于0可以理解为所有正数的平方根都不等于0，所以是全称量词命题； （4）有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形可以理解为所有的有两个角为45°的三角形都是等腰直角三角形，所以是全称量词命题. 变式2．（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习）判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并说明理由． (1)对一切实数a，b恒成立； (2)至少存在一对整数x，y，使得方程成立； (3)所有正方形的对角线都互相垂直． 【答案】(1)全称量词命题，理由见解析 (2)存在量词命题，理由见解析 (3)全称量词命题，理由见解析 【分析】（1）根据全称量词命题与存在量词命题的定义判断； （2）根据全称量词命题与存在量词命题的定义判断； （3）根据全称量词命题与存在量词命题的定义判断． 【详解】（1）因为“一切”是全称量词，所以该命题为全称量词命题． （2）因为“至少存在一对”是存在量词，所以该命题为存在量词命题． （3）因为“所有”是全称量词，所以该命题为全称量词命题． 变式3．（22-23高一·全国·随堂练习）判断下列命题是不是全称量词命题，如果是，指出其中的全称量词： (1)每一个多边形的外角和都是； (2)所有的素数都是奇数； (3)对任意的无理数x，也是无理数； (4)，x都有平方根； (5)，有． 【答案】(1)是，“每一个” (2)是，“所有” (3)是，“任意” (4)是，“” (5)是，“” 【分析】根据全称量词命题的判断即可. 【详解】（1）命题中含有全称量词“每一个”，故是全称量词命题． （2）命题中含有存在量词“所有”，是全称量词命题． （3）命题中含有全称量词“任意”，是全称量词命题． （4）命题中含有全称量词“”，是全称量词命题． （5）命题中含有全称量词“”，是全称量词命题． 变式4．（23-24高一·江苏·假期作业）判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题. (1)凸多边形的外角和等于； (2)矩形的对角线不相等； (3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； (4)有些实数a，b能使； (5)方程有整数解. 【答案】(1)全称量词命题 (2)全称量词命题 (3)全称量词命题 (4)存在量词命题 (5)存在量词命题 【分析】由已知结合全称量词命题及存在量词命题的定义分别检验各命题． 【详解】（1）命题可以改写为：所有的凸多边形的外角和等于，故为全称量词命题． （2）命题可以改写为：所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题． （3）若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题 （4）含存在量词“有些”，故为存在量词命题． （5）命题可以改写为：存在一对整数x，y，使成立．故为存在量词命题． 变式5．（20-21高一·江苏·课后作业）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题． （1）有的质数是偶数； （2）所有的质数都是奇数； （3）负数的平方是正数； （4）每一个多边形的外角和都是360°. 【答案】（1）存在量词命题；（2）全称量词命题；（3）全称量词命题；（4）全称量词命题. 【分析】含有存在量词的命题是存在量词命题，如“有的”，“某些”，“存在”； 含有全称量词的命题是全称量词命题，如“所有的”，“每一个”，“凡是”，“任意的”. 【详解】（1）“有的”是存在量词，故命题为存在量词命题； （2）“所有的”是全称量词，故命题为全称量词命题； （3）题中指“所有的”负数，故命题为全称量词命题； （4）“每一个”是全称量词，故命题为全称量词命题. 故答案为：（1）存在量词命题；（2）全称量词命题；（3）全称量词命题；（4）全称量词命题. 变式6．（20-21高一·江苏·课后作业）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题： （1）任何实数的平方都是非负数； （2）任何数与0相乘，都等于0； （3）任何一个实数都有相反数； （4）有些三角形的三个内角都是锐角. 【答案】（1）全称量词命题  （2）全称量词命题   （3）全称量词命题  （4）存在量词命题 【分析】由全称量词命题和存在量词命题的定义，依次判断即可 【详解】（1）由题意，命题研究所有实数的性质，故为全称量词命题； （2）由题意，命题研究任何数的性质，故为全称量词命题； （3）由题意，命题研究任意一个实数的性质，故为全称量词命题； （4）由题意，命题研究部分三角形的性质，故为存在量词命题. 变式7．（21-22高一上·全国·课前预习）判断下列命题是全称命题还是特称命题. （1）xR，x2+1≥1； （2）所有素数都是奇数； （3）存在两个相交平面垂直于同一条直线； （4）有些整数只有两个正因数. 【答案】（1）全称命题；（2）全称命题；（3）特称命题；（4）有存在量词“有些”；是特称命题. 【分析】根据全称量词和特称命题的定义判断. 【详解】（1）有全称量词“任意”，是全称命题； （2）有全称量词“所有”，是全称命题； （3）有存在量词“存在”，是特称命题； （4）有存在量词“有些”；是特称命题 【方法技巧与总结】 全称量词命题或存在量词命题的判断 注意：全称量词命题可以省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略． 【题型2：全称量词命题与存在量词命题的改写】 例2．（2023高一·江苏·专题练习）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“”或“”表示下列命题： (1)自然数的平方大于或等于零； (2)有的一次函数图象经过原点； (3)所有的二次函数的图象的开口都向上． 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 (3)答案见详解 【分析】先根据全称量词命题和存在量词命题的定义判断，再用符号表示即可． 【详解】（1）全称量词命题．表示为，． （2）存在量词命题．表示为一次函数，它的图象过原点． （3）全称量词命题．表示为二次函数，它的图象的开口都向上． 变式1．（21-22高一上·全国·课后作业）用量词“∀”表达下列命题： (1)实数都能写成小数形式; (2)凸n边形的外角和等于360°; (3)任意一个实数乘 都等于它的相反数． 【答案】(1)，x能写成小数形式． (2)是凸n边形， ，且}，x的外角和等于360°． (3)， ． 【分析】根据全称命题以及特称命题的形式，即可求解. 【详解】（1），x能写成小数形式． （2）是凸n边形， ，且}，x的外角和等于360°． （3）， ． 变式2．（22-23高一上·陕西宝鸡·期末）用符号“”与“”表示下列含有量词的命题，并判断真假． (1)对任意实数，方程有实根； (2)存在实数，使得； (3)存在实数，使得等于的10倍． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】用存在量词符号与全称量词符号分别表示命题（1）（2）（3），并判断真假. 【详解】（1），方程有实根； 由， 此时方程无实根， 故该命题为假命题． （2），使得； 由， ，无实数解， 故不存在，使得， 因此该命题为假命题． （3），使得等于的10倍． 因为， 即 所以，使得等于的10倍， 因此该命题为真命题． 变式3．（20-21高一上·湖南郴州·阶段练习）将下列命题用“”或“”表示. (1)任意实数的平方不小于0； (2)存在一个无理数，它的平方是有理数. 【答案】(1)， (2)且， 【分析】（1）利用全称量词的意义得答案； （2）利用存在量词的意义得答案. 【详解】（1），； （2）且，. 变式4．（21-22高一·全国·单元测试）指出下列命题中的全称量词或存在量词，并用量词符号“”或“”表示下列命题． (1)所有实数都能使成立； (2)对所有实数，，方程恰有一个解； (3)存在整数，，使得成立； (4)存在实数，使得与的倒数之和等于1． 【答案】(1)“所有”是全称量词；， (2)“所有”是全称量词；，，方程恰有一个解 (3)“存在”是存在量词；，， (4)“存在”是存在量词；， 【分析】利用全称量词，存在量词的定义与全称命题与特称命题的定义求解即可 【详解】（1）“所有”是全称量词； ，； （2）“所有”是全称量词； ，，方程恰有一个解； （3）“存在”是存在量词； ，，； （4）“存在”是存在量词； ，． 变式5．（21-22高一上·全国·课前预习）用符号“”“ ”表示下列含有量词的命题． （1）实数的平方大于等于0； （2）存在实数对使成立． （3）至少有一个实数使不等式成立． （4）对所有正实数为正数，且． 【答案】（1） ；（2） ，，；（3） ,；（4） ，，且． 【分析】（1）由命题结合“”的含义即可得解； （2）由命题结合“”的含义即可得解； （3）由命题结合“”的含义即可得解； （4）由命题结合“”的含义即可得解； 【详解】（1）原命题可改为： ； （2）原命题可改为： ，，； （3）原命题可改为： ,； （4）原命题可改为： ，，且. 变式6．（22-23九年级·全国·随堂练习）用量词符号“”“”表示下列命题： (1)存在一个多边形，其内角和是； (2)任何一个实数乘以后，都等于这个实数的相反数； (3)存在实数，. 【答案】(1)，的内角和是 (2)，表示的相反数 (3)， 【分析】（1）使用特称量词直接转换即可；（2）使用全称量词直接转换即可；（3）使用特称量词直接转换即可. 【详解】（1）由题意“存在一个多边形，其内角和是”，因此使用特称量词可直接转换为“，的内角和是”. （2）由题意“任何一个实数乘以后，都等于这个实数的相反数”，因此使用全称量词可直接转换为“，表示的相反数”. （3）由题意“存在实数，”，因此使用特称量词可直接转换为“，”. 变式7．（20-21高一·江苏·课后作业）用量词符号“∀”“∃”表示下列命题，并判断真假． （1）实数都能写成小数形式； （2）存在实数m，n，使m－n＝1. 【答案】答案见解析 【分析】直接将命题改写成用量词符号“∀”“∃”表示，再判断其真假. 【详解】解（1）∀x∈R， x能写成小数形式．因为无理数不能写成小数形式，所以该命题是假命题． （2）∃m， n∈R，m－n＝1.当m＝2， n＝1时，m－n＝1成立，所以该命题是真命题． 变式8．（2021高一·全国·专题练习）用符号“∃”表示下列含存在量词的命题． （1）有的自然数的平方不大于零； （2）圆x2＋y2＝r2上有到圆心的距离大于r的点； （3）存在一对整数x，y，使得2x＋4y＝3； （4）存在一个无理数，它的立方是有理数． 【答案】答案见解析 【分析】把没有“存在”的命题用“存在”叙述，然后用符号“∃”表示存在即可． 【详解】（1）∃x∈N，使x2≤0； （2）圆x2＋y2＝r2的圆心为O，∃点P在圆上，使|OP|＞r； （3）∃一对整数x，y，使得2x＋4y＝3； （4）∃x∈，使得x3是有理数． 【题型3：全称量词命题与存在量词命题的真假】 例3．（24-25高一上·全国·随堂练习）判断下列全称量词或存在量词命题的真假． (1)对每一个无理数x，x2也是无理数． (2)末位是零的整数，可以被5整除． (3)∀x∈R，有|x＋1|>1. (4)有的集合中不含有任何元素． (5)存在对角线不互相垂直的菱形． (6)∃x∈R，满足3x2＋2>0. (7)有些整数只有两个正因数． 【答案】(1)假命题 (2)真命题 (3)假命题 (4)真命题 (5)假命题 (6)真命题 (7)真命题 【分析】利用全称量词命题和存在量词命题的真假判断方法，逐一判断各个命题得解. 【详解】（1）因为是无理数，但是有理数，所以全称量词命题“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题． （2）因为每一个末位是零的整数，都能被5整除，所以全称量词命题“末位是零的整数，可以被5整除”是真命题． （3）当时，不满足，所以“，有”为假命题． （4）由于空集中不含有任何元素．因此“有的集合中不含有任何元素”为真命题． （5）由于所有菱形的对角线都互相垂直，所以不存在对角线不垂直的菱形， 因此存在量词命题“存在对角线不互相垂直的菱形”为假命题． （6），有，因此存在量词命题“，”是真命题． （7）由于存在整数3只有正因数1和3，所以存在量词命题“有些整数只有两个正因数”为真命题． 变式1．（22-23高一·全国·课堂例题）判断下列命题的真假： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，； (5)设，，是平面上不在同一直线上的三点，在平面上存在某个点使得． 【答案】(1)真命题 (2)假命题 (3)真命题 (4)假命题 (5)真命题 【分析】利用可判断（1）；举反例可判断（2）；举例可判断（3）；求出的实数根可判断（4）；根据三角形总有外接圆可判断（5）． 【详解】（1）因为，，从而有，即．因此（1）是真命题； （2）因为，但当时，不成立，因此（2）是假命题； （3）因为且，因此（3）是真命题； （4）因为只有两个实数根或，所以当时，因此（4）是假命题； （5），，三点构成一个三角形，三角形总有外接圆，设是外接圆的圆心，则，因此（5）是真命题． 变式2．（23-24高一上·江西宜春·开学考试）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假． (1)至少有一个整数，既能被11整除，又能被9整除； (2)，； (3)，使为29的约数； (4)，． 【答案】(1)存在量词命题，真命题 (2)全称量词命题，真命题 (3)存在量词命题，真命题 (4)全称量词命题，假命题 【分析】利用全称量词命题与存在量词命题的概念，及不等式的性质，举例子分别判断各命题. 【详解】（1）命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是存在量词命题， 既能被整除，又能被整除，故该命题为真命题． （2）命题中含有全称量词“”，故是全称量词命题， 因为，所以恒成立，故该命题为真命题． （3）命题中含有存在量词“”，故是存在量词命题， 当时，为的约数，所以该命题为真命题． （4）命题中含有全称量词“”，故是全称量词命题， 当时，，所以该命题为假命题． 变式3．（23-24高一上·全国·课后作业）判断下列命题哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假性. (1)对所有的正实数，为正且； (2)存在实数，使得； (3)存在实数对，使得； (4)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】（1）根据全称量词的定义可得命题为全称量词命题，取，可得命题为假命题； （2）根据全存在量词的定义可得命题为存在量词命题，根据判别式可得命题为真命题； （3）根据全存在量词的定义可得命题为存在量词命题，取实数对，可得命题为真命题； （4）根据全称量词的定义可得命题为全称量词命题，根据角平分线的性质可得命题为真命题. 【详解】（1）为全称量词命题，且为假命题，如取，则不成立. （2）为存在量词命题，且为真命题，因为判别式. （3）为存在量词命题，且为真命题，如取实数对，则成立. （4）为全称量词命题，且为真命题，根据角平分线的性质可判断. 变式4．（23-24高一上·全国·课后作业）指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假. (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对都对应一点； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数a，b，若，都有； (4)存在一个实数x，使得. 【答案】(1)全称量词命题，真命题 (2)存在量词命题，真命题 (3)全称量词命题，假命题 (4)存在量词命题，假命题 【分析】（1）根据关键词任意即可判断其为全称量词命题，再利用平面直角坐标系中有序实数对的性质即可判断真假； （2）根据关键词存在即可判断其为存在量词命题，举例子即可判断其真假； （3）根据关键词任意即可判断其为全称量词命题，再通过举反例即可判断真假； （4）根据关键词存在即可判断其为存在量词命题，再利用配方法即可判断其真假. 【详解】（1）在平面直角坐标系中，任意有序实数对与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是全称量词命题，且是真命题. （2）存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是存在量词命题，且是真命题. （3）存在， 但，所以该命题是全称量词命题，且是假命题. （4）由于，则，由此使得的实数x不存在，所以该命题是存在量词命题，且是假命题. 变式5．（21-22高一上·全国·课后作业）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假． (1)所有的实数a、b，方程ax＋b＝0恰有唯一解． (2)存在实数x，使＝. 【答案】(1)全称量词命题，假命题 (2)存在量词命题，假命题 【分析】（1）利用全称量词命题和存在量词命题的定义判断，再举例判断其真假； （2）利用全称量词命题和存在量词命题的定义判断，再利用二次函数的性质判断其真假； 【详解】（1）解：该命题是全称量词命题． 当a＝0，b＝0时方程有无数解， 故该命题为假命题． （2）该命题是存在量词命题． ∵， ∴不存在实数x，使， 故该命题是假命题． 变式6．（21-22高一上·全国·课后作业）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断命题的真假． (1)对任意的实数，关于的方程恰有唯一解; (2)存在实数，使得=． 【答案】(1)该命题是全称量词命题，假命题； (2)该命题是存在量词命题，假命题． 【分析】（1）举例说明为假命题即可； （2）根据特称命题的真假判断即可. 【详解】（1）该命题是全称量词命题， 取时，方程无解， 故为假命题； （2）该命题是存在量词命题， 因为， 所以 ， 故该命题是假命题． 变式7．（22-23高二上·陕西西安·期末）判断下列命题是全称命题还是特称命题，写出这些命题的否定，并说出这些否定的真假，不必证明． (1)末尾数是偶数的数能被整除； (2)对任意实数，都有； (3)方程有一个根是奇数． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）利用全称命题的定义进行判断原命题，又不能被整除，可得命题的否定为真； （2）利用全称命题的定义进行判断原命题，又当时符合不等式，则命题的否定为真； （3）利用特称命题的定义进行判断原命题，又方程的两根为和，则则命题的否定为假． 【详解】（1）该命题是全称命题， 该命题的否定是：存在末尾数是偶数的数，不能被整除； 该命题的否定是真命题． （2）该命题是全称命题， 该命题的否定是：存在实数，使得； 该命题的否定是真命题． （3）该命题是特称命题， 该命题的否定是：方程的两个根都不是奇数；该命题的否定是假命题． 【方法技巧与总结】 全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法 （1）要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x证明p（x）成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p（x）不成立即可（这就是通常所说的"举出一个反例"）. （2）要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p（x）成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题. 【题型4：含有量词命题的否定】 例4．（24-25高一上·上海·随堂练习）写出下列各陈述句的否定形式： (1)； (2)或； (3)至少有三个实数满足方程； (4)所有整数都不满足． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】由否定的定义逐一求解即可. 【详解】（1）解：否定为：． （2）否定为：且． （3）否定为：至多有两个实数满足方程． （4）否定为：至少存在一个整数满足． 变式1．（23-24高一上·青海海东·阶段练习）写出下列命题的否定，并判断命题的否定的真假． (1)，； (2)有一个素数是偶数； (3)任意两个三角形的底边长和底边对应的高的长度相等，那么这两个三角形相似． 【答案】(1)“，”，假命题 (2)“所有的素数都不是偶数”， 假命题 (3)“存在两个三角形的底边长和底边对应的高的长度相等，它们不相似”，真命题 【分析】（1）（2）（3）根据全称命题、特称命题的否定写出相应命题的否定，进而判断真假性. 【详解】（1）命题的否定为“，”， 因为，可得命题的否定是假命题． （2）命题的否定为“所有的素数都不是偶数”， 由2是素数也是偶数，可得命题的否定是假命题． （3）命题的否定为“存在两个三角形的底边长和底边对应的高的长度相等，它们不相似”， 若这两个三角形底边对应的高的垂足不在同一个位置， 那么这两个三角形不相似，可得命题的否定是真命题． 变式2．（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)，方程必有实根； (2)，使得. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）（2）根据全称命题以及特称命题的否定即可求解. 【详解】（1），方程未必有实根， 由于，方程必有实根，是真命题， 因此为假命题， （2），使得. 由于，所以恒成立，所以为真命题 变式3．（23-24高一上·山西长治·期末）已知命题． (1)写出命题的否定； (2)判断命题的真假，并说明理由． 【答案】(1) (2)假命题，理由见解析 【分析】（1）根据全称量词命题的否定的知识写出命题的否定. （2）根据二次函数的知识进行判断. 【详解】（1）由命题， 可得命题的否定为； （2）命题为假命题，理由如下： 因为，当时，， 故命题为假命题． 变式4．（23-24高一上·新疆·阶段练习）写出下列全称（存在量词）命题的否定： (1)，； (2)，； (3)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (4)所有的矩形都是正方形. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】利用全称量词命题和存在量词命题的定义分别进行判断，然后写出它们的否定. 【详解】（1），的否定为：，； （2），的否定为：，； （3）存在一个实数，它的绝对值不是正数的否定为：所有实数的绝对值都是正数； （4）所有的矩形都是正方形的否定为：存在一个矩形，它不是正方形． 变式5．（23-24高一上·湖南·课前预习）写出下列含量词命题的否定: (1)每一个素数都是奇数； (2)所有二次函数的图象都是轴对称图形； (3)； (4)有的三角形的垂心在其外部； (5)有一个小于210的正整数至少有4个质因数. 【答案】(1):存在一个素数不是奇数 (2):存在一个二次函数的图象不是轴对称图形 (3) (4):任意三角形的垂心都在其内部或边上 (5):任意小于210的正整数至多有3个质因数 【分析】利用量词命题的否定方法求解即可. 【详解】（1）因为每一个素数都是奇数， 所以:存在一个素数不是奇数. （2）因为所有二次函数的图象都是轴对称图形， 所以:存在一个二次函数的图象不是轴对称图形. （3）因为， 所以. （4）因为有的三角形的垂心在其外部， 所以:任意三角形的垂心都在其内部或边上. （5）因为有一个小于210的正整数至少有4个质因数， 所以:任意小于210的正整数至多有3个质因数. 变式6．（23-24高一上·新疆·阶段练习）写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)； (2)p：有些三角形的三条边相等； (3)p：菱形的对角线互相垂直； (4)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】根据特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题进行求解判断即可． 【详解】（1）易知原命题的否定为：， 显然，故为假命题； （2）易知原命题的否定为：：所有的三角形的三条边不都相等， 因为正三角形的三条边相等，则命题p是真命题，则是假命题； （3）易知原命题的否定为：：存在一个菱形，则它的对角线互相不垂直， 显然原命题是真命题，则是假命题； （4）易知原命题的否定为：． 显然当时，，则命题为假命题． 变式7．（2023高一·江苏·专题练习）写出下列存在量词命题的否定，并判断所得命题的真假： (1)，； (2)至少有一个实数，使； (3)，． 【答案】(1)，；真命题 (2)，；假命题 (3)，；假命题 【分析】根据全称命题的否定是特称命题，以及特称命题的否定是全称命题，即可求得（1）（2）（3）中命题的否定,再判断真假即可． 【详解】（1）命题的否定：，． 因为，恒成立，所以命题的否定为真命题． （2）命题的否定：，． 因为当时，，所以命题的否定为假命题． （3）命题的否定：，． 因为当，时，，所以命题的否定为假命题． 【方法技巧与总结】 全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定p：∃x∈M，p(x)，全称量词命题的否定是存在量词命题． 对存在量词命题进行否定时，首先把存在量词改为全称量词，然后对判断词进行否定，可以结合命题的实际意义进行表述． 【题型5：全称量词命题与存在量词命题的应用】 例5．（23-24高三上·浙江宁波·期末）命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先转化为存在量词命题的否定，求参数的取值范围，再求其真子集，即可判断选项. 【详解】若命题“，”为假命题， 则命题的否定“，”为真命题， 即，恒成立， ，，当，取得最大值， 所以，选项中只有是的真子集， 所以命题“，”为假命题的一个充分不必要条件为. 故选：D 变式1．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）若“”为假命题，则的取值可以是（    ） A．5 B．3 C．1 D．-1 【答案】A 【分析】利用假命题的否定为真命题，分离参数即可求得. 【详解】因为“”为假命题， 所以其否定恒成立， 所以在上恒成立， 所以即， 所以的取值可以是5. 故选：A 变式2．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合，集合，命题，命题，． (1)若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先根据为真命题分析出，由此求解出的范围，然后取对应范围在实数集下的补集即为结果； （2）考虑命题均为假命题时的取值范围，然后取对应范围在实数集下的补集即为结果. 【详解】（1）若为真命题，则， 所以，所以， 所以命题为假命题时，的取值范围为. （2）当为假命题时，即“ ”为真命题， 所以，所以的取值范围为， 所以当均为假命题时的取值范围为， 所以当命题和命题至少有一个为真命题时的取值范围为或. 变式3．（23-24高一上·云南楚雄·期中）已知p：；q：． (1)若p是q的充分不必要条件，求m的取值范围； (2)若是q的必要不充分条件，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）化简得到p：，q：，根据p是q的充分不必要条件，由p⫋q求解； （2）先得到：或．根据是q的必要不充分条件，由q⫋求解；. 【详解】（1）解：由题意可得p：，q：． 因为p是q的充分不必要条件，所以，等号不同时成立， 解得． （2）因为p：， 所以：或． 因为是q的必要不充分条件， 所以或， 解得或． 变式4．（23-24高一上·江苏常州·阶段练习）已知命题，命题． (1)当命题为假命题时，求实数的取值范围； (2)若命题和中有且仅有一个是假命题，求实数的取值范围 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）当命题为假命题时，为真，分、讨论，可得答案； （2）求出命题为假命题、真命题的范围，求出命题为真命题、为假命题的范围，分命题为假命题、为真命题，或命题为假命题、为真命题两种情况可得答案. 【详解】（1） ， 当命题为假命题时，为真命题， 所以当时，成立， 当时，可得，解得， 综上所述，； （2）由（1）知， 若命题为假命题，则， 若命题为真命题，则或， 若命题为真命题， 则，解得或， 若命题为假命题，则， 所以命题为假命题、为真命题时，； 命题为假命题、为真命题时，； 所以若命题和中有且仅有一个是假命题，则或. 变式5．（21-22高一·全国·单元测试）已知命题，使得成立；若命题为假命题，求实数的取值范围； 【答案】. 【分析】由命题r的否定为真命题，结合二次函数的性质求解即可 【详解】因为命题r为假命题，所以命题r的否定：恒成立为真命题， 则，解得， 故实数a的取值范围为 变式6．（20-21高一上·广东汕头·阶段练习）已知，命题p：，恒成立；命题q：存在，使得. （1）若p为真命题，求m的取值范围； （2）若p，q有且只有一个真命题，求实数m的取值范围. 【答案】（1）；（2）或. 【解析】（1）命题为真命题时，转化为，求的取值范围；（2）当命题为真命题时，即，再求当两个命题一真一假时，的取值范围的交集. 【详解】（1）∵， ∴，解得，故实数的取值范围是              （2）当q为真命题时，则，解得                           ∵p，q有且只有一个真命题 当真假时，，解得： 当假真时，，解得： 综上可知，或                    故所求实数的取值范围是或. 变式7．（20-21高一上·福建泉州·阶段练习）设，命题p：，命题q：. （1）若命题p是真命题，求的取值范围； （2）若命题¬p与q至少有一个为假命题，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）根据命题为真转化为，即可求解； （2）由题意转化为命题¬p与q不能同时为真，先求命题¬p与q同时为真时的范围，再求其补集即可. 【详解】（1）若命题p是真命题时，， 即 ， 所以， （2）若命题q：为真时， 则， 解得， 若命题¬p与q至少有一个为假命题， 即命题¬p与q不能同时为真， 若命题¬p与q同时为真时， 则，解得， 所以命题¬p与q不能同时为真时，或， 【点睛】本题主要考查了含量词命题的真假判定，考查了命题的否定，属于中档题. 【方法技巧与总结】 求解含有量词的命题中参数范围的策略 1.对于全称量词命题“∀x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a>ymax(或a<ymin)． 2.对于存在量词命题“∃x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即a>ymin(或a<ymax)． 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·课堂例题）有下列四个命题： ①，； ②，； ③，； ④，x为29的约数． 其中真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用全称量词命题、存在量词命题真假判断方法，逐一判断各个命题得解. 【详解】对于①，这是全称量词命题，由对任意实数都成立，得，①为真命题； 对于②，这是全称量词命题，当时，不成立，②为假命题； 对于③，这是存在量词命题，当或时，有成立，③为真命题； 对于④，这是存在量词命题，当时，x为29的约数成立，④为真命题， 所以真命题的个数为3. 故选：C 2．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）命题“”的否定为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全称命题的否定是特称命题得出答案. 【详解】因为全称命题的否定是特称命题， 所以命题“”的否定为“”. 故选：B. 3．（23-24高一上·四川乐山·期中）命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据全称量词命题的否定得出结果 【详解】由全称量词命题的否定是存在量词命题，可知命题，的否定为，． 故选：D 4．（23-24高一上·青海海东·阶段练习）若“”为真命题，“”为假命题，则集合可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由“”为真命题可排除A，由“”为假命题可排除BD，即可得到结果. 【详解】若“”为真命题，则A错误， 又“”为假命题，则“”为真命题，则B,D错误， 则集合可以是. 故选：C 5．（23-24高一上·山西大同·阶段练习）命题“为偶数”，下列说法正确的是（    ） A．该命题是假命题 B．该命题是真命题 C．该命题的否定为：不是偶数 D．该命题的否定为：不是偶数 【答案】B 【分析】取验证可判断选项A,B，根据特称量词命题的否定为全称量词命题可判断选项C,D. 【详解】当时，为偶数，故该命题为真命题， 故错误，正确； 该命题的否定为：不是偶数，故C，D错误． 故选：B. 6．（23-24高一上·山东潍坊·期末）设，命题“存在，使有实根”的否定是（    ） A．任意，使无实根 B．任意，使有实根 C．存在，使无实根 D．存在，使有实根 【答案】A 【分析】根据含有一个量词的命题的否定，即可得答案. 【详解】由题意知命题“存在，使有实根”为存在量词命题， 其否定为：任意，使无实根， 故选：A 7．（23-24高一上·安徽·期末）已知“，”为真命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，分离参数，借助二次函数求出最小值即得. 【详解】“，”为真命题，则“，”为真命题， 而，当且仅当时取等号，则， 所以实数a的取值范围为. 故选：A 8．（23-24高一上·陕西渭南·期末）已知命题：“，”为假命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据命题是假命题列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】由于命题：“，”为假命题， 所以， 解得. 故选：D 二、多选题 9．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知命题，为假命题，则a可能的取值有（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】ABC 【分析】由题意可得该命题的否定为真，进而讨论与结合二次函数的性质判断即可. 【详解】命题，为假命题，则，. 当时满足题意；当时，有，解得. 综上有 故选：ABC 10．（22-23高一上·浙江·阶段练习）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（    ） A． ， B．，为偶数 C．所有菱形的四条边都相等 D．是无理数 【答案】AC 【分析】判断命题是否为全称量词命题，关键在于有无“，所有的，全部的，任意的”这些量词连接，判断命题真假需要具体分析，说明全称量词命题为真需要推理，为假时只需举个反例推翻；说明存在量词命题为真只需举个例子，为假时需要推理. 【详解】对于A项，因，恒成立，故该命题是全称量词命题，且是真命题，故A正确； 对于B项，该命题是真命题，但不是全称量词命题，故B不正确； 对于C项，该命题是全称量词命题，且是真命题，故C正确； 对于D项，该命题是真命题，但不是全称量词命题，故D不正确． 故选：AC. 11．（23-24高一上·重庆·期末）下列命题中，为真命题的是（    ） A． B．，使同时被3和4整除 C． D． 【答案】BD 【分析】可通过举例逐项判断. 【详解】当时，，故A错， 当时，同时被3和4整除，B对， 当时，，故C错， 当时，，故D对； 故选：BD. 三、填空题 12．（24-25高一上·上海·随堂练习）“且”的否定形式为 . 【答案】或 【分析】把且改为或，并将和进行否定. 【详解】且的否定形式为或. 故答案为：或 13．（23-24高一下·四川泸州·期中）命题“，”是真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据得到答案. 【详解】，，为真命题，故， 解得， 故实数的取值范围是. 故答案为： 14．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）若命题“，使得”是真命题，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】原命题转化为“方程有实数解”，再由可求实数的取值范围. 【详解】若命题“，使得”是真命题，也就是“方程有实数解”， ∴ . 故答案为： 四、解答题 15．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）设命题：方程有两个不相等的实数根；命题：. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题，一真一假，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据判别式即可求解， （2）分类即可求解. 【详解】（1）若命题为真命题， 则， 解得， 所以实数的取值范围为. （2）若命题为真命题，解得， 当真假时，，得； 当假真时，，得； 综上所述，实数的取值范围为或. 16．（22-23高一上·河南平顶山·阶段练习）已知集合，，且． (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，即可得到不等式组，解得即可； （2）由求出的取值范围，依题意可得，求出时参数的取范围，即可得解. 【详解】（1）由于是真命题，所以． 而，所以，解得，故的取值范围为． （2）因为，所以，解得． 由为真命题，得， 当时，或，解得． 因为，所以当时，； 所以当时，．故的取值范围为． 17．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知集合． (1)当时，请判断“”是“”的什么条件；（选择“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一） (2)若命题“”是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1)充分不必要条件 (2) 【分析】（1）分别求出集合A和B，即可判断； （2）因为命题“”是真命题，所以， 然后分类讨论求出集合B，即可判定. 【详解】（1）由，得，所以， 当时，由，得，所以， 因为为的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件. （2）因为命题“”是真命题，所以， 由，得， ①若，则，，舍去， ②若，则，，舍去， ③若，则，因为，所以， 综上，的取值范围是． 18．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知命题：，为假命题． (1)求实数的取值集合； (2)设非空集合，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值集合． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程无解的条件即求解即可； （2）根据题意可得，结合得到，解得即可． 【详解】（1）因为命题：，为假命题， 所以命题的否定为：，，为真命题， 且，解得． ∴． （2）由解得，即， 若“”是“”的必要不充分条件，则是的真子集， 又，所以，解得， 所以实数的取值集合为． 19．（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知命题：“，”为真命题. (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，转化为在上恒成立，结合，即可求解； （2）根据题意，得到，分和，两种情况讨论，即可求解. 【详解】（1）由命题：“，”为真命题，即不等式在上恒成立， 可得，解得，所以实数的取值集合为. （2）解：由“”是“”的充分条件，可得， 因为，， 当时，可得，解得，此时满足； 当时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$