13.3.1 等腰三角形的性质（第一课时）（分层作业）-【上好课】八年级数学上册同步高效课堂（人教版）

13.3.1 等腰三角形的性质 分层作业 基础训练 1．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，中，是的角平分线，下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·辽宁阜新·阶段练习）如图，在中，，D是的中点，E是边上一点，且，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·湖北荆门·期中）如图，中，，且，垂直平分，交于点，交于点，若周长为16，，则为（   ） A．5 B．8 C．9 D．10 4．（23-24八年级下·贵州六盘水·期末）如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N；②作直线交于点D，连接．若点D是的中点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·云南·中考真题）已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为（   ） A． B．2 C．3 D． 6．（23-24八年级上·湖北宜昌·期中）已知等腰三角形一边长为2，一边的长为4，则等腰三角形的周长为 ． 7．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）已知等腰三角形的周长为18，其中一边长为5，则该等腰三角形的底边长为 ． 8．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，已知边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，连接，则图中有 个等腰三角形． 9．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，中，，，点、分别在、上（点不与、两点重合），且，若，则的长为 ． 10．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）如图，是等腰三角形，，，点是的中点． (1)求的度数； (2)求的度数； (3)若，试说明：． 11．（24-25八年级上·全国·假期作业）已知，如图，中，，是三角形外一点，于，于，且，求证：． 12．（23-24八年级下·福建三明·期末）如图，在 中， 点E在边上，点F在的延长线上，且 (1)求证: (2)若 求 的度数． 13．（23-24七年级下·河北唐山·期末）已知a， b， c是的三边． (1)，， 则c的取值范围是 ； 若c为偶数，则的最大周长为 ． (2)若是等腰三角形，， 周长为16， 求另外两边长． 能力提升 1．（23-24八年级下·江西抚州·期末）已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角是（    ） A． B． C． D．或 2．（23-24八年级下·陕西西安·期中）已知的三边长分别为2、2、3，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　）条． A．3 B．4 C．5 D．6 3．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，在等腰三角形纸片中，，M，N分别为和上的点，将沿折叠，使点B落在上的点P处，沿将剪下，若想获得的为直角三角形，则的大小为多少？对于这个问题，甲给出的答案为；乙给出的答案为；丙给出的答案为，则下列说法正确的是（   ） A．只有甲的答案对 B．甲、丙两人的答案合在一起才完整 C．甲、乙两人的答案合在一起才完整 D．甲、乙、丙三人的答案合在一起才完整 4．（23-24八年级下·广东佛山·期末）如图，在中，，，将沿方向平移4个单位得到，则重叠阴影部分的面积为（    ） A． B．4 C． D．8 5．（23-24八年级下·福建三明·期末）某平板电脑支架如图所示，其中，，为了使用的舒适性，可调整的大小．若增大，则的变化情况是（   ） A．增大 B．减小 C．增大 D．减小 6．（23-24八年级下·四川巴中·期末）如图，在中，，分别以点为圆心，以适当长为半径画弧，两弧分别交于，画直线为的中点，为直线上任意一点，若的面积为15，则的最小长度为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．（23-24八年级下·广东揭阳·期末）如图，在折线段中，，，线段上有一点P，将线段分成两个部分，分别以B点和P点为旋转中心旋转，．当，，三条线段首尾顺次相连构成等腰三角形时，的长是（    ）    A．3 B．5 C．3或5 D．3或5或7 8．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，在中，，，点从点出发以每秒速度向点运动，点从点同时出发以每秒速度向点运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当是以为底的等腰三角形时，运动的时间是 秒． 9．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）已知等腰三角形周长为20，则腰长的取值范围是 ． 23．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在中，，于点，则与的关系为 ． 10．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）已知、、为的三边长，、满足，且为方程的解，求的周长，并判断的形状． 11．（23-24七年级下·陕西咸阳·期末）已知中，，中，，，点A、D、E在同一直线上，与相交于点F，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，若，，求线段的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13.3.1 等腰三角形的性质 分层作业 基础训练 1．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，中，是的角平分线，下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，根据等腰三角形的判定与性质进行逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴，故A不符合题意； ∵平分， ∴，故B不符合题意； ∴，故C不符合题意； 根据现有条件无法得到，故D符合题意； 故选：D． 2．（23-24八年级下·辽宁阜新·阶段练习）如图，在中，，D是的中点，E是边上一点，且，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了等腰三角形的三线合一的性质，等边对等角，三角形内角和定理，根据等腰三角形三线合一的性质得到，，根据三角形内角和得到，再根据等边对等角及三角形内角和得到，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，D是的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D 3．（22-23八年级上·湖北荆门·期中）如图，中，，且，垂直平分，交于点，交于点，若周长为16，，则为（   ） A．5 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质．根据三角形的周长公式求出，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：周长为16， ， ， ， 垂直平分， ， ，， ， ， ， 故选：A． 4．（23-24八年级下·贵州六盘水·期末）如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N；②作直线交于点D，连接．若点D是的中点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，三角形内角和定理，根据作图可知：是的垂直平分线，由垂直平分线的性质，可得出，由已知条件可得出，进而可得出，由等边对等角得出，再根据三角形内角和定理可得出，进可可得出． 【详解】解：根据作图可知：是的垂直平分线， ∴， ∴， 又∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即 ∴， 故选：A． 5．（2024·云南·中考真题）已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 由等腰三角形“三线合一”得到平分，再角平分线的性质定理即可求解． 【详解】解： 如图， ∵是等腰底边上的高， ∴平分， ∴点F到直线，的距离相等， ∵点到直线的距离为3， ∴点到直线的距离为3． 故选：C． 6．（23-24八年级上·湖北宜昌·期中）已知等腰三角形一边长为2，一边的长为4，则等腰三角形的周长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系，熟知相关定理是解题关键．分腰长为2和腰长为4两种情况讨论，不合题意的舍去，据此即可求解． 【详解】解：当腰长为时2时，三边分别为2、2、4，不能构成三角形， 当腰长为时4时，三边分别为2、4、4，，能构成三角形，周长为：， 故答案为：10． 7．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）已知等腰三角形的周长为18，其中一边长为5，则该等腰三角形的底边长为 ． 【答案】8或5 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．由于长为4的边可能为腰，也可能为底边，故应分两种情况讨论． 【详解】解：当腰为5时，另一腰也为5，则底为， ∵，符合题意， 当底为5时，腰为，符合题意， ∴该三角形的底边长为8或5． 故答案为：8或5． 8．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，已知边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，连接，则图中有 个等腰三角形． 【答案】3 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定可解答． 【详解】解：∵边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点， ， ， ∴都是等腰三角形； 故答案为：3． 9．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，中，，，点、分别在、上（点不与、两点重合），且，若，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后利用一线三等角构造全等，从而利用全等三角形的性质可得，，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：2． 10．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）如图，是等腰三角形，，，点是的中点． (1)求的度数； (2)求的度数； (3)若，试说明：． 【答案】(1) (2) (3)说明见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的判定等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得出答案； （2）根据等腰三角形的性质即可得出答案； （3）根据等腰三角形的性质可得到，从而可得出结论． 【详解】（1）解：， ， 又， ； （2）解：，点是的中点， ； （3）解：说明如下： ， ， 又，点是的中点， ， ， ． 11．（24-25八年级上·全国·假期作业）已知，如图，中，，是三角形外一点，于，于，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定，由，得到，由于，于是得到，推出，求得，根据平行线的判定定理即可得到结论． 【详解】证明：， ， 于，于， ， ， ， ， ， ． 12．（23-24八年级下·福建三明·期末）如图，在 中， 点E在边上，点F在的延长线上，且 (1)求证: (2)若 求 的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是： （1）利用证明，即可得证； （2）利用等边对等角和三角形内角和定理求出，进而求出，利用（1）中可得出，即可求解。 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴. 13．（23-24七年级下·河北唐山·期末）已知a， b， c是的三边． (1)，， 则c的取值范围是 ； 若c为偶数，则的最大周长为 ． (2)若是等腰三角形，， 周长为16， 求另外两边长． 【答案】(1)；18 (2)另外两边长为6，6 【分析】本题考查了三角形三边关系，三角形周长的计算，熟练掌握两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解此题的关键． （1）根据三角形三边关系进行求解即可； （2）根据等腰三角形定义和三角形三边关系进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴c的取值范围是， 即； ∵c为偶数， ∴，6，8， ∴的最大周长为：， 故答案为：；18． （2）解：当为腰时，另外两边为4，， ∵， ∴此时三边不能构成三角形，不符合题意舍去； 当为底时，另外两边为， 此时等腰三角形的三边为：，6，6； 综上分析可知：另外两边长为6，6． 能力提升 1．（23-24八年级下·江西抚州·期末）已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和性质，解题的关键是要分情况讨论．根据题意外角可能是顶角的外角，也可能是底角的外角，分情况讨论，再结合三角形的内角和，可求出顶角的度数． 【详解】解：依题意，等腰三角形的一个外角等于 ∴①若是顶角的外角， 则顶角； ∴②若是底角的外角， 则底角， 即顶角． 故选：D． 2．（23-24八年级下·陕西西安·期中）已知的三边长分别为2、2、3，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　）条． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，依据等腰三角形的定义画出图形，即可判断． 【详解】解：设，， ∵， ∴有以下四种情况， ①以点B为圆心，以为半径画弧交于D，作直线，如图1所示： 则， ∴直线将分割成两个三角形，其中的一个是等腰三角形； ②以点C为圆心，以为半径画弧交于E，作直线，如图2所示： 则， ∴直线将分割成两个三角形，其中的一个是等腰三角形； ③作线段的垂直平分线交于点F，作直线，如图3所示： 则， ∴直线将分割成两个三角形，其中的一个是等腰三角形； ④作线段的垂直平分线交于点H，作直线，如图4所示： 则， ∴直线将分割成两个三角形，其中的一个是等腰三角形． 综上所述：这样的直线最多可以画4条， 故选：B． 3．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，在等腰三角形纸片中，，M，N分别为和上的点，将沿折叠，使点B落在上的点P处，沿将剪下，若想获得的为直角三角形，则的大小为多少？对于这个问题，甲给出的答案为；乙给出的答案为；丙给出的答案为，则下列说法正确的是（   ） A．只有甲的答案对 B．甲、丙两人的答案合在一起才完整 C．甲、乙两人的答案合在一起才完整 D．甲、乙、丙三人的答案合在一起才完整 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，图形的折叠问题，三角形的内角和定理．根据等腰三角形的性质，可得，由折叠的性质得： ，然后分两种情况：当时；当时，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得： ， 当时，， ∴， ∴，故丙给出的答案正确； 当时，， ∴， ∴， ∴，故甲给出的答案正确； 综上所述，甲、丙两人的答案合在一起才完整． 故选：B 4．（23-24八年级下·广东佛山·期末）如图，在中，，，将沿方向平移4个单位得到，则重叠阴影部分的面积为（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】B 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质以及平移的性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质和平移的性质是解题的关键． 由平移的性质得，，证出是等腰直角三角形，得出，由三角形面积公式即可得出答案． 【详解】解：如图所示，设交于点, 等腰直角中，，， ，， 由平移的性质得：，， ，，， 是等腰直角三角形， ， 重叠阴影的面积． 故选：B． 5．（23-24八年级下·福建三明·期末）某平板电脑支架如图所示，其中，，为了使用的舒适性，可调整的大小．若增大，则的变化情况是（   ） A．增大 B．减小 C．增大 D．减小 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，设设原来，求出此时，然后类似求出变化后，然后两角作差即可得出结论. 【详解】解：设原来，则 ∵， ∴， ∴， 增大后，， ∴， ∴， ∴， ∴的变化情况是减小， 故选：D. 6．（23-24八年级下·四川巴中·期末）如图，在中，，分别以点为圆心，以适当长为半径画弧，两弧分别交于，画直线为的中点，为直线上任意一点，若的面积为15，则的最小长度为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形的面积，三线合一定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是掌握垂直平分线的性质．如图，连接，．利用三角形的面积公式求出，再根据两点之间线段最短，线段的垂直平分线的性质判断即可． 【详解】解：如图，连接，． ∵， 为的中点， ∴， ，， ， 由作图可知：垂直平分线段， ， ， 的最小值为6， 故选：B． 7．（23-24八年级下·广东揭阳·期末）如图，在折线段中，，，线段上有一点P，将线段分成两个部分，分别以B点和P点为旋转中心旋转，．当，，三条线段首尾顺次相连构成等腰三角形时，的长是（    ）    A．3 B．5 C．3或5 D．3或5或7 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的定义，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和三角形的三边关系可求解． 【详解】解：当时， ， ； 当时，则， ， 三条线段，，不能构成三角形； 当时，则， ， 三条线段，，不能构成三角形； 综上分析可知：，故B正确． 故选：B． 8．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，在中，，，点从点出发以每秒速度向点运动，点从点同时出发以每秒速度向点运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当是以为底的等腰三角形时，运动的时间是 秒． 【答案】4 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，一元一次方程的应用，熟练掌握等腰三角形的性质，一元一次方程的应用是解题的关键． 设运动的时间为，则，，由是以为底的等腰三角形，可知，即，计算求解即可． 【详解】解：设运动的时间为，则，， ∵是以为底的等腰三角形， ∴，即， 解得，． 故答案为：4． 9．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）已知等腰三角形周长为20，则腰长的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形性质，一元一次不等式，三角形三边关系的应用等．根据题意用含的代数式表示底边长，继而利用三角形三边关系列出一元一次不等式即可得到本题答案． 【详解】解：∵等腰三角形周长为20，腰长为， ∴底边为：， ∵，解得：， ，即：， ∴腰长的取值范围：， 故答案为：． 23．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在中，，于点，则与的关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查等角对等边，全等三角形的性质与判定，延长交于点，证明得出，，进而根据等角对等边得出，结合图形即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点， ∵ ∴， 又， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ 故答案为：． 10．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）已知、、为的三边长，、满足，且为方程的解，求的周长，并判断的形状． 【答案】7，等腰三角形 【分析】利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出，的值，进而利用三角形三边关系得出的值，进而求出的周长进而判断出其形状．此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质和偶次方的性质，得出的值是解题关键． 【详解】解：， ，， 解得：，， 为方程的解， ， 解得：或2， 、、为的三边长，， 不合题意舍去， ， ∴的周长为：， ∴是等腰三角形． 11．（23-24七年级下·陕西咸阳·期末）已知中，，中，，，点A、D、E在同一直线上，与相交于点F，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定风信子，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及外角的性质，掌握全等三角形和等腰三角形的性质是解题关键． （1）利用“”证明，即可得出结论； （2）由全等三角形的性质，得到，根据等腰直角三角形的性质，得到，，进而得出，得出，再根据，得出，即可求出的长． 【详解】（1）证明：，，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，， ， ，，， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$