13.3.4 含30°角的直角三角形的性质（第二课时）（分层作业）-【上好课】八年级数学上册同步高效课堂（人教版）

13.3.4 含30°角的直角三角形的性质 分层作业 基础训练 1．（23-24八年级上·甘肃定西·阶段练习）如图，于点D，则的长为（    ） A．5 B．4 C．1 D．3 2．（23-24八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，在中，于D，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，已知，平分，点P在上，于D，，点E是射线上的动点，则的最小值为（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 4．（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，三角形纸片中，，，．沿过点的直线将纸片折叠（折痕为），使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，折痕交于点（折痕为），则的长是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 5．（23-24八年级上·河南开封·期末）2023年7月28日，世界大学生运动会在成都举行，在设计比赛场地时，融合了许多几何元素，其中有一个等腰三角形的模型，它的顶角为，腰长为，则底边上的高为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·吉林松原·期末）如图，点A，点B分别在x轴和y轴上，，，则点B的坐标为（　　） A． B． C． D． 7．（23-24八年级上·河北廊坊·阶段练习）叠放在一起的一副三角尺，若，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·广东肇庆·期中）已知一张三角形纸片（如图甲），将纸片折叠，使点落到边上的点处，折痕为（如图乙），再将纸片沿折叠，使点恰好与点重合（如图丙）.原三角形纸片中，的大小为（    ）. A． B． C． D． 9．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）等腰的顶角为30°，腰长为6，则 ． 10．（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，，，D是的中点，，则 ． 11．（23-24八年级上·四川广安·期末）如图，在等边三角形中，D为的中点，于点E，，则线段的长为 ． 12．（23-24八年级上·辽宁营口·期中）如图，已知，点在边上，，点M，N在边上，，若，求的长 13．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图是“人字形”钢架，其中斜梁，顶角，跨度，为支柱（即上的中线），两根支撑架，，则等于 ． 14．（23-24八年级上·贵州黔西·期末）数学课外活动小组外出社会实践，发现一块四边形草坪，经过实地测量，并记录数据，画出如图的四边形，其中米，米，． (1)求证：； (2)求四边形草坪造型的面积． 15．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，是边上的高线， (1)试说明是什么三角形，并说明理由； (2)若，，求的长 16．（23-24八年级上·四川南充·期末）如图，是的角平分线，，分别是和的高．    (1)试说明垂直平分； (2)连接交于点，若，请探究与之间有什么数量关系？并证明你的结论． 17．（23-24八年级上·四川广安·期末）一艘轮船在某海域上由西向东匀速航行，在A处测得小岛P在北偏东方向上，继续向东航行12海里到达B处后，在B处测得小岛P在北偏东方向上． (1)求轮船在B处时与小岛P的距离． (2)已知在小岛P周围7海里内有暗礁，若轮船继续向东航行，是否有触礁的危险？请说明理由． 18．（23-24八年级上·河南商丘·阶段练习）郑州高铁站入口的双翼闸机如图1所示，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为．双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．一名旅客携带如图2长方体行李箱进站（单位：）．当双翼收回进闸机箱内时： (1)根据实际情况，推着______向前更容易通过闸机； A．“”的面     B．“”的面 (2)通过计算说明该旅客的行李箱是否可以通过闸机． 能力提升 1．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，若将沿DE折叠，使点B与点A重合，则折痕的长为（    ）    A． B．3 C． D． 2．（23-24八年级上·河北沧州·阶段练习）题目“如图，，在射线上取一点，设，若的形状、大小是唯一确定的，求的取值范围． ”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（    ） A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．乙、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 3．（23-24八年级上·河北沧州·阶段练习）如图，在中，，，，点P从点B出发以每秒的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒，当为直角三角形时，t的值为（    ） A．秒 B．3秒 C．或3秒 D．3或秒 4．（23-24八年级上·广东肇庆·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于D，交于E，连接，给出下列结论：①平分；②；③；④． 其中正确的结论有（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 5．（23-24八年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则下列说法中正确的个数是（    ） ①是的平分线；②；③点在的垂直平分线上；④若，则点D到的距离是；⑤． A．2 B．3 C．4 D．5 6．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，，为的中点，为上一点，为延长线上一点，且．有下列结论：①；②为等边三角形；③；④，其中正确的结论是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 7．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，中，，且点在外，在的垂直平分线上，连接，若，，则 °． 8．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，和的平分线交于点，已知的周长为，则的面积为 （用含的代数式表示）．    9．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，等边为外一点，，连接，若的面积等于9，则的长为 ． 10．（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是等边三角形，点，，…在x轴上，点，，…在上，轴，，则第n个等边的周长是 ． 11．（23-24八年级上·贵州遵义·期中）如图，已知，平分．、分别在射线、上．    (1)在图（）中，当时，求证：． (2)若把（）中的条件“”改为，其他条件不变（）所示．则（）中的结论是否仍然成立？若成立；若不成立，请说明理由． 12．（23-24八年级上·江苏镇江·期中）阅读：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．如图1，在中，，若，则． 根据材料，解决下列问题： 如图2，中，，，，动点从点出发沿线段以的速度向终点运动，同时，动点从点出发，沿线段以的速度向终点运动，设运动时间为． (1)当时，__________； (2)当为何值时，是等腰三角形？请说明理由； (3)当为何值时，是直角三角形？请说明理由． 拔高拓展 1．（23-24八年级上·广西南宁·期中）阅读材料： 已知：如图1，是直角三角形，，．求证： 证明：如图2，延长至点，使，连接． ，． ，． 在和中 ． （全等三角形的对应边相等）． 是等边三角形（有一个角等于的等腰三角形是等边三角形）． 【知识运用】（1）如图1，在Rt中，， 若，，则______； 【类比证明】（2）如图3，请类比以上证明过程，证明：在中，若，，求证：； 【迁移创新】请你尝试解决以下问题． （3）如图4，等边中，延长，，使，连接，．求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13.3.4 含30°角的直角三角形的性质 分层作业 基础训练 1．（23-24八年级上·甘肃定西·阶段练习）如图，于点D，则的长为（    ） A．5 B．4 C．1 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了等角对等边的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，根据等角对等边的性质可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出，然后根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半解答即可． 【详解】解：， ， ， 又， ． 故选：A． 2．（23-24八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，在中，于D，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是含的直角三角形的性质和三角形的内角和，熟练掌握相关的性质是解题的关键．根据含的直角三角形的性质：在直角三角形中，所对应的边等于斜边的一半；以及三角形的内角和为，判断即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，，故A正确，不符合题意； 又∵， ∴， ∴， ∴，， ， ，故B错误，符合题意； ， ，故D正确，不符合题意； ∴，即，故C正确，不符合题意； 故选：B． 3．（22-23八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，已知，平分，点P在上，于D，，点E是射线上的动点，则的最小值为（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂线段最短以及角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边的距离相等，以及垂线段最短．根据角平分线的性质可得，则，再根据角平分线上的点到两边的距离相等，以及垂线段最短，即可进行解答． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∵，， ∴， 过点P作于点， ∵平分，，， ∴， ∴的最小值为． 故选：B． 4．（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，三角形纸片中，，，．沿过点的直线将纸片折叠（折痕为），使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，折痕交于点（折痕为），则的长是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据折叠的性质可得，，，即，再由角所对的直角边是斜边的一半，即可求解，本题考查了折叠的性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是：熟练掌握折叠的性质． 【详解】解：由折叠可知，，， ， 在中，，，， ， ， 故选：． 5．（23-24八年级上·河南开封·期末）2023年7月28日，世界大学生运动会在成都举行，在设计比赛场地时，融合了许多几何元素，其中有一个等腰三角形的模型，它的顶角为，腰长为，则底边上的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质等，解题的关键是掌握30度角所对的直角边等于斜边的一半．作于点D，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，再根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，作于点D， ∵中，，， ∴， ∵， ∴， 故选∶B． 6．（23-24八年级上·吉林松原·期末）如图，点A，点B分别在x轴和y轴上，，，则点B的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查图形与坐标及含30度直角三角形的性质，熟练掌握含30度直角三角形的性质是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解 【详解】解：∵，， ∴， ∴点， 故选：C． 7．（23-24八年级上·河北廊坊·阶段练习）叠放在一起的一副三角尺，若，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了含30度的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角板的特性，根据三角板的特性求出是等腰直角三角形，再利用含30度的直角三角形的性质求出，得到，再利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：由三角板性质可知：，，， ∴，即是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积是， 故选：A． 8．（23-24八年级上·广东肇庆·期中）已知一张三角形纸片（如图甲），将纸片折叠，使点落到边上的点处，折痕为（如图乙），再将纸片沿折叠，使点恰好与点重合（如图丙）.原三角形纸片中，的大小为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查折叠性质和直角三角形中30度的角所对直角边是斜边的一半；根据折叠性质可得，，即可求解． 【详解】解：由折叠性质得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）等腰的顶角为30°，腰长为6，则 ． 【答案】 【分析】作，在中，根据，求出的长，在中，以为底，为高，即可求解，本题考查了含角的直角三角形，解题的关键是：灵活应用求三角形面积的多种方式． 【详解】解：设，，过点，作，垂足为， ，， ， ， 故答案为：． 10．（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，，，D是的中点，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的特征，根据等腰三角形的性质得，，再根据直角三角形的特征即可求解，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【详解】解：连接，如图： ，， ， D是的中点，， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 11．（23-24八年级上·四川广安·期末）如图，在等边三角形中，D为的中点，于点E，，则线段的长为 ． 【答案】18 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，先由等边三角形的性质得到，再求出，得到，进而得到，则． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∴， 故答案为：18． 12．（23-24八年级上·辽宁营口·期中）如图，已知，点在边上，，点M，N在边上，，若，求的长 【答案】5 【分析】考查了含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键．过P作于点D，在中，利用含30度直角三角形的性质求出的长，再由，利用等腰三角形三线合一的性质得到D为中点，根据求出的长，由即可求出的长． 【详解】解：过作于点， 在中， ，， ， ， ，，， ， ． 故答案为：5． 13．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图是“人字形”钢架，其中斜梁，顶角，跨度，为支柱（即上的中线），两根支撑架，，则等于 ． 【答案】5 【分析】本题考查等腰三角形和直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题关键．先根据等腰三角形的性质得，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半得到，两式相加即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 故答案为：5． 14．（23-24八年级上·贵州黔西·期末）数学课外活动小组外出社会实践，发现一块四边形草坪，经过实地测量，并记录数据，画出如图的四边形，其中米，米，． (1)求证：； (2)求四边形草坪造型的面积． 【答案】(1)见解析 (2)12平方米 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键． （1）利用全等三角形的判定方法，结合三边关系得出答案； （2）直接利用全等三角形的性质以及直角三角形中30度所对边与斜边的关系的得出对应边长，进而得出答案． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：过点作于点， 米，， 米， （平方米）， 则（平方米）， 草坪造型的面积为：（平方米）． 15．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，是边上的高线， (1)试说明是什么三角形，并说明理由； (2)若，，求的长 【答案】(1)直角三角形，见解析 (2)6 【分析】本题考查直角三角形的性质，三角形内角和定理．熟练掌握直角三角形两锐角互余和含30度的直角三角形所对直角边等于斜边的一半的性质是解题的关键． （1）证明，再根据三角形内角和定理求得，即可得出结论； （2）利用含30度的直角三角形所对直角边等于斜边的一半的性质求解即可． 【详解】（1）解：是直角三角形．理由如下： ∵是边上的高线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 16．（23-24八年级上·四川南充·期末）如图，是的角平分线，，分别是和的高．    (1)试说明垂直平分； (2)连接交于点，若，请探究与之间有什么数量关系？并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）由高的定义得，，从而根据角平分线的性质得，再证明得，根据线段垂直平分线的判定即可得解； （2）由三角形的内角和得，从而根据角平分线的定义得，然利用直角三角形的性质即可得解． 【详解】（1）证明：∵，分别是和的高， ∴，， 又∵是的角平分线， ∴， ∴点在的垂直平分线上． 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上， ∴垂直平分． （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、线段垂直平分线的判定、三角形的判定及性质以及高的定义，熟练掌握线段垂直平分线的判定是解题的关键． 17．（23-24八年级上·四川广安·期末）一艘轮船在某海域上由西向东匀速航行，在A处测得小岛P在北偏东方向上，继续向东航行12海里到达B处后，在B处测得小岛P在北偏东方向上． (1)求轮船在B处时与小岛P的距离． (2)已知在小岛P周围7海里内有暗礁，若轮船继续向东航行，是否有触礁的危险？请说明理由． 【答案】(1)轮船在B处时与小岛P的距离为12海里 (2)若该轮船继续向东航行，有触礁的危险 【分析】 （1）求出，利用等角对等边得出即可解决问题． （2）过点P作的垂线，求出点P到的距离，将这个距离与7进行比较即可解决问题． 【详解】（1）由题意，得，， ∵， ， 海里． 答：轮船在B处时与小岛P的距离为12海里． （2）若该轮船继续向东航行，有触礁的危险．理由如下：   如图，过点P作直线于点D． 海里， 海里． ， ∴若该轮船继续向东航行，有触礁的危险． 【点睛】 本题考查了方向角问题，三角形外角的性质，以及等角对等边，过点P作的垂线构造出直角三角形是解题的关键． 18．（23-24八年级上·河南商丘·阶段练习）郑州高铁站入口的双翼闸机如图1所示，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为．双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．一名旅客携带如图2长方体行李箱进站（单位：）．当双翼收回进闸机箱内时： (1)根据实际情况，推着______向前更容易通过闸机； A．“”的面     B．“”的面 (2)通过计算说明该旅客的行李箱是否可以通过闸机． 【答案】(1)B (2)可以通过，说明见解析 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． （1）根据推着较窄一面向前更容易通过闸机，即可得出结论； （2）过点A作于点E，过点B作于点F，则可得和的长，依据端点A与B之间的距离为，即可说明该旅客的行李箱是否可以通过闸机． 【详解】（1）解：， 推着“”向前更容易通过闸机， 故选：B； （2）解：如图，过点A作于点E，过点B作于点F． ∵，， ∴，． 当双翼收回进闸机箱内时，闸机入口宽度为． ∵， ∴当旅客推着“”的面向前时，可以通过闸机． 能力提升 1．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，若将沿DE折叠，使点B与点A重合，则折痕的长为（    ）    A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，折叠的性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，灵活运用角平分线的性质和直角三角形的性质是解题的关键． 根据直角三角形的两个锐角互余可得，根据折叠可得，根据直角三角形的性质可得，进而根据角平分线的性质求得，据此求解即可． 【详解】解：∵将折叠，使点B与点A重合， ∴，， 在中，， ，， , ∴平分， ∵，， ， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：A． 2．（23-24八年级上·河北沧州·阶段练习）题目“如图，，在射线上取一点，设，若的形状、大小是唯一确定的，求的取值范围． ”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（    ） A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．乙、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的三边关系，直角三角形的知识，熟练掌握直角三角形的性质及三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】当时，此时的形状、大小是唯一确定的， 根据直角三角形的性质，得， 故甲的说法正确； 当时，以A为圆心，以d为半径的圆与射线有唯一的交点， 故此时的形状、大小是唯一确定的， 故， 故丙的说法正确； 故选B． 3．（23-24八年级上·河北沧州·阶段练习）如图，在中，，，，点P从点B出发以每秒的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒，当为直角三角形时，t的值为（    ） A．秒 B．3秒 C．或3秒 D．3或秒 【答案】D 【分析】此题主要考查直角三角形的判定，含30度角的直角三角形的特征，根据题意，先列出的代数式，当为直角三角形时，则或，再根据30度所对的边是斜边的一半，建立关于t的方程求解即可． 【详解】解：根据题意得：，， 为直角三角形，， 当时，则， ，解得：， 当时，则， ，解得：， 综上，当t的值为3秒或秒时，为直角三角形， 故选：D． 4．（23-24八年级上·广东肇庆·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于D，交于E，连接，给出下列结论：①平分；②；③；④． 其中正确的结论有（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、垂直平分线的性质、角平分线的判定、含角的直角三角形的特征，利用垂直平分线的性质及可得，进而可得，则可判断①，根据垂直平分线的性质及含角的直角三角形的特征可判断②，根据全等三角形的性质得，再根据含角的直角三角形的特征得，由可判断③，根据垂直平分线的性质得，再根据全等三角形的性质得，进而可判断④，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键． 【详解】解：在中，， ， ， 垂直平分， ，， ， 在和中， ， ， ， 平分，故①正确； ，， ，故②正确； ，， ， ， ， ， 在中，， ， ，即：， ， ，故③错误； 垂直平分， ， ， ， ， ，故④正确； 综上所述，正确的结论有3个， 故选B． 5．（23-24八年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则下列说法中正确的个数是（    ） ①是的平分线；②；③点在的垂直平分线上；④若，则点D到的距离是；⑤． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了作图-基本作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，含度角的直角三角形，根据中，，可得，根据作图过程可得是的平分线，可以判断①；再根据直角三角形两个锐角互余可以判断②；根据，可以判断③；根据角平分线的性质可以判断④；根据高相等，面积的比等于底与底的比可以判断⑤，进而可得结论，解决本题的关键是综合掌握以上知识． 【详解】解：在中，， ∴， 根据作图过程可知：是的平分线，故①正确； ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴点在的垂直平分线上，故③正确； ∵， ∴， 根据角平分线上的点到角的两边距离相等， ∴点到的距离是，故④正确； ∴， ∵， ∵点到的距离， ∴，故⑤错误． 综上所述：正确的有①②③④，共4个． 故选：C． 6．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，，为的中点，为上一点，为延长线上一点，且．有下列结论：①；②为等边三角形；③；④，其中正确的结论是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【分析】连接，由等腰三角形的性质和线段的中垂线性质即可判断①；由三角形内角和定理可求，可得，可判断②；过点作，在上截取，由“”可证，延长至H，使，则点关于的对称点，连接，根据对称性质即可判断③；过点A作，在上截取，由三角形的面积的和差关系可判断④． 【详解】解：如图，连接， ∵，点是的中点， ∴，，， ∴是的中垂线， ∴，而， ∴， ∴，， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，   ∵， ∴， ∴而， ∴是等边三角形，故②正确； 如图，延长至，使，则点关于的对称点为，连接， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．故③正确； 过点A作，在上截取，   ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴．故④正确． 所以其中正确的结论是①②③④． 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，等边三角形的判定和性质，含30°的直角三角形的性质，垂直平分线的定义与性质，添加恰当辅助线是本题的关键．本题的综合性强，难度大，属于选择题中的压轴题． 7．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，中，，且点在外，在的垂直平分线上，连接，若，，则 °． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的全等，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和含30°角直角三角形的性质，熟悉相关性质是解题的关键． 过作，交的延长线于，过作于，证明和，得，求出， 则根据等腰三角形的内角和， 可求出的度数 ． 【详解】解： 如图， 过作，交的延长线于，过作于， 点在的垂直平分线上， 是的垂直平分线， ， ， ， 在中，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 又， ， 故答案为：． 8．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，和的平分线交于点，已知的周长为，则的面积为 （用含的代数式表示）．    【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质，直角三角形的性质，三角形的面积． 连接，过点O分别作于D，于E，于F，先利用角平分线的定义求得，再根据直角三角形的性质求得，然后根据角平分线的性质得出，最后由求解即可． 【详解】解：连接，过点O分别作于D，于E，于F，如图，    ∵平分，， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵和的平分线交于点O，，，， ∴ ∴ ． 故答案为：． 9．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，等边为外一点，，连接，若的面积等于9，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，三角形的面积，过点C作于点D，设，先求出，再证，进而得，，再由直角三角形的性质得，然后根据得，由此解出x即可得的长． 【详解】解：过点C作于点D，设，如图所示： ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵于点D， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，舍去负值， ∴． 故答案为：6． 10．（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是等边三角形，点，，…在x轴上，点，，…在上，轴，，则第n个等边的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标、等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质，解决本题的关键是寻找点的坐标规律． 【详解】解：，，…都是等边三角形，， ∵，， ， ， ， ， ， 同理可得 ，，… 故答案为：． 11．（23-24八年级上·贵州遵义·期中）如图，已知，平分．、分别在射线、上．    (1)在图（）中，当时，求证：． (2)若把（）中的条件“”改为，其他条件不变（）所示．则（）中的结论是否仍然成立？若成立；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)成立 【分析】（1）由题中条件可得，，在直角三角形中可得，，所以． （2）在上截取，连接，可得为等边三角形，进而可得，即，，进而结论得证． 【详解】（1）证明：∵，平分， ∴ ∵， ∴， 在中，， ∴，， ∴； （2）解：结论成立． 理由如下：在上截取，连接，    ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了的直角三角形的边角关系以及全等三角形的判定和性质问题，能够利用其性质求解一些简单的计算、证明问题． 12．（23-24八年级上·江苏镇江·期中）阅读：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．如图1，在中，，若，则． 根据材料，解决下列问题： 如图2，中，，，，动点从点出发沿线段以的速度向终点运动，同时，动点从点出发，沿线段以的速度向终点运动，设运动时间为． (1)当时，__________； (2)当为何值时，是等腰三角形？请说明理由； (3)当为何值时，是直角三角形？请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或，理由见解析 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质；等边三角形的性质与判定，一元一次方程的应用； （1）根据含30度角的直角三角形的性质，得出，根据即可求解； （2）依题意当是等腰三角形，则是等边三角形，则只有一种可能，根据，建立方程，即可求解． （3）分，两种情况，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵中，，，， ∴， ∵动点从点出发沿线段以的速度向终点运动， ∴ 当时， （2）解：∵， ∴当是等腰三角形，则是等边三角形， ∵，， 过点作于点， ∴当时， 解得： 即时，是等腰三角形 （3）解：当时，， ∴ 即 解得： 当时， ∴ 即 解得： 综上所述，或时，是直角三角形 拔高拓展 1．（23-24八年级上·广西南宁·期中）阅读材料： 已知：如图1，是直角三角形，，．求证： 证明：如图2，延长至点，使，连接． ，． ，． 在和中 ． （全等三角形的对应边相等）． 是等边三角形（有一个角等于的等腰三角形是等边三角形）． 【知识运用】（1）如图1，在Rt中，， 若，，则______； 【类比证明】（2）如图3，请类比以上证明过程，证明：在中，若，，求证：； 【迁移创新】请你尝试解决以下问题． （3）如图4，等边中，延长，，使，连接，．求证：． 【答案】（1）2；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题为三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，正确理解题意构造等边三角形是解题的关键； （1）根据题目所证明的结论即可得到答案； （2）如图，延长至点，使，连接，证明．推出进而证明是等边三角形，由此即可证明结论； （3）延长到使得，连接，证明是等边三角形，得到，，再证明，即可证明得到． 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：2； （2）证明：如图，延长至点，使，连接， ， ， ，， ． ， 又， ， 是等边三角形， ， 又， ； （3）证明：如图所示，延长到使得，连接， 是等边三角形， ，， 又， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$