第四讲：集合的全集和补集（三大考点）-2024-2025学年高一数学同步预习讲义（人教A版2019必修第一册）

第四讲：集合的补集及综合应用 讲义导航 知识点一：全集和补集的概念 知识点二：补集的性质 知识点三：集合的运算综合应用 知识点一：全集和补集的概念 【课前预习】 全集和补集 （1）全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作 ，常用符号U表示．全集包含所要研究的这些集合． （2）补集：设U是全集，A是U的一个子集（即），则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作U中子集A的补集，记作，即 ．如图． 【例题讲解】 例1：（多选）设全集，，，则的值是 A．2 B．8 C．-2 D．-8 【课堂练习】 1.设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2.已知集合，则（   ） A． B． C． D． 3．设全集，集合，，则=（    ） A． B． C． D． 4．设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 6.已知全集，集合，． (1)求； (2)若，求实数a的取值范围． 知识点二：补集的性质 【课前预习】 补集的性质： ①∁U(∁UA)＝ ； ②∁UU＝ ；③∁U＝ ； ④A∩(∁UA)＝ ；⑤A∪(∁UA)＝ ； ⑥∁U(A∩B)＝(∁UA) (∁UB)； ⑦∁U(A∪B)＝(∁UA) (∁UB)． 【例题讲解】 例2：（多选）设为全集，集合满足条件，那么下列各式中不一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【课堂练习】 1.如图，是全集，是的两个子集，则图中的阴影部分可以表示为（    ）    A． B． C． D． 2.如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（    ）    A． B． C． D． 3．如图，全集为U，集合A，B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 知识点三：集合的运算综合应用 【课前预习】 集合的并、交、补运算： 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号 表示 若全集为U，则集合A的补集记为 Venn图表示(阴影部分) 意义 【例题讲解】 例1.记全集，已知集合，． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 【课堂练习】 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2.已知全集，则集合（    ） A． B． C． D． 3．设集合或，集合，且，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 4.设全集为R，集合，. (1)若a=3，求，； (2)若，求a的集合. 5．已知：设，，，求： (1) ； (2) ； (3) 6．已知集合，. (1)当时，求和； (2)若，求m的取值范围. 一、单选题 1．已知全集，则（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知全集，，，则（   ） A． B． C． D． 4．已知全集，集合，则（　　） A． B． C．或 D． 5．设全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 6．设全集，集合，则=（    ） A．{4,5,6} B．{3,4,5} C．{1,2,3,4,5,6} D． 7．已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 8．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 9．已知集合，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 11．已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 12．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 13．已知集合，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 14．已知全集，集合，，则下列说法不正确的是（    ） A．集合的真子集有个 B． C． D．， 16．已知全集，集合，则下列结论正确的是（    ） A．集合中有6个元素 B． C． D．的真子集个数是3 17．如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 18．已如全集，集合，那么下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 19．已知集合，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 20．已知全集，其中，则可以是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 21．填空：（1）被9除余2的所有整数组成的集合可表示为 ； （2）不等式组的解集为A，则 ； （3）已知集合，，则 ； （4）满足的集合B的个数是 ； （5）已知集合或，，则与的关系是 ． 22．设集合，，则 ． 23．已知，集合，则的取值范围是 . 24．已知全集，集合，，则 25．已知，均为集合的子集，且，，则集合 ． 四、解答题 26．已知集合. (1)求； (2)若，求的取值范围. 27．已知全集，集合或. (1)求; (2)若，求实数的取值范围. 28．设集合，，或，全集. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数b的取值范围. 29．已知集合，，全集，且， (1)求集合； (2)求. 30．已知集合，. (1)求及； (2)求. 31．已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 32．已知集合． (1)求； (2)求． 33．已知集合，，. (1)求，； (2)若，求的取值范围. 34．已知集合或． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 35．已知集合， (1)当时，求； (2)在①②中任选一个作为已知，求实数的取值范围． 36．已知集合,． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 37．已知集合． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 38．集合. (1)求； (2)求. 39．已知，非空集合． (1)当时，求； (2)若，求实数a的取值范围． 40．已知集合，，全集． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四讲：集合的补集及综合应用 讲义导航 知识点一：全集和补集的概念 知识点二：补集的性质 知识点三：集合的运算综合应用 知识点一：全集和补集的概念 【课前预习】 全集和补集 （1）全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作 ，常用符号U表示．全集包含所要研究的这些集合． （2）补集：设U是全集，A是U的一个子集（即），则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作U中子集A的补集，记作，即 ．如图． 【答案】 全集 ，且 【例题讲解】 例1：（多选）设全集，，，则的值是 A．2 B．8 C．-2 D．-8 解析：，，解得或8. 答案选A、B 【课堂练习】 1.设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】或，故. 故选：B. 2.已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，而， 所以. 故选：A 3．设全集，集合，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知集合，， 故， 故=， 故选：A 4．设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，. 故选：C 5．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 故选：A． 6.已知全集，集合，． (1)求； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）因为全集，集合， 所以或． （2）因为，所以，故实数a的取值范围是． 知识点二：补集的性质 【课前预习】 补集的性质： ①∁U(∁UA)＝ ； ②∁UU＝ ；③∁U＝ ； ④A∩(∁UA)＝ ；⑤A∪(∁UA)＝ ； ⑥∁U(A∩B)＝(∁UA) (∁UB)； ⑦∁U(A∪B)＝(∁UA) (∁UB)． 【答案】 【例题讲解】 例2：（多选）设为全集，集合满足条件，那么下列各式中不一定成立的是（ ） A． B． C． D． 解析：当，，，时，满足， 此时，不是的子集，所以A、B不一定成立；， ，所以C不一定成立；对于D，若，则，但，因为，所以，于是，所以，同理若，则，，因此，成立，所以D成立.故选：ABC. 【课堂练习】 1.如图，是全集，是的两个子集，则图中的阴影部分可以表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】观察图形知，阴影部分在集合中，且不在集合，在中，ABC不可选，也不在中，所以阴影部分可表示为. 故选：D 2.如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】根据图示可知阴影部分表示的元素是属于集合，而不属于集合， 即在阴影部分区域内任取一个元素，则满足，且，即且； 因此阴影部分可表示为，即A正确； 且，因此阴影部分可表示为，C正确； 易知阴影部分表示的集合是和的真子集，即B错误，D错误. 故选：AC. 3．如图，全集为U，集合A，B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】根据图中阴影可知，符合题意， 又，∴也符合题意． 故选：AC 4．如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】在阴影部分区域内任取一个元素，则且，即且， 所以阴影部分可表示为，A对； 且，阴影部分可表示为，而，故C错误； 且，阴影部分可表示为，D对； 显然，阴影部分区域所表示的集合为的真子集，B选项不合乎要求. 故选：AD. 知识点三：集合的运算综合应用 【课前预习】 集合的并、交、补运算： 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号 表示 若全集为U，则集合A的补集记为 Venn图表示(阴影部分) 意义 【例题讲解】 例1.记全集，已知集合，． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)． 【详解】（1）由，得， 方法1： 可得或， 由题，有或， 所以或． 方法2： 则， 所以，或． （2）依题意，或， 因为，所以 解得，故的取值范围为． 【课堂练习】 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题得：，，， 或，或， 所以，故A错误； 或，故B错误； 或，故C错误； ，故D正确； 故选：D. 2.已知全集，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 且，则集合中不包含元素， 即. 故选：C 3．设集合或，集合，且，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【详解】 因为或，所以， 由，得，故. 故选：C. 4.设全集为R，集合，. (1)若a=3，求，； (2)若，求a的集合. 【答案】(1)，(2). 【详解】（1）因为全集为R，，所以或. 当时，集合. 所以，或； （2）若，则所以. 所以的集合为. 5．已知：设，，，求： (1) ； (2) ； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1），，， 则有 ； （2）； （3），. 6．已知集合，. (1)当时，求和； (2)若，求m的取值范围. 【答案】(1)； (2)或 【详解】（1）当时，， 因为， 所以；； （2）因为， 所以或， 因为，所以， 因为， 所以或， 得或， 所以m的取值范围为或. 一、单选题 1．已知全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可得，，则. 故选：A. 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得， 又因为，所以， 故选：C. 3．已知全集，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 易知，， 所以. 故选：C 4．已知全集，集合，则（　　） A． B． C．或 D． 【答案】D 【详解】因为，， 所以. 故选：D. 5．设全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，，， 所以，所以A选项正确，BCD选项错误. 故选：A 6．设全集，集合，则=（    ） A．{4,5,6} B．{3,4,5} C．{1,2,3,4,5,6} D． 【答案】A 【详解】，， . 故选：A. 7．已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，则， 故选：B． 8．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，故. 故选：C 9．已知集合，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】或，，， 故，则的取值范围为. 故选：D 10．已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图可知图中阴影部分所表示的集合为， 由于全集，集合， 故，则， 故选：C 11．已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 故. 故选：C 12．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题知，又，所以， 又，所以， 故选：D. 二、多选题 13．已知集合，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为， 对于A，所以，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：AC. 14．已知全集，集合，，则下列说法不正确的是（    ） A．集合的真子集有个 B． C． D．， 【答案】BCD 【详解】对于A：因为含有个元素，则集合的真子集有个，故A正确； 对于B：因为且，所以，则，故B错误； 对于C：因为， 显然，，所以不是的子集，故C错误； 对于D：依题意， 所以，显然，故D错误. 故选：BCD 16．已知全集，集合，则下列结论正确的是（    ） A．集合中有6个元素 B． C． D．的真子集个数是3 【答案】BCD 【详解】由，且，故， 故集合中有5个元素，A错误； ，B正确； ，C正确； ，真子集个数是个，D正确. 故选：BCD. 17．如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】根据图示可知阴影部分表示的元素是属于集合，而不属于集合， 即在阴影部分区域内任取一个元素，则满足，且，即且； 因此阴影部分可表示为，即A正确； 且，因此阴影部分可表示为，C正确， 易知阴影部分表示的集合是和的真子集，即B错误，D错误. 故选：AC 18．已如全集，集合，那么下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】AD选项，因为，所以，，AD正确； BC选项，如图所示，表示①，而①与②无公共部分，故，B正确； 表示①和③，故表示②和③部分，表示③，故C错误. 故选：ABD 19．已知集合，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】因为，，所以，故A正确； 因为，，所以，故B正确； 因为，所以，故C错误； 由于，，故， 又因为，所以，故D正确. 故选：ABD. 20．已知全集，其中，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】已知全集，其中， 当时， 当时， 当时， 故选：AC. 三、填空题 21．填空：（1）被9除余2的所有整数组成的集合可表示为 ； （2）不等式组的解集为A，则 ； （3）已知集合，，则 ； （4）满足的集合B的个数是 ； （5）已知集合或，，则与的关系是 ． 【答案】 或 4 是的真子集 【详解】（1）被9除余2的所有整数组成的集合可表示为； （2）不等式组的解集为，则或； （3）或，则； （4），则且，所以集合可能是，所以集合有4个； （5）因为全集为，所以，，所以是的真子集. 22．设集合，，则 ． 【答案】 【详解】因为，所以或， 又因为，所以. 故答案为：. 23．已知，集合，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为，所以或. 又因为， 观察与在数轴上表示的范围，如图所示： 所以当时，. 故答案为：. 24．已知全集，集合，，则 【答案】 【详解】由题意可知：，所以. 故答案为：. 25．已知，均为集合的子集，且，，则集合 ． 【答案】 【详解】由，， 可得， 故答案为：. 四、解答题 26．已知集合. (1)求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：因为， 所以， 由或，则； （2）因为，且， 所以， 所以的取值范围是. 27．已知全集，集合或. (1)求; (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得，， . （2），， . 28．设集合，，或，全集. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数b的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以，解得， 所以a的取值范围是； （2），因为，所以， 所以，解得， 所以b的取值范围是． 29．已知集合，，全集，且， (1)求集合； (2)求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以. （2），由（1）知， . 30．已知集合，. (1)求及； (2)求. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）集合，, 故， （2）. 31．已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，， 又或，所以， 所以. （2）因为，又且， 当，即时，符合题意； 当时，则，解得， 综上可得，即实数的取值范围是. 32．已知集合． (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以； （2）， ． 33．已知集合，，. (1)求，； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)，或 (2) 【详解】（1）依题意，集合，， 所以，或， 所以或. （2）由于，若， 则. 34．已知集合或． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，或， 所以，因此，. （2）当时，则时，即当时，成立， 当时，即当时，即当时， 由，可得，解得，此时． 综上，，即实数的取值范围是. 35．已知集合， (1)当时，求； (2)在①②中任选一个作为已知，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：因为，所以，或， 当时，， 因此，. （2）解：选条件①或②，都有，     当时，，解得，满足题意； 当时，则，解得， 综上：，因此，实数的取值范围为. 36．已知集合,． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，所以， 因为，所以， 所以； （2）因为，所以， 当时，符合题意，则，即， 当时，则只需，解得， 综上可得实数的取值范围为. 37．已知集合． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)或；(2). 【详解】（1）当时，，则， 所以或． （2）因为，则当时，，因此， 当时，，解得， 所以的取值范围为. 38．集合. (1)求； (2)求. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）， 所以； （2）或， 所以. 39．已知，非空集合． (1)当时，求； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为非空集合， 由，得，则， 又，当时，， 所以. （2）因为，，所以， 故实数a的取值范围为． 40．已知集合，，全集． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）当时，，或， 所以 （2）若，则， ①当时，； ②，则，. 综上所述，或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$