第三讲：集合的并集、交集的运算（三大考点）-2024-2025学年高一数学同步预习讲义（人教A版2019必修第一册）

第三讲：集合的并集、交集运算 讲义导航 知识点一：集合的并集 知识点二：集合的交集 知识点三：集合的并集和交集的运算性质 知识点一：集合的并集 【课前预习】 1.并集的概念 一般地，由 属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作： （读作“A并B”），即．用Venn图表示如图所示： 由上述图形可知，无论集合A，B是何种关系，恒有意义，图中阴影部分表示并集． 注意：并集概念中的“或”指的是只需满足其中一个条件即可，这与生活中的“或”字含义不同．生活中的“或”字是或此或彼，必居其一，而并集中的“或”字可以是兼有的． 【例题讲解】 例1：（多选）已知集合，，则（    ） A．集合有8个子集 B．集合中有6个元素 C． D． 【课堂练习】 1.设集合，则（    ） A． B． C． D． 2.设集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 4．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 5.设集合，，则如图中阴影部分表示的集合是 .    6.已知集合，. (1)当时，求； (2)若与之间存在包含关系，求的取值范围. 知识点二：集合的交集 文字语言 符号语言 图形语言 记法 交 集 由所有属于集合A 集合B的元素组成的集合 {x|x∈A，且x∈B}     【答案】 且属于 A∩B 【例题讲解】 例2：（多选）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【课堂练习】 1.已知集合，，那么集合等于（   ） A． B． C． D． 2.若集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．已知集合，，且都是全集的子集，则下图所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 5.设集合，，则（    ） A． B． C． D． 6.设集合，．若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知集合，若，求实数的值及. 8.已知集合，． (1)当时，求集合； (2)若，求实数m的取值范围． 知识点三：集合的并集和交集的运算性质 【课前预习】 1.并集的性质： ①A∪B A；②A∪B B；③A∪A＝ ；④A∪＝ ；⑤A∪B B∪A. 2.交集的性质： ①A∩B A；②A∩B B；③A∩A＝ ；   ④A∩＝ ；⑤A∩B B∩A. 【例题讲解】 例3：（多选）已知集合，则满足条件的实数可以是（    ） A．0 B． C． D．1 【课堂练习】 1.（多选）若，，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 2.（多选）已知集合，则满足条件的实数a可以是（    ） A．0 B． C． D．1 3．（多选）已知集合，，且，则实数的值可以为（    ） A． B． C．0 D．1 4.（多选）设集合，，若，则实数的取值可能为（    ） A．－3 B．0 C． D． 5.（多选）设，，若，则实数m的值可以为（    ） A． B．0 C． D． 6.已知集合， (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 7.已知集合． (1)求； (2)若，且，求的取值范围． 一、单选题 1．设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 2．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知集合或，则（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 5．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 6．集合满足，，，则集合中的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知集合或，则（    ） A． B． C． D． 9．若集合，，则（   ） A． B． C． D． 10．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 11．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 12．已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 13．已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 14．已知集合，则（　　） A． B． C． D． 15．设集合，，则、的关系是（    ） A． B． C． D． 16．满足且的集合的个数是（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 17．已知集合，，，则集合的子集共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．8个 二、多选题 18．已知集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 19．已知集合M，N满足，则集合M，N可能是（    ） A． B． C． D． 20．设，若，则实数的值可以为（    ） A．0 B． C． D．2 21．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 22．已知集合，，且有，则实数的值可能为（    ） A．2 B． C． D．2023 23．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 24．设，若，则实数的值可以是（    ） A．0 B． C． D．2 25．（多选题）若集合，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 26．下列说法正确的是（        ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，，则 27．已知集合，，若，则实数a的值可以是（    ） A． B．1 C． D． 三、填空题 28．若集合， ，则集合的真子集个数为 ． 29．已知，，则= ． 30．集合，若，则实数 ． 31．设，，若，则的取值范围是 ． 32．学校举办运动会时，高二（8）班共有30名同学参加比赛，有15人参加田径比赛，14人参加球类比赛，13人参加趣味比赛，同时参加田径比赛和球类比赛的有5人，同时参加田径比赛和趣味比赛的有4人，有2人同时参加三项比赛，只参加趣味比赛一项的有 人. 33．已知集合或，，其中. （ⅰ）当时， ； （ⅱ）若，则实数的取值范围为 . 四、解答题 34．已知集合，． (1)当时，求； (2)若且，求实数m的值． 35．已知集合，集合. (1)当时，求 (2)若，求的取值范围. 36．已知集合，集合. (1)求； (2)若集合，，求实数a的取值范围. 37．已知集合，，且. (1)当时，求； (2)若，求m的取值范围. 38．已知集合，. (1)当时，求与； (2)若，求实数a的取值范围. 39．设集合，，. (1)若，求实数的值； (2)若且，求实数的值. 40．已知集合，. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三讲：集合的并集、交集运算 讲义导航 知识点一：集合的并集 知识点二：集合的交集 知识点三：集合的并集和交集的运算性质 知识点一：集合的并集 【课前预习】 1.并集的概念 一般地，由 属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作： （读作“A并B”），即．用Venn图表示如图所示： 由上述图形可知，无论集合A，B是何种关系，恒有意义，图中阴影部分表示并集． 注意：并集概念中的“或”指的是只需满足其中一个条件即可，这与生活中的“或”字含义不同．生活中的“或”字是或此或彼，必居其一，而并集中的“或”字可以是兼有的． 【例题讲解】 例1：（多选）已知集合，，则（    ） A．集合有8个子集 B．集合中有6个元素 C． D． 解析：集合的子集为：共8个，所以选项A正确；由集合，所以， 所以集合中有5个元素，所以选项B错误；由及知 ，所以选项C正确；因为，但是，所以不成立，所以选项D错误. 【课堂练习】 1.设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为集合， 所以. 故选：A. 2.设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，， 所以. 故选：C 3．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 故选：B 4．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以， 故选：A 5.设集合，，则如图中阴影部分表示的集合是 .    【答案】 【详解】由题意知，图中阴影的部分表示为集合， 又， 所以. 故答案为： 6.已知集合，. (1)当时，求； (2)若与之间存在包含关系，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，. （2）若，则. 则，即. 若，则，解得. 综上的取值范围是. 知识点二：集合的交集 文字语言 符号语言 图形语言 记法 交 集 由所有属于集合A 集合B的元素组成的集合 {x|x∈A，且x∈B}     【答案】 且属于 A∩B 【例题讲解】 例2：（多选）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 解析：由题意，解得集合，， 则，故A错误，B正确；，C正确；，D正确. 故选：BCD. 【课堂练习】 1.已知集合，，那么集合等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为集合A和集合B没有公共元素，故. 故选：D 2.若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】. 故选：. 3．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，故， 故选：D 4．已知集合，，且都是全集的子集，则下图所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，所以． 故选：A． 5.设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 故选：C． 6.设集合，．若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，且， 所以， 即实数的取值范围是. 故选：D 7．已知集合，若，求实数的值及. 【答案】， 【详解】因为，所以且， 又 ，所以或，解得或； 当时，，，则，与已知矛盾，舍去； 当时，，，集合不满足集合的互异性，舍去； 当时，，，则，满足题意； 综上，，此时. 8.已知集合，． (1)当时，求集合； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，集合，， 故． （2）当时，，即，满足，故满足题意； 当时，，即时，， 解得，于是得，所以， 故实数m的取值范围是． 知识点三：集合的并集和交集的运算性质 【课前预习】 1.并集的性质： ①A∪B A；②A∪B B；③A∪A＝ ；④A∪＝ ；⑤A∪B B∪A. 【答案】 = 2.交集的性质： ①A∩B A；②A∩B B；③A∩A＝ ；   ④A∩＝ ；⑤A∩B B∩A. 【答案】 = 【例题讲解】 例3：（多选）已知集合，则满足条件的实数可以是（    ） A．0 B． C． D．1 解析：当时，，此时满足；当时，，此时，故，若，则或，解得或. 综上，或 故选：ABC 【课堂练习】 1.（多选）若，，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】因为，所以； 若，则，时，，不符合集合元素的互异性，舍去；时，，，满足，故A正确； 若，则，时，，，满足，故B正确；时，，，满足，故C正确； 若，则，不符合集合元素的互异性，舍去； 若，则或0，时，，，满足； 所以或或， 故选：ABC. 2.（多选）已知集合，则满足条件的实数a可以是（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】ABC 【详解】当时，，此时满足； 当时，，此时，故，若，则或，解得或. 综上，或 故选：ABC 3．（多选）已知集合，，且，则实数的值可以为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】BCD 【详解】由可得，. 当时，满足，此时； 当时，， 解可得，. 因为，所以或. 当时，； 当时，. 综上所述，或或. 故选：BCD. 4.（多选）设集合，，若，则实数的取值可能为（    ） A．－3 B．0 C． D． 【答案】ABC 【详解】易知， ∵， ∴. 若，则； 若，则，即； 若，则，即. 故选：ABC. 5.（多选）设，，若，则实数m的值可以为（    ） A． B．0 C． D． 【答案】ABD 【详解】因为，所以， 又， 所以①当时，， ②当时，，解得， ③当时，，解得. 综述：或或. 故选：ABD. 6.已知集合， (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或． 【详解】（1）因为，所以， 所以将代入，整理得， 解得：或， 当时，，所以； 当时，，所以； 经检验，或都满足条件． （2）因为由可得： 当时，，解得或； 当时，是方程的两个相等的根， 所以，所以，所以无解． 当时，是方程的两个相等的根， 所以，所以，所以无解． 当时，是方程的两个不相等的根， 所以，所以，所以无解． 综上：或． 7.已知集合． (1)求； (2)若，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意知：，解得，所以， 所以. （2）由题意，得，所以，解得. 故的取值范围为. 一、单选题 1．设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，， 所以，则. 故选：D 2．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，，则. 故选：D. 3．已知集合或，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为或， 所以. 故选：A 4．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知，， 所以. 故选：D 5．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，又， 所以. 故选：． 6．集合满足，，，则集合中的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】由集合满足, 因为，可得， 又因为，可得， 因为，所以，即集合中的元素个数为4． 故选：B. 7．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 所以. 故选：B 8．已知集合或，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 故选：A. 9．若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 所以. 故选：D. 10．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，则， 故选：C. 11．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 则. 故选：B 12．已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，， 所以，. 又因为，，， 所以，，，. 故 故选：C. 13．已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，，． 故选：A． 14．已知集合，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由集合， 根据集合交集的定义与运算，可得. 故选：D. 15．设集合，，则、的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， ， 所以，. 故选：D 16．满足且的集合的个数是（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由可得：，. 又因为， 所以或. 故选：B 17．已知集合，，，则集合的子集共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．8个 【答案】C 【详解】因为，又， 所以，所以，则集合的子集共有个． 故选：C 二、多选题 18．已知集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】因为， 又，所以，且，故A正确，B错误； ，，故C错误，D正确. 故选：AD. 19．已知集合M，N满足，则集合M，N可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，若，则，故C错误； 对于D，若，则，故D正确. 故选：BD． 20．设，若，则实数的值可以为（    ） A．0 B． C． D．2 【答案】ABC 【详解】，由，则， 当时，方程无解，则； 当时，即，方程的解为，可得或，解得或. 故选：ABC. 21．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】A选项：任何集合与的交集均为，A选项正确； B选项：，，所以，B选项错误； C选项：，，所以，C选项正确； D选项：，D选项错误； 故选：AC. 22．已知集合，，且有，则实数的值可能为（    ） A．2 B． C． D．2023 【答案】BCD 【详解】集合，又集合， 因为，则，可分为以下几种情况： ①当时，即方程的解为或， 由韦达定理可得，解得； ②当时，即方程的解为， 则有，解得或， 当时，原方程为，此时，不符合题意，舍去， 所以； ③当时，即方程的解为， 则有，解得， 此时，不符合题意，舍去； ④当时，即方程没有实数解， 则有，解得或， 综上，若时，实数的取值范围是：或或或， 又因为，，都符合题意. 故选：BCD. 23．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】由题意可得集合为所有偶数的集合，B为所有奇数的集合， 故，，故C错误，D正确； 由，可得，故A错误，B正确； 故选：BD 24．设，若，则实数的值可以是（    ） A．0 B． C． D．2 25．（多选题）若集合，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】ABCD 【详解】由于，即是的子集，故，， 从而，. 故选：ABCD. 26．下列说法正确的是（        ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】BD 【详解】对于A，，A错误； 对于B，由，，得，而，则， 同理得，于是，B正确； 对于C，由，，得，C错误； 对于D，由，，得，D正确． 故选：BD 27．已知集合，，若，则实数a的值可以是（    ） A． B．1 C． D． 三、填空题 28．若集合， ，则集合的真子集个数为 ． 【答案】 【详解】由可得， ，所以有两解， 即有两个元素，共有个真子集， 故答案为： 29．已知，，则= ． 【答案】 【详解】因为，， 所以， 则. 故答案为： 30．集合，若，则实数 ． 【答案】 【详解】因为，所以，则 若，则，此时，所以，与已知矛盾，则； 若，则，此时，所以，符合题意； 综上可得，． 故答案为：. 31．设，，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为，且， 所以，即的取值范围是. 故答案为： 32．学校举办运动会时，高二（8）班共有30名同学参加比赛，有15人参加田径比赛，14人参加球类比赛，13人参加趣味比赛，同时参加田径比赛和球类比赛的有5人，同时参加田径比赛和趣味比赛的有4人，有2人同时参加三项比赛，只参加趣味比赛一项的有 人. 【答案】6 【详解】如图所示，设同时参加田径和球类比赛有人， 可得，解得． 易知只参加趣味比赛一项的有6人， 故答案为：6 33．已知集合或，，其中. （ⅰ）当时， ； （ⅱ）若，则实数的取值范围为 . 【答案】 或 【详解】（ⅰ）当时，集合或，， 所以或； （ⅱ）因为，所以， 于是有或，即或， 因此实数的取值范围为， 故答案为：或； 四、解答题 34．已知集合，． (1)当时，求； (2)若且，求实数m的值． 【答案】(1)(2)或1 【详解】（1）当时，，则； （2）因为，，，且， ①当时，则，解得， 此时，此时，满足题意； ②当时，有，解得， 则，此时，不满足题意，舍去； ③当时，有，解得， 此时，，满足题意． 综上，实数m的值为或1． 35．已知集合，集合. (1)当时，求 (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）当时，， 所以. （2）当时，，解得. 当时，或 解得， 综上，或. 所以的取值范围是或. 36．已知集合，集合. (1)求； (2)若集合，，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，， 所以； （2）因为，所以，又， 因为，恒成立，故， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 37．已知集合，，且. (1)当时，求； (2)若，求m的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）当时，，因为， 所以. （2）由题可知，，因为， 所以且，解得 所以m的取值范围为. 38．已知集合，. (1)当时，求与； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1)，；(2). 【详解】（1）当时，，而， 所以，. （2）由，得，则，解得， 所以实数a的取值范围是. 39．设集合，，. (1)若，求实数的值； (2)若且，求实数的值. 【答案】(1)5 (2) 【详解】（1）由题可得，由，得. 从而2，3是方程的两个根，即，解得. （2）因为，. 因为，又，所以， 即，，解得或. 当时，，则，不符合题意； 当时，，则且，故符合题意， 综上，实数的值为. 40．已知集合，. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，， 所以. （2）因为，所以， 又， 所以， ，解得. 所以实数的取值范围为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$