第二讲：集合间的基本关系（3大考点）-2024-2025学年高一数学同步预习讲义（人教A版2019必修第一册）

第二讲：集合间的基本关系 讲义导航 知识点一：集合的子集概念 知识点二：真子集和集合相等 知识点三：空集 知识点一：集合的子集概念 【课前预习】 1.子集：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都属于集合B，即若，则，那么称集合A是集合B的 ，记作 （或 ），读作“A包含于B”（或“B包含A”）. 2.Venn图的概念 我们经常用平面上 的内部代表集合，这种图称为Venn图． 说明：（1）表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线． （2）Venn图表示集合时，能够直观地表示集合间的关系，但集合元素的公共特征不明显． 【例题讲解】 【课堂练习】 1.若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 2.已知集合，那么（　　） A． B． C． D． 3.设集合，则下列表述正确的是（ ） A． B． C． D． 4．已知集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5.下列能正确表示集合和关系的是（    ） A． B． C． D． 知识点二：真子集和集合相等 【课前预习】 1.真子集: 对于两个集合A与B，如果 ，且 ，那么称集合A是集合B的真子集，记作 （或 ），读作“A真包含于B”（或“B真包含A”）. 2.集合相等:对于两个集合A与B，如果集合A是集合B的 ，且集合B也是集合A的 ，那么称集合A与集合B相等，记作A=B. 3.含n个元素的集合有 个子集，有 个真子集，有 个非空子集，有 个非空真子集 【例题讲解】 例2：（多选）已知集合，集合⫋，则集合可以是（ ） A． B． C． D． 【课堂练习】 1.若集合，则集合的子集共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2.已知集合满足，这样的集合有（    ）个 A．6 B．7 C．8 D．9 3.集合的非空真子集有（    ）. A．13个 B．14个 C．15个 D．16个 4．集合的子集的个数是（    ） A．16 B．8 C．7 D．4 5.设集合，则下列选项中正确的是（    ） A．⫋ B．⫌ C． D． 6.（多选）下列说法正确的是（    ） A．任何集合都是它自身的真子集 B．集合共有16个子集 C．集合 D．集合 知识点三：空集 【课前预习】 1.不含任何元素的集合叫做 2.规定:空集是任何集合的子集，也就是说，对于任意一个集合A，都有 . 3.任何一个集合都是它本身的 ；空集是 的子集； 【例题讲解】 例3：（多选）若集合，且，则实数的取值为（    ） A． B． C．0 D．2 【课堂练习】 1.已知集合，则有（    ） A． B． C． D． 2.下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥．正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3.（多选）已知集合，若，则实数a的值可以是（    ）． A． B． C．0 D． 4.集合 (1)若是空集，求的取值范围 (2)若中只有一个元素，求的值并把这个元素写出来 一、单选题 1．已知集合，若，则的值可以为（    ） A．1 B．0 C．0或1 D．1或2 2．已知集合，则集合与的关系是（    ） A． B．⫋ C．⫋ D．且 3.已知集合，，若，则的值为（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．1或 4.已知集合，，集合满足，则所有满足条件的集合的个数为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 5.已知集合，下列式子错误的是（　　） A． B． C． D． 6.已知集合，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．下列命题中，是真命题的有（    ） A．集合的所有真子集为 B．若（其中），则 C．是等边三角形是等腰三角形 D． 7．下列关系式正确的为（    ） A． B． C． D． 8.若集合，且，则实数的取值为（    ） A． B． C．0 D．2 9．关于下图说法正确的是（    ） A．集合A中的元素既是集合B中的元素也是集合U中的元素 B．集合A、B、U中有相同的元素 C．集合U中有元素不在集合B中 D．集合A、B、U中的元素相同 10．下列结论正确的是（    ） A． B．集合A，B，若且，则 C．集合，，则 D．集合，，若，则或 11．给出以下几组集合，其中相等的集合有（    ） A． B． C． D． 12．下列各个选项中，满足的集合有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 13．已知集合，，且．则实数的取值范围为 ． 14．集合，，且，则实数 ． 15．设集合，集合，若且，则实数 . 16．已知集合，若，则c的值为 . 四、解答题 17．已知集合，其中是关于的方程的两个不同的实数根. (1)若，求出实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 18．设，写出集合的子集，并指出其中哪些是它的真子集． 19．已知集合. (1)当时，求集合； (2)若集合只有2个子集，求实数的值. 20．已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围. 21．已知集合. (1)若，求的取值范围. (2)若，求的取值范围. 22．已知集合，集合，且. (1)求m的值； (2)若，求的值. 23．已知集合，. (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，求A的非空真子集个数. 24．已知集合. (1)写出集合M的子集、真子集; (2)求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数; (3)猜想:含n个元素的集合的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集的个数呢? 25．已知集合． (1)若，求实数a的值； (2)若，写出集合A的所有子集； (3)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值． 26．已知集合，，若，求实数的取值范围． 27．已知集合 (1)若求实数的取值范围. (2)是否存在实数，使得?若存在求出的值；若不存在，请说明理由. 28．含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减加各数.例如的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是5. (1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和； (2)已知集合，根据提示解决问题.求集合所有非空子集的元素和的总和； 29．已知集合，设是的至少含有两个元素的子集，对于的任意两个不同的元素，若都不能整除，则称集合是的“好子集”. (1)判断数集与是否是集合的“好子集”，并说明理由； (2)证明：若是的“好子集”，则对于中的任意两个不同的元素，都有； (3)求集合的“好子集”所含元素个数的最大值，并写出取到元素个数最大值时的. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 例1：（多选）已知集合，集合，集合 ，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． $$ 第二讲：集合间的基本关系 讲义导航 知识点一：集合的子集概念 知识点二：真子集和集合相等 知识点三：空集 知识点一：集合的子集概念 【课前预习】 1.子集：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都属于集合B，即若，则，那么称集合A是集合B的 ，记作 （或 ），读作“A包含于B”（或“B包含A”）. 【答案】 子集 2.Venn图的概念 我们经常用平面上 的内部代表集合，这种图称为Venn图． 说明：（1）表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线． （2）Venn图表示集合时，能够直观地表示集合间的关系，但集合元素的公共特征不明显． 【答案】封闭曲线 【例题讲解】 解析：， ，， 集合中的元素是点不是实数， 故选：AD 【课堂练习】 1.若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，是以空集为元素的集合，不是集合A的子集，故A错误； ，故B错误；，故C错误；，故D正确. 故选：D. 2.已知集合，那么（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，“”表示集合与集合间关系，而“0”是元素，故A错； 对于BC，“”表示元素与集合间关系， 而0是集合中的元素，为集合，故B正确，C错误； 对于D，集合中，所以D错. 故选：B. 3.设集合，则下列表述正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】, 所以，，，故ABD错误,C正确, 故选：C 4．已知集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】集合，，由，得， 所以的取值范围是. 故选：A 5.下列能正确表示集合和关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】易知，显然，且互不包含. 故选：A 知识点二：真子集和集合相等 【课前预习】 1.真子集: 对于两个集合A与B，如果 ，且 ，那么称集合A是集合B的真子集，记作 （或 ），读作“A真包含于B”（或“B真包含A”）. 【答案】 AB BA 2.集合相等:对于两个集合A与B，如果集合A是集合B的 ，且集合B也是集合A的 ，那么称集合A与集合B相等，记作A=B. 【答案】 子集 子集 3.含n个元素的集合有 个子集，有 个真子集，有 个非空子集，有 个非空真子集 【答案】 【例题讲解】 例2：（多选）已知集合，集合⫋，则集合可以是（ ） A． B． C． D． 解析：因为集合，对于A：满足 ⫋，所以选项A符合题意；对于B：满足 ⫋，所以选项B符合题意；对于C：满足 ⫋，所以选项C符合题意；对于D：不是的真子集，故选项D不符合题意，故选：ABC. 【课堂练习】 1.若集合，则集合的子集共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】因为集合，所以集合的子集有：，，，. 所以集合的子集共有4个. 故选：C. 2.已知集合满足，这样的集合有（    ）个 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【详解】由得且不全部是的元素， 令，则，所以集合个数等于集合的个数， 即的真子集个数，为个， 故选：B. 3.集合的非空真子集有（    ）. A．13个 B．14个 C．15个 D．16个 【答案】B 【详解】集合的非空真子集有，，，，，，，，，，，，，，共14个. 故选：B 4．集合的子集的个数是（    ） A．16 B．8 C．7 D．4 【答案】D 【详解】易知集合有2个元素， 所以集合的子集个数是. 故选：D. 5.设集合，则下列选项中正确的是（    ） A．⫋ B．⫌ C． D． 【答案】B 【详解】由题意， 在中，，， ∴，∴⫌， 故选：B. 6.（多选）下列说法正确的是（    ） A．任何集合都是它自身的真子集 B．集合共有16个子集 C．集合 D．集合 【答案】BC 【详解】A：根据真子集的定义可知：任何集合都不是它自身的真子集，所以本选项说法不正确； B：集合中有四个元素，所以它的子集个数为，所以本选项说法正确； C：因为， 所以与均表示4的倍数与2的和所组成的集合， 所以，因此本选项说法正确； D：对于，当时，， 即，但， 所以两个集合不相等，因此本选项说法不正确. 故选：BC. 知识点三：空集 【课前预习】 1.不含任何元素的集合叫做 【答案】空集 2.规定:空集是任何集合的子集，也就是说，对于任意一个集合A，都有 . 【答案】 3.任何一个集合都是它本身的 ；空集是 的子集； 【答案】 子集 任何一个集合 【例题讲解】 例3：（多选）若集合，且，则实数的取值为（    ） A． B． C．0 D．2 解析：解得，则. 当时，方程无解， 则；当时，方程有解， 则且，因为，所以，因此，即或，即. 综上所述，时,的值为. 故选：ABC. 【课堂练习】 1.已知集合，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 由已知，，从而 ，不是的子集. 故选：C. 2.下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥．正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】①错误，中包括0； ②错误，中没有任何元素； ③错误，与之间为包含关系，不应该用属于符号； 由③可知，④正确； ⑤错误，中有两个元素，中只有一个元素； ⑥正确，有理数中包括整数. 故选：B 3.（多选）已知集合，若，则实数a的值可以是（    ）． A． B． C．0 D． 【答案】BCD 【详解】由方程，解得或，即， 当时，则方程无实数解，此时，满足，符合题意； 当时，由，可得 此时， 要使得，可得或，解得或. 综上可得，实数的值为或或. 故选：BCD. 4.集合 (1)若是空集，求的取值范围 (2)若中只有一个元素，求的值并把这个元素写出来 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）当时，原方程可化为，得，不符合题意； 当即时解集为空集， 所以的取值范围是. （2）当时，原方程可化为，得，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，由题意得，，得. 所以当或时，集合A中只有一个元素． 一、单选题 1．已知集合，若，则的值可以为（    ） A．1 B．0 C．0或1 D．1或2 【答案】A 【详解】对于集合，由元素的互异性知且，则． 由得． 若，则，满足； 若，则，矛盾，舍去． 故选：A 2．已知集合，则集合与的关系是（    ） A． B．⫋ C．⫋ D．且 【答案】B 【详解】 由题意可知， 则，都有；而，且，故⫋. 故选：B. 3.已知集合，，若，则的值为（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．1或 【答案】C 【详解】因为，，， 所以或，即或， 当时，；当时，，都符合题意. 故选：C. 4.已知集合，，集合满足，则所有满足条件的集合的个数为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】，又，， 故集合为包含元素和，且为的子集， 故集合可以为：，则集合的个数是个. 故选：B. 5.已知集合，下列式子错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， ，故ABD正确； 而与是两个集合，不能用“”表示它们之间的关系，故C错误. 故选：C 6.已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，则，，，B对，ACD错. 故选：B． 二、多选题 7．下列命题中，是真命题的有（    ） A．集合的所有真子集为 B．若（其中），则 C．是等边三角形是等腰三角形 D． 【答案】BC 【详解】集合真子集是，共3个，所以A为假命题； 由，知，，则，则B为真命题； 等边三角形是特殊的等腰三角形，所以C为真命题； ，所以，所以D为假命题． 故选：BC. 7．下列关系式正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】因为，故A错误； 是指元素为0的集合，所以，故B正确； 是指元素为的集合，所以，故C正确； 是任何集合的子集，所以，故D正确． 故选：BCD． 8.若集合，且，则实数的取值为（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】ABC 【详解】解得，则. 当时，方程无解，则； 当时，方程有解，则且， 因为，所以，因此，即或，即. 综上所述，时,的值为. 故选：ABC. 9．关于下图说法正确的是（    ） A．集合A中的元素既是集合B中的元素也是集合U中的元素 B．集合A、B、U中有相同的元素 C．集合U中有元素不在集合B中 D．集合A、B、U中的元素相同 【答案】ABC 【详解】由韦恩图可得，ABU，且，结合真子集的定义可知， 集合A中的元素既是集合B中的元素也是集合U中的元素，A选项正确； 集合A、B、U中有相同的元素，B选项正确； 集合U中有元素不在集合B中，C选项正确； 集合A、B、U不相等，D选项错误. 故选：ABC. 10．下列结论正确的是（    ） A． B．集合A，B，若且，则 C．集合，，则 D．集合，，若，则或 【答案】BC 【详解】因为是无理数，所以，故A错误； 由集合相等的概念知B正确； 因为中的x和y的取值范围均为R，所以，故C正确； 因为，所以或.当时，； 当时，，此时.故或，解得或. 综上所述，a的取值为0，或，故D错误. 故选：BC. 11．给出以下几组集合，其中相等的集合有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于选项A，是点集,是数集，所以不是相等集合； 对于选项B, , 都表达的是奇数集，所以是相等集合； 对于选项C，,所以是相等集合； 对于选项D, 是空集没有元素，有元素为0，所以不是相等集合. 故选：BC. 12．下列各个选项中，满足的集合有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为，即有， 所以中定有和3，故排除B，又因为是的真子集，故排除D． 故选：AC. 三、填空题 13．已知集合，，且．则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为，所以，解得. 故答案为： 14．集合，，且，则实数 ． 【答案】 【详解】由题意得， 则，解得. 故答案为：. 15．设集合，集合，若且，则实数 . 【答案】0或或1 【详解】，且， 或或． 当时， 且， 解得.则； 当时， 且， 解得.则 当时， 有， 解得.则； 所以或或1. 故答案为：0或或1 16．已知集合，若，则c的值为 . 【答案】 【详解】①若，消去b得， 当时，集合B中的三个元素相同，不满足集合中元素的互异性， 故，，即，此时集合B中的三个元素也相同， ∴舍去，即此时无解． ②若，消去得，同理， ∴，经检验满足题意 故答案为： 四、解答题 17．已知集合，其中是关于的方程的两个不同的实数根. (1)若，求出实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，故， 又的两根分别为， 故， 故； （2）因为，故， 又的两根分别为， 故，解得， 故实数的取值范围是. 18．设，写出集合的子集，并指出其中哪些是它的真子集． 【答案】答案见解析 【详解】 由，得， 解方程得或或，故集合. 由0个元素构成的子集为； 由1个元素构成的子集为； 由2个元素构成的子集为； 由3个元素构成的子集为, 因此集合A的子集为:，，，． 真子集为:，，. 19．已知集合. (1)当时，求集合； (2)若集合只有2个子集，求实数的值. 【答案】(1) (2)0或 【详解】（1）当时，由解得， 所以. （2）因为集合只有个子集，所以集合中只有个元素， 当时，，显然满足； 当时，若中只有个元素，只需满足方程仅有个解， 所以，解得，解方程可得，此时，满足条件； 综上所述，的取值为0或 20．已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围. 【答案】(1)或，或 (2) 【详解】（1）时，解得符合题意； 时令解得， 此时， 解得符合题意， 故或，或 （2）若至少有两个子集，则至少有一个元素. 由（1）知或时符合题意. 由题意可知时若也符合题意. 即解得且. 综上. 21．已知集合. (1)若，求的取值范围. (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，， 所以中没有元素，即， 所以的取值范围为. （2）因为，， 由（1）知，当时，，此时满足； 当时，则； 所以的取值范围为. 22．已知集合，集合，且. (1)求m的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2)1或4 【详解】（1）因为，可知2为方程的根， 则，解得. （2）由（1）可得：，且， 若，则或， 所以或4. 23．已知集合，. (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，求A的非空真子集个数. 【答案】(1) (2)62. 【详解】（1）， ①若，则，解得； ②若，则，可得. 由可得，解得，此时. 综上所述，实数m的取值范围是. （2），共有个元素， 所以A的非空真子集的个数为． 24．已知集合. (1)写出集合M的子集、真子集; (2)求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数; (3)猜想:含n个元素的集合的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集的个数呢? 【答案】(1)；； (2)8个子集，7个真子集，6个非空真子集； (3)个子集，个真子集，个非空真子集. 【详解】（1）由题意可知，所以其子集为：，真子集为； （2）由题意可知， 所以其子集为：，共个， 真子集为：，共个， 非空真子集为：，共个； （3）由（1），（2）可猜想含有n个元素的集合其子集个数为个，真子集个数为个， 非空真子集个数为个. 25．已知集合． (1)若，求实数a的值； (2)若，写出集合A的所有子集； (3)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值． 【答案】(1)2； (2)； (3)或. 【详解】（1）由，得，解得， 所以实数a的值为2. （2）当时，， 所以集合的所有子集是：. （3）当时，方程的根为，符合题意，因此； 当时，集合仅只一个元素，则，解得， 所以实数a的值或. 26．已知集合，，若，求实数的取值范围． 【答案】 【详解】由， 当时，，解得； 当时，，解得， 综上所述. 27．已知集合 (1)若求实数的取值范围. (2)是否存在实数，使得?若存在求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)或； (2) 【详解】（1）当时，，不成立； 当时，，因为所以，解得； 当时，，因为所以，解得， 综上：实数的取值范围是或； （2）当时，，不成立； 当时，，，不成立； 当时，，因为所以，解得； 综上：实数的值是2； 28．含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减加各数.例如的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是5. (1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和； (2)已知集合，根据提示解决问题.求集合所有非空子集的元素和的总和； 【答案】(1)12；(2)672. 【详解】（1）集合的非空子集为，，，，，，， 集合，，的交替和分别为1，2，3， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 所以集合的所有非空子集的交替和的总和为； （2）在集合所有非空子集中，数字1与中的元素构成子集， 故数字1在集合所有非空子集中共出现次， 同理2，3，4，5，6各出现次， 所以集合所有非空子集的元素和的总和为. 29．已知集合，设是的至少含有两个元素的子集，对于的任意两个不同的元素，若都不能整除，则称集合是的“好子集”. (1)判断数集与是否是集合的“好子集”，并说明理由； (2)证明：若是的“好子集”，则对于中的任意两个不同的元素，都有； (3)求集合的“好子集”所含元素个数的最大值，并写出取到元素个数最大值时的. 【答案】(1)不是，是，理由见解析 (2)证明过程见解析. (3)334， 【详解】（1）不是，是，理由如下： 中，令，则， 由于，故不是集合的“好子集”， 中，当时，，此时都不能整除， 当时，，此时都不能整除， 当时，，此时都不能整除， 综上：是集合的“好子集”； （2）假设原命题为假命题， 即若是的“好子集”，则对于中的任意两个不同的元素，都有， 显然，且均为正整数， 当时，由于1能整除任何正整数，故能整除，不合要求， 当时，则是两个奇数，或是两个偶数，此时为偶数， 故故能整除，所以不合要求， 故假设不成立， 又由（1）知，当时，满足是的“好子集”，且， 综上：若是的“好子集”，则对于中的任意两个不同的元素，都有 （3）由（2）知，集合的“好子集”所含两个不同的元素，满足， 要想所含元素个数最大，则要尽可能小，故需使得的最小值为3， 故可取，通过验证，此时满足不能整除， 故集合的“好子集”所含元素个数的最大值为， . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 例1：（多选）已知集合，集合，集合 ，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． $$