第一讲：集合的概念（4大考点）-2024-2025学年高一数学同步预习讲义（人教A版2019必修第一册）

第一讲：集合的概念 讲义导航 知识点一：集合的概念 知识点二：元素与集合的关系 知识点三：常见的数集及表示符号 知识点四：集合的表示法 知识点一：集合的概念 【课前预习】 1.集合与元素 一般地，我们把 统称为元素，用小写拉丁字母表示．把 组成的总体叫做集合，用大写拉丁字母表示． 说明：组成集合的元素可以是数、点、图形、多项式，也可以是人或物等． 【例题讲解】 例1.看下面的例子： （1）1～10之间的所有偶数； （2）立德中学今年入学的全体高一学生； （3）所有的正方形； （4）到直线 l 的距离等于定长 d 的所有点； （5）方程 的所有实数根； （6）地球上的四大洋。 上述每个问题都由若干个对象组成，每组对象的全体分别形成一个集合，集合中的每个对象都称为元素. 组成集合的元素所属对象是否有限制？集合中元素个数的多少是否有限制？ 【课堂练习】 1.判断下列说法是否正确． （1）所有好看的花可以构成一个集合． （2）由1，3，0，5，|－3|这些数组成的集合中有5个元素． （3）高一（1）班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合发生了改变． 2.考查下列每组对象，能构成一个集合的是（ ） ①某校高一年级成绩优秀的学生； ②直角坐标系中横、纵坐标相等的点； ③不小于3的自然数； ④我国新型冠状病毒疫情期间支援武汉的白衣天使． A．③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 3.下列对象中不能构成一个集合的是（    ） A．某校比较出名的教师 B．方程的根 C．不小于3的自然数 D．所有锐角三角形 4.下列给出的对象能构成集合的有（    ） ①某校2023年入学的全体高一年级新生；②的所有近似值； ③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式的所有正整数解 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点二：元素与集合的关系 【课前预习】 1.集合与元素的关系:一个集合确定后，任何一个对象是不是这个集合的元素就确定了，如果元素a在集合中A中，就说元素a 集合A，记作 ，如果元素a在不集合中A中，就说元素a 集合A，记作 . 2.集合中元素的三种特性       【例题讲解】 例2.集合M是由大于-2且小于1的实数构成的，则下列关系正确的是（ ）. A.√5∈M B.0∉M C.1∈M D.−π/2∈M 例3.已知集合A中含有两个元素1和a^2,且a∈A，则实数a的值为？ 【课堂练习】 1.设集合D是由满足y=x^2的有序实数对（x,y）构成的，则-1____D,（−1,1）____D.(用符号∈或∉填空) 2.已知a∈R，b∈R，若集合{a,a/b,1}={a^2,a+b,0},则a^2021+b^2021的值为？ 3.已知集合，若，则实数的值为（    ） A．2 B． C．2或 D．4 4．若对任意，均有，就称集合是伙伴关系集合．设集合，则的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（    ） A．15 B．16 C．32 D．128 知识点三：常见的数集及表示符号 【课前预习】 常用数集及其记法 全体自然数组成的集合简称 ，记作 ； 全体正整数组成的集合简称 ，记作 或 ； 全体整数组成的集合简称 ，记作 ； 全体有理数组成的集合简称 ，记作 ； 全体实数组成的集合简称 ，记作 ； 全体正实数组成的集合简称 ，记作 ； 【例题讲解】 【课堂练习】 1：下列关系中，正确的有 （ ） ① ∈R； ② ； ③|－3|∈N； ④| |∈Q； ⑤0＝{0} A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.下列关系中，正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A．6 B．5 C．4 D．3 3.下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 4.给出下列关系：①；②；③；④．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点四：集合的表示法 【课前预习】 1.集合的表示方法 （1） 是把集合中的元素一一列举出来写在“{}”内表示集合的方法，一般可将集合表示成{a，b，c，…}； （2）通过描述元素满足的条件表示的集合叫作 . 【答案】 列举法 描述法 2.集合的分类 含有有限个元素的集合叫作 ，含有无限个元素的集合叫作 ，不含任何元素的集合叫作 ，记作 . 【答案】 有限集 无限集 空集 【例题讲解】 例5.用列举法表示下列集合 （1）小于8的所有自然数的集合； （2）方程x^2+x=0的所有实数根组成的集合. 例6.用适当的方法表示下列集合： （1）方程x(x-1)=0的所有解组成的集合A； （2）平面直角坐标系下，第一象限内所有点组成的集合B. 【课堂练习】 1.请用描述法表示下列集合： （1）方程x^2−4=0的所有实数根组成的集合A； （2）由大于10而小于20的所有整数组成的集合B. 2.集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 3.方程组的解构成的集合是（    ） A． B． C． D． 4.集合中的元素个数为（    ） A． B． C． D． 5.用描述法表示下列集合： (1)不等式的解组成的集合； (2)被除余的正整数的集合； (3)； (4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合． 一、单项选择 1.下列命题中正确的（    ） ①与表示同一个集合； ②由组成的集合可表示为或； ③方程的所有解的集合可表示为； ④集合可以用列举法表示． A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．以上语句都不对 2．设集合，，，则中元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．若集合，，则中所有元素的和为（    ） A． B． C． D． 4.已知实数集满足条件:若，则，则集合中所有元素的乘积为（    ） A．1 B． C． D．与的取值有关 5．已知集合，若，则a的值可能为（    ） A．，3 B． C．，3，8 D．，8 6.已知集合，其中.若1是集合中的一个元素，则集合（    ） A． B． C． D． 7.有下列三个说法： ①若，则； ②集合有两个元素； ③集合时有限集． 其中正确说法的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．若集合中有两个元素，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择 9.下列各组中表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 10．非空集合A具有如下性质：①若，则；②若，则下列判断中，正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 11.(多选题)下列各组对象能组成集合的是（    ） A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题 C．被3除余2的所有整数 D．函数图象上所有的点 12．已知为非零实数，代数式的值组成的集合A，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 13．集合用列举法表示为 ． 14．定义集合的一种运算：，若，则中的所有元素之和为 ． 15．已知集合，且，则M等于 （用列举法） 16．已知集合是单元素集，则实数的取值集合为 ． 17．若，则 ． 18．若集合中的三个元素分别为,则元素应满足的条件是 ． 四、简答题 19.用适当的方法表示下列集合： (1)大于1且不大于17的质数组成的集合； (2)所有奇数组成的集合； (3)平面直角坐标系中，抛物线上的点组成的集合； (4)； 20.已知集合． (1)若A是空集，求的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求的值，并求集合A； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围． 21.设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若，则.求证： (1)若，则A中必还有另外两个元素； (2)集合A不可能是单元素集. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 例4.下列三个关系式：①eq \r(5)∈R；②eq \f(1,4)∉Q；③0∈Z.其中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．0 $$ 第一讲：集合的概念 讲义导航 知识点一：集合的概念 知识点二：元素与集合的关系 知识点三：常见的数集及表示符号 知识点四：集合的表示法 知识点一：集合的概念 【课前预习】 1.集合与元素 一般地，我们把 统称为元素，用小写拉丁字母表示．把 组成的总体叫做集合，用大写拉丁字母表示． 说明：组成集合的元素可以是数、点、图形、多项式，也可以是人或物等． 【答案】 研究的对象 一些元素 【例题讲解】 例1.看下面的例子： （1）1～10之间的所有偶数； （2）立德中学今年入学的全体高一学生； （3）所有的正方形； （4）到直线 l 的距离等于定长 d 的所有点； （5）方程 的所有实数根； （6）地球上的四大洋。 上述每个问题都由若干个对象组成，每组对象的全体分别形成一个集合，集合中的每个对象都称为元素. 组成集合的元素所属对象是否有限制？集合中元素个数的多少是否有限制？ 【课堂练习】 1.判断下列说法是否正确． （1）所有好看的花可以构成一个集合． （2）由1，3，0，5，|－3|这些数组成的集合中有5个元素． （3）高一（1）班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合发生了改变． 答案：（1）错误 （2）错误 （3）错误 2.考查下列每组对象，能构成一个集合的是（ ） ①某校高一年级成绩优秀的学生； ②直角坐标系中横、纵坐标相等的点； ③不小于3的自然数； ④我国新型冠状病毒疫情期间支援武汉的白衣天使． A．③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 答案：B 3.下列对象中不能构成一个集合的是（    ） A．某校比较出名的教师 B．方程的根 C．不小于3的自然数 D．所有锐角三角形 【答案】A 【详解】A：比较出名的标准不清，故不能构成集合； B：，方程根确定，可构成集合； C：不小于3的自然数可表示为，可构成集合； D：所有锐角三角形内角和确定且各角范围确定，可构成集合. 故选：A 4.下列给出的对象能构成集合的有（    ） ①某校2023年入学的全体高一年级新生；②的所有近似值； ③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式的所有正整数解 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】对于①：某校2023年入学的全体高一年级新生，对象确定，能构成集合，故①正确； 对于②：的所有近似值，根据精确度不一样得到的近似值不一样，对象不确定，故不能构成集合，故②错误； 对于③：某个班级中学习成绩较好是相对的，故这些学生对象不确定，不能构成集合，故③错误； 对于④：不等式的所有正整数解有、、，能构成集合，故④正确； 故选：B 知识点二：元素与集合的关系 【课前预习】 1.集合与元素的关系:一个集合确定后，任何一个对象是不是这个集合的元素就确定了，如果元素a在集合中A中，就说元素a 集合A，记作 ，如果元素a在不集合中A中，就说元素a 集合A，记作 . 【答案】 属于 不属于 2.集合中元素的三种特性       【答案】 确定性 互异性 无序性 【例题讲解】 例2.集合M是由大于-2且小于1的实数构成的，则下列关系正确的是（ ）. A.√5∈M B.0∉M C.1∈M D.−π/2∈M 答案：D. 例3.已知集合A中含有两个元素1和a^2,且a∈A，则实数a的值为？ 解：∵a∈A，而A中含有两个元素1和a^2 ∴(1)若a=1，则集合A={1,1},不符合集合元素的互异性； (2)若a=a^2，则a=-1或1（1舍去），此时集合A={1,−1}，符合. 综上，a的值为-1. 【课堂练习】 1.设集合D是由满足y=x^2的有序实数对（x,y）构成的，则-1____D,（−1,1）____D.(用符号∈或∉填空) 答案：∉，∈. 2.已知a∈R，b∈R，若集合{a,a/b,1}={a^2,a+b,0},则a^2021+b^2021的值为？ 答案：-1. 3.已知集合，若，则实数的值为（    ） A．2 B． C．2或 D．4 【答案】B 【详解】由， 若，则，不符合集合元素的互异性； 若，则或（舍），，此时符合集合元素的特性； 若，即，则不符合集合元素的互异性. 故. 故选：B. 4．若对任意，均有，就称集合是伙伴关系集合．设集合，则的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（    ） A．15 B．16 C．32 D．128 【答案】A 【详解】根据题意，可得具有伙伴关系的元素有， 其中有，共4组， 它们中任选一组、二组、三组或四组均可组成伙伴关系集合， 所以共有. 故选：A. 知识点三：常见的数集及表示符号 【课前预习】 常用数集及其记法 全体自然数组成的集合简称 ，记作 ； 全体正整数组成的集合简称 ，记作 或 ； 全体整数组成的集合简称 ，记作 ； 全体有理数组成的集合简称 ，记作 ； 全体实数组成的集合简称 ，记作 ； 全体正实数组成的集合简称 ，记作 ； 【答案】 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 正实数集 【例题讲解】 解：①正确；②因为∈Q，错误；③0∈Z，正确． 【课堂练习】 1：下列关系中，正确的有 （ ） ① ∈R； ② ； ③|－3|∈N； ④| |∈Q； ⑤0＝{0} A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：C 2.下列关系中，正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【详解】 由元素与集合的关系，得：在①中，，故①正确； 在②中，，故②正确；在③中，不正确，故③错误；在④中，，故④错误； 在⑤中，，故⑤错误；在⑥中，，故⑥正确.所以正确的个数为3. 故选：D. 3.下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于选项A，因不是正整数，故A项错误； 对于选项B，是无理数，故必是实数，故B项正确； 对于选项C，是分数，故不是整数，故C项错误； 对于选项D，是自然数，故D项错误. 故选：B. 4.给出下列关系：①；②；③；④．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】由于；；；， 故①错误；②正确；③错误；④错误， 故选：A． 知识点四：集合的表示法 【课前预习】 1.集合的表示方法 （1） 是把集合中的元素一一列举出来写在“{}”内表示集合的方法，一般可将集合表示成{a，b，c，…}； （2）通过描述元素满足的条件表示的集合叫作 . 【答案】 列举法 描述法 2.集合的分类 含有有限个元素的集合叫作 ，含有无限个元素的集合叫作 ，不含任何元素的集合叫作 ，记作 . 【答案】 有限集 无限集 空集 【例题讲解】 例5.用列举法表示下列集合 （1）小于8的所有自然数的集合； （2）方程x^2+x=0的所有实数根组成的集合. 【解】（1）｛0，1，2，3，4，5，6，7｝（2）｛-1，0｝ 例6.用适当的方法表示下列集合： （1）方程x(x-1)=0的所有解组成的集合A； （2）平面直角坐标系下，第一象限内所有点组成的集合B. 答案：， 【课堂练习】 1.请用描述法表示下列集合： （1）方程x^2−4=0的所有实数根组成的集合A； （2）由大于10而小于20的所有整数组成的集合B. 【解】（1）A={x| x^2−4=0}（2）B={x∈Z|10<x<20} 2.集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得，则 ． 故选：C 3.方程组的解构成的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，解得， 所以方程组的解构成的集合是. 故选：D 4.集合中的元素个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，故有个元素， 故选：D． 5.用描述法表示下列集合： (1)不等式的解组成的集合； (2)被除余的正整数的集合； (3)； (4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1） 因为不等式的解组成的集合为， 则集合中的元素是数. 设代表元素为x， 则x满足， 所以，即． （2） 设被3除余2的数为x， 则． 又因为元素为正整数， 故． 所以被3除余2的正整数的集合 （3） 设偶数为x， 则． 但元素是2，4，6，8，10， 所以． 所以． （4） 因为平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即， 故第二象限内的点的集合为． 一、单项选择 1.下列命题中正确的（    ） ①与表示同一个集合； ②由组成的集合可表示为或； ③方程的所有解的集合可表示为； ④集合可以用列举法表示． A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．以上语句都不对 【答案】C 【详解】 ①{0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故①错误； ②符合集合中元素的无序性，正确； ③不符合集合中元素的互异性，错误； ④中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示，错． 故选：C 2．设集合，，，则中元素的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】，时，的值依次为，有4个不同值，即，因此中有4个元素． 故选：B． 3．若集合，，则中所有元素的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，分别取，，，分别为，，； 当时，分别取，，，分别为，，； 当时，分别取，，，分别为，，， 故，所有元素之和为. 故选：B. 4.已知实数集满足条件:若，则，则集合中所有元素的乘积为（    ） A．1 B． C． D．与的取值有关 【答案】A 【详解】由题意，若，， ， ， ， 综上，集合. 所以集合A中所有元素的乘积为. 故选：A. 5．已知集合，若，则a的值可能为（    ） A．，3 B． C．，3，8 D．，8 【答案】D 【详解】由题意若，解得或，若，解得， 当时，满足题意， 当时，违背了集合中元素间的互异性， 当时，满足题意， 综上所述，a的值可能为，8. 故选：D. 6.已知集合，其中.若1是集合中的一个元素，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 集合中的方程为， 解得或， ， 故选：C． 7.有下列三个说法： ①若，则； ②集合有两个元素； ③集合时有限集． 其中正确说法的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】①当时不成立，不正确； ②有两个相等的实数根，因此集合只有一个元素，不正确； ③集合是有限集，正确． 故选：B 8．若集合中有两个元素，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，方程有两个不等的实根，则且，解得且， 所以实数m的取值范围为且. 故选：C 二、多项选择 9.下列各组中表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABD 【详解】选项A中，是数集，是点集，二者不是同一集合,故； 选项B中，与表示不同的点，故； 选项C中，，，故； 选项D中，是二次函数的所有组成的集合，而集合是二次函数图象上所有点组成的集合，故. 故选：ABD. 10．非空集合A具有如下性质：①若，则；②若，则下列判断中，正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【详解】 对于A，假设，则令，则， 令，则， 令，不存在，即，矛盾， ∴，故A对； 对于B，由题，，则 ∴，故B对； 对于C，∵，，， ∵故C对； 对于D，∵，，若，则，故D错误． 故选：ABC． 11.(多选题)下列各组对象能组成集合的是（    ） A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题 C．被3除余2的所有整数 D．函数图象上所有的点 【答案】ACD 【详解】选项A、C、D中的元素符合集合中元素的确定性；而选项B中，“难题”没有标准，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合． 故选：ACD 12．已知为非零实数，代数式的值组成的集合A，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】依题意，当都为正数，代数值等于4； 当中只有一个负数两个正数，代数值为0； 当中只有一个正数两个负数，代数值为0； 当都为负数，代数值为. 故选：CD 三、填空题 13．集合用列举法表示为 ． 【答案】 【详解】时，时，时，时，时，；时，. 故． 故答案为：. 14．定义集合的一种运算：，若，则中的所有元素之和为 ． 【答案】26 【详解】． 故答案为：26 15．已知集合，且，则M等于 （用列举法） 【答案】 【详解】由于，所以是6的正因数， 当时，，符合， 当时，，符合， 当时，，符合， 当时，，符合， 综上可得， 故答案为： 16．已知集合是单元素集，则实数的取值集合为 ． 【答案】. 【详解】由集合是单元素集， 可得方程只有一个解， 当，即时，方程为，解得，此时，符合题意； 当，即时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值集合为. 故答案为：. 17．若，则 ． 【答案】2 【详解】因为， 所以或， 若，，不满足互异性； 若或2，又，所以， 故答案为：2. 18．若集合中的三个元素分别为,则元素应满足的条件是 ． 【答案】且且 【详解】解：由元素的互异性，可知， 解得:且且. 故答案为：且且 四、简答题 19.用适当的方法表示下列集合： (1)大于1且不大于17的质数组成的集合； (2)所有奇数组成的集合； (3)平面直角坐标系中，抛物线上的点组成的集合； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）大于1且不大于17的质数组成的集合. （2）所有奇数组成的集合. （3）平面直角坐标系中，抛物线上的点组成的集合. （4）. 20.已知集合． (1)若A是空集，求的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求的值，并求集合A； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，集合，当时，集合； (3) 【详解】（1）解： 是空集， 且， ，解得， 所以的取值范围为：； （2）：①当时，集合， ②当时，， ，解得，此时集合， 综上所述，当时，集合，当时，集合； （3）中至少有一个元素，则当中只有一个元素时，或； 当中有2个元素时，则且，即，解得且； 综上可得，时中至少有一个元素，即. 21.设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若，则.求证： (1)若，则A中必还有另外两个元素； (2)集合A不可能是单元素集. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1） 若，则, 又因为，所以. 因为，所以. 因为，所以. 所以A中另外两个元素为. （2） 若A为单元素集，则， 即，方程无实数解． 所以，所以集合A不可能是单元素集． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 例4.下列三个关系式：①eq \r(5)∈R；②eq \f(1,4)∉Q；③0∈Z.其中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．0 $$