精品解析：湖北省武汉市黄陂区第七高级中学2024届高三下学期高考模拟（四）数学试题

绝密★启用前 2024年普通高等学校招生全国统一考试适应性考试 数学 本试卷满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写清楚，并认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4、考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知指数函数是减函数，若，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 3. 设函数，则下列结论错误的是 A. 的一个周期为 B. 的图像关于直线x=对称 C. 的一个零点为 D. 在单调递减 4. 已知圆，直线与圆C（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相交或相切 5. 设，则“”是“，”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 6. 已知等比数列的前项和为，若，且，则（ ） A. 40 B. -30 C. 30 D. -30或40 7. 已知椭圆C： （）的左、右焦点分别为，，P为C上一点，满足，以C的短轴为直径作圆O，截直线的弦长为，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 不透明的布袋里装有不同编号且大小完全相同的红色，白色，黑色，蓝色的球各两个，从中随机选4个球，则在已有两个球是同一颜色的条件下，另外两球不同色的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若事件A和事件B互斥， B. 数据2，7，4，5，16，1，21，11的第70百分位数为11 C. 若随机变量，，则 D. 若y关于x的回归方程为，则y与x是线性负相关关系 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若复数，满足，则 B. 若复数，满足，则 C. 若向量，满足，则 D. 若复数满足，则 11. 如图抛物线的顶点为，焦点为，准线为，焦准距为；抛物线的顶点为，焦点也为，准线为，焦准距为.和交于、两点，分别过、作直线与两准线垂直，垂足分别为，过的直线与封闭曲线交于、两点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 四边形的面积为 C. D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，含的项的系数是______. 13. 已知三棱锥中，平面，，三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球的表面积为__________________． 14. 在中，，点D在线段上，，，，点M是外接圆上任意一点，则最大值为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知. (1)讨论的单调性； (2)当有最大值，且最大值大于时，求的取值范围. 16. “稻草很轻，但是他迎着风仍然坚韧，这就是生命的力量，意志的力量”“当你为未来付出踏踏实实努力的时候，那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现”……当读到这些话时，你会切身体会到读书破万卷给予我们的力量．为了解某普通高中学生的阅读时间，从该校随机抽取了名学生进行调查，得到了这名学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）为进一步了解这名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人，记周平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望； （3）以样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取名学生，用表示这名学生中恰有名学生周平均阅读时间在内的概率，其中．当最大时，写出的值． 17. 如图，圆台下底面圆的直径为是圆上异于的点，且为上底面圆的一条直径，是边长为6的等边三角形，. （1）证明：平面平面； （2）求平面和平面夹角的余弦值. 18. 已知以下事实：反比例函数（）的图象是双曲线，两条坐标轴是其两条渐近线． （1）（ⅰ）直接写出函数的图象的实轴长； （ⅱ）将曲线绕原点顺时针转，得到曲线，直接写出曲线的方程． （2）已知点是曲线的左顶点．圆：（）与直线：交于、两点，直线、分别与双曲线交于、两点．试问：点A到直线的距离是否存在最大值？若存在，求出此最大值以及此时的值；若不存在，说明理由． 19. 已知各项均为正整数的有穷数列：满足，有.若等于中所有不同值的个数，则称数列具有性质P. （1）判断下列数列是否具有性质P； ①：3，1，7，5；②：2，4，8，16，32. （2）已知数列：2，4，8，16，32，m具有性质P，求出m的所有可能取值； （3）若一个数列：具有性质P，则是否存在最小值?若存在，求出这个最小值，并写出一个符合条件的数列；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2024年普通高等学校招生全国统一考试适应性考试 数学 本试卷满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写清楚，并认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4、考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解绝对值不等式求出集合，求函数的定义域求得集合.由此求出，从而得到. 【详解】由题意，得，，所以，所以. 故选：C． 2. 已知指数函数是减函数，若，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用指数函数的性质得到，再利用指对数函数的性质可得，，即可求解. 【详解】因为指数函数是减函数，则， 所以，即， 又，，所以， 故选：B. 3. 设函数，则下列结论错误的是 A. 的一个周期为 B. 的图像关于直线x=对称 C. 的一个零点为 D. 在单调递减 【答案】D 【解析】 【详解】的最小正周期为2π，易知A正确； f，为的最小值，故B正确； ∵，∴，故C正确； 由于，为的最小值，故在上不单调，故D错误． 故选D. 4. 已知圆，直线与圆C（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相交或相切 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由直线的方程分析可得直线过定点，结合圆的方程分析可得在圆上，据此由直线与圆的位置关系分析可得直线与圆一定相交或相切，即可得答案． 【详解】根据题意，直线的方程为，恒过定点， 设为，又由圆，即， 其圆心为，半径， 由，则在圆上， 则直线与圆相交或相切. 故选：D． 5. 设，则“”是“，”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】先利用三角函数恒等变换公式对已知式化简，然后根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可. 【详解】由， 得，所以， 所以，，所以，， 所以”是“，”的必要不充分条件， 故选：B 6. 已知等比数列的前项和为，若，且，则（ ） A. 40 B. -30 C. 30 D. -30或40 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的性质可知片段和成等比数列，求出片段和等比数列公比即可得解. 【详解】因为，且， 所以，，故， 所以，即，解得或（舍去）， 由等比数列性质可知，成等比数列，公比为 所以，解得， 故选：A 7. 已知椭圆C： （）的左、右焦点分别为，，P为C上一点，满足，以C的短轴为直径作圆O，截直线的弦长为，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取弦的中点D，连接，求出，结合椭圆定义即可求解． 【详解】如图，取弦的中点D，连接，则，即，因为， 所以，因为O为的中点，所以D是的中点，所以， 因为，所以OD垂直平分弦，因为，， 所以，所以， 由椭圆定义可得，， 所以，解得，， 所以离心率为， 故选：A． 8. 不透明的布袋里装有不同编号且大小完全相同的红色，白色，黑色，蓝色的球各两个，从中随机选4个球，则在已有两个球是同一颜色的条件下，另外两球不同色的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用古典概型的概率公式求出至少有两个球颜色相的概率，再求出两球颜色相同，另外两球颜色不同的概率，然后利用条件概率公式可求得结果. 【详解】记至少有两个球颜色相同为事件，两球颜色不同为事件，则 ， ， 所以在已有两个球是同一颜色的条件下，另外两球不同色的概率为 , 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若事件A和事件B互斥， B. 数据2，7，4，5，16，1，21，11的第70百分位数为11 C. 若随机变量，，则 D. 若y关于x的回归方程为，则y与x是线性负相关关系 【答案】BD 【解析】 【分析】根据互斥事件的定义判断A；根据百分位数的定义判断B；根据正态分布性质判断C；根据正负相关的定义判断D. 【详解】对于A，因为事件A和事件B互斥，所以，故错误； 对于B，将原数据重新排列为：1，2，4，5，7，11，16，21，共8个数， ，所以该组数据的第70百分位数即为第6个数11，故正确； 对于C，因为随机变量，，所以，故错误； 对于D，因为y关于x的回归方程为，，则y与x是线性负相关关系，故正确. 故选：BD. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若复数，满足，则 B. 若复数，满足，则 C. 若向量，满足，则 D. 若复数满足，则 【答案】CD 【解析】 【分析】对于AB：举反例说明即可；对于C：根据模长结合数量积的运算律分析求解；对于D：由整理可得，即可得结果. 【详解】对于选项AB：例如，， 则，但，不能比较大小，即不成立，故A错误； 且，满足， 但，故B错误； 对于选项C：因为，即， 可得，整理得，故C正确； 对于选项D：因为，则，整理得， 依此类推可得，故D正确； 故选：CD. 11. 如图抛物线的顶点为，焦点为，准线为，焦准距为；抛物线的顶点为，焦点也为，准线为，焦准距为.和交于、两点，分别过、作直线与两准线垂直，垂足分别为，过的直线与封闭曲线交于、两点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 四边形的面积为 C. D. 的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据抛物线的定义判断A，以为原点建立平面直角坐标系，得到的方程，求出，代入方程求出，即可求出矩形的面积，从而判断B，连接，由定义得到，从而得到，，即可推出，从而判断C，不妨设点在封闭曲线的上部分，设在直线上的射影分别为，当点在抛物线，点在抛物线上时求出，当与重合，点在抛物线上时求出，再求出当点在抛物线，点在抛物线上时的范围，即可判断D. 【详解】设直线与直线分别交于、，由题可知，， 所以，，故A正确； 如图以为原点建立平面直角坐标系，则，， 所以抛物线的方程为， 连接，由抛物线的定义可知，，又， 所以，所以，代入，可得， 所以，又，故四边形的面积为，故B错误； 连接，因为，所以，， 所以，故，故C正确； 根据抛物线的对称性不妨设点在封闭曲线的上部分， 设在直线上的射影分别为， 当点在抛物线，点在抛物线上时，， 当与重合时，最小，最小值为， 当与重合，点在抛物线上时，因为， 直线，与抛物线的方程为联立，可得， 设，则，所以，所以； 当点在抛物线，点在抛物线上时，设， 与抛物线的方程为联立，可得， 设，则， 则， 当，即时取等号，故此时； 当点在抛物线，点在抛物线上时，根据抛物线的对称性可知，； 综上可得，故D正确． 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是抛物线的定义的理解及应用，将到焦点的距离转化为到准线的距离. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，含的项的系数是______. 【答案】35 【解析】 【分析】根据组合知识，分别列出所有含项的系数，求和即可得解. 【详解】由组合可知，4个括号选2个取，剩余的2个括号取常数项，共有种， 含项的系数为， 故答案为：35 13. 已知三棱锥中，平面，，三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球的表面积为__________________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用外接球的性质结合正弦定理即可求解 【详解】如图， 设球心为点，为外接圆的圆心，则，连接． 由已知可得，为等边三角形，且． 又，所以． 过点作交于点，则，． 设，则， 由可得，， 所以，．所以，． 根据正弦定理可得，，所以， 所以，． 所以，三棱锥的外接球的表面积为． 故答案为：． 14. 在中，，点D在线段上，，，，点M是外接圆上任意一点，则最大值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题中条件，结合勾股定理、余弦定理，可得，，由正弦定理，可得外接圆半径，根据向量的线性运算法则，结合数量积公式，可得的最大值，即可得答案. 【详解】由题意可得：， ， 所以 ， 解得，则， 设的外心为，外接圆的半径为， 由正弦定理得：，解得， 可得． 由平面向量的线性运算知，， 所以， 由图可知：． 当且同向时，， 所以最大值为． 故答案为：． 【点睛】方法点睛：平面向量解题方法 1．平面向量的线性运算要抓住两条主线：一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；二是基于“数”，借助坐标运算来实现． 2．正确理解并掌握向量的概念及运算，强化“坐标化”的解题意识，注重数形结合思想、方程思想与转化思想的应用． 提醒：运算两平面向量的数量积时，务必要注意两向量的方向． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知. (1)讨论的单调性； (2)当有最大值，且最大值大于时，求的取值范围. 【答案】(1) 时 ,在是单调递增；时,在单调递增，在单调递减.（2）. 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）由,可分,两种情况来讨论；（II）由（I）知当时在无最大值,当时最大值为因此.令,则在是增函数,当时,,当时,因此a的取值范围是. 试题解析： （Ⅰ）的定义域为,,若,则,在是单调递增；若,则当时,当时,所以在单调递增,在单调递减. （Ⅱ）由（Ⅰ）知当时在无最大值,当时在取得最大值,最大值为因此.令,则在是增函数,,于是,当时,,当时,因此a的取值范围是. 考点：本题主要考查导数在研究函数性质方面的应用及分类讨论思想. 16. “稻草很轻，但是他迎着风仍然坚韧，这就是生命的力量，意志的力量”“当你为未来付出踏踏实实努力的时候，那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现”……当读到这些话时，你会切身体会到读书破万卷给予我们的力量．为了解某普通高中学生的阅读时间，从该校随机抽取了名学生进行调查，得到了这名学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）为进一步了解这名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人，记周平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望； （3）以样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取名学生，用表示这名学生中恰有名学生周平均阅读时间在内的概率，其中．当最大时，写出的值． 【答案】（1） （2）的分布列为： 数学期望 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率和为，可构造方程求得的值； （2）根据分层抽样原则可确定人中，周平均阅读时间在，，的人数，则可确定所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望公式可求得期望值； （3）根据频率分布直方图可求得周平均阅读时间在内的概率，利用二项分布概率公式可表示出，由此可确定结果. 【小问1详解】 ，. 【小问2详解】 由频率分布直方图可得：周平均阅读时间在，，三组的频率之比为， 人中，周平均阅读时间在的人数为人；在的人数为人；在的人数为人； 则所有可能的取值为， ；；；； ∴的分布列为： 数学期望. 【小问3详解】 用频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取名学生，周平均阅读时间在内的概率； 则， 若最大，则最大，当时，取得最大值. 17. 如图，圆台下底面圆的直径为是圆上异于的点，且为上底面圆的一条直径，是边长为6的等边三角形，. （1）证明：平面平面； （2）求平面和平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 为圆的直径，是圆上异于的点， 故， 又， 而. 平面，平面. 平面平面平面. （注：也可以由，证明，得出） （2） 【解析】 【分析】（1）由线段关系先证得平面，再证平面平面即可； （2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算平面夹角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设为的中点，连接，则， 由（1）可知，平面；所以 平面，平面， 如图以为原点，分别以所在直线为轴､轴､轴建立空间直角坐标系， 由题意可得 平面，四边形为矩形， 设平面的一个法向量为 由，令，可得， 即， 设平面的一个法向量为， 由得，令，可得， 即. 设平面与平面的夹角为 则 平面和平面夹角的余弦值为. 18. 已知以下事实：反比例函数（）的图象是双曲线，两条坐标轴是其两条渐近线． （1）（ⅰ）直接写出函数的图象的实轴长； （ⅱ）将曲线绕原点顺时针转，得到曲线，直接写出曲线的方程． （2）已知点是曲线的左顶点．圆：（）与直线：交于、两点，直线、分别与双曲线交于、两点．试问：点A到直线的距离是否存在最大值？若存在，求出此最大值以及此时的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）（ⅰ）2；（ⅱ）． （2）存在，点A到直线距离的最大值为2，． 【解析】 【分析】（1）由题意结合双曲线的性质，即可求得答案； （2）方法一：设，，，设：，联立双曲线方程，可得根与系数的关系式，进而求出两点的纵坐标，结合，即可求得参数之间的关系，代入，即可求得答案； 方法二：设，，，，， 利用，的方程求出，，的表达式，即可得的坐标，从而求出的方程，可推出过定点，即可求得答案； 方法三：设，，，，，可得，设：，联立双曲线方程化简得出，变形后利用根与系数的关系可得出，求出n，即可推出过定点，即可求得答案.. 【小问1详解】 （ⅰ）由题意可知双曲线的实轴在上，联立， 解得或，即双曲线的两顶点为， 故实轴长为； （ⅱ）将曲线绕原点顺时针转，得到曲线， 曲线的方程为； 【小问2详解】 方法一：设，，，显然直线的斜率存在，设：， 联立：得， 所以，，①， 因为：，令，则，同理，，② 依题意得，③ 由①②③得，， 所以，即或， 若，则：过点A，不合题意； 若，则：．所以，恒过， 所以，．当且仅当，即时取得， 此时方程为，结合， 解得，，， 综上所述，点A到直线距离的最大值为2，此时圆的半径为； 方法二：设，，，，， 则：，：， 联立，得， 为此方程的一根，另外一根为，则， 代入方程得，， 同理可得，， 即，， 则， 所以直线的方程为， 所以直线过定点, 所以．当且仅当，即时取得， 解得, 综上所述，点A到直线距离的最大值为2，此时圆的半径为； 方法三：设，，，，， 则， 依题意，直线不过点A，可设：， 曲线的方程改写为，即， 联立直线的方程得， 所以， 若，则，代入直线方程，无解； 故，两边同时除以得， 则，得， 在直线：中，令，则， 所以，恒过， 所以，， 当且仅当，即时取得，此时，符合题意， 且方程为，解得，，， 综上所述，点A到直线距离的最大值为2，此时圆的半径为． 【点睛】难点点睛：本题考查双曲线方程的求解以及直线和双曲线位置关系的应用，其中的难点是求解最值问题，解答时要注意利用直线方程和双曲线方程的联立，利用根与系数的关系式进行化简，难点就在于化简的过程十分复杂，计算量大，并且基本上都是有关字母参数的运算，需要有较强的计算能力. 19. 已知各项均为正整数的有穷数列：满足，有.若等于中所有不同值的个数，则称数列具有性质P. （1）判断下列数列是否具有性质P； ①：3，1，7，5；②：2，4，8，16，32. （2）已知数列：2，4，8，16，32，m具有性质P，求出m的所有可能取值； （3）若一个数列：具有性质P，则是否存在最小值?若存在，求出这个最小值，并写出一个符合条件的数列；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） ①：3，1，7，5，具有性质P. ②：2，4，8，16，32，不具有性质P. （2）或 （3）存在，4045；一个满足条件的数列：1，3，5，…，4043，4047，4045 【解析】 【分析】（1）根据数列具有性质的定义进行判断即可求解. （2）由具有性质，然后利用其性质对分奇偶进行讨论即可求解. （3）根据具有性质，然后利用其性质分别对，分情况讨论，从而其存在最小值，即可求解. 【小问1详解】 ①：3，1，7，5，任意两项和的结果有4，6，8，10，12共5个，而，所以具有性质P. ②：2，4，8，16，32，任意两项和的结果有6，10，12，18，20，24，34，36，40，48共10个，而，所以不具有性质P. 【小问2详解】 对于数列：2，4，8，16，32，m，任意两项和不同的取值最多有15个，所以.而：2，4，8，16，32中任意两项和的结果有10个，且全是偶数. （i）当为奇数时，都是奇数，与前5项中任意两项和的值均不相同，则：2，4，8，16，32，中所有的值共有15个，所以. （ii）当为偶数时，都是偶数，所以. 所以. 时，在前项中任两项和的结果中未出现， 所以：2，4，8，16，32，中任意两项和的不同值的个数大于，即，矛盾. 时，，，这三个结果在前项中任意两项和的结果中未出现，所以：2，4，8，16，32，中任意两项和的不同值的个数大于，即，矛盾. 时，：2，4，8，16，32，中任意两项和的不同值有6，10，12，16，18，20，22，24，30，34，36，40，46，48共个，成立. 综上，或. 【小问3详解】 存在最小值，且最小值为. 将的项从小到大排列构成新数列：， 所以. 所以的值至少有个. 即的值至少有个，即. 数列：1，3，5，…，4043，4047，4045符合条件. ：1，3，5，…，4043，4047，4045可重排成等差数列：1，3，5，…，4045，4047， 考虑，根据等差数列的性质， 当时，；当时，， 因此每个等于中的一个， 或者等于中的一个. 所以：1，3，5，…，4045，4047中共有4045个不同值. 即：1，3，5，…，4043，4047，4045中共有4045个不同值. 综上，的最小值是4045，一个满足条件的数列：1，3，5，…，4043，4047，4045. 【点睛】方法点睛：对于数列的新定义，可根据数列具有性质，根据其定义中所有不同值的个数作为解题的思路进行分类讨论，从而即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $