3.1.2 椭圆的性质-2024-2025学年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性必修第一册）

3.1.2 椭圆 知识点一 椭圆的离心率 【解题思路】求椭圆离心率及取值范围的两种方法 (1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解． (2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围． 【例1-1】（23-24高二下·贵州毕节·期末）设椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，，且椭圆过点，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（23-24高二下·广东·期末）椭圆的左、右焦点分别为，，过点且与长轴垂直的直线交椭圆于，两点．若为等边三角形，则椭圆的离心率为（　　）． A． B． C． D． 【例1-3】（22-23高二上·北京·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆与轴的交点，若是钝角三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式】 1（23-24高二下·海南海口·期末）已知，是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 2（23-24高二下·上海青浦·期末）已知中，，，，则以A、B为焦点，经过点C的椭圆的离心率为 ． 3（23-24高二下·广西贵港·期末）已知分别是椭圆的左、右焦点，是上的一点，且，则的离心率为 ． 4（2024·浙江杭州·模拟预测）椭圆：（）的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与椭圆交于，两点（在左侧），若，则的离心率为 . 5（23-24 重庆·期末）已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆上总存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为 知识点二 点与椭圆的位置关系 【解题思路】点P与椭圆的位置关系 【例2-1】（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）点与椭圆的位置关系为（    ） A．点在椭圆上 B．点在椭圆内 C．点在椭圆外 D．不确定 【例2-2】（2024·四川广安·阶段练习）点在椭圆的外部，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式】 1（23-24高二上·全国·课后作业）若点在椭圆上，则下列说法正确的是（    ） A．点不在椭圆上 B．点不在椭圆上 C．点在椭圆上 D．无法判断上述点与椭圆的关系 2（2024吉林长春·阶段练习）点P(4cosα，2sinα)(α∈R)与椭圆C：＋＝1的位置关系是（    ） A．点P在椭圆C上 B．点P与椭圆C的位置关系不能确定，与α的取值有关 C．点P在椭圆C内 D．点P在椭圆C外 3（2023·山东日照 ）函数（，且）的图象恒过定点，若点在椭圆（，）上，则的最小值为（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 知识点三 直线与椭圆的位置关系 【解题思路】直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立 消去y得到一个关于x的一元二次方程．直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及Δ的取值的关系如表所示． 直线与椭圆 解的个数 Δ的取值 两个不同的公共点 两解 Δ>0 一个公共点 一解 Δ＝0 没有公共点 无解 Δ<0 【例3-1】（23-24高二上·全国·课后作业）直线与椭圆的公共点的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数个 【例3-2】（22-23高二上·河北邯郸·阶段练习）直线与椭圆总有公共点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3-3】（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）已知直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，则的取值范围（    ）. A． B． C． D． 【变式】 1．（22-23高二上·山东滨州·期中）已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 2．（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知直线，椭圆，则与的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 3．（2024河南）若直线和圆没有公共点，则过点的直线与椭圆的公共点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．需根据a，b的取值来确定 4（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知直线与椭圆相切，则的值为（   ） A． B． C． D． 5（22-23高二上·福建莆田·期中）已知直线，椭圆的短轴长为，离心率为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)讨论直线l与椭圆C的公共点个数. 知识点四 弦长 【解题思路】求弦长的两种方法 (1)求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长． (2)联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程，利用弦长公式：|P1P2|＝·，其中x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长． 【例4-1】（23-24高二上·青海西宁·期中）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，其中左焦点为，长轴长为4． (1)求椭圆C的方程； (2)直线l：与椭圆C交于不同两点P、Q，求弦长． 【例4-2】（24-25高二上·上海·随堂练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，上顶点为A，，长轴的长为4．过右焦点的直线l与椭圆交于M、N两点（非长轴端点）．    (1)求椭圆的方程； (2)若直线l过椭圆的上顶点A，求的面积． 【变式】 1（23-24高二下·河北秦皇岛·开学考试）已知椭圆：的离心率为且椭圆经过点． (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的左焦点作斜率为的直线交椭圆于、两点，求． 2（23-24高二下·江苏连云港·期末）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点的直线交椭圆于两点，且（其中为坐标原点），求的面积 3（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知是离心率为的椭圆：（）上任意一点，是椭圆的右焦点，且的最小值是1. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆相交于，两点，若，求直线的方程. 知识点五 中点弦 【解题思路】 【例5-1】（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线方程（，），渐近线方程为，并且经过点. (1)求双曲线方程； (2)设A，是双曲线上的两点，线段的中点为，求直线的方程. 【例5-2】（23-24高二·江苏·假期作业）已知椭圆（）的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【例5-3】．（23-24高二上·江苏·期中）设A，B为双曲线右支上的两点，若线段的中点为，则直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【例5-4】（23-24高二上·云南玉溪·期末）已知椭圆C的中心为坐标原点，一个焦点为，过F的直线l与椭圆C交于A，B两点．若的中点为，则椭圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 【例5-5】（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为中点，为坐标原点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．（22-23高二上·安徽芜湖·阶段练习）不经过原点的直线与椭圆相交于，，线段的中点为，设直线的斜率为，直线（为原点）的斜率为，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知椭圆，是椭圆的一条弦的中点，点在直线上，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 4（23-24高二上·山西太原·期末）在椭圆中，以点为中点的弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 5（23-24高二上·四川凉山·期末）过椭圆内一点引一条弦，使该弦被点平分. (1)求该弦所在的直线方程； (2)求该弦的弦长. 知识点六 由椭圆的几何性质求标准方程 【解题思路】利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤 (1)确定焦点位置． (2)设出相应椭圆的标准方程． (3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数． (4)写出椭圆标准方程． 【例6-1】（22-23高二·全国·课后作业）求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)长轴在x轴上，长轴长为12，离心率为； (2)椭圆过点，离心率； (3)在x轴上的一个焦点与短轴上的两个顶点的连线互相垂直，且焦距为8； (4)与椭圆有相同的焦点，且短轴长为2． 【变式】 （2024广东云浮）求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点； (2)经过两点和； (3)经过两点. (4)过点且与椭圆有相同焦点. （5）长轴长与短轴长的和为18，焦距为6； （6）经过点，且离心率； 【题组一 椭圆的离心率】 1（2024山西太原·阶段练习）已知椭圆，则“”是“椭圆的离心率为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2（2024·陕西渭南 ）已知O为坐标原点，A、B、F分别是椭圆C：（）的左顶点、上顶点和右焦点，点P在椭圆C上，且以OP为直径的圆恰好过右焦点F，若，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 3（2024·陕西铜川）已知是椭圆的左、右焦点，若上存在不同的两点，使得，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4（23-24高二下·重庆·阶段练习）椭圆 的右顶点为 ，右焦点为 为椭圆在第二象限上的点，直线 交椭圆 于点 ， 11 延长直线 交线段 于 ，若 ，则椭圆 的离心率是 （        ） A． B． C． D． 5（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）已知分别为椭圆的左顶点和左焦点，直线与椭圆交于两点，若直线交线段于，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 6（2024·江苏泰州·模拟预测）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，过的直线与交于点，与轴交于点，，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 7（23-24高二下·安徽六安·期末）已知椭圆的左､右焦点分别是是椭圆上两点，四边形为矩形，延长交椭圆于点，若，则椭圆的离心率为 . 8（24-25高二上·上海·课后作业）椭圆的左、右焦点分别为、，过焦点的倾斜角为的直线交椭圆于两点，弦长，若三角形的内切圆的面积为，则椭圆的离心率为 . 【题组二 点与椭圆的位置关系】 1（2024宁夏银川·阶段练习）若点在椭圆的内部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2（23-24高二上·江苏徐州·期末）（多选）已知直线与圆相切，椭圆，则（    ） A．点在圆O内 B．点在圆O上 C．点在椭圆C内 D．点在椭圆C上 3（23-24高二上·全国·课后作业）（多选）点在椭圆的内部，则的值可以是（    ） A． B． C．1 D． 4（2024湖北）已知点P(k，1)，椭圆=1，点P在椭圆外，则实数k的取值范围为 . 【题组三 直线与椭圆的位置关系】 1（23-24高二上·江西·期末）直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 2（23-24高二上·重庆·期末）已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 3（22-23高二下·广东深圳·期中）椭圆与直线的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 【题组四 弦长】 1（23-24高二下·上海·期中）已知点、分别椭圆的左、右焦点，过作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，则弦的长为 . 2（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）过椭圆的左焦点引直线交椭圆于两点，若弦的长为，则直线的斜率为 . 3（23-24高二上·上海·期末）斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为，则直线的方程为 ． 4（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知直线与椭圆交于，两点，当取最大值时的值为 5（24-25高二上·上海·随堂练习）已知直线与椭圆C：相交于A、B两点，O为坐标原点．当的面积取得最大值时， ． 6（24-25高二上·上海·课后作业）已知椭圆C的两焦点为，，P为椭圆上一点，且到两个焦点的距离之和为6. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若已知直线，当m为何值时，直线与椭圆C有公共点？ 7（22-23高二下·上海闵行·期末）已知椭圆C:的左右两焦点分别为和，右顶点是A，且，. (1)求椭圆C的标准方程; (2)若斜率为1的直线交椭圆C于M、N两点，且，求直线的方程. 8（23-24高二下·安徽宣城·期末）已知椭圆的离心率，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，是坐标原点，求面积的最大值. 【题组五 中点弦】 1（23-24高二上·浙江舟山·期末）已知为椭圆上的动点，直线与圆相切，切点恰为线段的中点，当直线斜率存在时点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）设直线与椭圆交于两点,且点为线段的中点,则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 3（23-24高二下·云南红河·期末）已知椭圆C：，的右焦点为，过F的直线与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 4（23-24高二下·黑龙江鹤岗·开学考试）已知椭圆的右焦点为，且离心率为．三角形的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、M、且三条边所在直线的斜率分别为、、，且、、均不为0，O为坐标原点．若直线OD、OE、OM的斜率之和为1，则（    ） A．－1 B． C． D． 5（23-24高二上·浙江杭州·期中）（多选）设椭圆的方程为，斜率为k的直线l不经过原点O，且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则（    ） A． B．若，则直线l的方程为 C．若直线l的方程为，则 D．若直线l的方程为，则 6（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）已知直线与椭圆和交于A，B两点，且点平分弦AB，则m的值为 ． 7（2022高三上·全国·专题练习）已知椭圆：的中心为，为左焦点，为椭圆上顶点，直线与椭圆的另一个交点为，线段的中点坐标为，则椭圆的离心率为 8（23-24高二上·河南南阳·期末）已知点为动直线：所过的定点，若椭圆截直线所得的弦被点平分，则 . 9（23-24高三上·四川绵阳·阶段练习）若椭圆的弦恰好被点平分，则的直线方程为 . 【题组六 由椭圆的几何性质求标准方程】 1．（2022·长沙）在平面直角坐标系中，椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为 ，过的直线交椭圆于两点，且的周长为16，则椭圆的方程为（　　） A． B． C． D． 2．（2024河南月考）已知椭圆：经过点，且的离心率为，则的方程是（　　） A． B． C． D． 3（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点的椭圆方程是（    ） A． B．或 C． D．或 4（2024北京·阶段练习）设椭圆的一个焦点为，离心率为，则此椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 5（2023·邢台）已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，过的直线l交C与A，B两点，若△的周长为，则C的方程为（　　） A． B． C． D． 6（2024高二上·齐齐哈尔期末）如图所示，已知是椭圆的左､右焦点，为椭圆的上顶点，在轴上，，且是的中点，为坐标原点，若点到直线的距离为3，则椭圆的方程为（　　） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1.2 椭圆 知识点一 椭圆的离心率 【解题思路】求椭圆离心率及取值范围的两种方法 (1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解． (2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围． 【例1-1】（23-24高二下·贵州毕节·期末）设椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，，且椭圆过点，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由点在上，，即，所以， 又椭圆过点，则故椭圆方程为，所以离心率，故选：C. 【例1-2】（23-24高二下·广东·期末）椭圆的左、右焦点分别为，，过点且与长轴垂直的直线交椭圆于，两点．若为等边三角形，则椭圆的离心率为（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，因为为等边三角形，则，， 因为，所以椭圆的离心率为． 故选：A. 【例1-3】（22-23高二上·北京·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆与轴的交点，若是钝角三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】   如图，因为是钝角三角形，所以， 所以，即， 则椭圆的离心率的取值范围是，故A，B，C错误. 故选：D. 【变式】 1（23-24高二下·海南海口·期末）已知，是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 因为所以, 在中, 所以, 所以, 所以. 故选：A. 2（23-24高二下·上海青浦·期末）已知中，，，，则以A、B为焦点，经过点C的椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【解析】由已知，所以， 又点C在椭圆上，所以，所以， 所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 3（23-24高二下·广西贵港·期末）已知分别是椭圆的左、右焦点，是上的一点，且，则的离心率为 ． 【答案】/ 【解析】 由，，得， 而，由勾股定理有， 所以，所以，故． 故答案为：. 4（2024·浙江杭州·模拟预测）椭圆：（）的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与椭圆交于，两点（在左侧），若，则的离心率为 . 【答案】/0.4 【解析】设椭圆的半焦距为c，取中点，连接，则， 由，得，于是，则，， 由直线的斜率为，得，即， 而，解得，即， ，于是，解得， 所以的离心率为. 故答案为： 5（23-24 重庆·期末）已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆上总存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为 【答案】 【解析】由椭圆性质可知，当点位于短轴端点时取得最大值， 要使椭圆上总存在点，使得，    只需满足，且， 记，则有，且， 所以，解得（舍去）或， 所以，即， 整理得，所以，所以. 知识点二 点与椭圆的位置关系 【解题思路】点P与椭圆的位置关系 【例2-1】（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）点与椭圆的位置关系为（    ） A．点在椭圆上 B．点在椭圆内 C．点在椭圆外 D．不确定 【答案】B 【解析】由于，所以在内，故选：B 【例2-2】（2024·四川广安·阶段练习）点在椭圆的外部，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为点在椭圆的外部，所以,解得, 故选：B. 【变式】 1（23-24高二上·全国·课后作业）若点在椭圆上，则下列说法正确的是（    ） A．点不在椭圆上 B．点不在椭圆上 C．点在椭圆上 D．无法判断上述点与椭圆的关系 【答案】C 【解析】点与点关于原点对称，点与关于轴对称， 点与关于轴对称，若点在椭圆上，根据椭圆的对称性，，，三点都在椭圆上，故选：C 2（2024吉林长春·阶段练习）点P(4cosα，2sinα)(α∈R)与椭圆C：＋＝1的位置关系是（    ） A．点P在椭圆C上 B．点P与椭圆C的位置关系不能确定，与α的取值有关 C．点P在椭圆C内 D．点P在椭圆C外 【答案】D 【解析】 把点P(2cosα，sinα)(α∈R)代入椭圆方程的左边为＋ ＝4（cos2α＋sin2α）＝4>1，因此点P在椭圆外．故选:D. 3（2023·山东日照 ）函数（，且）的图象恒过定点，若点在椭圆（，）上，则的最小值为（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【解析】由，即，得，所以，因为点在椭圆上，所以（，）， 所以，当且仅当时，等号成立.故选：C 知识点三 直线与椭圆的位置关系 【解题思路】直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立 消去y得到一个关于x的一元二次方程．直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及Δ的取值的关系如表所示． 直线与椭圆 解的个数 Δ的取值 两个不同的公共点 两解 Δ>0 一个公共点 一解 Δ＝0 没有公共点 无解 Δ<0 【例3-1】（23-24高二上·全国·课后作业）直线与椭圆的公共点的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数个 【答案】C 【解析】由消去y并整理得，显然， 所以直线与椭圆相交，有2个公共点. 故选：C 【例3-2】（22-23高二上·河北邯郸·阶段练习）直线与椭圆总有公共点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线过定点，只需该点落在椭圆内或椭圆上，∴， 解得，又，故选：C． 【例3-3】（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）已知直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，则的取值范围（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得，因为是焦点在轴上的椭圆，所以， 直线过定点，因为直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点， 所以点在椭圆上或椭圆内部，所以，解得，综上所述，.故选：D. 【变式】 1．（22-23高二上·山东滨州·期中）已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】C 【解析】联立，消去，整理得到，该方程判别式，于是此方程无解，即直线和椭圆没有交点，故直线和椭圆相离. 故选：C 2．（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知直线，椭圆，则与的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 【答案】D 【解析】直线：，令，解得：，， 所以直线恒过定点，，所以点在椭圆上，则直线与椭圆相交或相切.故选：D 3．（2024河南）若直线和圆没有公共点，则过点的直线与椭圆的公共点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．需根据a，b的取值来确定 【答案】C 【解析】因为直线和圆没有公共点， 所以原点到直线的距离，即， 所以点是在以原点为圆心，为半径的圆内的点， 又因为椭圆，可得， 所以圆内切于椭圆，所以点在椭圆的内部， 所以过点的一条直线与椭圆的公共点的个数为.故选：C. 4（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知直线与椭圆相切，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，联立，得，化解得， 因为直线与椭圆相切，所以， 化简整理得，所以.故选：C. 5（22-23高二上·福建莆田·期中）已知直线，椭圆的短轴长为，离心率为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)讨论直线l与椭圆C的公共点个数. 【答案】(1) (2)答案见解析 【解析】（1）由题意椭圆的短轴长为，离心率为， 可知，，解得， 所求椭圆的方程为； （2）由可得， ， 当即时，直线与椭圆相切，只有一个公共点； 当即时，直线与椭圆相交，有两个公共点； 当即或时，直线与椭圆相离，无公共点； 综上所述， 当时，直线与椭圆只有一个公共点； 当时，直线与椭圆有两个公共点； 当或时，直线与椭圆无公共点. 知识点四 弦长 【解题思路】求弦长的两种方法 (1)求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长． (2)联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程，利用弦长公式：|P1P2|＝·，其中x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长． 【例4-1】（23-24高二上·青海西宁·期中）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，其中左焦点为，长轴长为4． (1)求椭圆C的方程； (2)直线l：与椭圆C交于不同两点P、Q，求弦长． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）由题意可设， 则，即，且，可得， 所以椭圆方程为. （2）设， 将直线与椭圆联立，得，解得或 所以弦长. 【例4-2】（24-25高二上·上海·随堂练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，上顶点为A，，长轴的长为4．过右焦点的直线l与椭圆交于M、N两点（非长轴端点）．    (1)求椭圆的方程； (2)若直线l过椭圆的上顶点A，求的面积． 【答案】(1) (2)． 【解析】（1）因为，长轴的长为4， 所以，，，所以椭圆的方程为． （2）因为，，若直线l过椭圆的上顶点A和右焦点. 所以l：，则点到直线l的距离为， 由得， 所以，，则， 所以． 【变式】 1（23-24高二下·河北秦皇岛·开学考试）已知椭圆：的离心率为且椭圆经过点． (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的左焦点作斜率为的直线交椭圆于、两点，求． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）由题意得，解得，椭圆的方程为； （2）由（1）得，椭圆的左焦点，右焦点， 则直线的方程为：，设，， 联立，消去，得，显然，则， 所以． 2（23-24高二下·江苏连云港·期末）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点的直线交椭圆于两点，且（其中为坐标原点），求的面积 【答案】(1) (2) 【解析】（1）设椭圆的半焦距为，由得，， 过点，，又， 联立，解得，，， 所以椭圆方程为：. （2） 由题意知，直线的斜率存在，设为， 又直线过点则直线的方程为， 设，，由得， 由，得， ， 又，有，即， 整理得， 所以，解得，满足， 又因为，点到直线的距离， 则， 即， 代入得，， 故的面积为. 3（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知是离心率为的椭圆：（）上任意一点，是椭圆的右焦点，且的最小值是1. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆相交于，两点，若，求直线的方程. 【答案】(1)(2) 【解析】（1）由题意得，，故，又，故， 设，，则，即， ， 故当时，取得最小值，最小值为，故，则，椭圆方程为； （2）当过点的直线的斜率为0时，，不合要求， 当过点的直线的斜率不为0时，设为，    联立得，恒成立， 设，则， 故， 故，解得故直线的方程为. 知识点五 中点弦 【解题思路】 【例5-1】（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线方程（，），渐近线方程为，并且经过点. (1)求双曲线方程； (2)设A，是双曲线上的两点，线段的中点为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为渐近线方程为，设双曲线方程为， 又因为双曲线经过点，可得，即， 所以双曲线方程为，即. （2）设， 因为线段的中点为，则， 又因为A，是双曲线上的两点，则， 两式相减可得， 整理得， 可得，即直线的斜率， 所以直线的方程，即， 联立方程，消去x得， 可得， 即直线与双曲线相交，直线符合题意， 综上所述：直线的方程为.    【例5-2】（23-24高二·江苏·假期作业）已知椭圆（）的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设直线与椭圆相交于，两点， 因为弦的中点坐标是，所以直线的斜率存在， 则，，直线的斜率． 由，得， ，， 故椭圆的离心率． 故选：B． 【例5-3】．（23-24高二上·江苏·期中）设A，B为双曲线右支上的两点，若线段的中点为，则直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设， 则有，两式相减，得， 因为线段AB的中点为，所以， 因此由，即直线AB的斜率为，方程为， 代入双曲线方程中，得，因为，所以线段存在.故选：C. 【例5-4】（23-24高二上·云南玉溪·期末）已知椭圆C的中心为坐标原点，一个焦点为，过F的直线l与椭圆C交于A，B两点．若的中点为，则椭圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不妨设椭圆方程为，由题意得：， 两式作差得：，整理得：， 因为AB的中点为，，所以，所以，所以， 又因为，所以.故选：A． 【例5-5】（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为中点，为坐标原点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，，，则，，， 所以，所以，将，两点坐标代入椭圆方程可得：， 两式作差可得：，所以，则，故选：D 【变式】 1．（22-23高二上·安徽芜湖·阶段练习）不经过原点的直线与椭圆相交于，，线段的中点为，设直线的斜率为，直线（为原点）的斜率为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，，，， 则，又，所以，即， 即，又，，所以. 故选：A 2．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，设，代入椭圆方程， 可得两式相减可，变形可得， 又过点的直线交椭圆于两点，且的中点为，所以， 代入上式可得，，又，解得，所以椭圆的方程为.故选：C 3．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知椭圆，是椭圆的一条弦的中点，点在直线上，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，直线的斜率，直线的方程为，即， 由消去并整理得：， 则，即， 设，则，而弦的中点为，即， 于是，解得，此时 所以椭圆的离心率. 故选：C 4（23-24高二上·山西太原·期末）在椭圆中，以点为中点的弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，故点在椭圆内部，过点的直线恒与椭圆有两个交点，设交点为，则，又，两式相减得， 整理得，所以以点为中点的弦所在的直线方程为，即.故选：C. 5（23-24高二上·四川凉山·期末）过椭圆内一点引一条弦，使该弦被点平分. (1)求该弦所在的直线方程； (2)求该弦的弦长. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）设过点的弦与椭圆相交于，两点， ∵为的中点，∴， 又∵，两点在椭圆上，∴，， 两式相减得，即 由题意当时，不能平分该弦，因此， 故直线AB的斜率为，∴该弦所在的直线方程为，即； （2）联立直线与椭圆方程得，得， 解得或1，不妨取，，则或，即，，∴. 知识点六 由椭圆的几何性质求标准方程 【解题思路】利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤 (1)确定焦点位置． (2)设出相应椭圆的标准方程． (3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数． (4)写出椭圆标准方程． 【例6-1】（22-23高二·全国·课后作业）求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)长轴在x轴上，长轴长为12，离心率为； (2)椭圆过点，离心率； (3)在x轴上的一个焦点与短轴上的两个顶点的连线互相垂直，且焦距为8； (4)与椭圆有相同的焦点，且短轴长为2． 【答案】(1)；(2)或；(3)；(4). 【解析】（1）由题意，可知，，得，，从而， 又长轴在x轴上，故所求椭圆的标准方程为． （2）若焦点在x轴上，则， 由，得，所以，此时椭圆的标准方程为， 若焦点在y轴上，则， 由，得， 此时椭圆的标准方程为， 故椭圆的标准方程为或． （3）分析知，，故椭圆的标准方程为． （4）椭圆可化为， 可知焦点在y轴上，焦点坐标为， 故可设所求椭圆的方程为，则， 又，即，所以， 则所求椭圆的标准方程为． 【变式】 （2024广东云浮）求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点； (2)经过两点和； (3)经过两点. (4)过点且与椭圆有相同焦点. （5）长轴长与短轴长的和为18，焦距为6； （6）经过点，且离心率； 【答案】(1)(2)(3)(4)（5）或；（6）或； 【解析】（1）由题意知，且焦点坐标分别为，. 由，得，可得，所以. 又焦点在y轴上，所以所求椭圆的标准方程为. （2）设椭圆的方程为（，，）.将两点的坐标代入方程， 得，解得，故所求椭圆的标准方程为. （3）设所求的椭圆方程为． 把两点代入，得：，解得，∴椭圆方程为． （4）依题意，知椭圆的焦点坐标为.设所求方程为， 将点代入得，所以， 则所求椭圆的标准方程为. （5）设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c， 由题意可知，结合可解得a＝5，b＝4，c＝3． 因为不确定焦点在哪个坐标轴上，所以所求椭圆的标准方程为或． （6）①当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为，由题意，得， 因为，所以，从而，所以所求椭圆的标准方程为； ②当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为， 由题意，得，因为，解得，从而， 所以所求椭圆的标准方程为． 综上，所求椭圆的标准方程为或． 【题组一 椭圆的离心率】 1（2024山西太原·阶段练习）已知椭圆，则“”是“椭圆的离心率为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由可得椭圆，此时离心率为，此时充分性成立； 若椭圆的离心率为，当时，可得离心率为，解得，即必要性不成立； 综上可知，“”是“椭圆的离心率为”的充分不必要条件.故选：A 2（2024·陕西渭南 ）已知O为坐标原点，A、B、F分别是椭圆C：（）的左顶点、上顶点和右焦点，点P在椭圆C上，且以OP为直径的圆恰好过右焦点F，若，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令椭圆的右焦点，依题意，轴，且点在第一象限， 由，解得，则，而， 由，得，解得，，所以椭圆C的离心率. 故选：C 3（2024·陕西铜川）已知是椭圆的左、右焦点，若上存在不同的两点，使得，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，延长交椭圆于，根据椭圆的对称性，得，， 当分别位于的左、右顶点时，有最大值， 又因为不重合，所以，即， 解得， 所以的离心率的取值范围为． 故选：C． 4（23-24高二下·重庆·阶段练习）椭圆 的右顶点为 ，右焦点为 为椭圆在第二象限上的点，直线 交椭圆 于点 ， 11 延长直线 交线段 于 ，若 ，则椭圆 的离心率是 （        ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图， 设点，则，，， 由 知，为线段的中点，则， 由三点共线，故，化简得到，故. 故选：A. 5（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）已知分别为椭圆的左顶点和左焦点，直线与椭圆交于两点，若直线交线段于，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 由题意得，设，又， 所以，解得，即， 又由三点共线可知当斜率不存在时，由对称性可知垂直于x轴， 所以，所以，即，整理得，即； 当时，所以，整理得，所以.选：B. 6（2024·江苏泰州·模拟预测）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，过的直线与交于点，与轴交于点，，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，因为，所以，， 由对称性可得，又，所以， 所以，， 又，所以，，又， 所以由余弦定理， 所以，的离心率. 故选：A. 7（23-24高二下·安徽六安·期末）已知椭圆的左､右焦点分别是是椭圆上两点，四边形为矩形，延长交椭圆于点，若，则椭圆的离心率为 . 【答案】/ 【解析】设，则由题意可得，，， 所以， 在中，， 因为，所以，解得，所以，， 因为，所以，所以，解得，所以离心率. 故答案为： 8（24-25高二上·上海·课后作业）椭圆的左、右焦点分别为、，过焦点的倾斜角为的直线交椭圆于两点，弦长，若三角形的内切圆的面积为，则椭圆的离心率为 . 【答案】/ 【解析】由题知直线的方程为，即， 所以到直线的距离， 又因为的内切圆面积为，则半径， 所以由等面积可得， 解得. 故答案为：. 【题组二 点与椭圆的位置关系】 1（2024宁夏银川·阶段练习）若点在椭圆的内部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，所以故选：B. 2（23-24高二上·江苏徐州·期末）（多选）已知直线与圆相切，椭圆，则（    ） A．点在圆O内 B．点在圆O上 C．点在椭圆C内 D．点在椭圆C上 【答案】BC 【解析】由直线与圆相切，可知，圆心到直线的距离， 即，所以点在圆O上， 并且，所以圆在椭圆内，在椭圆内. 故选：BC 3（23-24高二上·全国·课后作业）（多选）点在椭圆的内部，则的值可以是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】BC 【解析】由题意知，解得．故选：BC 4（2024湖北）已知点P(k，1)，椭圆=1，点P在椭圆外，则实数k的取值范围为 . 【答案】 【解析】因为点P(k，1)在椭圆=1外，所以>1，解得k<或k>， 故实数k取值范围为.故答案为： 【题组三 直线与椭圆的位置关系】 1（23-24高二上·江西·期末）直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【解析】因为直线过点，而为椭圆的右端点和上端点， 故直线与椭圆相交.故选：C. 2（23-24高二上·重庆·期末）已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 【答案】B 【解析】，即，令，解得， 则直线所过定点，代入椭圆方程，，则该定点在椭圆内， 则直线与椭圆的位置关系为相交.故选：B. 3（22-23高二下·广东深圳·期中）椭圆与直线的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 【答案】B 【解析】直线过定点在椭圆内，故直线与椭圆相交.故选:B. 【题组四 弦长】 1（23-24高二下·上海·期中）已知点、分别椭圆的左、右焦点，过作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，则弦的长为 . 【答案】/ 【解析】椭圆的右焦点， 因为直线的倾斜角为且过点，所以直线，设，， 联立，消去得，所以，，所以，， 所以，，所以.故答案为： 2（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）过椭圆的左焦点引直线交椭圆于两点，若弦的长为，则直线的斜率为 . 【答案】 【解析】椭圆，即，则，，，左焦点为， 设直线为，，由，得， 整理得， 因为，所以， 所以，，解得， 所以直线为斜率为，故答案为：. 3（23-24高二上·上海·期末）斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为，则直线的方程为 ． 【答案】 【解析】设直线，直线与椭圆的交点为， 联立方程，消去y得， 则，解得， 可得， 由题意可得：， 解得， 所以直线的方程为. 故答案为：. 4（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知直线与椭圆交于，两点，当取最大值时的值为 【答案】 【解析】设，，由， 消去整理得，解得或，则，， 则，， 所以 ， 所以当，即时取最大值. 5（24-25高二上·上海·随堂练习）已知直线与椭圆C：相交于A、B两点，O为坐标原点．当的面积取得最大值时， ． 【答案】 【解析】由，得，需满足， 设，，则，， ． 又O到直线AB的距离， 则的面积， 当且仅当，即时，的面积取得最大值． 此时，． 故答案为： 6（24-25高二上·上海·课后作业）已知椭圆C的两焦点为，，P为椭圆上一点，且到两个焦点的距离之和为6. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若已知直线，当m为何值时，直线与椭圆C有公共点？ 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由题意可得：，即，可得， 且椭圆焦点在x轴上，所以所求的椭圆方程为. （2）联立方程，消去y得. 由，得，则. 所以当时，直线与椭圆有公共点. 7（22-23高二下·上海闵行·期末）已知椭圆C:的左右两焦点分别为和，右顶点是A，且，. (1)求椭圆C的标准方程; (2)若斜率为1的直线交椭圆C于M、N两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【解析】（1）解：由题意知，点为椭圆的右顶点，且，， 可得，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）解：设直线的方程为，且， 联立方程组，整理得， 则，且， 可得 ，解得，可得，所以直线的方程为，即或. 8（23-24高二下·安徽宣城·期末）已知椭圆的离心率，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，是坐标原点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）椭圆过点，得①， ，，即②， 由①②联立解得，则椭圆方程为 （2）当直线垂直于轴时，三点共线，不能构成三角形， 故直线的斜率存在，则设直线为：， 设， 联立，得， 则，即或， ， 则， 点到直线的距离为， 则， 令，则， 则， 当且仅当，即，即时等号成立，故面积的最大值为. 【题组五 中点弦】 1（23-24高二上·浙江舟山·期末）已知为椭圆上的动点，直线与圆相切，切点恰为线段的中点，当直线斜率存在时点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设， 设直线，且 则，作差得： 由，所以，① 因为为直线与圆的切点，所以，② 由①②消去可得， 所以. 故选：A. 2．（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）设直线与椭圆交于两点,且点为线段的中点,则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设则 将点代入椭圆方程,两式作差得 即直线的斜率为 直线的方程为即. 故选：. 3（23-24高二下·云南红河·期末）已知椭圆C：，的右焦点为，过F的直线与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设 则，两式作差得：， 线段AB的中点为，故， 所以， 且直线AB过和， 则直线AB的斜率：, 故， 解得. 故选：B 4（23-24高二下·黑龙江鹤岗·开学考试）已知椭圆的右焦点为，且离心率为．三角形的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、M、且三条边所在直线的斜率分别为、、，且、、均不为0，O为坐标原点．若直线OD、OE、OM的斜率之和为1，则（    ） A．－1 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为椭圆的右焦点为，且离心率为， 所以，，解得 ， 所以椭圆方程为， 设 ， 则， 两式相减得：，即， 即， 同理，，， 又直线､､的斜率之和为1， 所以，，故C正确. 故选：C. 5（23-24高二上·浙江杭州·期中）（多选）设椭圆的方程为，斜率为k的直线l不经过原点O，且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则（    ） A． B．若，则直线l的方程为 C．若直线l的方程为，则 D．若直线l的方程为，则 【答案】BD 【解析】A.设，，， ，两式相减得， 整理为，即，故A错误； B.由，以及，可知，，则， 所以直线的方程为，则，故B正确； C.由，且直线l的方程为，所以，即， 且，解得：，，即，故C错误； D.联立，得，得或， 弦长，故D正确. 故选：BD 6（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）已知直线与椭圆和交于A，B两点，且点平分弦AB，则m的值为 ． 【答案】3 【解析】设坐标为，则， 作差可得，则， 根据题意可得，，则，解得. 当时，联立，可得， 其，满足题意；故. 故答案为：. 7（2022高三上·全国·专题练习）已知椭圆：的中心为，为左焦点，为椭圆上顶点，直线与椭圆的另一个交点为，线段的中点坐标为，则椭圆的离心率为 【答案】/ 【解析】由题意设，，， 则， 两式相减可得：， 因为：，，所以 即直线斜率为， 又直线斜率为，所以，即， 由，得，即，得，得. 故答案为： 8（23-24高二上·河南南阳·期末）已知点为动直线：所过的定点，若椭圆截直线所得的弦被点平分，则 . 【答案】/0.5 【解析】即，所以. 设直线与椭圆的两个交点为，，则 ①②得， 又，， 所以， 即. 故答案为： 9（23-24高三上·四川绵阳·阶段练习）若椭圆的弦恰好被点平分，则的直线方程为 . 【答案】 【解析】由题意，直线斜率存在，设，，则有，， 在椭圆上，有，， 两式相减，得，即， 得，即直线的斜率为， 则的直线方程为，即. 故答案为： 【题组六 由椭圆的几何性质求标准方程】 1．（2022·长沙）在平面直角坐标系中，椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为 ，过的直线交椭圆于两点，且的周长为16，则椭圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设椭圆方程为由椭圆定义知：的周长为即，解得： 椭圆的方程为故答案为：D 2．（2024河南月考）已知椭圆：经过点，且的离心率为，则的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意可得，解得， 故椭圆的标准方程是。 故答案为：A. 3（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点的椭圆方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解析】当椭圆的焦点在轴上时，设椭圆的方程为， 由离心率为，可得. ∵椭圆过点∴，，∴椭圆的标准方程为； 当椭圆的焦点在轴上时，，，得， 可得椭圆的标准方程为，整理为. 故选：D 4（2024北京·阶段练习）设椭圆的一个焦点为，离心率为，则此椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为椭圆的一个焦点为，所以焦点在轴上， 又离心率为，所以，解得，所以椭圆的方程为， 故选：A. 5（2023·邢台）已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，过的直线l交C与A，B两点，若△的周长为，则C的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题设，，且， 所以三角形△的周长为，即， 又因为，可得，则， 综上所述，C的方程为。故答案为：B 6（2024高二上·齐齐哈尔期末）如图所示，已知是椭圆的左､右焦点，为椭圆的上顶点，在轴上，，且是的中点，为坐标原点，若点到直线的距离为3，则椭圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】且，则△是等边三角形， 设，则①， ∴直线的方程为，即， ∴到直线的距离为②， 又③， 联立①②③，解得，，故椭圆的标准方程为。 故答案为：D. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$