第09讲 直线与圆的位置关系（4考点6题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（苏科版）

第09讲 直线与圆的位置关系 课程标准 学习目标 1 理解直线与圆的三种位置关系（相离、相切、相交）； 2 能根据圆心到直线的距离与圆的半径的关系，判断直线与圆的位置关系； 3 会解决与直线与圆的位置关系相关的问题。 1. 掌握直线与圆的位置关系的判定方法； 2. 能够运用直线与圆的位置关系解决实际问题。 知识点一、直线与圆的位置关系 直线与圆有三种位置关系，如下所示： 相交 相切 相离 定义 直线和圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交 直线和圆只有一个公共点时，叫做直线与圆相切 直线和圆没有公共点时，叫做直线与圆相离 图示 公共点个数 2 1 0 圆心到直径的距离d与圆半径r之间的大小关系 公共点名称 交点 切点 无 直线名称 交线/割线 切线 无 结论 直线与相交 直线与相切 直线与相离 判定直线与圆的位置关系通常有以下两种方法： （1）根据直线与圆的公共点的个数判断； （2）根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判断. 知识点二、切线的判定定理与切线的性质定理 1.切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 如图所示，OA是的一条半径，直线l经过点A且OA⊥l，则l是的切线. 判定一条直线是否是圆的切线共有以下三种方法： （1）定义法：当直线与圆有且只有一个公共点时，直线与圆相切； （2）数量关系法：当圆心到直线的距离等于半径时， 直线与圆相切； （3）判定定理法：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 2.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径. 如图所示：直线l是的切线，切点为点A，则OA⊥l. 知识点三、三角形的内切圆 1.定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形. 2.性质：三角形的内心就是三角形三条内角平分性的交点，内心到三角形各边的距离相等，任意三角形的内心都在三角形的内部. 3.三角形的内切圆的作法：作三角形任意两个内角平分线，它们的交点就是内切圆的圆心，过圆心向任意一条边作垂线，垂线段的长度就是内切圆的半径. 补充：三角形外心与内心对比： 图形 名称 性质 位置 角度关系 外心（三角形外接圆的圆心，三角形三边中垂线的交点） 到三角形三个顶点的距离相等 外心不一定在三角形的内部 ∠BOC＝2∠A 内心（三角形内切圆的圆心，三角形三条内角平分线的交点） 到三角形三边距离相等 内心一定在三角形的内部 ∠BOC＝90°＋∠A 知识点四、切线长及切线长定理 1.切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长； 2.切线长定理：过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 拓展：如图所示：过外一点P引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，连接OA、OB、AB，延长PO并延长交圆于点E，则：①垂直：OA⊥PA，OB⊥PB，OD⊥AB；②全等：△OAP≌△OBP，△OCA≌△OCB，△ACP≌△BCP；③弧相等：. 题型01 直线与圆的位置关系 1．已知圆的半径为3，某直线到圆心的距离是2，则此直线与圆的位置关系为（　　） A．相离 B．相切 C．相离或相切 D．相交 2．“海上生明月，天涯共此时”，如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．平行 3．已知点A（3，4），若以点A为圆心，3个单位长度为半径作圆，则⊙A与x轴的位置关系为 　　． 4．已知圆的直径为10cm，且圆心到一条直线距离为4cm，则这条直线与圆的位置关系是 　　． 题型02 切线的性质 1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，过点D的切线交BA的延长线于点E，若∠ADE＝28°，则∠C的度数是（　　） A．152° B．134° C．124° D．118° 2．如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D分别在两个半圆上，若过点C的切线与AB的延长线交于点E，则∠D与∠E的数量关系是（　　） A．∠D+∠E＝90° B．∠D+2∠E＝180° C．2∠D﹣∠E＝90° D．2∠D+∠E＝180° 3．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的切线EF分别交PA，PB于点E，F，切点C在弧AB上，若PA长为8，则△PEF的周长是 　　． 4．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠D＝34°，则∠A的度数为 　　． 题型03 切线的判定 1．如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作DF⊥BC，交AB的延长线于E，垂足为F． 求证：直线DE是⊙O的切线． 2．如图，P是∠BAC的平分线上一点，PD⊥AC，垂足为D，AB与以P为圆心、PD为半径的圆相切吗？请说明理由． 3．如图，AB是⊙O直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过T作AD的垂线交AD的延长线于点C．求证：CT为⊙O的切线． 4．如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB．求证：直线AB是⊙O的切线． 题型04 切线的性质与判定 1．如图，以点O为圆心，AB长为直径作圆，在⊙O上取一点C，延长AB至点D，连接DC，∠DCB＝∠DAC，过点A作AE⊥AD交DC的延长线于点E． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若CD＝4，DB＝2，求AE的长． 2．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AB，交CB的延长线于点E． （1）求证：ED是⊙O的切线； （2）若AC＝3，BC，求BD、CD的长． 3．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足是点H，过点C作直线分别与AB，AD的延长线交于点E，F，且∠ECD＝2∠BAD． （1）求证：CF是⊙O的切线； （2）如果AB＝10，CD＝6，求AE的长； 题型05 切线长定理 1．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，点C是AB上一点，过C作⊙O的切线，交PA，PB于点D，E，若PA＝6cm，则△PDE的周长是　　cm． 2．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝8，CD＝15，则四边形ABCD的周长为 　　． 3．如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AD边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为 　　． 题型06 三角形的内切圆与内心 1．已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在BC，AC上，DE与△ABC的内切圆O相切．若△ABC的面积是30，△CDE的周长是4，则AB的长为 　　． 3．如图，I是△ABC的内心，∠A＝50°，则∠BIC＝　　． 4．已知，如图，AB为⊙O的直径，△ABC内接于⊙O．BC＞AC，弧AD＝弧BD．BD＝PD，延长CP交⊙O于点D，连接BP． （1）求证：点P是△ABC的内心； （2）已知⊙O的直径是．求BC的长． 1．如图，AB为⊙O的切线，切点为A．连接AO、BO、BO与⊙O交于点C，延长BO与⊙O交于点D，连接AD．若∠ABO＝36°，则∠ADC的度数为（　　） A．54° B．36° C．32° D．27° 2．如图，⊙O与矩形ABCD的三边AB、BC、CD分别相切于点E、F、G，连接OB、OD，OB＝4，OD＝3，则AB的长为（　　） A．5 B． C．4 D． 3．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，过点A作AC∥PB交⊙O于点C，连接BC，若∠P＝α，则∠PBC的度数为（　　） A．90°α B．90 C．180°﹣α D．180 4．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在上，过点C的切线分别交PA、PB于点D、E，若PA＝1，则△PDE的周长为（　　） A． B．2 C．3 D．6 5．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为（　　） A． B． C． D．2 6．如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝5，将△ABD沿BD翻折得到△A′BD，若A′D经过△CBD的内心I，则DI的长为 　 　． 7．如图，⊙O的直径是AB＝12cm，AM、BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM、BN分别相交于D、C两点，设AD＝x，BC＝y，则y与x的函数解析式为　 　． 8．如图，△ABC中，AB＝AC，点O是BC边上一点，以点O为圆心，OB为半径作⊙O与边AC相切于点A，若BC＝9，则OB的长等于 　 　． 9．如图，△ABC的周长是18cm，点O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC、BC分别交于点E、F，已知AB＝6cm，则△CEF的周长为 　 　cm． 10．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD交于点E，2，连接AD，过点B的切线与AD的延长线交于点F，若∠AFB＝60°，则∠DEB＝　 　°． 11．如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA，OC交AB于点D．若OD＝1，BC＝3，则OA＝　 　． 12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°，⊙O是△ABC的内切圆，与边BC，AC分别相切于点D，E，DE与BO的延长线交DE于点F，则∠BFD＝　 　． 13．如图，等腰三角形ABC内接于⊙O，AB＝AC，点I是△ABC的内心，连接BI并延长交⊙O于点D，点E在BD的延长线上，满足∠EAD＝∠CAD．试证明： （1）OA所在的直线经过点I； （2）点D是IE的中点． 14．如图，A、B、C、D四点在⊙O上，BD为⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）若∠DBC＝30°，DE＝2cm，求BD的长； 15．如图，在三角形ABC中，∠BAC＝30°，以AB为直径的圆O经过点C，过点C作圆O的切线交AB延长线于点P，点D是圆上一点，点C是劣弧BD的中点，弦AD的延长线交切线PC于点E． （1）判断OB与BP的数量关系并证明； （2）若AE＝3，求圆O的半径． 16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CO平分∠BCD，CE⊥AD 于点E． （1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若CE＝3，AD＝2，求直径AB的长． 17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，，过点A作AD∥BC交⊙O于点D，连接CD，延长DA到点E，连接CE，∠D＝∠E． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若CE＝8，AE＝5，求⊙O半径的长． 18．如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，△EBC的外接圆⊙O分别交AB，CD于点M，N． （1）求证：AD与⊙O相切； （2）若DN＝1，AD＝4，求⊙O的半径r． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 直线与圆的位置关系 课程标准 学习目标 1 理解直线与圆的三种位置关系（相离、相切、相交）； 2 能根据圆心到直线的距离与圆的半径的关系，判断直线与圆的位置关系； 3 会解决与直线与圆的位置关系相关的问题。 1. 掌握直线与圆的位置关系的判定方法； 2. 能够运用直线与圆的位置关系解决实际问题。 知识点一、直线与圆的位置关系 直线与圆有三种位置关系，如下所示： 相交 相切 相离 定义 直线和圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交 直线和圆只有一个公共点时，叫做直线与圆相切 直线和圆没有公共点时，叫做直线与圆相离 图示 公共点个数 2 1 0 圆心到直径的距离d与圆半径r之间的大小关系 公共点名称 交点 切点 无 直线名称 交线/割线 切线 无 结论 直线与相交 直线与相切 直线与相离 判定直线与圆的位置关系通常有以下两种方法： （1）根据直线与圆的公共点的个数判断； （2）根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判断. 知识点二、切线的判定定理与切线的性质定理 1.切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 如图所示，OA是的一条半径，直线l经过点A且OA⊥l，则l是的切线. 判定一条直线是否是圆的切线共有以下三种方法： （1）定义法：当直线与圆有且只有一个公共点时，直线与圆相切； （2）数量关系法：当圆心到直线的距离等于半径时， 直线与圆相切； （3）判定定理法：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 2.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径. 如图所示：直线l是的切线，切点为点A，则OA⊥l. 知识点三、三角形的内切圆 1.定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形. 2.性质：三角形的内心就是三角形三条内角平分性的交点，内心到三角形各边的距离相等，任意三角形的内心都在三角形的内部. 3.三角形的内切圆的作法：作三角形任意两个内角平分线，它们的交点就是内切圆的圆心，过圆心向任意一条边作垂线，垂线段的长度就是内切圆的半径. 补充：三角形外心与内心对比： 图形 名称 性质 位置 角度关系 外心（三角形外接圆的圆心，三角形三边中垂线的交点） 到三角形三个顶点的距离相等 外心不一定在三角形的内部 ∠BOC＝2∠A 内心（三角形内切圆的圆心，三角形三条内角平分线的交点） 到三角形三边距离相等 内心一定在三角形的内部 ∠BOC＝90°＋∠A 知识点四、切线长及切线长定理 1.切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长； 2.切线长定理：过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 拓展：如图所示：过外一点P引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，连接OA、OB、AB，延长PO并延长交圆于点E，则：①垂直：OA⊥PA，OB⊥PB，OD⊥AB；②全等：△OAP≌△OBP，△OCA≌△OCB，△ACP≌△BCP；③弧相等：. 题型01 直线与圆的位置关系 1．已知圆的半径为3，某直线到圆心的距离是2，则此直线与圆的位置关系为（　　） A．相离 B．相切 C．相离或相切 D．相交 【分析】根据圆心到直线的距离2小于圆的半径3，则直线和圆相交． 【解答】解：∵直线的距离2＜3， ∴直线和圆相交． 故选：D． 【点评】考查了直线和圆的位置关系和数量之间的等价关系：当d＜r时，直线和圆相交． 2．“海上生明月，天涯共此时”，如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．平行 【分析】根据直线与圆的位置关系即可得到结论． 【解答】解：图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是相交， 故选：B． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键． 3．已知点A（3，4），若以点A为圆心，3个单位长度为半径作圆，则⊙A与x轴的位置关系为 　　． 【分析】先由点A的坐标得到点A到x轴的距离、点A到y轴的距离，然后判定⊙A与x轴的位置关系． 【解答】解：∵A（3，4），以点A为圆心，3个单位长度为半径作圆， ∴点A到x轴的距离为4＞r， ∴OA与x轴相离， 故答案为：相离． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是由点A的坐标得到点A到x轴的距离． 4．已知圆的直径为10cm，且圆心到一条直线距离为4cm，则这条直线与圆的位置关系是 　　． 【分析】欲求直线和圆的位置关系，关键是求出圆心到直线的距离d，再与半径r进行比较．若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离． 【解答】解：∵圆的直径为10cm， ∴圆的半径为5cm， ∵圆心到直线的距离4cm， ∴圆的半径＞圆心到直线的距离， ∴直线于圆相交， 故答案为相交． 【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定． 题型02 切线的性质 1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，过点D的切线交BA的延长线于点E，若∠ADE＝28°，则∠C的度数是（　　） A．152° B．134° C．124° D．118° 【分析】连接OD，根据切线的性质定理，得OD⊥DE，从而求得∠ADO的度数，根据等边对等角得到∠OAD＝∠ADO；再根据圆内接四边形的对角互补，即可求得∠C的度数． 【解答】解：连接OD， ∵过点D的切线交BA的延长线于点E， ∴OD⊥DE， ∴∠ADO＝90°﹣∠ADE＝62°； ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ADO＝62°， ∴∠C＝118°． 故选：D． 【点评】此题考查了切线的性质定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 2．如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D分别在两个半圆上，若过点C的切线与AB的延长线交于点E，则∠D与∠E的数量关系是（　　） A．∠D+∠E＝90° B．∠D+2∠E＝180° C．2∠D﹣∠E＝90° D．2∠D+∠E＝180° 【分析】连接BC，OC，AC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，得到∠D＝90°﹣∠BAC＝90°∠COE，根据切线的性质得到∠OCE＝90°，求得∠COE＝90°﹣∠E，于是得到结论． 【解答】解：连接BC，OC，AC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝∠D＝90°﹣∠BAC， ∵OA＝OC，∠COE＝∠BAC+∠ACO， ∴∠BAC＝∠ACO∠COE， ∴∠D＝90°﹣∠BAC＝90°∠COE， ∵CE是⊙O的切线， ∴∠OCE＝90°， ∴∠COE＝90°﹣∠E， ∴∠D＝90°∠COE＝90°（90°﹣∠E）， ∴2∠D﹣∠E＝90°． 故选：C． 【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 3．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的切线EF分别交PA，PB于点E，F，切点C在弧AB上，若PA长为8，则△PEF的周长是 　　． 【分析】由切线长定理知，AE＝CE，FB＝CF，PA＝PB＝12，然后根据△PEF的周长公式即可求出其结果． 【解答】解：∵PA、PB、EF分别与⊙O相切于点A、B、C， ∴AE＝CE，FB＝CF，PA＝PB＝8， ∴△PEF的周长＝PE+EF+PF＝PA+PB＝16． 故答案为：16． 【点评】本题主要考查了切线长定理的应用，解此题的关键是求出△PEF的周长＝PA+PB． 4．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠D＝34°，则∠A的度数为 　　． 【分析】连接OC，根据切线的性质得∠OCD＝90°，求出∠DOC的度数，再根据圆周角定理计算∠A的度数． 【解答】解：如图，连接OC， ∵DC切⊙O于点C， ∴OC⊥DC， ∴∠OCD＝90°， ∵∠D＝34°， ∴∠DOC＝90°﹣34°＝56°， ∴， 故答案为：28°． 【点评】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，熟知切线的性质与圆周角定理是解题的关键． 题型03 切线的判定 1．如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作DF⊥BC，交AB的延长线于E，垂足为F． 求证：直线DE是⊙O的切线． 【分析】连接OD，如图，根据等腰三角形的性质，由BA＝BC得∠A＝∠C，由OA＝OD得∠A＝∠ODA，则∠ODA＝∠C，于是根据平行线的判定得到OD∥BC，加上DF⊥BC，所以DE⊥OD，然后根据切线的判定定理即可得到结论． 【解答】证明：连接OD，如图， ∵BA＝BC， ∴∠A＝∠C， ∵OA＝OD， ∴∠A＝∠ODA， ∴∠ODA＝∠C， ∴OD∥BC， ∵DF⊥BC， ∴DE⊥OD， ∵OD为半径， ∴直线DE是⊙O的切线． 【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线． 2．如图，P是∠BAC的平分线上一点，PD⊥AC，垂足为D，AB与以P为圆心、PD为半径的圆相切吗？请说明理由． 【分析】作PE⊥AB于E，如图，先根据角平分线定理得到PE＝PD，然后根据切线的判定定理即可得到AB与以P为圆心、PD为半径的圆相切． 【解答】解：AB与以P为圆心、PD为半径的圆相切．理由如下： 作PE⊥AB于E，如图， ∵P是∠BAC的平分线上一点，PD⊥AC，PE⊥AB于E， ∴PE＝PD， ∴AB与以P为圆心、PD为半径的圆相切． 【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径．也考查了角平分线定理． 3．如图，AB是⊙O直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过T作AD的垂线交AD的延长线于点C．求证：CT为⊙O的切线． 【分析】连接OT，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质得到∠CAT＝∠OTA，根据平行线的判定定理得到OT∥AC，根据平行线的性质得到OT⊥TC，根据切线的判定定理证明即可． 【解答】证明：连接OT， ∵AT平分∠BAD， ∴∠CAT＝∠BAT， ∵OT＝OA， ∴∠OTA＝∠BAT， ∴∠CAT＝∠OTA， ∴OT∥AC，又TC⊥AC， ∴OT⊥TC， ∴CT为⊙O的切线． 【点评】本题考查的是切线的判定，平行线得到判定和性质，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键． 4．如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB．求证：直线AB是⊙O的切线． 【分析】连接OC，如图，由于OA＝OB，CA＝CB，根据等腰三角形的性质得到OC⊥AB，然后根据切线的判定定理得到结论． 【解答】证明：连接OC，如图， ∵OA＝OB，CA＝CB， ∴OC⊥AB， ∴直线AB是⊙O的切线． 【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了等腰三角形的性质． 题型04 切线的性质与判定 1．如图，以点O为圆心，AB长为直径作圆，在⊙O上取一点C，延长AB至点D，连接DC，∠DCB＝∠DAC，过点A作AE⊥AD交DC的延长线于点E． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若CD＝4，DB＝2，求AE的长． 【分析】（1）连接OC，如图，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，即∠BCO+∠ACO＝90°，求得∠OCA＝∠DCB，得到∠DCO＝90°，根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线； （2）根据勾股定理得到OB＝3，求得AB＝6，根据切线的性质得到AE＝CE，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接OC，OE，如图， ∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°，即∠BCO+∠1＝90°， 又∵∠DCB＝∠CAD， ∵∠CAD＝∠OCA， ∴∠OCA＝∠DCB， ∴∠DCB+∠BCO＝90°， 即∠DCO＝90°， ∵OC是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：∵∠DCO＝90°，OC＝OB， ∴OC2+CD2＝OD2， ∴OB2+42＝（OB+2）2， ∴OB＝3， ∴AB＝6， ∵AE⊥AD，AB是⊙O的直径， ∴AE是⊙O的切线， ∵CD是⊙O的切线； ∴AE＝CE， ∵AD2+AE2＝DE2， ∴（6+2）2+AE2＝（4+AE）2， 解得AE＝6． 【点评】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论，正确的作出辅助线是解题的关键． 2．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AB，交CB的延长线于点E． （1）求证：ED是⊙O的切线； （2）若AC＝3，BC，求BD、CD的长． 【分析】（1）连接OD，利用角平分线的定义，圆周角定理和圆的切线的判定定理解答即可； （2）根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，∠ADB＝90°，根据勾股定理得到AB的值，根据角平分线的定义得到∠ACD＝∠BCD，求得AD＝BD，过点B作BH⊥CD于点H，根据等腰直角三角形的性质得到BH＝CH＝1，根据勾股定理得到DH＝3，于是得到CD＝CH+DH＝4． 【解答】（1）证明：连接OD，如图， ∵CD是∠ACB的平分线， ∴∠ACD＝∠BCD， ∴∠AOD＝∠BOD， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠AOD＝∠BOD90°， ∴OD⊥AB， ∵DE∥AB， ∴OD⊥DE， ∵OD为⊙O的半径， ∴ED是⊙O的切线； （2）解：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°，∠ADB＝90°， ∵AC＝3，BC， ∴AB2， ∵∠ACB的平分线CD交⊙O于点D， ∴∠ACD＝∠BCD， ∴， ∴AD＝BDAB， 过点B作BH⊥CD于点H， ∵∠BCDACB＝45°， ∴BH＝CHBC＝1， ∴DH3， ∴CD＝CH+DH＝1+3＝4． 【点评】本题主要考查了切线的判定和性质，圆周角定理，角平分线的定义，直角三角形的性质，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线，也是解题的关键． 3．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足是点H，过点C作直线分别与AB，AD的延长线交于点E，F，且∠ECD＝2∠BAD． （1）求证：CF是⊙O的切线； （2）如果AB＝10，CD＝6，求AE的长； 【分析】（1）连接OC，BC，利用圆周角定理，垂径定理，同圆的半径线段，等腰三角形的性质和圆的切线的判定定理解答即可； （2）利用勾股定理在Rt△OCH中求出OH＝4，同理求出，，利用切线的性质及勾股定理建立等式解答即可． 【解答】（1）证明：连接OC、BC，如图， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°，AO＝OB， ∵AB⊥CD， ∴AB平分弦CD，AB平分， ∴CH＝HD，，∠CHA＝90°＝∠CHE， ∴∠BAD＝∠BAC＝∠DCB， ∵∠ECD＝2∠BAD， ∴∠ECD＝2∠BAD＝2∠BCD， ∵∠ECD＝∠ECB+∠BCD， ∴∠BCE＝∠BCD， ∴∠BCE＝∠BAC， ∵OC＝OA， ∴∠BAC＝∠OCA， ∴∠ECB＝∠OCA， ∵∠ACB＝90°＝∠OCA+∠OCB， ∴∠ECB+∠OCB＝90°， ∴半径CO⊥FC， ∴CF是⊙O的切线； （2）解：∵AB＝10，CD＝6， 在（1）的结论中有AO＝OB＝5，CH＝HD＝3， 在Rt△OCH中，， 同理利用勾股定理，可求得，， ∴BH＝OB﹣OH＝5﹣4＝1，HA＝OA+OH＝4+5＝9， 即HE＝BH+BE， 在Rt△ECH中，EC2＝HC2+HE2＝32+（1+BE）2， ∵CF是⊙O的切线， ∴∠OCB＝90°， 在Rt△ECO中，EC2＝OE2﹣OC2＝（OB+BE）2﹣52＝（5+BE）2﹣52， ∴（5+BE）2﹣52＝32+（1+BE）2， 解得：， ∴． 【点评】本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，解题的关键是连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 题型05 切线长定理 1．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，点C是AB上一点，过C作⊙O的切线，交PA，PB于点D，E，若PA＝6cm，则△PDE的周长是　　cm． 【分析】根据切线长定理将△PDE的周长转化为切线长即可． 【解答】解：根据切线长定理得：AD＝CD，BE＝CE，PA＝PB，则△PDE的周长＝2PA＝12cm． 【点评】此题主要考查切线长定理的运用能力． 2．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝8，CD＝15，则四边形ABCD的周长为 　　． 【分析】根据切线长定理得到AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG，得到AD+BC＝AB+CD＝23，根据四边形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，如图， ∴AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG， ∴AD+BC＝AB+CD＝23， ∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝23+23＝46， 故答案为：46． 【点评】本题考查的是切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题的关键． 3．如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AD边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为 　　． 【分析】根据切线的性质知：AE＝EF，BC＝CF；根据△CDE的周长可求出正方形ABCD的边长；在Rt△CDE中，利用勾股定理可将AE的长求出，进而可求出直角梯形ABCE的周长． 【解答】解：设AE的长为x，正方形ABCD的边长为a， ∵CE与半圆O相切于点F， ∴AE＝EF，BC＝CF， ∵EF+FC+CD+ED＝12， ∴AE+ED+CD+BC＝12， ∵AD＝CD＝BC＝AB， ∴正方形ABCD的边长为4； 在Rt△CDE中，ED2+CD2＝CE2，即（4﹣x）2+42＝（4+x）2，解得：x＝1， ∴AE+EF+FC+BC+AB＝14， ∴直角梯形ABCE周长为14． 故答案为：14． 【点评】本题考查的是切线长定理，切线长定理图提供了很多等线段，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长． 题型06 三角形的内切圆与内心 1．已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】设这个三角形的内切圆半径是rcm，再根据三角形的面积公式即可得出结论． 【解答】解：设这个三角形的内切圆半径是r， ∵三角形周长为12，面积为6， ∴12r＝6， 解得r＝1． 故选：D． 【点评】本题考查的是三角形的内切圆与内心，熟知三角形的面积公式是解答此题的关键． 2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在BC，AC上，DE与△ABC的内切圆O相切．若△ABC的面积是30，△CDE的周长是4，则AB的长为 　　． 【分析】过点分别作OF⊥AB于点F，OG⊥BC于点G，OH⊥AC于点H，根据切线长定理得到AF＝AH，BF＝BG，CG＝CH，ME＝HE，MD＝GD，由△CDE的周长是4求出CG＝CH＝2，设BG＝BF＝x，AF＝AH＝y，则AB＝x+y，BC＝x+2，AC＝y+2，根据勾股定理得到xy＝2（x+y）+4①，根据三角形的面积公式得到xy＝60﹣2（x+y）②，①②求得x+y即可． 【解答】解：过点分别作OF⊥AB于点F，OG⊥BC于点G，OH⊥AC于点H， ∵⊙O是△ABC的内切圆， ∴AF＝AH，BF＝BG，CG＝CH， ∵DE与⊙O相切，设切点为M， ∴ME＝HE，MD＝GD， ∵△CDE的周长是4，CG+CH＝4， ∴CG＝CH＝2， 设BG＝BF＝x，AF＝AH＝y，则AB＝x+y，BC＝x+2，AC＝y+2， ∵∠ACB＝90°， ∴AB2＝BC2+AC2， ∴（x+y）2＝（x+2）2+（y+2）2， 化简得xy＝2（x+y）+4①， ∵△ABC的面积是30， ∴BC•AC＝30， ∴（x+2）（y+2）＝60， ∴xy＝60﹣2（x+y）②， 由①②得x+y＝13， ∴AB＝13． 故答案为：13． 【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，三角形的面积，切线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 3．如图，I是△ABC的内心，∠A＝50°，则∠BIC＝　　． 【分析】直接利用三角形内心即角平分线的交点，外心是外接圆圆心，进而得出答案． 【解答】解：∵∠A＝50°， ∴∠ABC+∠ACB＝130°， ∵△ABC的内心为I， ∴BI和CI分别平分∠ABC和∠ACB， ∴∠IBCABC，∠ICBACB， ∴∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB） ＝180°（∠ABC+∠ACB） ＝180°130° ＝115°， 故答案为：115°． 【点评】本题考查了圆周角定理，三角形的内切圆和外接圆的应用，注意：同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半，正确把握内心、外心的定义是解题关键． 4．已知，如图，AB为⊙O的直径，△ABC内接于⊙O．BC＞AC，弧AD＝弧BD．BD＝PD，延长CP交⊙O于点D，连接BP． （1）求证：点P是△ABC的内心； （2）已知⊙O的直径是．求BC的长． 【分析】（1）由圆周角定理得出∠ACB＝90°，根据三角形的外角性质和角平分线的定义即可得到结论； （2）连接AD，由圆周角定理得出∠ABD＝45°，证出△ABD是等腰直角三角形，得出BD，由勾股定理可求BH的长，即可得出结果． 【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵弧AD＝弧BD， ∴∠ACD＝∠BCD， ∴CD平分∠ACB， ∵PD＝BD， ∴∠BPD＝∠PBD， ∵∠BPD＝∠BCP+∠CBP，∠DBP＝∠ABD+∠ABP， ∵∠ABD＝∠DCB，∴∠CBP＝∠ABP， ∴PB平分∠ABC， ∴点P是△ABC的内心； （2）解：连接AD，过点B作BH⊥CD于H，如图所示： ∵AB是直径，∠ABD＝45°， ∴AB＝5，△ABD是等腰直角三角形， ∴BDAB5， ∵∠BCD＝45°，BH⊥CD， ∴∠BCH＝∠CBH＝45°， ∴BH＝CH， ∴BCBH， ∵BD2＝DH2+BH2， ∴25＝（7﹣BH）2+BH2， ∴BH＝3或4， ∵BC＞AC， ∴BC＝4． 【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心、圆周角定理、三角形的外角性质、等腰三角形的判定、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大． 1．如图，AB为⊙O的切线，切点为A．连接AO、BO、BO与⊙O交于点C，延长BO与⊙O交于点D，连接AD．若∠ABO＝36°，则∠ADC的度数为（　　） A．54° B．36° C．32° D．27° 【分析】根据在⊙O中，弧AC所对的圆周角等于圆心角的一半进行解答即可． 【解答】解：∵AB为圆O的切线， ∴∠BAO＝90°， ∵∠ABO＝36°， ∴∠AOB＝90°﹣∠ABO＝90°﹣36°＝54°， ∴∠ADC∠AOC27°． 故选：D． 【点评】此题考查的是切线的性质、圆周角定理，圆的切线垂直于过切点的半径． 2．如图，⊙O与矩形ABCD的三边AB、BC、CD分别相切于点E、F、G，连接OB、OD，OB＝4，OD＝3，则AB的长为（　　） A．5 B． C．4 D． 【分析】连接OA、OE、OF、OG，由切线的性质得AB⊥OE，BC⊥OF，CD⊥OG，可证明四边形EBFO和四边形GCFO都是正方形，则BE＝OE＝OF＝CG，推导出AE＝DG，进而证明△AOE≌△DOG，得OA＝OD＝3，由OBBE＝4，求得BE＝OE＝2，则AE1，所以AB＝21，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接OA、OE、OF、OG， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝DC， ∵⊙O与AB、BC、CD分别相切于点E、F、G， ∴AB⊥OE，BC⊥OF，CD⊥OG， ∴∠OEA＝∠OGD＝90°， ∵∠OEB＝∠EBF＝∠OFB＝90°，∠OGC＝∠C＝∠OFC＝90°， ∴四边形EBFO和四边形GCFO都是矩形， ∵OE＝OF，OG＝OF， ∴四边形EBFO和四边形GCFO都是正方形，OE＝OG， ∴BE＝OE＝OF＝CG， ∴AB﹣BE＝DC﹣CG， ∴AE＝DG， 在△AOE和△DOG中， ， ∴△AOE≌△DOG（SAS）， ∴OA＝OD＝3， ∵OBBE＝4， ∴BE＝OE＝2， ∴AE1， ∴AB＝BE+AE＝21， 故选：D． 【点评】此题重点考查矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、切线的性质定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 3．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，过点A作AC∥PB交⊙O于点C，连接BC，若∠P＝α，则∠PBC的度数为（　　） A．90°α B．90 C．180°﹣α D．180 【分析】连接OA，OB，由PA，PB是⊙O的切线，得到∠OAP＝∠OBP＝90°，即可求出∠AOB，由圆周角定理求出∠C，由平行线的性质即可求出∠PBC． 【解答】解：连接OA，OB， ∵PA，PB是⊙O的切线， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°， ∵∠AOB+∠P+∠OAP+∠OBP＝360°， ∴∠AOB＝180°﹣α， ∴∠C∠AOB＝90°α， ∵AC∥PB， ∴∠PBC+∠C＝180°， ∴∠PBC＝180°﹣（90°α）＝90°α． 故选：A． 【点评】本题考查切线的性质，圆周角定理，平行线的性质，关键是由切线的性质定理，圆周角定理求出∠C． 4．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在上，过点C的切线分别交PA、PB于点D、E，若PA＝1，则△PDE的周长为（　　） A． B．2 C．3 D．6 【分析】连接OA，OB，OC，OD，OE，OP，利用切线的性质定理，全等三角形的判定与性质定理解答即可． 【解答】解：连接OA，OB，OC，OD，OE，OP，如图， ∵PA、PB是⊙O的切线， ∴OA⊥PA，OB⊥PB， 在Rt△OAP和Rt△OBP中， ， ∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL）， ∴PA＝PB＝1， ∵过点C的切线分别交PA、PB于点D、E， ∴OC⊥CD． 在Rt△OAD和Rt△OCD中， ， ∴Rt△OAD≌Rt△OCD（HL）， ∴DA＝DC． 同理：Rt△OCE≌Rt△OBE， ∴EC＝EB． ∴△PDE的周长＝PD+PE+DE ＝PD+PE+DC+EC ＝PD+PE+DA+EB ＝PD+DA+PE+EB ＝PA+PB ＝2PA ＝2． 故选：B． 【点评】本题主要考查了圆的切线的性质定理，全等三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 5．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为（　　） A． B． C． D．2 【分析】连接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，得到∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝4，由于AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点得到∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，推出四边形AFOE，FBGO是正方形，得到AF＝BF＝AE＝BG＝2，由勾股定理列方程即可求出结果． 【解答】解：连接OE，OF，ON，OG， 在矩形ABCD中， ∵∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝4， ∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点， ∴∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°， ∴四边形AFOE，FBGO是正方形， ∴AF＝BF＝AE＝BG＝2， ∴DE＝3， ∵DM是⊙O的切线， ∴DN＝DE＝3，MN＝MG， ∴CM＝5﹣2﹣MN＝3﹣MN， 在Rt△DMC中，DM2＝CD2+CM2， ∴（3+NM）2＝（3﹣NM）2+42， ∴NM， ∴DM＝3， 故选：A． 【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，正方形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 6．如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝5，将△ABD沿BD翻折得到△A′BD，若A′D经过△CBD的内心I，则DI的长为 　2　． 【分析】由▱ABCD中，AB＝3，AD＝5，将△ABD沿BD翻折得到△A′BD，若A′D经过△CBD的内心I，先得EB＝ED，△CDE∽△CBD，得CD：BC＝CE：CD，又得DI：IE＝△DIC的面积：△EIC的面积＝DC：EC＝3：1.8＝5：3，得DI：DE＝5：8，即DI：3.2＝5：8，即可得DI＝2． 【解答】解：由▱ABCD中，AB＝3，AD＝5，将△ABD沿BD翻折得到△A′BD，若A′D经过△CBD的内心I， 得AD∥BC， 得∠2＝∠1＝∠3＝∠4， 得EB＝ED，△CDE∽△CBD， 得CD：BC＝CE：CD， 得3：5＝CE：3，即CE＝1.8， 得ED＝BE＝5﹣1.8＝3.2， 由∠5＝∠6，作IM⊥BC，IN⊥CD， 得IM＝IN， 得DI：IE＝△DIC的面积：△EIC的面积＝DC：EC＝3：1.8＝5：3， 得DI：DE＝5：8，即DI：3.2＝5：8， 得DI＝2． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，解题关键是正确应用内心的性质． 7．如图，⊙O的直径是AB＝12cm，AM、BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM、BN分别相交于D、C两点，设AD＝x，BC＝y，则y与x的函数解析式为　y（x＞0）　． 【分析】作辅助线构造直角三角形，运用勾股定理及切线的性质定理即可求出y关于x的函数解析式；求出自变量的取值范围． 【解答】解：如图，过点D作DF⊥BC于点F； ∵AD、BC分别是⊙O的切线， ∴∠OAD＝∠OBF＝90°， 又∵DF⊥BC， ∴四边形ABFD为矩形， ∴DF＝AB＝12cm，BF＝AD； ∵AD、BC、DC分别为⊙O的切线， ∴DE＝DA＝x，CE＝CB＝y，CF＝y﹣x； ∴DC＝x+y； 由勾股定理得：DC2＝DF2+CF2， 即（x+y）2＝（y﹣x）2+122， 整理得：xy＝36， ∴y， ∴y关于x的函数解析式y（x＞0）， 故答案为y（x＞0）． 【点评】该题考查了圆的切线及其性质的应用问题；解题的关键是作辅助线构造直角三角形，运用勾股定理来解题． 8．如图，△ABC中，AB＝AC，点O是BC边上一点，以点O为圆心，OB为半径作⊙O与边AC相切于点A，若BC＝9，则OB的长等于 　3　． 【分析】根据切线的性质可得∠OAC＝90°，从而可得∠B+∠OAB+∠C＝90°，再利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，∠B＝∠BAO，从而可得∠B＝∠C＝∠BAO＝30°，然后在Rt△OAC中，利用含30度角的直角三角形的性质可得OAOC，从而可得ODOC，进而可得OB＝OD＝DCBC＝3，即可解答． 【解答】解：∵⊙O与边AC相切于点A， ∴∠OAC＝90°， ∴∠B+∠OAB+∠C＝180°﹣∠OAC＝90°， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵OB＝OA， ∴∠B＝∠BAO， ∴∠B＝∠C＝∠BAO＝30°， ∴OAOC， ∵OD＝OA， ∴ODOC， ∴OD＝DC， ∵OB＝OD， ∴OB＝OD＝DCBC＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质，以及等腰三角形的性质是解题的关键． 9．如图，△ABC的周长是18cm，点O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC、BC分别交于点E、F，已知AB＝6cm，则△CEF的周长为 　12　cm． 【分析】先根据三角形内心的定义得到AO、BO是∠CAB和∠CBA的角平分线，结合平行线的性质可证明∠EAO＝∠EOA，∠FOB＝∠FBO，于是得到EO＝EA，OF＝FB，故此可得到EF＝AE+BF，根据三角形的周长公式计算即可． 【解答】解：连接OA、OB． ∵点O是△ABC的内心， ∴AO、BO分别是∠CAB和∠CBA的角平分线． ∴∠EAO＝∠BAO，∠FBO＝∠ABO． ∵EF∥BA， ∴∠EOA＝∠OAB，∠FOB＝∠OBA． ∴∠EAO＝∠EOA，∠FOB＝∠FBO． ∴EO＝EA，OF＝FB． ∴EF＝AE+BF， ∴△CEF的周长＝CE+CF+EF＝CE+EA+CF+FB＝CA+CB＝18﹣6＝12（cm）， 故答案为：12． 【点评】本题主要考查的是三角形的内切圆与内心、平行线的性质、等腰三角形的判定，明确三角形的内心是三条角平分线的交点是解题的关键． 10．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD交于点E，2，连接AD，过点B的切线与AD的延长线交于点F，若∠AFB＝60°，则∠DEB＝　60　°． 【分析】先根据切线的性质得出∠ABF＝90°，结合∠AFB＝60°可求出∠BAF的度数，再根据弧之间的关系得出它们所对的圆周角之间的关系，最后根据三角形外角的性质即可求出∠DEB的度数． 【解答】解：如图，连接OC，OD， ∵BF是⊙O的切线，AB是⊙O的直径， ∴OB⊥BF， ∴∠ABF＝90°， ∵∠AFB＝60°， ∴∠BAF＝90°﹣∠AFB＝30°， ∴∠BOD＝2∠BAF＝60°， ∵， ∴∠COA＝2∠BOD＝120°， ∴∠CDA∠COA＝30°， ∵∠DEB是△AED的一个外角， ∴∠DEB＝∠BAF+∠CDA＝60°， 故答案为：60． 【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，三角形外角的性质，熟知：圆的切线垂直于过切点的半径；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 11．如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA，OC交AB于点D．若OD＝1，BC＝3，则OA＝　　． 【分析】由切线的性质得出∠OBC＝90°，证明∠CDB＝∠CBD得出BC＝CD＝3，则OC＝4，最后由勾股定理进行计算即可，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，构造直角三角形的是解此题的关键． 【解答】解：如图，连接OB， ∵BC是⊙O的切线， ∴OB⊥BC， ∴∠OBC＝90°， ∴∠OBA+∠ABC＝90°， ∵OC⊥AO， ∴∠OAD+∠ODA＝90°， ∵OA＝OB， ∴∠OBA＝∠OAB， ∴∠DBC＝∠ADO， ∵∠CDB＝∠ADO， ∴∠CDB＝∠CBD， ∴CD＝BC＝3， ∴OC＝OD+CD＝1+3＝4， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是掌握切线的性质，属于中考常考题型． 12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°，⊙O是△ABC的内切圆，与边BC，AC分别相切于点D，E，DE与BO的延长线交DE于点F，则∠BFD＝　40°　． 【分析】根据内切圆的定义和切线长定理，可以计算出∠COB的度数和∠OGE的度数，然后即可计算出∠BFD的度数． 【解答】解：连接OD，OE，OC，OC交ED于点G， ∵∠A＝80°， ∴∠ABC+∠ACB＝100°， ∵点O为△ABC的内切圆的圆心， ∴∠OBC+∠OCB＝50°， ∴∠COB＝130°， ∵OE＝OD，BD＝BE， ∴OC垂直平分DE， ∴∠OGE＝90°， ∴∠BFD＝∠COB﹣∠OGF＝130°﹣90°＝40°， 故答案为：40°． 【点评】本题考查三角形内切圆、切线长定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 13．如图，等腰三角形ABC内接于⊙O，AB＝AC，点I是△ABC的内心，连接BI并延长交⊙O于点D，点E在BD的延长线上，满足∠EAD＝∠CAD．试证明： （1）OA所在的直线经过点I； （2）点D是IE的中点． 【分析】（1）连接OA、OB、OC、AI，可证明△AOB≌△AOC，得∠BAO＝∠CAO，则AO平分∠BAC，再由点I是△ABC的内心，证明AI平分∠BAC，所以AO与AI在同一条直线上，即可证明OA所在的直线经过点I； （2）连接OD，推导出∠OAD∠AOD＝90°，则∠OAD+∠ABD＝90°，再证明∠ABD＝∠EAD，则∠IAE＝∠OAD+∠EAD＝90°，再推导出∠DIA＝∠DAI，则ID＝AD，由∠DIA+∠E＝90°，∠DAI+∠DAE＝90°，证明∠E＝∠DAE，则ED＝AD，所以ID＝ED，即可证明点D是IE的中点． 【解答】证明：（1）连接OA、OB、OC、AI， ∵AB＝AC，OB＝OC，OA＝OA， ∴△AOB≌△AOC（SSS）， ∴∠BAO＝∠CAO， ∴AO平分∠BAC， ∵点I是△ABC的内心， ∴AI平分∠BAC， ∴AO与AI在同一条直线上， ∴OA所在的直线经过点I． （2）连接OD，则OD＝OA， ∴∠OAD＝∠ODA， ∴2∠OAD+∠AOD＝180°， ∴∠OAD∠AOD＝90°， ∵∠ABD∠AOD， ∴∠OAD+∠ABD＝90°， ∵∠ABD＝∠CBD＝∠CAD，∠EAD＝∠CAD， ∴∠ABD＝∠EAD， ∴∠IAE＝∠OAD+∠EAD＝90°， ∵∠DIA＝∠ABD+∠BAO＝∠CAD+∠CAO＝∠DAI， ∴ID＝AD， ∵∠DIA+∠E＝90°，∠DAI+∠DAE＝90°， ∴∠E＝∠DAE， ∴ED＝AD， ∴ID＝ED， ∴点D是IE的中点． 【点评】此题重点考查圆周角定理、圆的内接三角形的定义、三角形的内心的定义、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等角的余角相等、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 14．如图，A、B、C、D四点在⊙O上，BD为⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）若∠DBC＝30°，DE＝2cm，求BD的长； 【分析】（1）连接OA，则∠OAD＝∠ADB，而∠ADE＝∠ADB，所以∠OAD＝∠ADE，则OA∥CD，因为AE⊥CD于点E，所以∠OAE＝180°﹣∠AEC＝90°，即可证明AE是⊙O的切线； （2）由BD为⊙O的直径，得∠BCD＝∠BAD＝90°，因为∠DBC＝30°，所以∠BDC＝60°，则∠ADE＝∠ADB＝60°，求得∠DAE＝∠ABD＝30°，则AD＝2DE＝4cm，所以BD＝2AD＝8cm． 【解答】（1）证明：连接OA，则OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ADB， ∵DA平分∠BDE， ∴∠ADE＝∠ADB， ∴∠OAD＝∠ADE， ∴OA∥CD， ∵AE⊥CD于点E， ∴∠AEC＝90°， ∴∠OAE＝180°﹣∠AEC＝90°， ∵OA是⊙O的半径，且AE⊥OA， ∴AE是⊙O的切线． （2）解：∵BD为⊙O的直径， ∴∠BCD＝∠BAD＝90°， ∵∠DBC＝30°，DE＝2cm， ∴∠BDC＝90°﹣∠DBC＝60°， ∴∠BDE＝180°﹣∠BDC＝120°， ∴∠ADE＝∠ADB∠BDE＝60°， ∴∠DAE＝∠ABD＝90°﹣60°＝30°， ∴AD＝2DE＝4cm， ∴BD＝2AD＝8cm， ∴BD的长是8cm． 【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定定理、直角所对的圆周角是直角、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 15．如图，在三角形ABC中，∠BAC＝30°，以AB为直径的圆O经过点C，过点C作圆O的切线交AB延长线于点P，点D是圆上一点，点C是劣弧BD的中点，弦AD的延长线交切线PC于点E． （1）判断OB与BP的数量关系并证明； （2）若AE＝3，求圆O的半径． 【分析】（1）连接OC，根据切线的性质的∠OCP＝90°，根据含30°角的直角三角形的性质证明即可； （2）首先推导出∠ACE＝60°，∠CAD＝∠BAC＝30°，进而得到∠E＝90°，在Rt△ACE中，利用勾股定理解答即可． 【解答】解：（1）OB＝BP，理由如下： 如图，连接OC． ∵过点C作圆O的切线交AB延长线于点P， ∴OC⊥PC， ∴∠OCP＝90°， ∵以AB为直径的圆O经过点C， ∴∠ACB＝90°， ∵∠BAC＝30°，OC＝OA＝OB， ∴∠ABC＝∠POC＝60°， ∴OCPO， ∴OBPO， ∴OB＝PB； （2）由（1）可知，∠OCE＝90°，∠ACO＝30°， ∴∠ACE＝60°， ∵点C是劣弧BD的中点， ∴， ∴∠CAD＝∠BAC＝30°， ∴∠E＝90°， 在Rt△ACE中，设CE＝x， 由勾股定理，得：x2+32＝（2x）2， 解得：x1 （不合题意，舍去），x2， ∴AC＝2x＝2， 在直角三角形BCA中，同理可求AB＝4， ∴⊙O的半径为2． 【点评】本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CO平分∠BCD，CE⊥AD 于点E． （1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若CE＝3，AD＝2，求直径AB的长． 【分析】（1）连接OD，BD，根据角平分线的定义得到∠DCO＝∠BCO，根据等腰三角形的性质得到∠ODC＝∠OCD＝∠OCD＝∠OBC，根据全等三角形的性质得到CD＝BC，得到，根据垂径定理得到OC⊥BD，根据圆周角定理得到BD⊥AE，根据平行线的性质得到OC⊥CE，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）设OC，BD交于F，根据矩形的性质得到DF＝CE＝3，求得BD＝2DF＝6，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：（1）直线CE与⊙O相切， 理由：连接OD，BD， ∵CO平分∠BCD， ∴∠DCO＝∠BCO， ∵OD＝OC＝OB， ∴∠ODC＝∠OCD＝∠OCD＝∠OBC， ∴△OCD≌△OCB（AAS）， ∴CD＝BC， ∴， ∴OC⊥BD， ∵AB是⊙O的直径， ∴BD⊥AE， ∵AE⊥CE， ∴BD∥CE， ∴OC⊥CE， ∵OC是⊙O的半径， ∴CE与⊙O相切； （2）设OC，BD交于F， ∵∠DFC＝∠FCE＝∠E＝90°， ∴四边形CEDF是矩形， ∴DF＝CE＝3， ∴BD＝2DF＝6， ∵AD＝2， ∴AB2， 故直径AB的长为2． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，矩形的频道进行中，正确地找出辅助线是解题的关键． 17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，，过点A作AD∥BC交⊙O于点D，连接CD，延长DA到点E，连接CE，∠D＝∠E． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若CE＝8，AE＝5，求⊙O半径的长． 【分析】（1）连接OC，利用平行线的性质，同圆的半径相等，平行线的判定和圆的切线的判定定理解答即可； （2）连接OC，OB，OC交AB于点F，利用（1）的结论判定四边形ABCE为平行四边形，利用垂径定理和勾股定理求得CF，设⊙O半径的长为r，则OF＝OC﹣CF＝r﹣3，利用勾股定理列出方程，解方程即可求解． 【解答】（1）证明：连接OC，如图， ∵AD∥BC， ∴∠B＝∠DAB． ∵∠B＝∠D， ∴∠DAB＝∠D． ∵∠D＝∠E， ∴∠DAB＝∠E， ∴AB∥EC． ∵， ∴OC⊥AB， ∴OC⊥EC． ∵OC是⊙O的半径， ∴CE是⊙O的切线； （2）解：连接OC，OB，OC交AB于点F，如图， 由（1）知：AB∥EC， ∵AD∥BC， ∴四边形ABCE为平行四边形， ∴BC＝AE＝5，AB＝EC＝8． ∵OC⊥AB， ∴AF＝BFAB＝4． ∴FC3． 设⊙O半径的长为r，则OF＝OC﹣CF＝r﹣3， ∵OF2+BF2＝OB2， ∴（r﹣3）2+42＝r2， 解得：r． ∴⊙O半径的长为． 【点评】本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，垂径定理，平行线的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 18．如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，△EBC的外接圆⊙O分别交AB，CD于点M，N． （1）求证：AD与⊙O相切； （2）若DN＝1，AD＝4，求⊙O的半径r． 【分析】（1）连接EO并延长交BC于点F，连接OB、OC，根据矩形的性质得到，AD∥BC，∠A＝∠D＝90°，根据全等三角形的性质得到EB＝EC，求得∠EFC＝90°，得到EF⊥AD．根据切线的判定定理即可得到结论； （2）过点O作OH⊥CD，垂足为H，连接OE、ON，根据矩形的性质得到∠D＝90°．根据切线的性质得到∠OED＝90°．求得OH＝ED，DH＝OE＝r，得到OH＝EDAD＝2．根据勾股定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接EO并延长交BC于点F，连接OB、OC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，AD∥BC，∠A＝∠D＝90°， ∵E为AD的中点， ∴AE＝DE． ∴△ABE≌△DCE（SAS）， ∴EB＝EC， ∵OB＝OC， ∴EF垂直平分BC， 即∠EFC＝90°， ∴∠DEF+∠EFC＝180°， ∴∠DEF＝180°﹣∠EFC＝180°﹣90°＝90°， 即EF⊥AD． ∵点E在⊙O上，OE是⊙O的半径， ∴AD与⊙O相切； （2）解：过点O作OH⊥CD，垂足为H，连接OE、ON， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝90°． ∵AD切⊙O于点E， ∴∠OED＝90°． ∵∠OHD＝90°， ∴四边形OEDH是矩形， ∴OH＝ED，DH＝OE＝r， ∵E是AD的中点， ∴OH＝EDAD＝2． 在Rt△OHN中，由勾股定理得： OH2+NH2＝ON2， 即22+（r﹣1）2＝r2． ∴解得r＝2.5， 故⊙O的半径r为2.5． 【点评】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理正确地作出辅助线是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$