精品解析：广东省湛江市第七中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

广东省湛江七中2023-2024学年八年级下学期数学期中试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 在下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，掌握最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．根据最简二次根式必须满足的两个条件进行判断即可． 【详解】解：A、；A选项不是最简二次根式， B、；B选项不是最简二次根式， C、；C选项不是最简二次根式， D、是最简二次根式；故D选项符合题意， 故选：D 2. 下列长度的三条线段不能组成直角三角形的是（　　） A. 3，4，5 B. 2，， C. 1，，3 D. 5，12，13 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，根据此定理，逐项计算出两短边的平方和，与长边的平方和比较即可． 【详解】解：A．，能组成直角三角形，不符合题意； B．，能组成直角三角形，不符合题意； C．，不能组成三角形，符合题意； D．，能组成直角三角形，不符合题意； 故选：C． 3. 已知，那么化简的结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．将根号内的式子化为完全平方形式，再利用二次根式的性质及已知条件进行化简即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴ 故选：B． 4. 已知m=，则以下对m的估算正确的（　　） A. 2＜m＜3 B. 3＜m＜4 C. 4＜m＜5 D. 5＜m＜6 【答案】B 【解析】 【分析】直接化简二次根式，得出的取值范围，进而得出答案． 【详解】∵m==2+， 1＜＜2， ∴3＜m＜4， 故选B． 【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键． 5. 下列命题中，错误的是（　　） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 菱形的对角线互相垂直平分 C. 矩形的对角线相等且互相垂直平分 D. 角平分线上的点到角两边的距离相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质对A进行判断；根据菱形的性质对B进行判断；根据矩形的性质对C进行判断；根据角平分线的性质对D进行判断． 【详解】解：A、平行四边形的对角线互相平分，所以A选项的说法正确； B、菱形的对角线互相垂直平分，所以B选项的说法正确； C、矩形的对角线相等且互相平分，所以C选项的说法错误； D、角平分线上的点到角两边的距离相等，所以D选项的说法正确． 故选：C． 6. 在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠DAC＝40°，∠CBD＝25°，则∠COD等于（　　） A. 60° B. 65° C. 70° D. 75° 【答案】B 【解析】 【分析】是的外角，根据外角的定义：三角形的外角等于不相邻的两个内角之和． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、外角的定义，发现是的外角是解决问题的关键． 7. 矩形的对角线长为20，两邻边之比为3：4，则矩形的面积为（　　） A. 56 B. 192 C. 20 D. 以上答案都不对 【答案】B 【解析】 【分析】首先设矩形的两邻边长分别为：3x，4x，可得（3x）2+（4x）2=202，继而求得矩形的两邻边长，则可求得答案． 【详解】解：∵矩形的两邻边之比为3：4， ∴设矩形的两邻边长分别为：3x，4x， ∵对角线长为20， ∴（3x）2+（4x）2=202， 解得：x=4， ∴矩形的两邻边长分别为：12，16； ∴矩形的面积为：12×16=192． 故选B． 8. 已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（　　） A. 20或16 B. 20 C. 16 D. 以上答案均不对 【答案】B 【解析】 【分析】根据平方的非负性求出x，y的值，然后分两种情况讨论：①当等腰三角形腰长为4时；②当等腰三角形腰长为8时，即可得出答案． 【详解】解：根据题意得， 解得， ①若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形； ②若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8， 能组成三角形，周长为． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的周长问题，掌握平方的非负性、等腰三角形的定义、三角形三边关系是解题的关键． 9. 如图，在直线l上有正方形a，b，c，若a，c的面积分别为4和16，则b的面积为（ ） A. 24 B. 20 C. 12 D. 22 【答案】B 【解析】 【分析】利用正方形性质证明,再利用勾股定理得，即可解题． 【详解】解：∵a、b、c都是正方形， ∴，， ∵， 即，，， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 即，故B正确． 故选：B． 【点睛】此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，中等难度，结合图形求解，对图形的理解能力要比较强，证明全等是解题关键． 10. 如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论： （1）AE=BF；（2）AE⊥BF；（3）AO=OE；（4）中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的性质得AB=AD=DC，∠BAD=∠D=90°，则由CE=DF易得AF=DE，根据“SAS”可判断△ABF≌△DAE，所以AE=BF；根据全等的性质得∠ABF=∠EAD，利用∠EAD+∠EAB=90°得到∠ABF+∠EAB=90°，则AE⊥BF；连接BE，BE＞BC，BA≠BE，而BO⊥AE，根据垂直平分线的性质得到OA≠OE；最后根据△ABF≌△DAE得S△ABF=S△DAE，则S△ABF-S△AOF=S△DAE-S△AOF，即S△AOB=S四边形DEOF． 【详解】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=AD=DC，∠BAD=∠D=90°， 而CE=DF， ∴AF=DE， 在△ABF和△DAE中 ∴△ABF≌△DAE， ∴AE=BF，所以（1）正确； ∴∠ABF=∠EAD， 而∠EAD+∠EAB=90°， ∴∠ABF+∠EAB=90°， ∴∠AOB=90°， ∴AE⊥BF，所以（2）正确； 连接BE， ∵BE＞BC， ∴BA≠BE， 而BO⊥AE， ∴OA≠OE，所以（3）错误； ∵△ABF≌△DAE， ∴S△ABF=S△DAE， ∴S△ABF-S△AOF=S△DAE-S△AOF， ∴S△AOB=S四边形DEOF，所以（4）正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，解题的关键是掌握判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”． 二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分） 11. 计算：_________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，先对式子左边进行分母有理，再行进加减运算． 【详解】解：原式 故答案为：． 12. 如图所示，小明从坡角为的斜坡的山底（A）到山顶（B）共走了200米，则山坡的高度为________米． 【答案】100 【解析】 【分析】本题考查了含30度直角三角形的性质的应用；根据此性质求解即可． 【详解】解：由题意可得：，米，， 则（米）． 故答案为：100． 13. 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，再添加一个条件________（写出一个即可），可使四边形ABCD是平行四边形．（图形中不再添加辅助线） 【答案】ABCD或AD=BC 【解析】 【分析】可再添加一个条件AD＝BC或ABCD，根据平行线的判定定理即可求解． 【详解】解：根据平行四边形的判定，可再添加一个条件：AD＝BC或ABCD 故答案为：ABCD或AD=BC． 【点睛】此题主要考查平行四边形的判定．是一个开放条件的题目，熟练掌握判定定理是解题的关键． 14. 菱形的周长是20，一条对角线的长为6，则它的面积为_____． 【答案】24 【解析】 【分析】先画出图形，根据菱形的性质可得，DO＝3，根据勾股定理可求得AO的长，从而得到AC的长，再根据菱形的面积公式即可求得结果． 【详解】解：如图： 由题意得， ∵菱形ABCD ∴，AC⊥BD ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握对角线互相垂直且平分，菱形的四条边相等；同时熟记菱形的面积等于对角线乘积的一半． 15. 如图，将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，……如此继续下去，结果如下表：则an＝__________（用含n的代数式表示）． 所剪次数 1 2 3 4 … n 正三角形个数 4 7 10 13 … an 【答案】3n+1 【解析】 【详解】从表格中的数据，不难发现：多剪一次，多3个三角形．即剪n次时，共有4+3（n-1）=3n+1． 故 答案为3n+1 16. 如图，在中，，点分别是的中点，若，则的长为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质及三角形的中位线定理，根据直角三角形的性质及三角形的中位线定理即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴是直角三角形， ∵点分别是的中点， ∴是斜边的中线， ∴， ∵， ∴， ∵分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：． 17. 如图，四边形ACDF是正方形，和都是直角，且点三点共线，，则阴影部分的面积是__________． 【答案】8 【解析】 【详解】【分析】证明△AEC≌△FBA，根据全等三角形对应边相等可得EC=AB=4，然后再利用三角形面积公式进行求解即可. 【详解】∵四边形ACDF是正方形， ∴AC=FA，∠CAF=90°， ∴∠CAE+∠FAB=90°， ∵∠CEA=90°，∴∠CAE+∠ACE=90°， ∴∠ACE=∠FAB， 又∵∠AEC=∠FBA=90°， ∴△AEC≌△FBA， ∴CE=AB=4， ∴S阴影==8， 故答案为8. 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，三角形面积等，求出CE=AB是解题的关键. 三．解答题（共8小题，满分62分） 18. 计算下列各式： （1）； （2）． 【答案】（1）0 （2）1 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； （1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先按多项式乘多项式法则展开，再合并同类二次根式，最后计算除法． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式=． 19. 如图，在▱ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为25，AB＝12，求对角线AC与BD的和． 【答案】26 【解析】 【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得，，又因为△AOB的周长为25，AB=12，所以OA+OB=13，所以AC+BD=2OA+2OB=2（OA+OB）=26． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，， ∵△AOB的周长为25，AB=12， ∴AB+OA+OB=25， ∴OA+OB=13， ∴AC+BD=2OA+2OB=2（OA+OB）=26． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是熟知相关性质． 20. 如图，在中，点E，F分别在，上，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 根据平行四边形的性质推出，再结合即可证明四边形是平行四边形． 【详解】四边形是平行四边形， ，即， 又， 四边形是平行四边形． 21. 如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC，四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE 求证：四边形BECD是矩形． 【答案】 证明：∵AB=BC，BD平分∠ABC， ∴BD⊥AC，AD=CD． ∵四边形ABED是平行四边形， ∴，BE=AD， ∴BE=CD， ∴四边形BECD是平行四边形． ∵BD⊥AC， ∴∠BDC=90°， ∴▱BECD是矩形． 【解析】 【分析】根据已知条件易推知四边形BECD是平行四边形．结合等腰△ABC“三线合一”的性质证得BD⊥AC，即∠BDC=90°，所以由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”得到▱BECD是矩形． 【详解】略 【点睛】本题考查矩形的判定，等腰三角形三线合一的性质，平行四边形的判定和性质．解题的关键是掌握有一个角是直角的平行四边形是矩形． 22. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，二次根式的混合运算； （1）先化简为，再代入求值即可； （2）先通分再把分子分解因式，最后代入求值即可． 【小问1详解】 解： ， 当，时， 原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ， 当，时， 原式 ． 23. 如图是一块地，已知，，，，且，求这块地的面积． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 连接，利用勾股定理及勾股定理的逆定理可以得出和是直角三角形，的面积减去的面积就是所求的面积． 【详解】解：连接， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 答：这块地的面积是． 24. 如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为AB的中点，DE⊥AB． （1）求∠ABC的度数； （2）如果AC＝4，求DE的长． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）要想求出∠ABC的度数，须知道∠DAB的度数，由菱形性质和线段垂直平分线的性质可证出△ABD是等边三角形，∠DAB=60°，于是； （2）先证△ABO≌△DBE，从而知道DE=AO，AO=AC的一半，于是DE的长就知道了． 【详解】（1）∵四边形ABCD是菱形， ，//， ∴． ∵为的中点，， ∴． ∴． ∴ △为等边三角形． ∴． ∴． （2）∵四边形是菱形， ∴于， ∵于， ∴． ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了菱形性质，线段垂直平分线性质，等边三角形的判定与性质等，正确分析，熟练掌握和灵活运用相关知识点是解题的关键． 25. 如图，在中，，，．点从点出发沿方向以每秒 个单位的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是 （）．过点作于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）四边形能成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，请说明理由； （3）当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）能； （3）或4；理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据含有角的直角三角形的性质及平行四边形的判定即可解答； （2）根据含有角的直角三角形的性质及菱形的性质解答即可； （3）根据含有角的直角三角形的性质及平行四边形的性质即可解答． 本题考查了含有角的直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质，斜边的中线等于斜边的一半，菱形的性质，掌握含有角的直角三角形的性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明：设点运动的时间是秒（）， ∵点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动， ∴， ∵点从点出发沿方向以每秒个单位长的速度向点匀速运动， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：四边形能够成为菱形；理由如下： ∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵由（1）知四边形为平行四边形， ∴若使为菱形，则需， ∴， 解得， ∴当时，四边形为菱形； 【小问3详解】 解：当或时，为直角三角形，理由如下： 根据题意，分三种情况讨论： ①当时，如图1所示： ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴在中，， 即， 解得； ②当时， ∵， ∴此种情况不存在； ③当时，如图2所示： 由（1）知四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 综上所述，当或时，为直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省湛江七中2023-2024学年八年级下学期数学期中试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 在下列各式中，是最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段不能组成直角三角形的是（　　） A. 3，4，5 B. 2，， C. 1，，3 D. 5，12，13 3. 已知，那么化简的结果是（　　） A. B. C. D. 4. 已知m=，则以下对m的估算正确的（　　） A. 2＜m＜3 B. 3＜m＜4 C. 4＜m＜5 D. 5＜m＜6 5. 下列命题中，错误的是（　　） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 菱形的对角线互相垂直平分 C. 矩形的对角线相等且互相垂直平分 D. 角平分线上的点到角两边的距离相等 6. 在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠DAC＝40°，∠CBD＝25°，则∠COD等于（　　） A. 60° B. 65° C. 70° D. 75° 7. 矩形的对角线长为20，两邻边之比为3：4，则矩形的面积为（　　） A 56 B. 192 C. 20 D. 以上答案都不对 8. 已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（　　） A 20或16 B. 20 C. 16 D. 以上答案均不对 9. 如图，在直线l上有正方形a，b，c，若a，c的面积分别为4和16，则b的面积为（ ） A. 24 B. 20 C. 12 D. 22 10. 如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论： （1）AE=BF；（2）AE⊥BF；（3）AO=OE；（4）中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分） 11. 计算：_________________． 12. 如图所示，小明从坡角为的斜坡的山底（A）到山顶（B）共走了200米，则山坡的高度为________米． 13. 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，再添加一个条件________（写出一个即可），可使四边形ABCD是平行四边形．（图形中不再添加辅助线） 14. 菱形的周长是20，一条对角线的长为6，则它的面积为_____． 15. 如图，将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，……如此继续下去，结果如下表：则an＝__________（用含n的代数式表示）． 所剪次数 1 2 3 4 … n 正三角形个数 4 7 10 13 … an 16. 如图，在中，，点分别是中点，若，则的长为 _______． 17. 如图，四边形ACDF是正方形，和都是直角，且点三点共线，，则阴影部分面积是__________． 三．解答题（共8小题，满分62分） 18. 计算下列各式： （1）； （2）． 19. 如图，在▱ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为25，AB＝12，求对角线AC与BD的和． 20. 如图，在中，点E，F分别在，上，且．求证：四边形是平行四边形． 21. 如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC，四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE 求证：四边形BECD是矩形． 22. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 23. 如图是一块地，已知，，，，且，求这块地的面积． 24. 如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为AB的中点，DE⊥AB． （1）求∠ABC的度数； （2）如果AC＝4，求DE的长． 25. 如图，在中，，，．点从点出发沿方向以每秒 个单位的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是 （）．过点作于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）四边形能成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，请说明理由； （3）当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $